Контрольная работа по "Статистике". 222

Задание 1. Построение статистических группировок по количественному признаку

 

Произведите группировку  совокупности коммерческих банков по  размеру уставного капитала и  величине прибыли. Охарактеризуйте  каждую группу, образованную по признаку размера уставного капитала, числом банков и средней прибылью, приходящейся на один банк. Установите наличие и направление связи между размерами уставного капитала и прибыли. Сформулируйте выводы.

 Исходные данные  приведены в следующей таблице:

 

Уставный  капитал и прибыли коммерческих банков

 

№ п/п	Уставный капитал, млн. руб.	Прибыль млн. руб.*	№ п/п	Уставный капитал, млн. руб.*	Прибыль млн. руб.
1	2,1	4,7	16	7,6	12,5
2	7,3	4,5	17	4,5	5,2
3	12,6	18,5	18	23,1	28,3
4	17,8	25,1	19	7,7	10,5
5	25,4	32,7	20	10,2	15,8
6	3,9	3,1	21	7,3	15,4
7	4,5	5,6	22	9,5	18,8
8	13,7	10,6	23	15,8	23,8
9	17,5	12,8	24	24,4	27,1
10	5,5	7,8	25	13,3	25,1
11	15,7	22,8	26	13,5	16,7
12	10,4	20,0	27	13,2	23,3
13	22,4	22,5	28	19,4	17,6
14	12,7	22,2	29	18,8	25,0
15	8,9	8,2	30	16,1	24,6

 

Ранжируем совокупность банков по размерам уставного капитала и прибыли. Ранжированный ряд банков по размеру уставного капитала следует дополнить сведения о величине  прибыли по каждому банку:

Таблица 1.1.

Ранжированный ряд банков по размеру уставного капитала

№ п/п	Уставный капитал, млн.руб.	Прибыль млн. руб.	№ п/п	Уставный капитал, млн.руб.	Прибыль млн. руб.
1	2,1	4,7	16	13,2	23,3
2	3,9	3,1	17	13,3	25,1
3	4,5	5,6	18	13,5	16,7
4	4,5	5,2	19	13,7	10,6
5	5,5	7,8	20	15,7	22,8
6	7,3	4,5	21	15,8	23,8
7	7,3	15,4	22	16,1	24,6
8	7,6	12,5	23	17,5	12,8
9	7,7	10,5	24	17,8	25,1
10	8,9	8,2	25	18,8	25
11	9,5	18,8	26	19,4	17,6
12	10,2	15,8	27	22,4	22,5
13	10,4	20	28	23,1	28,3
14	12,6	18,5	29	24,4	27,1
15	12,7	22,2	30	25,4	32,7

 

Ранжированный ряд банков по размеру прибыли млн. руб.

 

Прибыль млн. руб.*	3,1	4,5	4,7	5,2	5,6	7,8	8,2	10,5	10,6	12,5
	12,8	15,4	15,8	16,7	17,6	18,5	18,8	20	22,2	22,5
	22,8	23,3	23,8	24,6	25	25,1	25,1	27,1	28,3	32,7

 

Ранжированный ряд банков по каждому  из признаков представить графически в виде огивы Гальтона на рис.1 и 2 соответственно.

Так как вариация признака проявляется  в сравнительно узких границах и  распределение носит равномерный  характер, то строим группировку с  равными интервалами.

2.Сформировать группы банков  с равными интервалами по размерам  уставного капитала и прибыли.  Для этого необходимо сначала  рассчитать число групп, затем  по каждому из заданных признаков  вычислить величину интервала группировки.

Число групп n зависит от численности единиц совокупности 30 и определяется на основании номограммы Стерджесса:

 

Число единиц совокупности N	10-24	25-44	45-89	90-179	180-359	и  т. д.
Число групп п (п=1+3,3221gN)	5	6	7	8	9

 

 

Величина интервала i вычисляется по формуле:

i= i=

 

где  x ; x   - соответственно минимальное и максимальное значение исследуемого признака совокупности.

Результат расчета величины интервала  округлить в большую сторону до целого числа.

