Задачи исследования динамических систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ

КАРАГАНДИНСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет __________________________________

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

 

к курсовой работе

по дисциплине ELBD 1201  "Программные средства моделирования"

по дисциплине "Математические задачи и компьютерное моделирование

в электроэнергетике"

 

для студентов специальности 050718 – "Электроэнергетика"

 

 

на тему: Задачи исследования динамических систем.

 

 

 

 

 

 

Руководитель:      _____________________

^{(должность, ученая  степень, звание)}

__________________

^Ф.И.О.

«___» ___________2011 г

 

 

Студент ______________________

группа _______________________  

«___»  ________________2011 г

 

 

 

 

 

 

Караганда 2011

 

Содержание

 

 

1  Задачи исследования динамических  систем

1.1 Теория динамических систем (динамика)

 

Предыстория динамики — это описание законов механики, становление классической и небесной механики. Представления Ньютона были основаны на предположении, что законы природы могут быть выражены в математических терминах, и физические события могут быть предсказаны и смоделированы с математической точностью. Ключевым понятием в этой концепции является детерминизм: природа подчиняется неизменным законам. Процесс, описываемый детерминированной системой, однозначно определяется заданным начальным состоянием.

История современных динамических систем начинается с А. Пуанкаре в конце XIX в., который указывал, что первоначальное состояние процесса мы можем знать только приближенно и, кроме того, «иногда небольшая разница в начальном состоянии приводит к большой разнице в окончательном явлении. Предсказание становится невозможным, мы имеем явление случайное». Именно А. Пуанкаре впервые обнаружил хаотическое поведение траекторий в задаче трех тел. Отметим, что в данном случае хаотические траектории возникают в строго детерминированной механической системе, подчиненной законам Ньютона.

В настоящее время в основе изучения динамики лежит следующая точка зрения: Изучение долгосрочного асимптотического поведения, и особенно поведения качественных характеристик, требует прямых методов, которые не основываются на знании решений в явном виде. В дополнение к качественному изучению динамических систем определенную роль играют вероятностные методы.

1.2 Непрерывные и дискретные системы

 

Хотя исторически главным объектом исследований в теории динамических систем были потоки, порожденные дифференциальными  уравнениями, в семидесятые годы прошлого века особое внимание было обращено на дискретные динамические системы. Непрерывная динамическая система задается, как правило, автономным дифференциальным уравнением (или системой таких уравнений). Решение такого уравнения имеет вид , где x₀ задает начальное состояние системы при t = t₀, а t трактуется как время. В этом случае эволюция системы описывается кривой в фазовом пространстве. Основные теоремы курса дифференциальных уравнений гарантируют существование решения при достаточно широких предположениях относительно отображения F, однако его нахождение (интегрирование системы) является довольно трудной задачей. Более того, решения большинства дифференциальных уравнений не выражаются через элементарные функции. При решении реальных задач решение строится с использованием численных методов.

В этом смысле дискретные динамические системы являются более простыми для изучения, так как отображение является в этом случае аналогом решения и проблема интегрирования не усложняет понимания эволюции системы. Компьютерное моделирование позволяет легко строить траекторию системы на конечном интервале времени, что дает возможность решать многие задачи.

В 1935 г. Г. Биркгоф впервые применил символическую динамику для кодировки траекторий вблизи гомоклинической орбиты. С. Смейл применил ту же технику при построении так называемой «подковы» — простой модели хаотической динамики. «Подкова Смейла» оказала существенное влияние на теорию хаоса, так как этот пример является типичным, а методы символической динамики оказались тем инструментом, который позволяет описать природу детерминированного хаоса.

Регулярное изучение хаоса  началось в 1960-х годах, когда исследователи  осознали, что даже самые простые нелинейные модели порождают столь же неупорядоченное поведение, как самый бурный водопад. Незаметные различия исходных условий порождают значительное расхождение в результатах, что называют «чувствительной зависимостью от начальных данных». Поскольку абсолютная точность вычислений невозможна, а построение более сложных математических моделей порождает еще большую зависимость от начальных данных, то это неминуемо приводит к системам, допускающим неопределенные или хаотические решения (траектории). Следовательно, хаотического поведения систем избежать нельзя, и мы должны научиться предвидеть хаос и им управлять.

