Контрольная работа по "Теории статистике"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1.

ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

 

ТЕМА №3. ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ¹

 

Задание.

1. В таблице №1 «Макроэкономические показатели европейских стран» найдите данные (графу), соответствующие вашему варианту (последняя цифра зачетной книжки). По данным таблицы №1 построить структурную (вариационную) группировку. Количество групп взять равным 6.
2. По этим же данным построить графики распределения (кумуляту и гистограмму).

В таблице №1 представлена совокупность из 32 европейских стран (по горизонтали).

Варианты соответствуют следующим макроэкономическим показателям (по вертикали):

ВВП на душу населения (евро).

Таблица №1. «Макроэкономические показатели европейских стран»

Страна	Вариант
	7
Бельгия	31500
Болгария	3800
Чехия	12300
Дания	41500
Германия	29500
Эстония	11400
Ирландия	43700
Греция	20400
Испания	23400
Франция	29800
Италия	25900
Кипр	20000
Латвия	8800
Литва	8400
Люксембург	75600
Венгрия	10100
Нидерланды	34600
Австрия	32600
Польша	8100
Португалия	15400
Румыния	5800
Словения	17100
Словакия	10200
Финляндия	34000
Швеция	36200
Великобрит.	33700
Хорватия	8600
Македония	2700
Турция	6500
Исландия	46900
Норвегия	60400
Швейцария	42075

 

Решение:

Ширина интервала составит:

 

 

Xmax - максимальное значение  группировочного признака в совокупности.

Xmin - минимальное значение  группировочного признака.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	2700	14850
2	14850	27000
3	27000	39150
4	39150	51300
5	51300	63450
6	63450	75600

 

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или  иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

 

2700	2700 - 14850	1
3800	2700 - 14850	2
5800	2700 - 14850	3
6500	2700 - 14850	4
8100	2700 - 14850	5
8400	2700 - 14850	6
8600	2700 - 14850	7
8800	2700 - 14850	8
10100	2700 - 14850	9
10200	2700 - 14850	10
11400	2700 - 14850	11
12300	2700 - 14850	12
15400	14850 - 27000	1
17100	14850 - 27000	2
20000	14850 - 27000	3
20400	14850 - 27000	4
23400	14850 - 27000	5
25900	14850 - 27000	6
29500	27000 - 39150	1
29800	27000 - 39150	2
31500	27000 - 39150	3
32600	27000 - 39150	4
33700	27000 - 39150	5
34000	27000 - 39150	6
34600	27000 - 39150	7
36200	27000 - 39150	8
41500	39150 - 51300	1
42075	39150 - 51300	2
43700	39150 - 51300	3
46900	39150 - 51300	4
60400	51300 - 63450	1
75600	63450 - 75600	1

Результаты группировки  оформим в виде таблицы:

 

Группы	№ совокупности	Частота fi	Частность	То же накопленным итогом
2700 - 14850	1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12	12	37,50%	37,50%
14850 - 27000	13,14,15,16,17,18	6	18,75%	56,25%
27000 - 39150	19,20,21,22,23,24,25,26	8	25,00%	81,25%
39150 - 51300	27,28,29,30	4	12,50%	93,75%
51300 - 63450	31	1	3,13%	96,88%
63450 - 75600	32	1	3,13%	100,00%

 

 

Рис.1. Гистограмма ВВП на душу населения (евро)

Рис.2. Кумулята ВВП на душу населения. (евро)

 

 

ТЕМА №4. ОБОБЩАЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОВОКУПНОСТИ

Задание.

1. По равноинтервальной группировке (результат выполнения задания темы №3) рассчитайте среднее арифметическое, медиану и моду

Таблица для расчета  показателей.

