Контрольная работа по "Статистике". 393

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правовая статистика

5 вариант

 

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

Имеются выборочные данные (выборка 5%-ная механическая) по 26 подразделениям государственной службы за отчетный год:

Номер предприятия	Себестоимость услуги, руб.
5	1150
6	925
7	1630
8	1000
9	730
10	974
11	905
12	430
13	830
14	920
15	1100
16	1000
17	770
18	990
19	860
20	700
21	810
22	780
23	930
24	860

 

1. Постройте статистический ряд распределения, образовав 5 групп с равными интервалами. Построить графики ряда распределения: гистограмму, полигон, кумуляту.
2. По каждой группе и совокупности подразделений определить число подразделений и их удельный вес в общем количестве подразделений (структуру). Результаты расчетов представьте в таблицы.
3. По данным группировки рассчитайте характеристики ряда распределения подразделений: средний уровень ряда (по формулам средней арифметической обычным методом и методом моментов) ; размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсию (по формулам обычным методом и методом моментов); среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации; моду и медиану для дискретного и интервального ряда распределения. Проанализировать полученные результаты.
4. С вероятностью 0,964 определить ошибку выборки средней величины на одно подразделение и границы, в которых будет находиться генеральная средняя.

С вероятностью 0,997 определите ошибку выборки для доли подразделений, находящихся в последней 5-ой группе интервального ряда распределения и границы, в которых будет находиться генеральная доля. Сделайте выводы.

Решение:

1) Количество групп в группировке: .

Максимальное значение группировочного  признака в совокупности . Минимальное значение группировочного признака в совокупности .

Определяем величину интервала:

 руб.

Результаты группировки  представим в таблице 1:

Таблица 1. 1

№ группы	Себестоимость услуги, руб.	Число предприятий	Накопленная частота
1	430 - 670	1	1
2	670 - 910	9	10
3	910 - 1150	7	17
4	1150 - 1390	2	19
5	1390 - 1630	1	20
Итого	-	20	-

 

Строим гистограмму  распределения. Для построения гистограммы  в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем отрезки, величины которых соответствуют интервалам вариационного ряда. Эти отрезки служат нижним основанием, а соответствующая частота — высотой образуемых прямоугольников.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона и гистограммы строится по накопленным частотам. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты.

 

2) Результаты расчетов представлены в таблице 1.2.

 

 

Таблица 1. 2

№ группы	Себестоимость услуги, руб.	Число предприятий	Удельный вес,%
1	430 - 670	1	5
2	670 - 910	9	45
3	910 - 1150	7	35
4	1150 - 1390	2	10
5	1390 - 1630	1	5
Итого	-	20	100

 

3) Вспомогательные расчеты приведены в таблице 1.3.

Таблица 1. 3

№ группы	Себест-сть услуги, руб.	Середина интервала,	Число предприятий,
1	430 - 670	550	1	550	396	156816
2	670 - 910	790	9	7110	1404	219024
3	910 - 1150	1030	7	7210	588	49392
4	1150 - 1390	1270	2	2540	648	209952
5	1390 - 1630	1510	1	1510	564	318096
Итого	-		20	18920	3600	953280

 

Средний уровень ряда по формуле средней арифметической:

(руб.)

Найдем  средний уровень ряда методом моментов (вспомогательные расчеты приведены в таблице 1.4.):

где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), А=790;

i = 240 – шаг интервала;

.

Таблица 1. 4

№ группы	Себестоимость услуги, руб.	Середина интервала,	Число предприятий,
1	430 - 670	550	1	-1	-1	1
2	670 - 910	790	9	0	0	0
3	910 - 1150	1030	7	1	7	7
4	1150 - 1390	1270	2	2	4	8
5	1390 - 1630	1510	1	3	3	9
Итого	-		20	5	13	25

  (руб.)

Размах вариации:

R= x_min - x_max = 1630 – 430 = 1200 (руб.)

Среднее линейное отклонение даёт обобщённую характеристику степени колеблемости признака в совокупности относительно среднего уровня признака:

(руб.)

Дисперсия

Найдем дисперсию  методом моментов:

Среднее квадратичное отклонение:

(руб.)

Коэффициент вариации:

Так как коэффициент вариации меньше 33%, то совокупность можно считать однородной. Среднее значение себестоимости услуги надежно и его можно использовать для оценки совокупности.

Вычислим медиану и моду двумя способами – по исходным данным и по построенному интервальному ряду.

Вычисление медианы  по исходным данным.

