Контрольная работа по "Статистике". 285

Задание 1

28.   В  урне находятся  три шара с номерами 1, 2, 3. Случайным  образом эти шары один за  другим вынимаются из урны. Какова  вероятность того, что: а) вторым  появится шар с номером «2»;  б)  шар с номером «3» появится  не ранее, чем шар с номером  «1»?

 

Решение:

а) Воспользуемся классическим определением вероятности события , где m – число благоприятных исходов; n – число всевозможных исходов n=3!=1∙2∙3=6.

Вероятность события  А – {вторым появится шар с номером «2»}, т.е. только в одном случае m=1 равна:     .

Вероятность события  В – {шар  с номером «3» появится не ранее, чем шар с номером «1»}, т.е. в  трёх случаях (2; 1; 3), (1; 3; 2),  и (1; 2; 3), m=3 равна:    

Ответ: а) 0,1667; б) 0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

28.  Среди 30 деталей три нестандартные.  Наугад извлекаются две детали. Какова вероятность, что среди  них хотя бы  одна деталь  нестандартна.

 

Решение:

Определим вероятность противоположного события  – {среди двух деталей нет нестандартных} р=3/30=0,1; q=1 – p=1 – 0,1=0,9. По формуле Бернулли

Тогда искомая вероятность событии  А – {среди двух деталей хотя бы  одна деталь нестандартная}

Ответ: 0,919

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

4. Производится стрельба тремя ракетами по кораблю. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Для потопления корабля достаточно двух попаданий, при попадании одной ракеты корабль тонет с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что корабль будет потоплен. 

 

Решение:

Введем события:

А – {корабль будет потоплен}

Н_i – {попала i-ая ракета}

Р(Н_i)=0,6

Р(А/Н₁)=0,7

Р(А/Н₂)=1

Р(А/Н₃)=1

Событие А – {корабль будет потоплен}. Вероятность определим по формуле полной вероятности Р(А)=Р(Н₁)·Р(А/Н₁)+Р(Н₂)·Р(А/Н₂)+Р(Н₃)·Р(А/Н₃)=1/3∙0,7·0,6+1/3∙1·0,6+1/3∙1·0,6=0,54

Ответ: 0,54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4

4.  Производится залп из шести  орудий по некоторому объекту.  Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий

 

Решение:

Событие А – {объект ликвидирован}, m≥4, воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 6; p = 0,6; q =1 – 0,6= 0,4; k₁ =4; k₂ =6

По таблицам значений функции (интеграл вероятности) находим F (2) = 0,47725,  F (0,33) = 0,1293.

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание  5

4.  Вероятность того, что вошедший  в магазин покупатель  сделает покупку, равна 0,4. Предполагая,  что покупатель делает не более  одной покупки, составить закон  распределения числа покупок,  сделанных  в магазине, если  вошло 5 человек. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и  среднее квадратическое отклонение, полученной случайной величины

 

Решение:

Для вычисления вероятностей воспользуемся  формулой Бернулли: , где р=0,4; q=1 – p=1 – 0,4=0,6; n= 5 человек

х₁ – {ни один из покупателей не совершил покупок} 0,07776

х₁ – {один покупатель совершил покупку} 0,2592

х₂ – {два покупателя совершили покупку} 0,3456

х₃ – {три покупателя совершили покупку} 0,2304

х₄ – {четыре покупателя совершили покупку} 0,0768

х₅ – {пять покупателей совершили покупку} 0,01024

1) Ряд распределения  случайной величины

xi	0	1	2	3	4	5	Σ
pi	0,07776	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024	1

2) Математическое ожидание 

1·0,2592+2·0,3456+3·0,2304+4·0,0768+5∙0,01024=2

Дисперсия

1²·0,2592+2²·0,3456+3²·0,2304+4²·0,0768+5²∙0,010241² – 2²=1,2

Среднее квадратическое отклонение 

1,095

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6

4. Время простоя оборудования  в ожидании ремонта распределено  по показательному (экспоненциальному)  закону с математическим ожиданием,  равным 2 часа. Найти вероятность  простоя более трех часов.