Представим обе группировки в табличной форме (табл. 1.2, 1.3)

Таблица 1.2

Группировка банков по размеру  уставного капитала

Группы банков по размеру  уставного капитала, млн. руб.	Число банков
2-6	5
6-10	6
10-14	8
14-18	5
18-22	2
22-26	4
Итого	30

Таблица 1.3

Группировка банков по размеру  прибыли

 

Группы банков по размеру  прибыли млн. руб.	Число банков	Накопленные частоты
3-8	6	6
8-13	5	11
13-18	4	15
18-23	6	21
23-28	7	28
28-33	2	30
Итого	30

 

Определить разновидность выполненных группировок (типологическая, структурная, аналитическая).

Структурной называется группировка, которая предназначена для изучения состава однородной совокупности по какому-либо варьирующему признаку. Анализируются такие группировки по изменению частот и частостей для дискретных или равноинтервальных группировок; по изменению абсолютных или относительных плотностей распределения для равноинтервальных группировок.

3.Окончательный вид группировки  банков по размеру уставного  капитала представить в нижеследующей таблице:

Таблица 1.4

Группировка банков по размеру  уставного капитала и средняя 

величина прибыли на один банк

Группы банков по размеру уставного  капитала, млн. руб.	Число банков	Суммарная прибыль, млн. руб.	Средняя прибыль млн. руб. (гр.3; гр.2)
1	2	3	4
2-6	5	26,4	5,28
6-10	6	69,9	11,65
10-14	8	152,2	19,025
14-18	5	109,1	21,82
18-22	2	42,6	21,3
22-26	4	110,6	27,65
ИТОГО	30	510,8	17,027

 

Определить разновидность группировки, представленной в табл. 1.4. Сделать  выводы о наличии и направлении связи между размером уставного капитала и величиной прибыли банков.

Группировка, выявляющаяся взаимосвязи  и их признаки, называется аналитической  группировкой. Анализируя табл. 1.4, можно  сказать, что существует связь между  размером уставного капитала и величиной прибыли: чем больше размер уставного капитала, тем выше величина прибыли.

 

 

Задание 2. Расчет средних величин показателей вариации и эмпирического корреляционного отношения

 

Вычислите среднюю величину, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое  отклонение и коэффициент вариации прибыли банков по сгруппированным данным. Рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение и оцените тесноту связи между размером уставного капитала и величиной прибыли банков.

Сформулируйте выводы.

В качестве исходного данного материала используйте данные табл. 1.3.

1. Рассчитать среднюю арифметическую величину прибыли способом моментов:

где    - средняя арифметическая;

         y – середина (средние значения) интервалов;

         А   - середина интервала, соответствующего  наибольшей частоте;

            ƒ   - частоты (число банков в каждой группе);

           i   -  величина интервала.

В случае, когда данные сгруппированы по интервалам, т.е. представлены в виде интервальных рядов распределения, при расчете средней арифметической в качестве значения признака принимают середину интервала. Предполагаем, что в пределах интервала значения признаков располагаются равномерно, поэтому середина интервала будет величиной, характеризующей весь интервал, то есть наиболее типичным для него значением.

 

2. Вычислите моду и медиану по следующей методике:

M =y +i

где М_о – мода;

y – нижняя граница модального интервала;

i -   величина модального интервала;

 ƒ -   частота модального интервала;

ƒ -   частота интервала, расположенного перед модальным;

ƒ -  частота интервала, следующего за модальным.

Me=y +i

 

где Me – медиана;

        y   -  нижняя граница медианного интервала;

        i -  величина медианного интервала;

        S - накопленная частота интервала, расположенного перед медианном;

        ƒ     - частота медианного интервала.

Сравнить расчетное значение медианы  с серединой ранжированного ряда совокупности банков по величине прибыли. Средняя арифметическая прибыли двух банков, находящихся в середине ряда равна

.

В изучаемой совокупности половина банков имеет прибыль ниже 18 млн. руб.

 

Выполнить расчеты дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации прибыли по методике, приведенной в табл. . 2.1:

Таблица 2.1.

Показатели вариации

Показатели	Метод расчета
1. Дисперсия (σ²)
2. Среднее квадратическое  отклонение (σ)
3. Коэффициент вариации (v)

 

Для получения результатов при  выполнении задания  рекомендуется использовать табл. 2.2:

Таблица 2.2

Расчет средней арифметической, моды, медианы и дисперсии прибыли

Группы банков по размеру прибыли, млн. руб.	Число банков   ƒ¡	Середина интервала, млн. руб. Уi				Накопленные частоты Si
3-8	6	5,5	-4	-24	96	6
8-13	5	10,5	-3	-15	45	11
13-18	4	15,5	-2	-8	16	15
18-23	6	20,5	-1	-6	6	21
23-28	7	25,5	0	0	0	28
28-33	2	30,5	1	2	2	30
Итого	30				165

.