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

При четном числе наблюдений (n=2·l) медианой  является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:   руб.

Вычисление  медианы по интервальному ряду.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных  частот превышает половину общего числа  наблюдений. Найдем номер медианы: .

По графе накопленных  частот определяем, что медианным является интервал 910 - 1150.

Ширина интервала  ; нижняя граница ; частота ; частота, накопленная до медианного интервала .

Точное значение медианы находим по формуле:

 руб.

Таким образом, половина предприятий  имеет себестоимость услуги до 910 руб. и половина свыше 910 руб.

 

Вычисление моды по исходным данным.

Мода  для совокупности наблюдений равна тому значению изучаемого признака,  которому соответствует наибольшая частота встречаемости.

В данном случае распределение имеет  две моды.

Наибольшая частота равна двум. По два раза встречаются значения признака 860 и 1000. Это означает, что  =860 руб.; =1000 руб.

Вычисление моды по интервальному  ряду.

Модальный интервал (т.е. интервал, которому соответствует наибольшая частота) 670 - 910.

Ширина интервала  ; нижняя граница ; частота ; предмодальная частота ; послемодальная частота .

руб.

 

4) С вероятностью 0,964 определим  ошибку выборки средней величины на одно подразделение и границы, в которых будет находиться генеральная средняя.

Генеральная средняя  отличается от среднего значения на величину ошибки выборки :

.

Предельную ошибку выборки находим по формуле:

По условию задачи размер генеральной совокупности (26 предприятий – 5% выборка):

_{Выборочное  среднее квадратическое отклонение: .}

Для заданной вероятности найдем по таблице интегральной функции Лапласа значение аргумента , такое, что , получим .

 руб.

С вероятностью 0,964 можно утверждать, что генеральная себестоимость услуги находится в пределах от 845,473 рублей до 1046,527 рублей.

 

С вероятностью 0,997 определим ошибку выборки для доли подразделений, находящихся в последней 5-ой группе интервального ряда распределения и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

По условию выборочная доля числа подразделений, находящихся  в последней 5-ой группе интервального  ряда распределения равна 

Найдем среднюю ошибку выборки:

По таблице значений функции Лапласа находим значение аргумента  , такое, что , получим .

Тогда предельная ошибка выборочной доли: .

Доверительный интервал для генеральной доли:

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля подразделений, для которых себестоимость услуги составляет 1390 до 1630 рублей, находится в границах от 0,6% до 9,4%.

 

 

 

Задача 2

Имеется информация о  среднедушевых доходах на душу населения  по РФ за 2010 год, руб:

Год	Среднедушевой доход  на душу населения, руб./чел.
2006	10214
2007	12608
2008	14980
2009	17038
2010	18793

 

Для анализа динамики изучаемого показателя определите:

1)  а) в соответствии с классификацией – вид ряда динамики;

б) средний уровень  ряда;

в) цепные и базисные показатели по среднедушевому доходу: абсолютные приросты, темпы (коэффициенты) роста и прироста;

г) абсолютное значение 1% прироста.

2) Средние показатели  абсолютного прироста, темпов (коэффициентов)  роста и прироста.

Сделайте анализ полученных результатов.

3)  а) определить линейную форму тренда среднедушевых доходов населения;

б) построить график динамики среднедушевых доходов населения  за изучаемый период по фактическим  и теоретическим данным;

в) спрогнозировать среднедушевые  доходы населения на 2013 год, используя  методы:

1) среднего абсолютного прироста;

2) среднего тема роста;

3) аналитического выравнивания.

Сделайте анализ полученных результатов.

Решение:

1) Задан интервальный ряд динамики. Уровни интервального ряда можно суммировать.

Средний уровень в  интервальных рядах динамики исчисляется по формуле средней арифметической простой:

,

где - уровни ряда;

n - число периодов (число уровней ряда).

(руб./чел.)

Среднегодовой среднедушевой  доход на душу населения в период с 2006 по 2010 гг. составил 14726,6 руб./чел.

Абсолютный прирост  определяется как разность между  двумя уровнями динамического ряда и показывает: на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения.

Базисный абсолютный прирост вычисляется как разность между сравниваемым значением и уровнем, принятым за базу сравнения. За базу сравнения берем Y₁ - начальный уровень ряда:     

Цепной абсолютный прирост  представляет собой разность между сравниваемым уровнем и уровнем :

Темпы роста показывают, сколько процентов составляет последующий  уровень ряда по сравнению с предыдущим или по сравнению с начальным уровнем:

                    

Темп прироста показывает, на сколько  процентов уровень данного периода  больше или меньше базисного уровня.