 

Решение:

Так как у нас показательное (экспоненциальное)  распределение  на отрезке [a=3; b= ], с показателями 1/l=2 часа и l = 0,5 [час^-1], следовательно, вероятность равна (1 – 0) – (1 – 0,22313)= 0,22313

Ответ: 0,22313

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание  7

 

 Приведенные ниже  данные о ценах на 100 видов товаров  ( в у. е.) записаны в случайном   порядке. Используя эти данные, необходимо:

1) сделать механическую выборку, отобрав 20 видов товаров (каждый пятый считая в порядке записи сверху вниз по колонкам и по этой выборке) ;

2) записать эмпирическую  функцию распределения;

3) построить интервальный вариационный ряд с шириной интервала 20 у.е;

4) построить гистограмму и эмпирическую кривую распределения;

5) предполагая,  что генеральная совокупность имеет нормальное  распределение с плотностью , найти методом моментов по выборке из I) статистические оценки неизвестных параметров а  и ;                   

6) найти доверительные интервалы для а и   с доверительной вероятностью 0,95

7.4 

 

113	159	93	112	154	186	128	111	88	111
133	145	123	138	110	104	128	117	129	158
84	114	118	140	108	109	131	125	114	122
85	90	108	81	120	146	100	79	137	117
113	127	155	95	134	162	97	128	123	149
133	148	121	161	104	130	108	116	123	112
120	164	86	129	92	97	129	154	118	144
101	107	99	96	160	94	112	114	140	141
124	113	89	145	103	141	137	91	109	118
137	124	163	92	139	136	121	138	124	83

 

Решение:

1. Произведем выборку. Получаем

113	127	155	95	134	162	97	128	123	149
137	124	163	92	139	136	121	138	124	83

2. Для построения эмпирической функции распределения F*(x) запишем элементы выборки в порядке возрастания

83

92

95

97

113

121

123

124

124

127

128

134

136

137

138

139

149

155

162

163

Рисунок 1 – Гистограмма распределения

Рисунок 2 – Эмпирическая функция распределения

3. Составляем вариационный ряд с шириной интервала h=20 (у.е.)

Интервалы	[83, 103)	[103, 123)	[123, 143)	[143, 163]
Частоты	4	3	9	4

4. Строим кривые распределения (рисунок 1 и рисунок 2)
5. Методом моментов определяем математическое ожидание и дисперсию

 

6) По формуле:

                         .

По  условию задачи .

В 5) мы вычислили  . Вычислим несмещенную выборочную дисперсию

.

Отсюда  .

По  таблицам распределения Стьюдента  с n – 1=19 степенью свободы находим t при доверительной вероятности 0,95.

            .

Выписываем  доверительный интервал:

покрывающий параметр с вероятностью 0,95.

По  формуле 

             

 и  находим по таблице распределения с n – 1=19 степенью свободы с            .

Выписываем  доверительный интервал

,

покрывающий параметр с вероятностью 0,95.

 

 

 

Задание  8.4.  Получить механическую выборку из данных о ценах  на товары,  приведенных в задании 7, отобрав 50 видов товара  (каждый второй,  считая в порядке записи сверху вниз по колонкам и по этой выборке). Используя критерий согласия  Пирсона, проверить согласие выборочных значений с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами, оцененными предварительно по выборке.

 

133	145	123	138	110	104	128	117	129	158
85	90	108	81	120	146	100	79	137	117
133	148	121	161	104	130	108	116	123	112
101	107	99	96	160	94	112	114	140	141
137	124	163	92	139	136	121	138	124	83

 

Решение:

Определим несмещённые оценки математического  ожидания и среднеквадратического  отклонения  по итогам табл. 8.1., расположенных  в ней в порядке возрастания:

;

