Контрольная работа по "Статистике". 300

Оглавление

 

Задача 1

Органами МВД зарегистрирована подростковая преступность за август 2010 года в возрасте:

15	14	15	14	16	15
13	11	16	15	15	15
15	15	15	15	14	17
13	17	14	16	15	16

На основе этих данных:

1. Составьте дискретный ряд распределения
2. Произведите сравнительный анализ, если известно, что за аналогичны период в 2010 году преступления, совершенные подростками, распределялись по возрасту преступников следующим образом:

Возраст, лет	13	14	15	16	17	Всего
Число преступлений в % к  итогу	20	22	11	25	12

 

3. Постройте полигон распределения, найдите модальную величину ряда распределения и сделайте выводы.

Ответить на вопросы:

1. Понятие абсолютных и относительных величин.
2. Относительные величины распределения, интенсивности, динамики.
3. Индексы
4. Понятие о рядах распределения абсолютных и относительных величин.
5. Понятие и виды средних величин
6. Средняя арифметическая, средняя геометрическая.
7. Мода и медиана (в дискретном и интервальном рядах).
8. Показатели вариации признака

Решение

Составим интервальный дискретный ряд распределения (табл. 1).

Сначала определяем  величину интервала по формуле:

i = ,

где хmax – максимальное значение количественного признака;

      xmin – минимальное значение количественного признака;

      n – число намечаемых групп.

i =

Таким образом, получаем четыре группы:

1 группа: 11-12 

2 группа: 12-13

3 группа: 13-14

4 группа: 14-15

5 группа: 15-16

6 группа: 16-17

Принцип группировки  выбираем «включительно».

Таблица 1

Дискретный ряд распределения преступлений, совершенных в районе несовершеннолетними

Группы по числу преступлений, совершенных в районе несовершеннолетними	Число повторений группе	В процентах к итогу, %
11-12	1	2,2
12-13	2	4,4
13-14	6	13,3
14-15	15	33,3
15-16	15	33,3
16-17	6	13,3
ИТОГО:	45	100,0

 

В ходе сравнения данных за аналогичный период в 2010 году видно, что возраст несовершеннолетних совершивших преступление уменьшился до 11 лет. Наибольшая часть преступлений совершена подростками в возрасте от 14-16, когда в 2010 г. этот возраст равнялся 16.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Модальный интервал – (15-16), так как ему соответствует максимальная частота, равная 15.

Мода рассчитывается по следующей формуле:

, где – нижняя граница модального интервала;

f_Мо  – частота в модальном интервале;

f_Мо-1– частота в интервале, предшествующем модальному;

f_Мо+1 – частота в интервале, следующем за модальным;

i – величина интервала.

Мода составит:

 

Построим полигон распределения и укажем модальную величину.

Рис. 1. Полигон распределения  преступлений, совершенных в районе несовершеннолетними.

Вывод: В исследуемом  районе чаще всего встречается число  преступлений, совершенных в районе несовершеннолетними, равное 15.

Ответы на вопросы:

1. Понятие абсолютных и относительных величин.

Абсолютная величина - объем или размер изучаемого события или явления, процесса, выраженного в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.

Относительные величины - это показатели, которые дают числовую меру соотношения двух сопоставляемых между собой величин.

2. Относительные величины распределения, интенсивности, динамики.

Отношения, характеризующие  структуру совокупности, или отношения распределения, – это распространенная относительная величина, выражаемая в процентах отдельных частей совокупности изученных явлений (преступлений, преступников, гражданских дел, исков, причин, мер предупреждения и т.д.) к их общему итогу, принимаемому за 100 %.

Относительная величина интенсивности (показатель интенсивности, эффективности) - характеризует степень распространения одного явления в среде другого явления.

Относительная величина (показатель) динамики - представляет собой отношение уровня исследуемого явления или процесса за данный период к уровню этого же процесса или явления в прошлом.

3. Индексы.

Индексами называют сравнительные  относительные величины, которые  характеризуют изменение сложных  социально-экономических показателей (показатели, состоящие из несуммируемых элементов) во времени, в пространстве, по сравнению с планом.

4. Понятие о рядах распределения абсолютных и относительных величин.

Ряды распределения - это ряды абсолютных и относительных  чисел, которые характеризуют распределение  единиц совокупности по качественному (атрибутивному) или количественному признаку.

5. Понятие и виды средних величин.