                    

_{Абсолютное  значение 1% прироста: .}

_{Результаты расчетов приведены в таблице 2.1.}

Таблица 2. 1 Аналитические показатели среднедушевых доходов населения РФ

Год	Среднедушевые доходы	Абсолютный прирост, руб/чел.		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолютное значение 1% прироста, руб./чел.
	руб./чел.	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
А	1	2	3	4	5	6	7	9
2006	10214	-	0	-	100	-	0	-
2007	12608	2394	2394	123,4	123,4	23,4	23,4	102,14
2008	14980	2372	4766	118,8	146,7	18,8	46,7	126,08
2009	17038	2058	6824	113,7	166,8	13,7	66,8	149,80
2010	18793	1755	8579	110,3	184,0	10,3	84,0	170,38

 

2) Средний абсолютный прирост:

  руб.

или

  руб.

Средний темп роста:

Среднегодовой темп прироста:

Таким образом, среднедушевые доходы населения ежегодно возрастали. За 2006-2010 гг. абсолютный прирост составил 8579 руб. Темп роста за этот период составил 184%, темп прироста - 84%. В среднем за год абсолютный прирост составил 2144,75 руб., а среднегодовой темп прироста - 16,5%, т.е. среднедушевые доходы населения ежегодно увеличивались в среднем на 2144,75 руб., или на 16,5%. Значение 1% прироста также возросло с 102,14 до170,38 руб.

 

3) Формула линейного тренда : .

Найдем параметры тренда методом  наименьших квадратов. Вспомогательные расчеты приведены в таблице 2.2.

Таблица 2. 2

Год	Условное обозначение года, t	Среднедушевые доходы руб./чел., y
2006	1	10214	1	10214
2007	2	12608	4	25216
2008	3	14980	9	44940
2009	4	17038	16	68152
2010	5	18793	25	93965
Итого:	15	73633	55	242487
Среднее:	3	14726,6	11	48497,4

Система нормальных уравнений  МНК  (метода наименьших квадратов) имеет вид:

Подставим найденные значения:

Уравнение линейного тренда .

Спрогнозируем среднедушевые  доходы населения на 2013 год.

1) Метод среднего абсолютного  прироста.

Для прогноза по среднему абсолютному приросту используем формулу: .

 руб.

2) Метод среднего темпа роста.

Для прогноза по среднегодовому темпу роста используем формулу .

 руб.

3) Метод аналитического  выравнивания.

Подставим в уравнение  линейного тренда  значение , соответствующее 2013 году, получим:

 руб.

В данном случае прогнозирование  по среднему абсолютному приросту и  с помощью аналитического выравнивания дало приблизительно одинаковые результаты.

Более высокое прогнозное значение, полученное методом среднего темпа роста, объясняется тем, что  данный метод применяется, если общая  тенденция ряда характеризуется  показательной кривой.

 

 

 

 

Задача 3

В 2009 г. Среднегодовая  численность населения города составляла 1018,3 тыс. чел, в 2010 г. – 1025, 8 тыс. чел, в 2011 г. – 1030, 6 тыс. чел.

1) Определить в % базисные относительные величины динамики (с точностью до 0,1 %):

а) 102,8 и 101,2;  в) 100,7 и 101,2 с) 101,8 и 102,3.

2) Определить в % цепные  относительные величины динамики (с точностью до 0,1 %):

а) 105,3 и 101, 8;  в) 100,7 и 100,5;  с) 100,7 и 102,4.

Решение:

1) Базисные относительные  величины динамики (за базу берем  2009 год):

Ответ: в) 100,7 и 101,2.

1) Цепные относительные величины  динамики:

Ответ: в) 100,7 и 100,5.

 

 

 

Задача 4

Дисперсия признака равна (с точностью до 0,1) при условии: средняя величина признака – 22 тыс. руб., коэффициент вариации – 26%:

а) 44,5   с) 12,8

в) 32.7   d) 37,2

Решение:

Зная коэффициент вариации и среднюю величину признака найдем среднее квадратическое отклонение :

 

(тыс. руб.)