 

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	(x - xср) * f	(x - xср)2 * f	Частота, fi/n
2700 - 14850	8775	12	105300	12	195918.75	3198679716.8	0.38
14850 - 27000	20925	6	125550	18	25059.38	104662045.9	0.19
27000 - 39150	33075	8	264600	26	63787.5	508605644.53	0.25
39150 - 51300	45225	4	180900	30	80493.75	1619810947.27	0.13
51300 - 63450	57375	1	57375	31	32273.44	1041574768.07	0.0313
63450 - 75600	69525	1	69525	32	44423.44	1973441799.32	0.0313
		32	803250		441956.25	8446774921.88	1

 

Средняя взвешенная

 

 

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся  значение признака у единиц данной совокупности.

 

где x₀ – начало модального интервала; h – величина интервала; f₂ –частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ – предмодальная частота; f₃ – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 2700, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

 

Наиболее часто встречающееся  значение ряда – 10800

Медиана

В интервальном ряду распределения  сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует  варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

Находим середину ранжированного ряда: h = (n+1)/2 = (32+1)/2 = 17.

Медианным является интервал 2700 - 14850, т.к. в этом интервале накопленная  частота S, больше медианного номера.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

 

 

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 22950

2. По этим же данным измерьте вариацию при помощи показателей размаха вариации, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным  значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 75600 - 2700 = 72900

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

 

 

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 25101.56 не более, чем  на 16246.9

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

 

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

 

 

 

 

ТЕМА №5. ВЫБОРОЧНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ.

Задание.

По данным таблицы  №1 «Макроэкономические показатели европейских стран», соответствующим вашему варианту с вероятностью 0,95 определите доверительный интервал для генеральной средней, считая эти данные собственно-случайной повторной выборкой.

Доверительный интервал для  генерального среднего.

 

Поскольку n>30, то определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = 1 - γ

Ф(t_kp) = (1 - γ)/2 = 0.95/2 = 0.475

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.475

t_kp(γ) = (0.475) = 1.96

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

 

 

Оценка среднеквадратического  отклонения.

 

 

(25101.56 - 5719.34;25101.56 + 5719.34) = (19382.22;30820.9)

С вероятностью 0.95 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Как изменится доверительный  интервал, если вероятность увеличится до 0,99? Сделайте необходимый расчет.

В этом случае 2Ф(tkp) = 1 - γ

Ф(tkp) = (1 - γ)/2 = 0.99/2 = 0.495

По таблице функции  Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0.495

tkp(γ) = (0.495) = 2.58

 

(25101.56 - 7528.52;25101.56 + 7528.52) = (17573.04;32630.08)

С вероятностью 0.99 можно  утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Какую по объему выборку  надо иметь, чтобы погрешность (ошибку) в доверительном интервале можно  было бы уменьшить в 2 раза относительно её первоначального значения (вероятность 0,95).

 

 

  

 

 

ТЕМА № 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СВЯЗИ²

Задание.

1. Из таблицы №1 «Макроэкономические показатели европейских стран» выберите две графы (признаки) данных, соответствующих вашему варианту (см. таблицу №2).
2. Построить аналитическую группировку.
3. Построить парное линейное уравнение связи между признаками.
4. Оценить тесноту связи с помощью эмпирического корреляционного отношения и коэффициента корреляции.
5. Проверить на значимость найденные параметры и регрессионную модель.
6. По полученному уравнению рассчитать прогноз значения У при условии, что величина Х будет на 20% выше своего максимального выборочного значения. (Вероятность 0,95).

Таблица №2.

вариант	7
№ графы	7,9

 

Y	X
31500	30
3800	3
12300	7
41500	27
29500	37
11400	7
43700	45
20400	27
23400	24
29800	30
25900	28
20000	31
8800	13
8400	5
75600	53
10100	6
34600	30
32600	30
8100	6
15400	17
5800	3
17100	18
10200	6
34000	29
36200	30
33700	35
8600	2
2700	1
6500	14
46900	5
60400	10
42075	12

 