Средней величиной называется статистический показатель, который  дает обобщенную характеристику варьирующего признака однородных единиц совокупности.

Средние величины делятся на два  больших класса: степенные средние  и структурные средние.

Степенные средние: арифметическая; гармоническая; геометрическая; квадратическая.

Структурные средние: мода; медиана.

6. Средняя арифметическая, средняя геометрическая.

В математике и статистике среднее арифметическое - одна из наиболее распространенных мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех наблюденных значений деленную на их количество.

Средним геометрическим нескольких положительных  вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.

7. Мода и медиана (в дискретном и интервальном рядах).

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем - значение модальной величины признака по формуле:

где:

- значение моды

- нижняя граница модального интервала

- величина интервала

- частота модального интервала

- частота интервала, предшествующего  модальному

- частота интервала, следующего  за модальным

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем - значение медианы по формуле:

где:

- искомая медиана

- нижняя граница интервала, который  содержит медиану

- величина интервала

- сумма частот или число членов  ряда

- сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

- частота медианного интервала

8. Показатели вариации признака.

Средние величины раскрывают важную обобщающую характеристику совокупности по варьирующему признаку. Рассчитав их, необходимо уяснить, насколько они показательны, типичны или однородны. Одинаковые средние могут характеризовать совершенно разнородные совокупности.

 

Задача 2

При проведении плановых мероприятий по выявлению нарушений скоростного режима на автомобильных дорогах г. Ростов-на-Дону зарегистрирована следующая скорость движения автотранспорта (в км/ч):

118	134	105	137	169	154	113	111
166	153	122	131	137	120	144	155
100	105	139	140	148	170	142	137
155	128	138	145	140	160	130	110
108	121	137	100	132	135	152	124

 

Для анализа информации требуется:

1. Построить интервальный ряд распределения, образовав 4 группы с равными интервалами.
2. Полученный ряд распределения изобразить на графике.

Решение

1. Для построения интервального ряда распределения необходимо определить величину равного интервала (i), она будет определятся по формуле:

i = (Хmax-Хmin)/n	Где Хmax - наибольший признак совокупности, Хmin - наименьший признак совокупности, n - число групп.
i = (170-100)/4 i = 17,5	Где Хmax - 170 км/ч (максимальная скорость движения автотранспорта), Хmin - 100 км/ч (минимальная скорость движения автотранспорта), n - 4 (число групп).

Для формирования рядов  распределения необходимо минимальную  скорость движения автотранспорта увеличивать каждый раз на величину равного интервала.

1. 100+17,5=117,5

2. 117,5+17,5=135

3. 135+17,5=152,5

4. 152,5+17,5=170

Интервальный ряд распределения случаев нарушений скоростного режима на автомобильных дорогах района, зарегистрированных при проведении плановых мероприятий

№	интервальный ряд	скорость движения автотранспорта (в км/ч)
1	от 100 до 117,5	100, 100, 105, 105, 108, 110, 111, 113, 118
2	от 117,5 до 135	120, 121, 122, 124, 128, 130, 131, 132, 134, 138
3	от 135 до 152,5	135, 137, 137, 137, 137, 139, 140, 140, 142, 144, 145, 148
4	от 152,5 до 170	152, 153, 154, 155, 155, 160, 166, 169, 170

2. График распределения  случаев нарушений скоростного  режима на автомобильных дорогах  района, зарегистрированных при  проведении плановых мероприятий.

Вывод: из данной статистической сводки видно, что при проведении мероприятий по выявлению нарушения скоростного режима на автомобильных дорогах района чаще всего регистрировалась скорость от 135 км/ч до 152,5 км/ч. Меньше всего при проведении мероприятий по выявлению нарушения скоростного режима на автомобильных дорогах района меньше всего регистрировалась скорость от 100 км/ч до 117,5 км/ч и 152,5-170 км/ч.

 

Задача 3

На основании данных, приведенных в задаче №2, и построенного вариационного ряда определите:

1. Среднюю скорость  автомобилей, превысивших скорость:

А) на основе индивидуальных данных;

Б) на основе построенного вариационного ряда.

2. Среднее квадратическое  отклонение.

3. Коэффициент вариации.

Произведите выбор более  точного значения средней скорости из вычисленных п. 1 и дайте обоснование. Сделайте выводы по результатам расчетов.

