Содержание

1. Повреждения,  отказы. Классификация отказов.

2. Законы распределения  случайной величины (дискретные  законы: биноминальное, распределение  Пуассона; непрерывные законы: экспоненциальной, нормальной, распределения Вейббула).

3. Интенсивность  отказов λ (t), параметр потока отказов ω(t). Графическое их изображение.

4. Список использованных  источников 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Повреждения, отказы. Классификация отказов.

Повреждение –  событие, заключающееся в нарушении  исправного состояния объекта при сохранении его работоспособности.

Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

Критерий отказа – признак или нарушения работоспособного состояния объекта, установленные  в нормативно-технической и (или) конструкторской документации.

Классификация отказов

 

  Восстановление  — это процесс перевода объекта в работоспособное состояние из неработоспособного состояния.

  Авария  — событие, заключающееся в переходе объекта с одного уровня работоспособности или относительного уровня функционирования на другой, существенно более низкий, с кругашм нарушением режима работы объекта. Авария может привести к частичному или полному разрушению объекта, созданию опасных условий для человека и окружающей среды.

  Отказ —  фундаментальное понятие теории надежности. Для каждого объекта признаки (критерии) отказов установлены нормативно-технической документацией.

  Явный отказ  — отказ, обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования при подготовке объекта к применению или в процессе его применения по назначению.

  Скрытый отказ — отказ, не обнаруживаемый визуально или штатными методами и средствами контроля и диагностирования, но выявляемый при проведении технического обслуживания или специальными методами диагностики.

  Сбой — самоустраняющийся отказ или однократный отказ, устраняемый незначительным вмешательством оператора.

  Ресурсный отказ — отказ, в результате которого объект достигает предельного состояния.

  Независимый отказ — отказ, не обусловленный другими отказами.

  Зависимый отказ — отказ, обусловленный другими отказами.

В зависимости  от причин возникновения отказа различают:

• конструктивные отказы, возникшие в результате нарушения установленных правил конструирования;
• производственные отказы, причиной возникновения которых является нарушение установленного процесса изготовления или ремонта изделия;
• эксплуатационные отказы, причиной возникновения которых является нарушение установленных правил или условий эксплуатации машины.

  Деградационный  отказ  — отказ, обусловленный естественными процессами старения, изнашивания, коррозии и усталости при соблюдении всех установленных правил и (или) норм проектирования, изготовления и эксплуатации.

По своей природе  отказы могут быть:

  • случайные, обусловленные непредусмотренными перегрузками, дефектами материала, ошибками персонала, сбоями системы управления и т.п.;

  • систематические, обусловленные закономерными явлениями, вызывающими постепенное накопление повреждений: усталость, износ, старение, коррозия материалов и т.п.

Основными признаками классификации отказов являются:

• характер возникновения;
• причина возникновения;
• последствия отказов;
• возможность дальнейшего использования объекта;
• легкость обнаружения;
• время возникновения.

  По характеру возникновения различают отказы внезапные, постепенные и перемежающиеся.

  Внезапный отказ характеризуется резким изменением одного или нескольких заданных параметров объекта. Примером внезапного отказа является нарушение работоспособности системы зажигания или системы питания двигателя.

  Постепенный отказ характеризуется постепенным изменением одного или нескольких заданных параметров объекта. Характерным примером постепенного отказа является нарушение работоспособности тормозов в результате износа фрикционных элементов.

  Перемежающийся  отказ — многократно возникающий сбой одного и того же характера. Примером перемежающегося отказа может служить ухудшение мощностных и топливно-экономических показателей двигателя из-за появления нагара в головке блока цилиндров. Этот отказ часто самоустраняется при длительной работе машины в тяжелом нагрузочном режиме. Другим характерным примером перемежающегося отказа является временное нарушение работоспособности двигателя из-за случайного попадания воды в бензин.

  По возможности  дальнейшего использования объекта  отказы могут быть полные или частичные. Полный отказ исключает возможность работы объекта до его устранения. При возникновении частичного отказа объект может частично использоваться.

  В зависимости  от способа устранения отказа все объекты разделяют на ремонтируемые (восстанавливаемые) и неремонтируемые (невосстанавливаемые). К ремонтируемым относят объекты, ремонт которых возможен и предусмотрен нормативно-технической, ремонтной и (или) конструкторской (проектной) документацией. Такие объекты при возникновении отказа ремонтируют и после восстановления работоспособности снова вводят в эксплуатацию. Автомобильный транспорт, а также большинство их элементов являются ремонтируемыми объектами.

