Оглавление 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 1

      Имеются данные о росте объема реализации товара «К»:

      Требуется:

      1. Провести анализ ряда динамики и обосновать выбор уравнения тренда.

      2. Найти параметры уравнения тренда.

      3. Оценить качество уравнения тренда с помощью коэффициента автокорреляции в остатках и критерия Дарбина-Уотсона. 

      Решение:

      1. Провести анализ ряда динамики и обосновать выбор уравнения тренда

     Линейное  уравнение не подходит, т.к. абсолютные приросты первого порядка по ряду динамики не стабильны. По данному ряду фактически стабильными являются коэффициенты опережения и тренд может быть выражен параболой второй степени:  

       2. Найти параметры уравнения тренда

      Упрощенный  метод параметров параболы второй степени:

Система нормальных уравнений в этом случае упрощается, так как  
 
 

      Исходя из итоговой строки таблицы, система нормальных уравнений составит:

       Из этой системы  сразу определим параметр b. 
 

      Его величина соответствует в данном случае (при  ) среднему абсолютному приросту уровней динамического ряда:

      Чтобы определить параметры a и c, решаем систему уравнений:

      Откуда  a = 6,2 и c = 4,7.

      Уравнение тренда составит:   . 

      3. Оценить качество уравнения тренда с помощью коэффициента автокорреляции в остатках и критерия Дарбина-Уотсона

      Для определения автокорреляции в остатках используют критерий Дарбина -Уотсона и расчет величины:

      Коэффициент автокорреляции остатков определяется по формуле:

= -26,91 / 392,24 = - 0,07; 

D – W = 2(1 – r_ε) = 2 (1 – (- 0,07)) = 2,14. 

      Величина  критерия Дарбина-Уотса составляет 2,14, автокорреляция в остатках  отсутствует (-0,07).

Задача 2

      Имеется динамический ряд затрат на производство за 12 месяцев года. Получены следующие результаты анализа: 

      Требуется:

      1. Выбрать наилучшее уравнение авторегрессии, обосновав свой выбор.

      2. Дать прогноз на январь следующего года, если затраты составляли в июле – 4,1, в августе – 4,2, сентябре – 4,0, октябре – 4,4, ноябре – 4,4, декабре – 4,5 млн. руб.

      3. Определите среднемесячный коэффициент роста затрат за июль – декабрь (двумя способами). 

      Решение: 

      1.  Так как значение всех коэффициентов автокорреляции достаточно высокое ряд содержит тенденцию. Поскольку наибольшее абсолютное значение имеет коэффициент автокорреляции второго порядка r₂, ряд содержит периодические колебания, цикл этих колебаний равен 2, наиболее целесообразно выбрать второе уравнение авторегрессии: Y_t = 0,7 + 0,3Y_t-1 + 0,6Y_t-2. Значение r₂ = 0,802 свидетельствует о наличии тесной связи между уровнями ряда с лагом в 2 месяца. 

      2. Дадим прогноз на январь следующего года по уравнению авторегрессии:    Y_t = 0,7 + 0,3Y_t-1 + 0,6Y_t-2,

      где  Y_t-1 = 4,5 млн. руб. (декабрь);

            Y_t-2 = 4,4 млн. руб. (ноябрь).

        Y_январь = 0,7 + 0,3 ∙ 4,5 + 0,6 ∙ 4,4 = 4,69 млн. руб. составят затраты в январе будущего года. 

      3. Среднемесячный коэффициент роста затрат за июль – декабрь будет равен:

      1способ :

, где  к₁, к₂, ..., к_n – цепные коэффициенты роста.

      к₁ = 4,2 / 4,1 = 1,02;

      к₂ = 4,0 / 4,2 = 0,95;

      к₃ = 4,4 / 4,0 = 1,1;

      к₄ = 4,4 / 4,4 = 1,0;

      к₅ = 4,5 / 4,4 = 1,02;

      к₆ = 4,69 / 4,5 = 1,04.

– в среднем за рассматриваемый период затраты растут на 2,11%  в месяц.

      2 способ :

      ,  где  y₁ – начальный уровень динамического ряда,

      y_n– конечный уровень динамического ряда.

– в  среднем затраты растут на 1,88% в месяц.