Ответить на вопросы:

1. Основы выборочного наблюдения.
2. Определение ошибки выборки.
3. Выборочная совокупность.
4. Понятие о рядах динамики и их виды.
5. Правила построения рядов динамики.
6. Выравнивание динамических рядов.
7. Построение полигона частот, гистограммы и круговой диаграммы.

Решение

1. а) Средняя скорость автомобилей, превысивших скорость на основе индивидуальных данных вычисляется как, сумма / количество: 5365/40=134.

Средняя скорость автомобилей, превысивших скорость на основе индивидуальных данных равен 135 км/ч.

б) Средняя скорость автомобилей, превысивших скорость на основе построенного интервального ряда распределения вычисляется следующим образом: для начала строим интервальный ряд. Итак, получим:

Интервалы	Количество	Средний показатель
от 100 до 117,5	9	107.8
от 117,5 до 135	10	128
от 135 до 152,5	12	140.1
от 152,5 до 170	9	159.3

 

на основе построенного интервального ряда вычисляем среднюю скорость по формуле средней арифметической взвешенной:

(9*107,8+10*128+12*140,1+9*159,3)/45=(970,2+1280+1681,2+1433,7)/45=5365,1/45=119,2

Средняя скорость автомобилей, превысивших скорость на основе построенного интервального ряда равна 119,2 км/ч.

Вывод: Средняя скорость автомобилей, превысивших скорость на основе индивидуальных данных равен 24 года, а средняя скорость автомобилей, превысивших скорость на основе построенного интервального ряда равна 119,2 км/ч.

2. Среднее квадратичное отклонение, квадратичное отклонение, квадратичное уклонение, σх величин x₁, x₂, ..., x_n от a называют квадратный корень из выражения

Наименьшее значение искомое уклонение имеет при a = x_ср, где x_ср - среднее арифметическое величин x₁, x₂, ..., x_n: .

а=(107.8 + 128 + 140.1 + 159.3)/4=32

Среднее квадратичное отклонение = Ö((107,8-32)2+(128-32)2+(140,1-32)2+(159,3-32)2)2/4=Ö(5745,64+9216+11685,61+16205,29)/4= 42852,54/4=

Ö10713,135=103,5

3. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

 

где δ – среднее  квадратическое отклонение;

      – средняя величина

V=103,5/128*100%=0,81%

Ответы на вопросы:

8. Основы выборочного наблюдения.

Выборочное наблюдение относится к разновидности несплошного наблюдения. Оно охватывает отобранную часть единиц генеральной совокупности. Цель выборочного наблюдения - по отобранной части единиц дать характеристику всей совокупности единиц. Чтобы отобранная часть была репрезентативна (т.е. представляла всю совокупность единиц), выборочное наблюдение должно быть специально организовано. Следовательно, в отличие от генеральной совокупности, представляющей всю совокупность исследуемых единиц, выборочная совокупность представляет ту часть единиц генеральной совокупности, которая является объектом непосредственного наблюдения.

По понятным причинам выборочный метод может широко использоваться органами государственной статистики. Он позволяет при значительной экономии средств и затрат получать необходимую достоверную информацию. Гарантия репрезентативности обеспечивается применением научно обоснованных способов отбора единиц, которые подлежат обследованию.

Следует сразу же иметь  в виду, что при сопоставлении  показателей по результатам выборочного  исследования с характеристиками для  всей генеральной совокупности могут  иметь место отклонения. Величина этих отклонений называется ошибкой  наблюдения, которая может быть или Ошибки регистрации ошибкой регистрации (несовершенство технических условий), или ошибкой репрезентативности (случайное или систематическое нарушение правил при отборе единиц).

9. Определение ошибки выборки.

При выборочном наблюдении регистрируется только часть единиц генеральной совокупности. Но эта часть по объему должна быть такова, чтобы получаемые сведения оказались репрезентативными, т.е. достаточно верно отражали содержание и закономерности изучаемого явления в целом. Под репрезентативностью понимается свойство выборочной совокупности воспроизводить характеристики генеральной совокупности. Разность между данными генеральной и выборочной совокупностей называют ошибкой репрезентативности, или ошибкой выборки

10. Выборочная совокупность.

Выборочная совокупность – это определенная совокупность единиц наблюдения, количество и качество которой не воспроизводит социальную структуру генеральной совокупности.

11. Понятие о рядах динамики и их виды.