1.3 Символическая динамика

 

Важным инструментом, позволяющим  исследовать такие сложные явления  в динамических системах, как хаос, существование странных аттракторов является метод символической динамики. Название отражает основную идею метода — описание динамики системы при помощи допустимых последовательностей символов (допустимых слов) из конечного набора символов (алфавита). Впервые кодировка траекторий последовательностями символов для описания глобального поведения геодезических на поверхностях отрицательной кривизны была применена Ж. Адамаром в 1898 г. Основателем методов символической динамики является Х. Морс. Название «Символическая динамика» ввели Х. Морс и Ж. Хелунд. Большой вклад в развитие методов символической динамики внес Р. Боуэн. Существенное влияние на развитие этих методов оказал упоминавшийся ранее пример «подковы Смейла».

Предположим, что прибор (реальный или условный) фиксирует состояние системы или положение фазовой точки. Эти значение выдаются с некоторой точностью. Например, электронные часы показывают значение t_i, когда реальное значение t лежит в интервале [t_i, t_i + h), где величина h > 0 зависит от конструкции часов. В общем случае можно считать, что фазовое пространство M исследуемой системы покрыто конечным числом ячеек {M_i} и прибор указывает номер или индекс i ячейки, когда точка x лежит в ячейке M_i. Ячейки могут пересекаться, когда стрелка прибора стоит точно на границе M_i и M_j. Тогда любое значение i или j считается правильным. Можно считать, что прибор фиксирует индекс ячейки через равные промежутки времени и траектория системы (т. е. множество последовательных значений фазовой точки под действием системы) кодируется последовательностью индексов . Индексами могут быть символы любой природы: номера, буквы, координаты и т. д. Если символами являются буквы алфавита, то число букв совпадает с числом ячеек, и траектории кодируются последовательностями букв, которые называются допустимыми словами. Таким образом, множество возможных состояний системы (фазовое пространство) разбивается на конечное число ячеек. Каждая ячейка соответствует символу, а «прибор» в каждую единицу времени показывает символ, соответствующий той ячейке, в которой лежит текущее состояние системы. Следует отметить, что по данной последовательности символов однозначно восстанавливается последовательность ячеек, через которые проходит траектория. Ясно, что такое описание динамики будет более точным, когда ячейки выбираются достаточно мелкими. Переход от бесконечного фазового пространства к конечному набору символов можно рассматривать как дискретизацию фазового пространства.

Существует определенное соответствие между последовательностями символов и динамикой системы. Например, периодической орбите системы соответствует  повторение конечного набора символов. Свойство возвращаемости орбиты выражается повторением символа в допустимом слове. В результате динамика системы определяется не конкретными значениями символов, а порядком их следования.

1.4 Численные методы

 

В последние годы методы компьютерного  моделирования стали необходимым  инструментом при исследовании динамических систем. Особенно важное значение имеют вопросы, связанные с теоретическим обоснованием алгоритмов. На практике мы работаем не с точной траекторией системы, а с ее приближением — -траекторией (или псевдотраекторией). Решение о существовании настоящей траектории опирается на результаты теории отслеживания, гарантирующие это существование при определенных условиях на систему.

Достаточно широкое применение получили методы исследования, основанные на использовании символического образа — ориентированного графа, определенным образом построенного по исходной системе (Г. С. Осипенко), а также методы, основанные на интервальной арифметике. В последнем случае рассматривается новый объект — интервал (или интервальный вектор для размерности фазового пространства больше или равной 2), и вводятся новые операции. Определяются правила вычисления вещественных функций над интервалами, правила оценки области значений функции, правила округления. Этот метод позволяет разрабатывать достаточно надежные и эффективные алгоритмы.