Задача 3

      Потребление молока на душу населения составило (литр):

      Требуется:

      1. Методом скользящих средних выявить тенденцию динамического ряда.

      2. В предположении мультипликативной модели определить значение сезонной компоненты для каждого квартала.

      3. Дать графическое изображение сезонной волны.

      4. Охарактеризовать тенденцию ряда при элиминировании сезонных колебаний, рассчитав линейное уравнение тренда.

      5. Дать прогноз на I и II кварталы 2004 г. 
 

      Решение: 

      1.Методом скользящих средних выявить тенденцию динамического ряда: 

      2. Определим значение сезонной компоненты для каждого квартала:

      Рассчитаем  поправочный коэффициент:

К_{поправки} = 4 / ∑ = 4 / (0,755 + 1,175 + 1,299 + 0,733) = 4 / 3,962 = 1,0096.

Найдем  скорректированные значения коэффициентов  сезонности ( ):

     3. Графическое изображение сезонной волны:

      4. Исключим влияние сезонной составляющей, используя скорректированные значения коэффициентов сезонности.

      Проведем  выравнивание значений U_t по уравнению линейного тренда:

U_t = a + b ∙ t.

      Число уровней ряда – четное, значит, периоды времени (t) нумеруются до середины: -1, -3, -5,..., периоды времени от середины нумеруются: 1,3,5,....

      Система нормальных уравнений:

      Рассчитаем  параметры уравнения a и b по формулам:

       ;  .

       .

      U_t = 7,936 + 0,096 ∙ t.

      Следовательно, за квартал объем потребления  молока в среднем увеличился на 0,096 литра, а средний за период с 2001 по 2003 гг. объем потребления молока составил 7,936 литра за квартал. 

      5. Составим прогноз по мультипликативной модели на I и II кварталы 2004 года:

      U_t = (7,936 + 0,096t) ∙

На I квартал при t = 13:

(7,936 + 0,096 ∙ 13) ∙ 0,762 = 7,004 литра.

     Потребление молока в I квартале 2004 года составит 7,004 литра.

На II квартал при t = 15:

(7,936 + 0,096 ∙ 15) ∙ 1,186 = 11,133 литра.

     Потребление молока во II квартале 2004 года составит 11,133 литра.

Задача 4

      По  данным о реализации и затратах на нее за 1985-2003 гг. уравнение связи  составило:

      1)   y = 15,6 + 2,6х – 8,6t R² = 0,86  D–W = 0,8;

      2) ∆y = 1,5 + 1,2∆х  R² = 0,72  D–W = 2,1;

      3) d_y = 2d_x    R² = 0,81  D–W = 1,6;

      ∆х , ∆y – первые разности;

      d_y , d_x – отклонения от трендов. 

      Выберите  наилучшее уравнение регрессии  для прогноза затрат. Дайте прогноз  на 2004 г., считая, что объем реализации продукции в 2004 г. увеличился на 10% по отношению к 2003 году, когда он составил 320 тыс. единиц, а затраты 2003 г, составили 25000 тыс. руб.  

Решение:

      Так как наибольший множественный коэффициент  детерминации (R²) у первого уравнения со включенным фактором времени (t), то оно и является наилучшим уравнением тренда при прогнозировании.

      По  величине критерия D–W определяем коэффициент автокорреляции в остатках ( ): чем больше данный коэффициент, тем больше модель пригодна для прогноза.

       Коэффициент автокорреляции в остатках имеет наибольшее значение (0,6)  при D–W (0,8) .

      Фактическое значение D-W сравниваем с табличным значением при 5%-ном уровне значимости. При n = 19 (число лет: 2003-1985) и m = 2 (число факторов) нижнее значение D-W = 1,08, а верхнее = 1,53.

      Так как фактическое значение D-W (0,8) меньше нижней границы (1,08), то принимается гипотеза о существовании положительной автокорреляции в остатках.

      Прогноз на 2004 год:

      Используя уравнение y = 15,6 + 2,6х – 8,6t

      при t = 20 лет и х = (х_p – x_n) Þ

• y₂₀₀₄ = 25000 + 15,6 + 2,6 (320 ∙ 1,1 – 320) – 8,6 ∙ 20 = 24926,8 тыс. руб.

      Затраты на 2004 год составят 24926,8 тыс. рублей.