Одной из важнейших задач  статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, т.е. их динамика. Эта задача решается с помощью анализа рядов динамики (или временных рядов). Ряд динамики (или динамический ряд) представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени.

В каждом ряду динамики имеются два  основных элемента: время t и конкретное значение показателя (уровень ряда) у. Уровни ряда - это показатели, числовые значения которых составляют динамический ряд. Время - это моменты или периоды, к которым относятся уровни.

Построение и анализ рядов динамики позволяют выявить и измерить закономерности развития общественных явлений во времени. Эти закономерности не проявляются четко на каждом конкретном уровне, а лишь в тенденции, в достаточно длительной динамике. На основную закономерность динамики накладываются другие, прежде всего случайные, иногда сезонные влияния. Выявление основной тенденции в изменении уровней, именуемой трендом, является одной из главных задач анализа рядов динамики.

12. Правила построения рядов динамики.

При построении динамических рядов необходимо соблюдать определенные правила: основным условием для получения  правильных выводов при анализе  рядов динамики и прогнозирования его уровней является сопоставимость уровней динамического ряда между собой.

Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу  охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета и др.

Сопоставимость по территории предполагает одни и те же границы  территории. Вопрос о том, является ли это требование непременным условием сопоставимости уровней динамического  ряда может решаться по-разному, в  зависимости от целей исследования. Так, при характеристике роста экономической мощи страны следует использовать данные в имеющихся границах территории, а при изучении темпов экономического развития следует брать данные по территории в одних и тех же границах. Объясняется это тем, что изменение границ влияет на численность населения, объем продукции.

Сопоставимость по кругу  охватываемых объектов означает сравнение  совокупностей с равным числом элементов.

При этом нужно иметь  в виду, что сопоставляемые показатели динамического ряда должны быть однородны по экономическому содержанию и границам объекта, который они характеризуют (однородность может быть обеспечена одинаковой полнотой охвата разных частей явления). Например, при характеристике динамики численности рабочих по годам нельзя в одни годы учитывать только численность рабочих, а в другие - численность рабочих от увеличения или уменьшения ОПФ. Несопоставимость может возникнуть вследствие перехода ряда объектов (например,  предприятий отрасли) из одного  подчинения  в другое.

Однако сопоставимость не нарушается, если в отрасли в  строй введены новые предприятия или отдельные предприятия или отдельные предприятия прекратили работу.

Сопоставимость по времени  регистрации для интервальное обеспечивается равенством периодов времени, за которые приводятся данные.

Для моментных рядов  динамики показатели следует при  водить на одну и ту же дату.

При проведении к сопоставимому  виду продукции, измеренной в стоимостных (ценностных) показателях, трудность  заключается в том, что, во-первых, с течением времени происходит непрерывное изменение цен, а во-вторых, существует несколько видов цен. Для характеристики изменения объема продукции должно быть устранено (элиминировано) влияние изменения цен. Поэтому на практике количество продукции, произведенной в разные периоды, оценивают в ценах одного и того же базисного периода, которые называют неизменными, или сопоставимыми ценами.

При определении уровней  динамического ряда необходимо использовать единую методологию их расчета.

Нередко статистические данные выражаются в различных единицах  измерения. С этим часто приходится сталкиваться при учете продукции в натуральном выражении.

Вполне очевидна несопоставимость денежных единиц разных стран, несопоставимость денежных единил внутри одной страны за разные периоды времени.

В ряде случаев несопоставимость может быть устранена путем обработки рядов динамики  приемом,  который  носит название смыкание рядов динамики. Этот прием позволяет пре одолеть несопоставимость данных,  возникающую  вследствие изменения во времени круга охватываемых объектов или методологии расчета показателей, и получить единый сравнимый ряд за весь период времени. Если, например, имеются два ряд показателей,  характеризующих динамику одного и того же явления в новых и старых границах по одному и тому же кругу объектов, то такие динамические ряды можно сомкнуть.

Таким образом, прежде чем  анализировать динамические ряды, следует  убедиться в сопоставимости их уровней  и, если сопоставимость отсутствует, добиться ее дополнительными расчетами, когда это возможно.

13. Выравнивание динамических рядов.

Более точным способом отображения  тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой в качестве основного фактора принимается время t, и изменения аргумента функции определяют расчетные значения уt.

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются уi. Расчетными (или теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости: линейная; параболическая; экспоненциальная).

1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.