Находим дисперсию признака:

Ответ: в) 32.7

 

 

Задача 5

Цены на юридические  услуги в 4-м квартале текущего года по сравнению с 4-м кварталом предыдущего года возросли на  17,4%. Каков ежеквартальный темп прироста цен на бензин (в %):

а) 8,3    с) 2,9

в) 4,1    d) 10,4

Решение:

По условию базисный темп прироста в 4-м квартале текущего года (за базисный уровень взят 4-й  квартал предыдущего года):

Значит, базисный темп роста в 4-м квартале текущего года (за базисный уровень взят 4-й квартал предыдущего года):

,

тогда коэффициент роста 

Найдем ежеквартальный темп роста цен на бензин:

Тогда ежеквартальный темп прироста:

Ответ: в) 4,1 

Задача 6

Имеются данные о работе подразделения (таблицы 1 и 2). Провести анализ его деятельности. Определить для отчетного и базисного  периода:

1. Среднесписочную численность служащих, показатели движения персонала (коэффициенты оборота рабочей силы по приему, увольнению, коэффициент текучести рабочих).
2. Часовую, дневную и годовую производительность труда.
3. Взаимосвязь между часовой, дневной и годовой производительностью труда.
4. Продолжительность рабочего дня и года.
5. Абсолютное и относительное влияние следующих факторов на общее изменение стоимости выпущенной продукции:

а) среднесписочной численности  служащих;

б) средней продолжительности  рабочего дня;

в) средней продолжительности  рабочего периода;

г) среднечасовой производительности труда.

6. Среднегодовую стоимость основных фондов.
7. Показатели движения основных фондов (коэффициенты поступления и выбытия).
8. Показатели эффективности использования основных фондов (фондоотдачу, фондоемкость, фондовооруженность).
9. Абсолютное и относительное влияние на общее изменение стоимости произведенных услуг:

а) среднегодовой стоимости  основных фондов;

б) их лучшего использования, т.е. фондоотдачи.

10. Показатели оборачиваемости оборотных средств (коэффициенты оборачиваемости и закрепления, число оборотов, средняя продолжительность одного оборота)
11. Общее изменение оборотных средств в отчетном году по сравнению с базисным вследствие влияния:

а) стоимости реализованной  продукции;

б) ускорения оборачиваемости. 

12. Себестоимость услуги.

Показатели	Базисный год	Отчетный год
1. Численность служащих  на начало периода, чел.	510	508
2. Принято в течение  года, чел.	35	62
3. Выбыло в течение  года, чел., в том числе: по собственному желанию за нарушение трудовой дисциплины	38 5 3	46 6 2
4. Отработано всего:  тыс. чел.-дней тыс. чел.-часов	142 1066	133 986
5. Стоимость произведенных  услуг, млн руб.	12,5	12,6
6. Количество произведенных  услуг, ед.	3315	3580
7. Стоимость основных  фондов на начало года, млн  руб.	1020	1070
8. Поступило основных  фондов в течение года, млн руб.:              10 марта                       11 августа	40 130	60 80
9. Выбыло основных  фондов в течение года, млн  руб.               15 мая                       20 ноября	20 70	35 115
10. Общая сумма затрат, млрд руб.	9,23	9,24
11. Среднегодовые остатки оборотных средств, млн руб.	1251	1350
12. Стоимость реализованных  услуг, млрд руб.	13,1	12,4
13. Планируемый объем  реализации услуг, млрд руб.	-	13,4

 

Решение:

1) Среднесписочную численность  служащих определим по формуле среднего арифметического:

_{, где}

- численность служащих на  начало периода;

- численность служащих на  конец периода.

В базисном году: человек.

В отчетном году: человек.

Коэффициент оборота  по приему это число принятых на работу деленное на среднесписочную  численность рабочих за данный период.

Коэффициент оборота  по увольнению это число уволенных  с работы, деленное на среднесписочную  численность рабочих за данный период.

Коэффициент текучести  рабочей силы это число уволенных  по собственному желанию, а также  за нарушения трудовой дисциплины за данный период деленное на среднесписочную  численность рабочих за данный период.

Результаты расчетов приведены в таблице 6.1.

 

 

 

Таблица 6. 1

Показатель	Базисный год	Отчетный год
Среднесписочная численность  служащих, чел.
Коэффициент оборота  по приему
Коэффициент оборота  по увольнению
Коэффициент текучести  рабочей силы

 

2) Часовая производительность труда — это то количество продукции, которое один работник производит за 1 час в течение определенного периода.

где Q — стоимость произведенной продукции за определенный период;

- число отработанных человеко-часов.

Дневная производительность труда — это то количество продукции, которое один работник производит за день (смену).

- число отработанных человеко-дней.

Годовая производительность труда - это то количество продукции, которое один работник производит за год.

, где  - среднее списочное число работников.

Результаты расчетов приведены в таблице 6.2.