Хорошо зарекомендовали себя алгоритмы  поиска инвариантных множеств, в частности, периодических орбит, основанные на алгоритме Ньютона.

Среди задач исследования динамических систем следует выделить следующие, требующие наличия математических моделей:

1. Задачи анализа ДС. 
2. Задачи синтеза управляемых ДС.

Задача  анализа динамических систем решается с целью определения работоспособности  систем и эффективности их функционирования.

Понятие работоспособности ДС часто отождествляют  с устойчивостью.

Определение 3. Динамическая система устойчива, если после прекращения действия на нее внешних возмущающих воздействий  она возвращается в прежнее или  приходит в новое устойчивое состояние.

Рассмотрим  понятие устойчивости на примере  простой системы "шар-поверхность".

 

Пример.

 

На  шар, расположенный на поверхности, действует ограниченный период времени  сила f(t), достаточная для того, чтобы  вывести шар из состояния покоя в точке А.

Последующее перемещение шара определяется формой поверхности и отображается на графике  в виде зависимости перемещения  центра тяжести шара Y от времени t.

На  рис 1 отображается процесс перехода шара в новое устойчивое состояние.

Рисунок 1 - Нейтрально устойчивая система "шар-плоскость"

 

На  рис 2 отображается процесс возвращения шара в прежнее устойчивое состояние.

На  рис 3 процесс неустойчивый — шар не возвращается в прежнее или новое устойчивое состояние.

Рисунок 2 - Устойчивая колебательная система "шар-плоскость"

 

Рисунок 3 - Неустойчивая система "шар-плоскость"

 

Реальная техническая система  должна быть устойчивой. Эффективность  работы устойчивой ДС оценивают по прямым и интегральным оценкам качества. Вычисление оценок проводят по графикам динамических характеристик.

Будем считать, что в результате наблюдения или математического  моделирования ДС получены различные  динамические характеристики устойчивого OИ, изображенные на рис.4 и 5.

Рисунок 4 - Оценка качества монотонных характеристик ДС

Рисунок 5 -Оценка колебательных характеристик ДС

 

2 Методы оценки устойчивости динамических систем. Определение параметров математических моделей из условия устойчивости ДС.

 

Реальная техническая система  должна быть устойчива. Выше (разд. 1) это свойство ДС мы определили как условие, обеспечивающее ее работоспособность. Рассмотренный там же пример (7) показывает один из методов экспериментальной оценки устойчивости ДС: ее нужно вывести из состояния покоя или равномерного движения и наблюдать характер движения. Имея математическую модель ДС, мы можем аналитически или численно имитировать этот эксперимент, то есть решить соответствующие уравнения относительно выходного сигнала. Иногда можно оценить устойчивость и не ре-шая уравнения математических моделей, а оценивая соотношения параметров специальными косвенными методами, разработанными в ТАУ. Приведем без доказательств алгоритмы оценки устойчивости ДС. Пусть линейная (линеаризованная) ДС описывается математической моделью в виде дифференциального уравнения где коэффициенты A0, ..., An, B0, ..., Bm представляют собой параметры ДС, а оператор Р= d/dt. Решение дифференциального уравнения определяется как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (1) c правой частью и общего решения уравнения (1) без правой части, то есть с правой частью, равной нулю: Y(t)= Yчаст(t)+ Yобщ(t) (2) В случае Yчаст = const— это будет установившееся значение. В (2) первое слагаемое называют также  вынужденным решением, а второе слагаемое  — переходной составляющей Yп(t), то есть: Y(t)=Yв(t)+ Yп(t) (3) Динамическая система будет  называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю . Найдем эту составляющую из (1). Для  этого необходимо решить однородное уравнение  Общее решение (4) может быть найдено в виде Дифференцируя это выражение n раз  и подставляя в (4), получаем алгебраическое выражение, которое принято называть характеристическим: Корни уравнения (6) S1, S2, ..., Sn будут  определять характер переходного процесса в системе. По своему виду уравнение (6) полностью совпадает с левой частью (1). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (1) к нулю: В (7) P=S обозначает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения. Так как в решении характеристического  уравнения содержится n корней, то переходная составляющая может быть записана в  виде где P1, P2, ..., Pn — корни характеристического  уравнения, а С1, C2, ..., Cn — постоянные времени, определяемые из начальных  условий. календарь 2011 печать Корни характеристического уравнения  определяются только видом левой  части уравнения (1), а быстрота затухания  и форма переходного процесса определяются как левой, так и  правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако устойчивость ДС не зависит  от вида правой части дифференциального  уравнения (1) и определяется только характеристическим уравнением (7). Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти  случаи.

