Материалы по векторной алгебре

 
 

 

 

Лекция 5. Глава 2. Элементы векторной  алгебры.

§1.Множество  векторов. Линейные операции над векторами.

П⁰1.Определение вектора .Основные понятия.

Определение:

Вектором  называется упорядоченная  пара точек.  =, где А – точка начала, В—точка конца.

Геометрическая  интерпретация:   вектор – это направленный отрезок.

Основные  характеристики вектора:

1. скалярная характеристика- длина вектора, которую будем обозначать : ||||=||||;
2. направление

Для того чтобы задать вектор, достаточно знать:

1) длину и направление

или

2)координаты точки начала и конца

Определение равенства  векторов:

Два вектора равны «

1)|||||||| (длины векторов равны)

2) вектора сонаправлены ()

Определение нулевого вектора.

=         ||||

Определение коллинеарных векторов.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых (можно сказать, что они параллельны).

Обозначение: || 
 

Различают:  сонаправленные вектора, т. е. имеющие одно направление и противоположно направленные.

 
 
 
 

П⁰2 .Сложение векторов.

Определение:

Суммой  векторов , обозначаемый  , который можно получить по правилу треугольника:

сначала строим вектор построенного вектора строим вектор огда вектор суммы соединяет начало первого вектора с концом вектора  
 
 

 
 

     Замечание:

     1.Можно получить другое правило сложения в случае неколлинеарных векторов.

     Правило параллелограмма: 

     Из  одной точки строим два данных вектора и достраиваем до параллелограмма.

       Тогда диагональ  этого параллелограмма, исходящая

     из  общей вершины , и  будет вектором суммы  данных векторов. 

     

     

       
 
 

      2.Правило суммы можно распространить на любое число слагаемых (правило ломаной).

Для получения суммы  нескольких векторов нужно каждый следующий  вектор начинать строить  из конца предыдущего, а результирующий вектор будет соединять  начало первого вектора  с концом последнего.

 
 
 
 
 

 

     Свойства  сложения:

1. Свойство коммутативности.

Для любых векторов

2)Свойство  ассоциативности:

Для любых векторов

3)Свойство  нулевого вектора:

  для любого 

4)Существование  противоположного  вектора:

для любого  существует противоположный вектор, который обозначают -: 

(Легко проверить,  что ||||||||   -

5)Свойство обратимости:

Для любых векторов существует вектор : .

Вектор  и обозначается:

Чтобы получить вектор разности векторов нужно построить оба вектора из одной точки и соединить концы векторов в сторону уменьшаемого вектора. 
 
 
 
 
 

 

 

П⁰3.Умножение вектора на скаляр.

Определение:

Для любого вектора  и числа lÎR однозначно определён вектор, обозначаемый    l по следующему правилу:

1)|| l|||l|*||||

2)пусть l=, тогда: при l>0 ®

при l< 0®

при l=0®

Свойства  умножения вектора  на скаляр.

1) l*(*l

2) l(ll

3) 1

4) -1

5) 0

П⁰4. Векторная и скалярная проекция вектора на ось.

Пусть дана ось L и вектор Спроектируем начало и конец данного вектора на ось, т. е. опустим перпендикуляры. На оси L получим векторную проекцию данного вектора, начало и конец которого являются соответствующими проекциями начала и конца данного вектора.

 
 
 

Если точка А  –начало вектора  , то А₁=Пр_LА.

Если  точка В –конец вектора , то В₁=Пр_LВ.

- векторная проекция  вектора   на ось L (компонента вектора)

Орт оси - это единичный вектор , который сонаправлен c осью L:

 :  ||||

Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов)

Для того чтобы два  вектора  были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы существовало число l, такое что справедливо равенство:    l.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть вектора коллинеарны  ||.

1) вектора сонаправлены;  пусть число l=|||||||| ®l®

;  ||||||||||||*||||=||||®

2) вектора противоположно направлены;l=- |||||||| l®

; ||||||||||||*||||=||||®

(необходимость  доказана)

Достаточность: 

Если l, то по определению операции умножения вектора на скаляр ® вектора коллинеарны || (достаточность выполнена)®

теорема доказана.

Важная  информация.

Пусть дан вектор . Обозначим единичный вектор или орт вектора

||||=1;      .

На  основании предыдущей теоремы имеем  формулу для нахождения орта данного вектора:

=||||

Вернёмся  к векторной проекции вектора на ось.

Пусть -векторная проекция  на ось L;

  орт оси; т.к. ||L, то существует число х:

=х(*)

Определение:

Число х, определяемое равенством (*) называется скалярной проекцией вектора на ось L.

Замечание: 

х=|||||||| 
 

 Теоремы о проекциях.

1.||||Пр_L 

2.Пр_L(Пр_LПр_L 

3.Пр_Ll=lПр_L  
 

§2. Геометрическое пространство векторов.

П⁰1. Линейная зависимость и независимость векторов.

Будем рассматривать множество  векторов, в котором  введены линейные операции, обладающие рассмотренными выше свойствами.

В этом случае говорят, что мы имеем линейное пространство векторов.