  Неремонтируемые объекты после возникновения отказа заменяют. К числу неремонтируемых элементов дорожных машин относят подшипники качения, стальные канаты, оси, пальцы, крепежные детали и т.д. Восстановление этих элементов экономически нецелесообразно, так как затраты на ремонт достаточно велики, а обеспечиваемая при этом долговечность значительно ниже, чем у новых деталей.

  По признаку легкости обнаружения отказы бывают очевидные (явные) и скрытые (неявные).

  По времени  возникновения отказы подразделяются на приработанные, возникающие в начальный период эксплуатации, отказы при нормальной эксплуатации, износовые отказы, вызванные необратимыми процессами износа деталей, старения материалов и т. п.

  Проводя некоторую аналогию между изделиями  и человеком с позиций надежности, приработочные отказы сопоставляют с детскими болезнями, отказы при нормальной эксплуатации — со случайными болезнями окрепшего организма взрослого человека, износовые — со старческими болезнями. Отказы деталей и узлов в разных машинах и разных условиях могут иметь совершенно разные последствия. Последствия отказов нескольких автомобилей, имеющихся в парке, при наличии ремонтного цеха могут быть устранены силами предприятия, а выполняемая работа на время ремонта распределена между другими машинами. Отказ станка, встроенного в автоматическую линию, или специального станка, установленного на заводе в одном экземпляре, дополнительно вызовет большие убытки, связанные с простоем многих других станков, невыполнением плана цехом и заводом. Отказ деталей самолета может вызвать аварию с человеческими жертвами.

  Современный автомобиль состоит из 15—20 тыс. деталей, из которых 7—9 тыс. теряют начальные значения свойств, при этом около 3—4 тыс. деталей имеют срок службы меньший, чем срок службы автомобиля в целом. Примерно 150—300 деталей чаще других требуют замены и вызывают наибольшие простои автомобилей и в сумме наибольшие материальные затраты. 

Перечень  характерных отказов автомобиля и его элементов

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Законы распределения  случайной величины (дискретные  законы: биноминальное,  распределение Пуассона; непрерывные законы: экспоненциальной, нормальной, распределения Вейббула). 

     Часто в результате испытания происходят события, заключающиеся в том, что некоторая величина принимает одно из своих возможных значений. 
     В таких случаях удобно вместо множества событий рассматривать одну переменную величину (называемую случайной величиной). Случайная величина обозначается через X, Y, Z, … и т.д. 
     Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Закон распределения дискретной случайной величины

     Соотношение между возможными значениями случайной  величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма всех ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

     Пример 1. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения. Вероятности пяти попаданий из пяти возможных, четырех из пяти и трех из пяти были найдены выше по формуле Бернулли и равны соответственно:

      , ,

     Аналогично  найдем:

      ,

      ,

     

     Пример 2. В первой коробке содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй коробке 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой коробки наугад извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Вероятность того, что взятый из первой коробки шар белый -  что не белый -  . Вероятность того, что взятый из второй коробки шар белый - что не белый -  Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из первой коробки и вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из второй коробки, равны 0,5.

     Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный  из первой коробки, и он белый -

     Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный  из второй коробки, и он белый -

     Вероятность того, что повторно будет выбран белый шар, равна

     

     Пример 3. Имеется пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наугад выбранной винтовки.

     Вероятность того, что выбрана винтовка с оптическим прицелом, обозначим  , а вероятность того, что выбрана винтовка без оптического прицела, обозначим  .

     Вероятность того, что выбрали винтовку с оптическим прицелом, и при этом цель была поражена , где Р(ПЦ/O) – вероятность поражения цели из винтовки с оптическим прицелом.

     Аналогично, вероятность того, что выбрали  винтовку без оптического прицела, и при этом цель была поражена  , где Р(ПЦ/БO) – вероятность поражения цели из винтовки без оптического прицела.

     Окончательная вероятность поражения цели равна  сумме вероятностей Р₁ и Р₂, т.к. для поражения цели достаточно, чтобы произошло одно из этих несовместных событий.

     

          Пример 4. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что медведь был убит первым стрелком, если вероятности попадания для этих стрелков равны соответственно 0,3, 0,4, 0,5. В этой задаче требуется определить вероятность гипотезы уже после того, как событие уже совершилось. Для определения искомой вероятности надо воспользоваться формулой Бейеса. В нашем случае она имеет вид:

       

     В этой формуле Н₁, Н₂, Н₃ – гипотезы, что медведя убьет первый, второй и третий стрелок соответственно. До произведения выстрелов эти гипотезы равновероятны и их вероятность равна  .