.

.

Оценить однородность совокупности банков по размеру прибыли. Совокупность считается однородной, если v не превышает 33%. Так как , то совокупность банков по размеру прибыли не является однородной. Средний размер прибыли в совокупности баков составляет 17 млн. руб., а среднее отклонение от данного уровня – 8,077 млн. руб. Поэтому можно констатировать достаточно высокую разницу между уровнем прибыли отдельных банков.

4. Вычислить эмпирическое корреляционное  отношение ή   :

 

ή =

 

где σ² - межгрупповая дисперсия прибыли;

       σ_о² - общая дисперсия прибыли (см. значение из п.3).

Межгрупповая дисперсия прибыли  вычисляется по формуле:

 

σ^{2 =}

 

где  n_i - число банков в группах по размеру уставного капитала;

        - групповые средние величины прибыли;

        - общая средняя величина прибыли (см. значение из п. 1)

Расчет σ² оформить в табл. 2.3 (первые три графы табл. 2.3 заполняются на основе табл.1.4):

Таблица 2.3.

 

Расчет межгрупповой дисперсии прибыли

Группы банков по размеру уставного  капитала, млн. руб.	Число банков ni	Средняя прибыль млн. руб.
2-6	5	5,28	-11,747	137,99201	689,96
6-10	6	11,65	-5,377	28,912129	173,473
10-14	8	19,025	1,998	3,992004	31,936
14-18	5	21,82	4,793	22,972849	114,864
18-22	2	21,3	4,273	18,258529	36,5171
22-26	4	27,65	10,623	112,84813	451,393
ИТОГО	30	17,027			1498,14

 

σ^{2 =}

ή =

 

Произведя расчет эмпирического корреляционного  отношения, оцените тесноту связи  между размерами уставного капитала и прибыли банков по шкале Чеддока:

 

ή	0.1-0.3	0.3-0.5	0.5-0.7	0.7-0.9	0.9-0.99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	Весьма высокая

Таким образом, связи между размерами уставного капитала и прибыли банков высокая.

 

Задание 3. Анализ факторных связей методами регрессии и корреляции

 

Проанализируйте взаимосвязь между размерами уставного  капитала и прибыли по группе банков методами регрессии и корреляции. Сформулируйте выводы.

В качестве исходного материала  используйте данные к зданию 1 (первые по порядку 10 банков).

 

№ п/п	Уставный капитал, млн. руб.	Прибыль млн. руб.*
1	2,1	4,7
2	3,9	3,1
3	4,5	5,6
4	5,5	7,8
5	7,3	4,5
6	12,6	18,5
7	13,7	10,6
8	17,5	12,8
9	17,8	25,1
10	25,4	32,7

 

Методические рекомендации

 

После ознакомления с темой «Статистический  анализ взаимосвязей социально-экономических  явлений» для выполнения задания студенту предлагается:

 

1. Представить график зависимости  прибыли банков от размера  уставного капитала на рис. 3 для  уточнения формы связи между  признаками. Точки, соответствующие  значения уставного капитала х и прибыли у, соединить отрезками прямой линии. Образованную на рисунке ломаную регрессии обозначить символом у. Используя графический метод, обосновать наличие прямолинейной зависимости между размером уставного капитала и прибылью банков. Если эмпирическая линия по своему виду приближается к прямой линии, это свидетельствует о наличии прямолинейной корреляционной связи между признаками. В нашем примере можно предположить, что имеется прямая, прямолинейная корреляционная зависимость между размером уставного капитала и объемом прибыли.

 

 

 

 

2. Записать уравнение линейной  регрессии, выражающее выражающие взаимосвязь между размерами уставного капитала и прибыли банков, в следующем виде:

 = α_{о +} α₁ х=1,1877х-0,561

Рассчитать параметры уравнения регрессии по методу наименьших квадратов, используя следующую систему нормальных уравнений:

где    - теоретические значения прибыли;

         α_{о ,} α₁   - параметры уравнения регрессии;

          n – число единиц наблюдения (банков).