Методология оперативной динамической диагностики и оценки финансово-экономического состояния предприятия в целом (т. е. методология создания устойчивой системы, оценивающей свое интегральное состояние) - одна из ключевых тем в экономической литературе, что доказывает ее актуальность и востребованность для действующих предприятий. Реальная жизнь и требования современных рынков таковы, что эффективное управление невозможно без принципа оперативности. Поиски "оперативных" методов контроля и диагностики состояния предприятия (группы предприятий) заставляют развиваться данную область довольно быстрыми темпами. Данная проблема - предмет пристального изучения, свидетельством чему является растущее число публикаций в научной и специальной литературе.

Цель настоящей лекции - обоснование и разработка нового подхода к оперативной диагностике, оценке и прогнозированию состояния предприятия в условиях неопределенности, т. е. разработка системы управления организационно-экономической устойчивостью предприятия на основе современных техникотехнологических достижений в теории и практике управления эффективностью и устойчивостью функционирования предприятия.

2.1. Построение системы оценки организационно-экономической устойчивости промышленных корпоративных систем

 

Теоретические основы построения интегральной оценки состояния предприятия.

Производственное предприятие  можно представить как сверхсложную социальнотехническую систему, связанную  специфическими отношениями с внешней  и внутренней средой. Среду функционирования предприятия можно представить следующим образом (6). В основе данного представления лежит совокупность общественных, коллективных (групповых) и личных интересов, влияющих на состояние и развитие данной системы. Предприятие - это многопараметрический объект со сложной структурой.

 

Рис. 6  Среда функционирования предприятия

 

Описание производственно-сбытовой среды предприятия. Базовой основой внутренней среды предприятия является производственно-сбытовая система. Эта система по своей структуре и составу может изменяться в достаточно широких пределах. Эти изменения зависят от вида и объема выпускаемой продукции и услуг. Любые системы могут быть самыми простыми и состоять из одногодвух агрегатов, а могут быть весьма сложными, занимать большие производственные площади и состоять из сложных автоматов и автоматизированных линий. Но все они по своему составу характеризуются определенными блоками и в любом случае имеют внешнюю и внутреннюю среду. А внутренняя среда базируется на производственно-сбытовой системе.

Основой производственно-сбытовой системы  являются непосредственно производственный, снабженческий и сбытовой процессы, рассматриваемые как операционная система по схеме "производство - операция".

Введем нужные для дальнейшего  обсуждения понятия.

Теория операций - теория выявления закономерностей законченных действий или ряда связанных между собой действий, направленных на решение определенных задач, достижение поставленных целей.

Эффективность операции - рыночная стоимость производственных "выходов" системы, деленная на общие затраты организации, израсходованные на "входы".

Операционная система - основное звено производственно-сбытового процесса; объект управления; естественные условия целесообразной деятельности людей, объединенных одной целью. Поэтому операционной функцией являются действия, обеспечивающие выпуск "выходов" - товаров и / или услуг.

Производственно-сбытовая система  состоит из перерабатывающей (собственно производственной) подсистемы, подсистемы обеспечения, подсистемы реализации сервисного обслуживания, а также информационной подсистемы (7).