Таблица 8.1

Расчет среднего и дисперсии

№ п/п
А	1	2	3
1	79	-41,5	1722,25
2	81	-39,5	1560,25
3	83	-37,5	1406,25
4	85	-35,5	1260,25
5	90	-30,5	930,25
6	92	-28,5	812,25
7	94	-26,5	702,25
8	96	-24,5	600,25
9	99	-21,5	462,25
10	100	-20,5	420,25
11	101	-19,5	380,25
12	104	-16,5	272,25
13	104	-16,5	272,25
14	107	-13,5	182,25
15	108	-12,5	156,25
16	108	-12,5	156,25
17	110	-10,5	110,25
18	112	-8,5	72,25
19	112	-8,5	72,25
20	114	-6,5	42,25
21	116	-4,5	20,25
22	117	-3,5	12,25
23	117	-3,5	12,25
24	120	-0,5	0,25
25	121	0,5	0,25
А	1	2	3
26	121	0,5	0,25
27	123	2,5	6,25
28	123	2,5	6,25
29	124	3,5	12,25
30	124	3,5	12,25
31	128	7,5	56,25
32	129	8,5	72,25
33	130	9,5	90,25
34	133	12,5	156,25
35	133	12,5	156,25
36	136	15,5	240,25
37	137	16,5	272,25
38	137	16,5	272,25
39	138	17,5	306,25
40	138	17,5	306,25
41	139	18,5	342,25
42	140	19,5	380,25
43	141	20,5	420,25
44	145	24,5	600,25
45	146	25,5	650,25
46	148	27,5	756,25
47	158	37,5	1406,25
48	160	39,5	1560,25
49	161	40,5	1640,25
50	163	42,5	1806,25
Σ	6025		23166,50

Выдвинем гипотезу Н0: F_X(x)=F₀(х), где F₀(х) – функция нормального распределения с параметрами (а=120,5; ). Для этого определим в таблице величину расчетного коэффициента Пирсона по итогам таблице 8.2.

Для расчета теоретических частот вычислим значения p_i по формуле (разобьем совокупность на 5 групп с шагом ):

Для 1-ого интервала 

Теоретическая частота    и т.д.

 

 

 

 

Таблица 8.2.

Расчет критерия Пирсона

№ п/п	Интервал	Частота, mi	pi	Теоретическая частота,
1	79 – 95,8	7	0,09825	5	2	4	0,8
2	95,8 – 112,6	12	0,23065	12	0	0	0
3	112,6 – 129,4	13	0,3546	17	-4	16	0,9412
4	129,4 – 146,2	12	0,2239	11	1	1	0,0909
5	146,2 – 163	6	0,0926	5	1	1	0,2
Итого		50	1	50			2,0321

Значение  Пирсона определим по формуле:

2,0321; при уровне значимости  α=0,01 и числе степеней свободы  v=5 – 2 – 1=2 по таблице находим . Так как 2,0321<9,2, то гипотеза о нормальном распределении принимается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 9.4. Получить две механические выборки,  объемом по 50 значений, из данных о  ценах на товары, приведенных  в задании 7,  включая в первую значения, стоящие на нечетных местах,  а во вторую - на четных (нумерация  производится по колонкам).

Найти выборочное уравнение линейной регрессии  Y  на Х по результатам двух выборок, считая первую выборку значениями X , а вторую - Y   Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

 

Решение:

Получим две механические выборки, запишем их в таблицу 9.1 и определим итоговые и средние показатели, необходимые  для расчета коэффициентов корреляции и регрессии.

Таблица 9.1.