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

 

x	y	x2	y2	x • y
30	31500	900	992250000	945000
3	3800	9	14440000	11400
7	12300	49	151290000	86100
27	41500	729	1722250000	1120500
37	29500	1369	870250000	1091500
7	11400	49	129960000	79800
45	43700	2025	1909690000	1966500
27	20400	729	416160000	550800
24	23400	576	547560000	561600
30	29800	900	888040000	894000
28	25900	784	670810000	725200
31	20000	961	400000000	620000
13	8800	169	77440000	114400
5	8400	25	70560000	42000
53	75600	2809	5715360000	4006800
6	10100	36	102010000	60600
30	34600	900	1197160000	1038000
30	32600	900	1062760000	978000
6	8100	36	65610000	48600
17	15400	289	237160000	261800
3	5800	9	33640000	17400
18	17100	324	292410000	307800
6	10200	36	104040000	61200
29	34000	841	1156000000	986000
30	36200	900	1310440000	1086000
35	33700	1225	1135690000	1179500
2	8600	4	73960000	17200
1	2700	1	7290000	2700
14	6500	196	42250000	91000
5	46900	25	2199610000	234500
10	60400	100	3648160000	604000
12	42075	144	1770305625	504900
621	790975	18049	29014555625	20294800

 

 

Формально критерий МНК  можно записать так:

S = ∑(y_i - y^*_i)² → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений  имеет вид

32a + 621 b = 790975

621 a + 18049 b  = 20294800

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 824.4704, a = 8718.0906

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение  регрессии):

y = 824.4704 x + 8718.0906

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Ковариация.

 

Рассчитываем показатель тесноты  связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются  по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь  между признаком Y фактором X  заметна  и прямая.

 

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2
30	31500	33452.2	45995947.88	3811091.67	112.23
3	3800	11191.5	437561416.63	54634297.63	269.17
7	12300	14489.38	154205947.88	4793398.81	153.92
27	41500	30978.79	281636572.88	110695846.53	57.67
37	29500	39223.49	22867822.88	94546342.36	309.54
7	11400	14489.38	177368291.63	9544288.58	153.92
45	43700	45819.26	360317510.38	4491251.6	655.04
27	20400	30978.79	18644854.13	111910811.28	57.67
24	23400	28505.38	1737041.63	26064900.04	21.1
30	29800	33452.2	25827041.63	13338577.61	112.23
28	25900	31803.26	1397197.88	34848490.5	73.85
31	20000	34276.67	22259229.13	203823366.82	134.42
13	8800	19436.21	253381729.13	113128866	41.04
5	8400	12840.44	266276104.13	19717529.24	207.54
53	75600	52415.02	2588981104.13	537543283.97	1128.54
6	10100	13664.91	213685010.38	12708603.5	179.73
30	34600	33452.2	97654541.63	1317440.83	112.23
30	32600	33452.2	62126416.63	726247.82	112.23
6	8100	13664.91	276156885.38	30968254.82	179.73
17	15400	22734.09	86824541.63	53788830.93	5.79
3	5800	11191.5	357889541.63	29068290.76	269.17
18	17100	23558.56	58033447.88	41712962.27	1.98
6	10200	13664.91	210771416.63	12005620.93	179.73
29	34000	32627.73	86156104.13	1883121.17	92.04
30	36200	33452.2	131837041.63	7550395.23	112.23
35	33700	37574.55	80676885.38	15012165.65	243.17
2	8600	10367.03	259788916.63	3122399.78	302.98
1	2700	9542.56	484790947.88	46820640.68	338.79
14	6500	20260.68	331894385.38	189356198.58	29.23
5	46900	12840.44	492042510.38	1160053459.82	207.54
10	60400	16962.79	1273207354.13	1886790837.49	88.48
12	42075	18611.74	301266533.81	550524801.61	54.85
621	790975	790975	9463260292.97	5386302614.48	5997.72

 

 

Эмпирическое корреляционное отношение.

 

 

где

 

Коэффициент детерминации R² используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии  проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии  исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k₁=(m) и k₂=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

 

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза  о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяют фактическое  значение F-критерия:

 

 

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение  определяется по таблицам распределения  Фишера для заданного уровня  значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы  для общей суммы квадратов  (большей дисперсии) равно 1 и  число степеней свободы остаточной  суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое  значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания  отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая  гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=30, F_табл = 4.17

Поскольку фактическое  значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

t_крит (n-m-1;α/2) = (30;0.025) = 2.042

 

 

Поскольку 4.77  >  2.042, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем  гипотезу о равенстве нулю этого  коэффициента).