 
Рис. 7.  Схема функционирования производственно-сбытовой системы предприятия

 

Выделение указанных пяти подсистем  в производственно-сбытовой системе  предприятия базируется на фундаментальных  принципах осуществления производственно-хозяйственной  деятельности. Логистическая и маркетинговая функциональности предприятия напрямую определяют и управляют параметрами деятельности таких подсистем, как подсистема снабжения (обеспечения), сбыта (реализации), а также непосредственно воздействуют на эффективность функционирования подсистемы общехозяйственного (сервисного) обслуживания.

В данном разрезе общехозяйственную  подсистему следует рассматривать  как подсистему вспомогательного производства, от эффективности и устойчивости функционирования которой в значительной степени зависит устойчивость деятельности служб перерабатывающей (собственно производной) подсистемы. Под подсистемой реализации в данном контексте необходимо понимать всю совокупность служб, или функциональностей, предприятия, обеспечивающих эффективность и устойчивость процесса доведения продукции предприятия до конечного потребителя.

Выделенные подсистемы обладают рядом  характеристик и особенностей на каждом конкретном предприятии, что  невозможно учитывать в процессе оперативного анализа и оценки эффективности  и устойчивости деятельности без надлежащей информационной подсистемы (часть общей информационной системы предприятия), являющейся базой для принятия не только управленческих решений, но и текущих производственных решений. В связи с этим указанные подсистемы также включены в общую схему снабженческопроизводственно-сбытового процесса, или производственно-сбытовой системы. Употребление термина "производственно-сбытовая" обуславливается тем, что любой эффективный и устойчивый производственный процесс автоматически подразумевает наличие необходимых и достаточных ресурсов, что тем самым снимает необходимость употребления термина "снабженческий".

Все потоки, проходящие через систему  предприятия (материальные, финансовые, информационные), проходят различные  этапы снабженческопроизводственно-сбытового процесса: производственнотехнологический, транспортные, погрузочноразгрузочные, складские и т. д. Для получения интегрированной оценки необходимо выделить укрупненные подсистемы. Они являются "узлами прохождения потоков на предприятии", что позволит провести оперативную оценку эффективности прохождения указанных потоков в целях оценки устойчивости функционирования предприятия.

Таким образом, эффективность и  устойчивость функционирования производственно-сбытовой системы напрямую зависят от эффективности деятельности маркетинговой и логистической функциональностей предприятия, базирующихся на оценке и управлении потоками на предприятии. Данное обстоятельство отражено при выборе актуальных параметров и показателей для построения интегрального показателя оценки организационно-экономической деятельности предприятия.

Элементы производственно-сбытовой системы подразделяются на четыре основные категории: трудовые ресурсы; орудия и  средства производства; материальные ресурсы; финансовые и информационные ресурсы. Каждый из этих элементов представляет собой крупную интеграцию из множества образующих, которые дифференцируются на еще более мелкие группировки. Например, орудия и средства производства состоят из отдельных видов машин, зданий, кранов, материальные ресурсы - из материалов, полуфабрикатов, трудовые ресурсы - из рабочих и управленцев различной квалификации.

Для создания работоспособной операционной системы, позволяющей выполнять  целенаправленные операции с развитием  их в пространстве и во времени, необходимо рассчитать и создать организационную модель операционной системы с расстановкой и взаимоувязкой необходимого количества производственных элементов по каждой операции, обеспечить функционирование операционной системы с максимальными показателями устойчивости.

Функционирование - это движение системы  во времени при переменных величинах  множества функций, зависящих от конкретных ситуаций производства. Сложность  задачи в том, что операционная система  всегда функционирует в условиях неопределенности с различной степенью вероятности развития производственных ситуаций. Производственный менеджмент направлен на развитие операционной системы без значительных отклонений от намеченного пути достижения цели. Чтобы обеспечить выполнение таких функций, требуется динамически изменяемая (совместно с преобразованием операционной системы) подсистема, объектом управления которой является производственно-сбытовой процесс.

Производственно-сбытовая деятельность предприятия неразрывно связана  с техническим совершенствованием производства, процессов снабжения и реализации, т. е. логистических процессов во времени, а также с необходимостью проведения научноисследовательских и опытноконструкторских работ, внедрением новейших технологий. Все эти инновационные процессы требуют тщательного анализа потенциальных результатов, а впоследствии - оперативной оценки и контроля за их выполнением.