Определение:

Система векторов     называется линейно зависимой, если найдутся числа: l₁; l₂;…;l_n (не все равные нулю):

l₁+l₂+…+l_n=l= (линейная комбинация векторов равна нулевому вектору при условии, что не все числа l_i  равны нулю).

Если l= тогда и только тогда, когда все числа l_i=0, i=1,2,…,n, то система векторов     называется линейно независимой.

Определение:

Система векторов называется базисом, если выполнены два условия: 1)вектора линейно независимы, 2) любой вектор можно представить в виде линейной комбинации данных векторов , т.е.  

Числа с₁;с₂;…;с_n называют координатами вектора в этом базисе.

Если  в пространстве векторов существует базис, состоящий из «n» элементов, то говорят, что размерность пространства равна «n».

Имеем пространство векторов, обозначаемое Rⁿ .

П⁰2. Одномерное векторное пространство.

 R¹         Имеем числовую ось. R¹ 

Пусть базис этого пространства будет вектор  

Т.к. любой вектор числовой оси коллинеарен  , то  можно найти число l:   l

  (l=±||||||||)   l- координата вектора   в этом базисе.

Множество векторов вида:  {l называют линейной оболочкой, порожденной вектором 

Рассмотрим  орт оси, который  обозначим  (       L;  ||||.

Тогда =х ; где координату вектора в этом базисе находим по формуле:

х=||||;  если       ;       x=-||||  ; если .

П⁰3. Двумерное векторное пространство.

R²   - это плоскость.

В качестве базисных векторов возьмём два неколлинеарных вектора 
 

=l₁l₂

 
 

Любой вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Тогда множество вида:  {l₁l₂ – линейная оболчка порождённая векторами .

Рассмотрим  прямоугольную систему  координат (х0у).

Обозначим орт оси абсцисс  , а орт оси ординат .

Тогда система этих векторов образует естественный базис.

 
 

В естественном базисе имеем следующую  формулу разложения вектора: 

x+y  (разложение вектора по осям координат).

Допускается так же запись, где  указываются только координаты вектора  в естественном базисе:    

Заметим, что длина вектора  находится через  координаты вектора:

||||

Т.к. координаты вектора  – это проекции вектора на оси  координат, то по свойству проекций, все линейные операции над векторами выполняются и над проекциями:

если  , то l    имеет координаты:

lx₁+*y₁; lx₂+*y₂} 
 

П⁰4. Трёхмерное векторное пространство.

R³- трёхмерное пространство.   В качестве базисных векторов можно взять любые три некомпланарных вектора (не лежащих в одной плоскости).  Пусть это будут вектора .

Любой вектор представлен линейной комбинацией:

=l₁+l₂+l₃

Рассмотрим  прямоугольную  декртову систему координат (0хуz).

Обозначим орт оси (OX)  ,  орт оси (OY)  ,  орт оси (OZ) 

Тогда система этих векторов образует естественный базис; . 
 

 

 
 
 

В естественном базисе имеем следующую  формулу разложения вектора: 

x+y +z (разложение вектора по осям координат).

Допускается так же запись, где  указываются только координаты вектора  в естественном базисе:    

Заметим, что длина вектора  находится через  координаты вектора:

||||

Т.к. координаты вектора  – это проекции вектора на оси  координат, то по свойству проекций, все линейные операции над векторами  выполняются и  над проекциями:

если  , то l    имеет координаты:

lx₁+*y₁; lx₂+*y₂ ;lx₃+*y₃}

Замечание:

Если  известны координаты начала и конца  вектора  , т.е. А(х₁;y₁;z₁); B(x₂;y₂;z₂), то координаты вектора находим по формуле:

={x₂-x₁; y₂-y₁;z₂-z₁}

Длина вектора находится  тогда по формуле:

||||

Пример:

Дано:    ;  A(-1;2;-3); B(1;2;1);  .

Найти: 1).

Решение:

1){1+1;2-2;-1-3}®2;0;4}®={5*2-3*2; 5*0-3*(-3); 5*4-3*4}®

={4;9;8}

2)||||=;  ={

Примечание:

Координаты  единичного вектора (орта) называются направляющими  косинусами и обозначаются: {

при этом:

§3 Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определение:

Скалярным произведением  векторов называется число, обозначаемое  , которое вычисляется по формуле:

||||||||  или ||||Пр=||||*Пр.

(=*

 

Геометрические  свойства скалярного произведения.

1. >0« *<90⁰
2. <0 « 90⁰<*<180⁰
3. « ^
4. Если то ||||||||; если  то =-|||||||| .
5. Скалярный квадрат   =||||²® ||||

Примечание

===1; 

Алгебраические  свойства скалярного произведения.

2. l(=(l=l

Замечание:

1)(||||²-||||²

2)(²=||||²+2||||||||||||²

3)||||= 

Вычисление  скалярного произведения через координаты вектора.

Если  ;   , то

x₁*x₂+y₁*y₂+z₁*z₂  (легко проверить непосредственным умножением с использованием свойств скалярного произведения)

 ® _{(формула для вычисления угла между векторами)}