 

Решение указанной  системы уравнений дает следующие  формулы для нахождения параметров:

a =

a =

Рассчитать  коэффициент эластичности Э:

Э = a

.

Интерпретировать значения параметра  регрессии a₁  и. Параметр регрессии a₁ =1,1877 показывает, что при увеличении уставного капитала банка на 1 млн. руб., среднее значение прибыли банка вырастет на 1,1877 млн. руб. Коэффициента эластичности э=1,044, показывает на сколько процентов в среднем по совокупности изменится среднее значение прибыли банка у при изменении уставного капитала банка на 1% от своего среднего значения.

3. Вычислить теоретические значения параметра прибыли   по группе банков, последовательно подставляя исходные значения размеров уставного капитала  х  в уравнение регрессии с вычисленными параметрами. При правильно выполненных расчетах сумма теоретических значений прибыли ,совпадает с суммой ее фактических значений . Теоретические значения прибыли предоставить графически в виде прямой линии, обозначенной на рис. 3 символом   .

 

 

4. Рассчитать коэффициент корреляции  r  :

r=

 

Сделать вывод о направлении  и силе связи между размерами  уставного капитала и прибыли  банков. Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о наличии сильной прямой статистической связи между величиной уставного капитала банка и размером прибыли.

 

5. Вычислите теоретическое корреляционное  отношение R, предварительно рассчитав факторную σ²    и общую σ²_о дисперсии прибыли:

R=

Совпадение  значений r и R должно подтвердить наличие линейной зависимости между признаками и правильность выполненных расчетов.

Результат получить на основе расчетной  табл. 3.1:

Таблица 3.1

 

Распределение группы банков по размерам уставного капитала и  прибыли

Исходные данные			Расчет параметров уравнения регрессии			Расчет показателей тесноты связей
№ банка	Уставный капитал, млн. руб., х	Прибыль млн. руб.  у	х2	ху	Теор. значения прибыли млн. руб.	у2
	2,1	4,7	4,41	9,87	1,93	22,09	-10,61	112,51
	3,9	3,1	15,21	12,09	4,07	9,61	-8,47	71,72
	4,5	5,6	20,25	25,20	4,78	31,36	-7,76	60,16
	5,5	7,8	30,25	42,90	5,97	60,84	-6,57	43,14
	7,3	4,5	53,29	32,85	8,11	20,25	-4,43	19,63
	12,6	18,5	158,76	233,10	14,40	342,25	1,86	3,48
	13,7	10,6	187,69	145,22	15,71	112,36	3,17	10,06
	17,5	12,8	306,25	224,00	20,22	163,84	7,68	59,06
	17,8	25,1	316,84	446,78	20,58	630,01	8,04	64,66
	25,4	32,7	645,16	830,58	29,61	1069,29	17,07	291,33
Итого	110,3	125,4	1738,11	2002,59	125,40	2461,90		735,74

 

 

 

 

 

Задание 4. Анализ обработки ряда динамики

 

Вычислите цепные, базисные и средние  показатели ряда динамики затрат предприятия  на 1 руб. произведенной продукции. Произведите  обработку ряда динамики способами скользящей средней  и аналитического выравнивания. Рассчитайте ожидаемые уровни затрат на 1руб. произведенной продукции на предстоящие два года. Сформулируйте выводы.

Исходные данные приведены в  следующей таблице:

 

Динамика затрат на 1 руб. продукции, произведенной предприятием

Год (номер по порядку)	Затраты на 1 руб. продукции, руб.
1	0.86
2	0.81
3	0.71
4	0.75
5	0.68
6	0.70
7	0.67

Методические рекомендации

 

После ознакомления с темой «Статистический анализ динамики социально-экономических явлений» для выполнения задания студенту предлагается:

Рассчитать ценные и базисные показатели абсолютного прироста, темпов роста  и прироста, абсолютного значения 1% прироста затрат на 1 руб. произведенной продукции, используя методику, приведенную в табл. 4.1:

Таблица 4.1

Показатели динамики

Показатели	Метод расчета
	Ценной (с переменной базой)	Базисный (с постоянной базой)
Абсолютный прирост (∆у)
Темп роста (Тр)	Тр =	Тр =
Темп прироста (  Тпр  )	Тпр = Тпр =Тр	Тпр = Тпр =Тр
Абсолютное значение 1 % прироста (  α )	=