Принципы и правила функционирования логистической и маркетинговой  систем на предприятии налагают свои ограничения и предоставляют  свои преимущества в процессе реализации производственно-сбытовой функции предприятия. Необходимые затраты, получаемые выгоды - все это предмет пристального внимания при анализе и оценке уровня производственно-сбытового потенциала предприятия и его влияния на организационно-экономическую устойчивость.

Непосредственное влияние на эффективность  и устойчивость производственно-сбытовой системы оказывают экономические  категории - тип и сфера деятельности.

Вложение необходимых средств, отвлечение ресурсов на осуществление производственно-сбытового процесса существенным образом сказываются на устойчивости финансовой системы, эффективность функционирования которой влияет на устойчивость самой производственно-сбытовой системы.

Таким образом, при анализе состояния  предприятия, оперативной оценке его организационно-экономической устойчивости необходимо учитывать, что любая отрасль материального производства имеет свои особенности, которые воплощаются в специфике производственно-сбытовых процессов, влияющей на построение и функционирование маркетинговой, производственной и логистической систем предприятия. Но все производственно-сбытовые процессы базируются на определенных общих принципах:

• чередование подвижных и неподвижных форм состояния элементов производства с возможным перемещением отдельных предметов, орудий и живого труда;
• изменение длительности технологических процессов;
• неопределенность сочетания операций в пространстве и во времени;
• сложность и комплексность структуры;
• динамичность и гибкость производственных систем;
• совокупность взаимосвязей внешней и внутренней среды производства;
• определенность инфраструктуры в зависимости от вида производства;
• сочетание различных форм разделения общественного труда.

Претворение указанных принципов  в производственную практику требует системного подхода, учета результатов единства теории и практики, динамического, вариантного и балансового подходов в изучении и принятии организационноуправленческих решений.

Описание финансово-экономической  системы предприятия. Особое значение финансовой системы предприятия в том, что она определяет и взаимосвязана со всеми сторонами экономической деятельности - маркетинговой, производственной, научнотехнической, снабженческосбытовой, кадровой и т. д. - и отражает в концентрированном виде влияние многочисленных внутренних и внешних факторов на эффективность деятельности предприятия, следовательно, на уровень его организационно-экономической устойчивости. Поэтому целесообразно финансовую систему рассматривать во взаимоувязке с экономической системой, определяя последнюю как совокупность следующих функций предприятия:

• планирование и анализ технологических норм и нормативов;
• разработка необходимых показателей производственной, в том числе трудовой, деятельности;
• стратегическое планирование;
• определение экономических показателей развития и т. п.

Таким образом, финансово-экономическую  систему можно представить в  виде следующей схемы (рис. 8)

 
Рис. 8.  Схема функционирования финансово-экономической системы предприятия

Как видно на схеме (рис. 8), функционирование финансово-экономической системы базируется на реализации прохождения всех финансовых потоков на предприятии. Выделенная подсистема финансового обеспечения, включающая в себя используемые финансовые методы и рычаги осуществления хозяйственной деятельности, основывается на подсистеме экономического планирования. Она определяет параметры и направления развития предприятия, необходимый и достаточный уровень эффективности функционирования предприятия в целом, а также возможности и ограничения увеличения потенциала его организационно-экономической устойчивости.

Подсистема экономического планирования в свою очередь базируется на информационной подсистеме, надлежащая работа которой определяет эффективность функционирования подсистемы планирования и, соответственно, финансовой подсистемы. Существенную роль в эффективности результатов деятельности подсистемы экономического планирования играет подсистема научнотехнического развития. Использование наилучших методов и технологий позволяет предприятию реализовывать и развивать его конкурентные преимущества, повышая таким образом уровень эффективности и устойчивости функционирования в условиях высокого уровня неопределенности, которой обладает внешняя среда деятельности предприятия.