Определение коэффициентов корреляции и регрессии

№ п/п							·
А	1	2	3	4	5	6	7
1	113	133	-9,12	12,5	83,1744	156,25	-114
2	84	85	-38,12	-35,5	1453,134	1260,25	1353,26
3	113	133	-9,12	12,5	83,1744	156,25	-114
4	120	101	-2,12	-19,5	4,4944	380,25	41,34
5	124	137	1,88	16,5	3,5344	272,25	31,02
6	159	145	36,88	24,5	1360,134	600,25	903,56
7	114	90	-8,12	-30,5	65,9344	930,25	247,66
8	127	148	4,88	27,5	23,8144	756,25	134,2
9	164	107	41,88	-13,5	1753,934	182,25	-565,38
10	113	124	-9,12	3,5	83,1744	12,25	-31,92
11	93	123	-29,12	2,5	847,9744	6,25	-72,8
12	118	108	-4,12	-12,5	16,9744	156,25	51,5
13	155	121	32,88	0,5	1081,094	0,25	16,44
14	86	99	-36,12	-21,5	1304,654	462,25	776,58
15	89	163	-33,12	42,5	1096,934	1806,25	-1407,6
16	112	138	-10,12	17,5	102,4144	306,25	-177,1
17	140	81	17,88	-39,5	319,6944	1560,25	-706,26
18	95	161	-27,12	40,5	735,4944	1640,25	-1098,36
19	129	96	6,88	-24,5	47,3344	600,25	-168,56
20	145	92	22,88	-28,5	523,4944	812,25	-652,08
21	154	110	31,88	-10,5	1016,334	110,25	-334,74
22	108	120	-14,12	-0,5	199,3744	0,25	7,06
23	134	104	11,88	-16,5	141,1344	272,25	-196,02
24	92	160	-30,12	39,5	907,2144	1560,25	-1189,74
25	103	139	-19,12	18,5	365,5744	342,25	-353,72
26	186	104	63,88	-16,5	4080,654	272,25	-1054,02
27	109	146	-13,12	25,5	172,1344	650,25	-334,56
28	162	130	39,88	9,5	1590,414	90,25	378,86
29	97	94	-25,12	-26,5	631,0144	702,25	665,68
30	141	136	18,88	15,5	356,4544	240,25	292,64
31	128	128	5,88	7,5	34,5744	56,25	44,1
32	131	100	8,88	-20,5	78,8544	420,25	-182,04
33	97	108	-25,12	-12,5	631,0144	156,25	314
А	1	2	3	4	5	6	7
34	129	112	6,88	-8,5	47,3344	72,25	-58,48
35	137	121	14,88	0,5	221,4144	0,25	7,44
36	111	117	-11,12	-3,5	123,6544	12,25	38,92
37	125	79	2,88	-41,5	8,2944	1722,25	-119,52
38	128	116	5,88	-4,5	34,5744	20,25	-26,46
39	154	114	31,88	-6,5	1016,334	42,25	-207,22
40	91	138	-31,12	17,5	968,4544	306,25	-544,6
41	88	129	-34,12	8,5	1164,174	72,25	-290,02
42	114	137	-8,12	16,5	65,9344	272,25	-133,98
43	123	123	0,88	2,5	0,7744	6,25	2,2
44	118	140	-4,12	19,5	16,9744	380,25	-80,34
45	109	124	-13,12	3,5	172,1344	12,25	-45,92
46	111	158	-11,12	37,5	123,6544	1406,25	-417
47	122	117	-0,12	-3,5	0,0144	12,25	0,42
48	149	112	26,88	-8,5	722,5344	72,25	-228,48
49	144	141	21,88	20,5	478,7344	420,25	448,54
50	118	83	-4,12	-37,5	16,9744	1406,25	154,5
Итого	6106	6025			26377,28	23166,5	-4995
В среднем	122,12	120,5			22,9684	21,5251	-101,939

Средние ;

Среднеквадратические отклонения  22,9684; 21,5251;

Вычислим 

Выборочный коэффициент корреляции  , т.е. между Y и Х существует слабая обратная зависимость.

Выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х будет иметь вид: ; ; .

Полученной зависимостью можно  воспользоваться для прогнозирования  значения Y при известном Х.

Проверим гипотезу Н0: и альтернативную ей Н1:

Для больших выборок (n≥50) при решении вопроса критическая область определяется неравенством Значение для доверительной вероятности α=0,01 находим по таблицам. Следовательно, гипотеза Н0 отвергается, т.е. связь между Y и Х существенная.

 

Список литературы

1. Булдык Г. М. Теория вероятностей и математическая статистика.— Мн.: Выш. шк., 1989.
2. Гурский Е. И. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике.—Мн.: Выш. шк., 1984.
3. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: математическое программирование.- Мн.: Вышэйшая школа, 1994.
4. Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике и математической статистике.— Мн.: Выш. шк., 1976.
5. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика: теория вероятностей и математическая статистика.-Мн.: Вышэйшая школа, 1993.
6. Теория вероятностей и математическая статистика: Практическое пособие для студентов экономических специальностей вузов /Н.М.Курносенко, В.Е.Евдокимович.-Гомель: УО «ГГУ им.Ф.Скорины», 2005.- 82  с.