 

 

Поскольку 2.12  >  2.042, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

 

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и  получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bx_p ± ε)

где

 

Рассчитаем границы  интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно  большом числе наблюдений и X_p = 20

 

(8718.09 + 824.47*20 ± 4841.43)

(20366.07;30048.93)

С вероятностью 95% можно  гарантировать, что значения Y при  неограниченно большом числе  наблюдений не выйдет за пределы найденных  интервалов.

 

 

 

 

 

ТЕМА №8. ИНДЕКСЫ

Задание.

Среди таблиц, расположенных  после задания, найдите таблицу  с данными, соответствующими вашему варианту.

Вариант №7

товары	базисный период		текущий период
	цена (руб.)	количество (шт.)	цена (руб.)	количество (шт.)
1	14	22	14	20
2	110	33	120	30
3	48	66	157	60

 

В соответствии со своим вариантом:

1. Рассчитайте индивидуальные и общие индексы цены, физического объема и стоимости. Сделайте выводы о произошедших в текущем периоде изменениях.
2. Рассчитайте абсолютные изменения стоимости, возникшие в результате изменения цен и физического объема.

Индивидуальные индексы

Общие индексы

а) общий индекс товарооборота

 

 

∆Z = ∑q₁ • p₁ - ∑q₀ • p₀

∆Z = 13300 - 7106 = 6194

За счет всех факторов общий товарооборот увеличился на 87.17% или на 6194

б) общий индекс цен (метод Пааше)

 

 

∆Z_p = ∑q₁ • p₁ - ∑q₁ • p₀

∆Z_p = 13300 - 6460 = 6840

За счет изменения цен сводный  товарооборот возросли на 105.88% или на 6840

в) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)

 

 

∆Z_q = ∑q₁ • p₀ - ∑q₀ • p₀

∆Z_q = 6460 - 7106 = -646

За счет изменения объема выработанной продукции, товарооборот снизились  на 9.09% или на 646

Покажем взаимосвязь индексов

I  = Iq • Ip = 0.91 • 2.06 = 1.87

3. Рассчитайте индексы переменного, фиксированного составов, индекс структурных сдвигов. Сделайте выводы о причинах, приведших к изменению средней цены совокупности товаров.
4. Рассчитайте абсолютные изменения средней цены, объясните их.

а) индекс цен  переменного состава

Рассчитаем средние цены:

Средняя цена за отчетный период

 

Средняя цена за базисный период

 

Из этих формул следует, что средняя цена по всем группам  зависит от средней цены по отдельным  группам и доли физического объема продаж в каждой из этих групп.

Таким образом, можно  сказать, что средняя цена по всем группам равна сумме произведений средней цены по группам (качественный показатель) на долю в физическом объеме соответствующей группы (количественный показатель).

Доля в количественном объеме товара в данном примере определяет структуру объема продукции.

 

 

Соответственно, индекс цен переменного состава (индекс средних величин) будет представлять собой отношение:

 

За счет всех факторов цена возросла на 105.88%

По аналогии с построением факторных  агрегатных индексов построим факторные  индексы.

б) индекс цен фиксированного (постоянного) состава

Чтобы определить влияние только средней  цены по разным группам товара на изменение  средней цены по всей совокупности в формуле индекса цен переменного  состава необходимо устранить влияние  изменения структуры физического объема.

Это достигается путем фиксирования значения доли (количественный показатель) на отчетном уровне. Получаемый индекс называется индексом фиксированного (постоянного) состава и рассчитывается по формуле:

 

 

За счет изменения структуры  цены средняя цена возросла на 105.88%

в) индекс влияния изменения  структуры производства продукции  на динамику средней цены

 

Сравнивая формулы, полученные для  расчета вышеуказанных индексов, нетрудно заметить, что индекс структурных  сдвигов равен отношению индекса  переменного состава и индекса  фиксированного состава, т.е.: