Контрольная работа по статистике. 24

    Задание 1.

     На  основании исходных данных, выданных преподавателем, необходимо:

    1. Построить интервальный ряд распределения, определив величину интервала с помощью формулы Стерджесса.
    2. Определить показатели центра распределения.
    3. Вычислить показатели вариации.
    4. Рассчитать показатели формы распределения.
    5. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона (или Романовского)

     Задание 2.

     Считая  первые 4 значения первой строки исходных данных уровнями интервального временного ряда, определить показатели динамики. При расчете базисных показателей в качестве базы сравнения принять первый уровень ряда.

     Задание 3.

     Считая  исходные данные 10%-ой простой случайной  бесповторной выборкой определить:

    1. Пределы, в которых будет находиться генеральное среднее значение признака для всей совокупности с доверительной вероятностью 0.954.  
    2. Пределы в которых будет находиться генеральная доля единиц совокупности, обладающих значением признака большим или равным нижней границе 5-го интервала, с доверительной вероятностью 0.997.
    3. Объем выборки, обеспечивающий получение среднего значения признака с предельной ошибкой не превышающей (σ/5), и вероятностью 0.954.
 

Вариант № 38

48 53 20 19 24 23 36 21 32 34
29 16 41 35 47 30 49 33 16 36
22 32 13 35 24 32 29 20 49 18
46 43 15 28 25 41 36 10 42 31
42 23 40 19 40 16 23 22 20 47
 

     Задание 1.

  1. Построение интервального вариационного ряда распределения

      Ряд распределения представляет собой  таблицу, которая состоит из двух основных колонок. В первой указываются значения, которые принимает признак в изучаемой совокупности, а во второй – количество, того или иного значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке в виде интервалов «от - до». 
 

     Для построения интервального ряда вначале  определяем размер интервала:

    ,

    где xmax – максимальное значение признака в совокупности =53

    xmin - минимальное значение признака в совокупности =10

    m – число интервалов =50

    Количество  интервалов определим с помощью  формулы Стерджесса:

    ,

где n – объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

      Количество  интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Тогда размер интервала будет равен:

Для удобства дальнейших вычислений примем  m=7.

      Определяем  границы интервалов. Нижняя граница  первого интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем случае равна 10. Верхняя граница первого интервала равна нижней границе плюс размер интервала, т.е. 10+7=17. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, т.е. 17. Верхняя граница второго интервала равна нижней границе второго интервала плюс размер интервала, т.е. 10+7=17 и т.д. В итоге получаем границы для семи интервалов. Заносим границы интервалов в таблицу (табл. 1, колонка 2).

      Далее подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в  тот или иной интервал и заносим это число в колонку «Частота». Если значение попадает на границу между k-ым и (k+1)-ым интервалами, то его относят в (k+1)-ый интервал. Сумма всех частот обязательно должна совпадать с объемом совокупности (в нашем случае со значением 50).

      Вычисляем частости, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности:

           ;

;   ;

;    ;

 ;     ;  
 
 

Таблица 1.

Интервальный  ряд распределения

№

Инт.

 Значение признака (х)

от - до

 Частота

(f)

 Частость

(w), %

 Накопленная

частота

(S)

 Плотность

распределения

(ρ)

1 10 – 17 6 12 6 0.857
2 17 – 24 12 24 18 1.714
3 24 – 31 7 14 25 1
4 31 – 38 11 22 36 1.571
5 38 – 45 7 14 43 1
6 45 – 52 6 12 49 0.857
7 52 – 59 1 2 50 0.143
итого: 50 100 - -

        

     Накопленная частота вычисляется по формуле:

 

; ;  ; ; ; ;

      Последнее значение накопленной частоты должно быть равно объему совокупности.

      Плотность распределения показывает сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

     ; 

  ;

 ;         ;

       Строим графические  изображения ряда распределения.

      Рис. 1. Структурная диаграмма 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.2. Полигон  распределения

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 2.Гистограмма  распределения

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 4. Кумулятивная кривая 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1. Определение показателей центра распределения
 

      К показателям центра распределения  относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

       

      Средняя арифметическая

где xi –середина i-го интервала.

 

      Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с  максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 31 до 38 (4-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала = 31

     - размер  модального интервала = 7

     - частота  модального интервала = 11

     - частота  интервала, предществующего модальному =7

     - частота  интервала, следующего за модальным = 7 

      Для нахождения медианы по интервальному ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота равна 25 – это интервал от 24до 31 (в нем накопленная частота равна 25), поэтому этот интервал является медианным.

      Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала = 24

     - размер  медианного интервала =7

     - частота  медианного интервала = 7

     - накопленная  частота интервала, предществующего медианному =18 

       

  1. Определение показателей вариации
 

     Для характеристики изменчивости отдельных  значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации.   

     Абсолютные  показатели вариации:

    Размах

    Среднее линейное отклонение

 

    Дисперсия

     

    Среднее квадратическое отклонение

 

      Относительные показатели вариации:

      Коэффициент осцилляции

 

      Относительное линейное отклонение

 

      Коэффициент вариации

 

  1. Определение показателей формы распределения
 

      Показатель  асимметрии

 

      Если  As < 0, то асимметрия левосторонняя.

      Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

       

      Показатель  эксцесса (островершинности)

,

где μ4 – центральный момент 4-го порядка

      Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное. 

  1. Проверка  соответствия эмпирического  распределения нормальному  закону
 

      Теоретические частоты для нормального распределения  вычисляются по формуле

 

                                                         Таблица 2

Вычисление  теоретических частот

    №

    Инт.

    		 Середина

    интервала
    1 13.5 - 1.178 0.307 3.4
    2 20.5 - 0.450 0.637 7
    3 27.5 - 0.07 0.932 10.3
    4 34.5 - 0.025 0.975 10.7
    5 41.5 - 0.328 0.720 7.9
    6 48.5 - 0.974 0.377 4.1
    7 55.5 - 1.964 0.140 1.5
 

      По  результатам вычислений строим график (рис. 5). 
 

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое распределения 

      Для проверки соответствия эмпирического  и теоретического

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

      Применение  критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

      1)  число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

      2) теоретические частоты в интервалах должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов –последнего и предпоследнего. Таким образом из 7 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 6.

                                                         Таблица 3

Расчет  критерия Пирсона

          №

          Инт.

          		 fi
          1 6 3.4 1.988
          2 12 7 0.714
          3 7 10.3 1.057
          4 11 10.7 0.008
          5 7 7.9 1
          6 6

          1

          		 7 4.1

          1.5

          		 5.5 0.409
          7
          χ2= 4.176
 

      Применение критерия согласия Пирсона требует использования специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m*-l-1 – число степеней свободы;

      m* - число интервалов после объединения (в нашем случае m* =6);

    l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

    γ=6-2-1=3;

 

        Задание 2.

      Ряд динамики (временной ряд) – значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй – значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

      Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4. 

                                                         Таблица 4

Временной ряд

Период  времени, t 1 2 3 4
Показатель, y 48 53 20 19

       

      Для анализа временных рядов используются специальные показатели, которые называются показателями динамики. Существует два способа расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики yi сравнивается с базисным уровнем y0. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 11). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда yi сравнивается с предыдущим yi-1.

      1. Абсолютные приросты

      а) базисные

;

;

;

      б) цепные

;

;

. 

      2. Коэффициенты роста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные

;

;

.

      3. Темпы роста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные 

;

;

. 

      4. Темпы прироста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные

;

;

.

      5. Абсолютное значение одного процента прироста

;

;

;

. 

      6. Средний уровень интервального ряда динамики, состоящего из абсолютных величин, определяется по формуле средней арифметической

,

где k – число уровней ряда динамики. 

      7. Средний абсолютный  прирост

. 

      8. Средний коэффициент  роста

.

      9. Средний темп роста

. 

      10. Средний темп прироста 

. 

     Задание 3.

      1. Определение пределов, в которых находится  генеральная средняя  

      Генеральная средняя находится в интервале  от ( ) до ( ). Где - выборочная средняя (берется из первого задания, в нашем случае =31.83), - предельная ошибка средней:

      

,

где n – объем выборки (в нашем случае n=50 – из первого задания);

    - выборочная дисперсия (в нашем  случае  =142.6 – из первого задания);

   N – объем генеральной совокупности.   По условию задания , откуда и N=500;

      t – коэффициент доверия, он определяется по специальной таблице в зависимости от доверительной вероятности: 
 

              Доверительная

              вероятность

        		 t
        0.954 2
        0.997 3
 

.

      Таким образом, генеральная средняя с  доверительной вероятностью 0.954 находится  в интервале:

от (31.83-3.204) до (31.83+3.204)

или

от 28.62 до 35.03. 

      2. Определение пределов, в которых находится генеральная доля

      Нижняя граница 5-го интервала равна 45 (см. 1-ое задание). Доля единиц выборочной совокупности, имеющих значение признака равное или большее 45 равна:

. 

      Генеральная доля находится в интервале от ( ) до ( ). Где - предельная ошибка доли:

Контрольная работа по статистике. 24 📙 Контрольная → 🆔 68796

Контрольная работа по статистике. 24 📙 Контрольная → 🆔 68796