     P(H₁/A) – вероятность того, что медведя убил первый стрелок при условии, что выстрелы уже произведены (событие А).

     Вероятности того, что медведя убьет первый, второй или третий стрелок, вычисленные  до выстрелов, равны соответственно:

     

     

     

     Здесь q₁ = 0,7; q₂ = 0,6; q₃ = 0,5 – вероятности промаха для каждого из стрелков, рассчитаны как q = 1 – p, где р – вероятности попадания для каждого из стрелков.

     Подставим эти значения в формулу Бейеса:

     

     Пример 5. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов.

     Событие приема трех сигналов из четырех возможно в четырех случаях:

     

     

     

     

     Для приема трех сигналов необходимо совершение одного из событий А, В, С или D. Таким образом, находим искомую вероятность:

     

     Пример 6. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

     В общей сложности имеется 40 вопросов (по 2 в каждом из 20 билетов). Вероятность того, что выпадает вопрос, на который ответ известен, очевидно, равна  .

     Для того, чтобы сдать экзамен, требуется  совершение одного из трех событий:

     1) Событие A – ответили на первый вопрос (вероятность  ) и ответили на второй вопрос (вероятность  ). Т.к. после успешного ответа на первый вопрос остается еще 39 вопросов, на 34 из которых ответы известны. 

     

     2) Событие В – на первый вопрос  ответили (вероятность  ), на второй – нет (вероятность  ), на третий – ответили (вероятность  ). 

     

     3) Событие С – на первый вопрос  не ответили (вероятность  ), на второй – ответили (вероятность  ), на третий – ответили (вероятность  ).

     

     Вероятность того, что при заданных условиях экзамен будет сдан равна:

     

Биноминальное распределение

     Если  производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.

     Примем  число появлений события в  каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х.

     Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.

     Значения  найти достаточно просто. Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до п раз. Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.

       

     Эта формула аналитически выражает искомый  закон распределения. Этот закон  распределения называется биноминальным.

     Пример 1. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный  закон распределения дискретной случайной величины Х – числа  нестандартных деталей среди  четырех отобранных и построить  многоугольник полученного распределения.

     Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1. Найдем вероятности  того, что среди отобранных деталей:

     1) Вообще нет нестандартных. 

     

     2) Одна нестандартная.

          

     3) Две нестандартные детали.

     

     4) Три нестандартные детали.

     

     5) Четыре нестандартных детали.

     

     Построим  многоугольник распределения.

       

           Пример 2. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.

     Каждая  игральная кость имеет три  варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести  возможных, таким образом, вероятность  выпадения четного числа очков  на одной кости равна 0,5.

     Вероятность одновременного выпадения четных очков  на двух костях равна 0,25.

     Вероятность того, что при двух испытаниях оба  раза выпали четные очки на обеих костях, равна:

     

     Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих  костях:

     

     Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях:

     

Распределение Пуассона

     Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р. Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мало (p£0,1), то для нахождения вероятности появления события А k раз находится следующим образом. Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:

     

     Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном п) остается неизменным.

     По формуле Бернулли получаем:

     

     

     Найдем предел этой вероятности:

     

     Получаем формулу распределения Пуассона:

       

Распределение Вейбулла

Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени (рис. 3.1), соответствующих трем периодам жизни этих устройств [3, 8, 10, 19].

Нетрудно увидеть, что этот рисунок аналогичен рис. 2.3, так как график функции λ (t) соответствует закону Вейбулла. Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла [12, 13, 15]. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

, (3.1)

где δ - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных, δ > 0); δ - параметр масштаба,

.

Интенсивность отказов определяется по выражению 

(3.2)

Вероятность безотказной  работы

, (3.3)

а средняя наработки  до отказа

. (3.4)

Отметим, что  при параметре δ= 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при δ= 2 - в распределение Рэлея.

При δ<1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при  монотонно возрастает (период износа), см. рис. 3.1. Следовательно, путем подбора параметра δ можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую λ (t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме [12].

Экспоненциальное  распределение

Как было отмечено в подразд. 3.1 экспоненциальное распределение  вероятности безотказной работы является частным случаем распределения  Вейбулла, когда параметр формы δ = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра λ = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

. (3.5)

Среднее время  безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала  безотказной работы выражается формулой: