Застосування математичних лінійних моделей та крутого сходження з метою підвищення властивостей сталі 25ХГМ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

 

 

Кафедра фізичного матеріалознавства

 

 

 

 

Розрахунково-графічне завдання

 

“Застосування математичних лінійних моделей та крутого сходження з метою підвищення властивостей сталі 25ХГМ”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

  Большинство исследований проводят для установления с помощью эксперимента функциональных или статистических связей между несколькими величинами или для решения экстремальных задач. Классический метод постановки эксперимента предусматривает фиксирование на принятых уровнях всех переменных факторов, кроме одного, значения которого определенным образом изменяют в области его существования. Этот метод составляет основу однофакторного эксперимента. При однофакторном эксперименте, варьируя один фактор и стабилизируя все прочие на выбранных уровнях, находят зависимость исследуемой величины только от одного фактора. Производя большое число однофакторных экспериментов при изучении многофакторной системы, получают частотные зависимости, представленные многими графиками, имеющими иллюстративный характер. Найденные таким образом частные зависимости невозможно объединить в одну общую.

Использование однофакторного эксперимента для всестороннего 
исследования многофакторного процесса требует постановки очень большого числа опытов. Для их выполнения в ряде случаев необходимо значительное время, в течение которого влияние неконтролируемых факторов на результаты опытов может существенно измениться. По этой причине данные большого числа опытов оказываются несопоставимыми. Отсюда следует, что результаты однофакторных экспериментов, полученные при исследовании многофакторных систем, часто малопригодны для практического использования. Кроме того, при решении экстремальных задач данные значительного числа опытов оказываются ненужными, так как получены они для области, далекой от оптимума. Для изучения многофакторных систем наиболее целесообразным является применение статистических методов планирования эксперимента. Под планированием эксперимента понимают процесс определения числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Планирование эксперимента — это новый   раздел   математической статистики. Внем всесторонне рассматриваются статистические методы планирования эксперимента. Эти методы позволяют во многих случаях при минимальном числе опытов получать модели многофакторных процессов.

Эффективность использования статистических методов планирования эксперимента при исследовании технологических процессов 
объясняется тем, что многие важные характеристики этих процессов являются случайными величинами, распределения которых 
близко следуют нормальному закону.

Характерными особенностями процесса планирования эксперимента являются стремление минимизировать число опытов; одновременное варьирование всех исследуемых факторов по специальным правилам — алгоритмам; применение математического аппарата, формализующего многие действия исследователя; выбор стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.

 

1. ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА ДЕТАЛИ ИЗ СТАЛИ 25ХГМ

Сталь марки 25ХГМ: хромомарганцевая сталь с содержанием углерода 0,25%, до 1% хрома, марганца и молибдена. Назначение: зубчатые колеса, валы, шестерни, кулачковые муфты, червяки, поршневые пальцы, оси, коленчатые валы, втулки и другие нагруженные крупные деталями, работающие в условиях ударных нагрузок.

Сталь 25ХГМ можно классифицировать по следующим признакам:

- по назначению - конструкционная (машиностроительная) цементируемая (нитроцементируемая);

-по химическому составу – легированная;

-по содержания углерода – низкоуглеродистая;

-по степени раскисления – спокойная.

Рассмотрим марку стали 25ХГМ. В таблице 1.1, 1.2 та 1.3 приведены данные химического состава, критических  точек, механических свойств после оптимального режиму термической  обработки.

Таблица 1.1. – Критичкие точки стали  25ХГМ

Марка стали	Ac1	Ac3(Acm)	Ar3(Arcm)	Ar1
25ХГМ	770	825	665	860

 

Таблиця 1.2. –Химический состав 25ХГМ, %

C	Mo	Cr	Mn	Si	S	P
0,23-0,29	0,2-0,3	0,9-1,2	0,9-1,2	0,17-0,37	≤ 0.035	≤ 0.030

 

Таблица 1.3. – Механические свойства стали 25ХГМ

Ϭв, МПа	Ϭ0,2, МПа	δ, %	Ψ, %	KCU, Дж/ cм^2
1200	1100	10	45	780

 

  Анализ влияния углерода и легирующих элементов стали на технологию ее термообработки и полученные результаты.

Хром – очень распространенный легирующий элемент. Он повышает точку А3 и понижают точку А4 (замыкает область γ-железа). Температура эвтектоидного превращения стали (точку А1) в присутствии хрома повышается, а содержание углерода в эвтектоиде (перлите) понижается. С углеродом хром образует карбиды (Cr7C3,Cr4C) более прочные и устойчивые, чем цементит. При содержании хрома 3 - 5% в стали одновременно присутствуют легированный цементит и карбид хрома Cr7C3, а если более 5% хрома, то в стали находится только карбид хрома. Растворяясь в феррите, хром повышает его твердость и прочность и прочность, незначительно снижая вязкость. Хром значительно увеличивает устойчивость переохлажденного аустенита. Хром значительно уменьшает критическую скорость закалки, поэтому хромистая сталь обладает глубокой прокаливаемостью. Температура мартенситного превращения при наличии хрома снижается. Хром препятствует росту зерна и повышает устойчивость против отпуска. Поэтому отпуск хромистых сталей проводится при более высоких температурах по сравнению с отпуском углеродистых сталей. Хромистые стали подвержены отпускной хрупкости и поэтому после отпуска детали следует охлаждать быстро (в масле).

Карбидообразующими элементами являются хром и марганец. При растворении карбидообразующих элементов в цементите образующиеся карбиды называются легированным цементитом. При повышении содержания карбидообразующего элемента образуются самостоятельные карбиды данного элемента с углеродом, так называемые простые карбиды, например, Cr7C3, Cr4C, Mo2C. Все карбиды очень тверды (HRC 70 - 75) и плавятся при высокой температуре (Cr7C3примерно при 1700°С).

Введение легирующих элементов оказывает влияние на перлитное превращение. Температура перлитного превращения под влиянием различных легирующих элементов может понижаться или повышаться, а концентрация углерода в перлите уменьшается. В связи с этим точка S на диаграмме Fe—Fe3C понижается или повышается и одновременно сдвигается влево. Следовательно, при введении легирующих элементов происходит смещение равновесных точек на диаграмме Fe—Fe3C.

При наличии карбидообразующих элементов кривая изотермического распада не сохраняет свой обычный С-образный вид, а становится как бы двойной С-образной кривой. На такой кривой наблюдаются две зоны минимальной устойчивости аустенита и между ними – зона максимальной устойчивости аустенита. Верхняя зона минимальной устойчивости аустенита расположена в интервале температур 600 - 650°С. В этой зоне происходит распад переохлажденного аустенита с образованием феррито-цементитной смеси.

Нижняя зона минимальной устойчивости аустенита расположена в интервале температур 300 - 400°С. В этой зоне происходит распад переохлажденного аустенита с образованием игольчатого троостита, которая изображена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. - Микроструктура игольчатого троостита

Необходимо иметь в виду, что карбидообразующие элементы только в том случае повышают устойчивость аустенита, если они растворены в аустените. Если же карбиды находятся вне раствора в виде обособленных карбидов, то аустенит, наоборот, становится менее устойчивым. Это объясняется тем, что карбиды являются центрами кристаллизации, а также тем, что наличии нерастворенных карбидов приводит к обеднению аустенита легирующим элементом и углеродом.

При большом содержании хрома в стали находятся специальные карбиды хрома. Твердость такой стали при нагревании до более высокой температуры 400 - 450°С почти не изменяется. При нагревании до более высокой температуры (450 - 500°С) происходит повышение твердости.

Сталь 25ХГМ поставляется заказчику в горячекатаном состоянии. После прокатки сталь охлаждают на воздухе. Структура – мелкозернистый перлит и феррит. Твёрдость – НВ 2050…2150. Механическая обработка резаньем стали такой структуры и твёрдостью очень затруднена. С целью улучшения обрабатываемости и подготовки структуры к окончательной термической обработке сталь подвергают предварительной термической обработке.

Режим операций предварительной и окончательной термообработки деталей изготовленного из стали 25 ХГМ:

Отжиг - цементация - механическая обработка - закалка отпуск - механическая обработка;

Способ предварительной термической обработки выбирается в зависимости от марки стали. Для заготовки из стали 25ХГМ выбираем изотермический отжиг. Отжиг состоит в нагреве до определённой температуры с последующей выдержкой и медленным охлаждением в печи для получения равновесной, менее твёрдой структуры, свободной от остаточных напряжений.

Температура нагрева для отжига рассчитывается по формуле:

tn = АС3+(30…50) °С = 860 + (30…50) °С = 890…910°С

Отжиг производится в следующей последовательности:

Нагрев до температуры 890…910`C;

Сравнительно быстрое охлаждение до 615…635°С/мин;

Выдержка. Время изотермической выдержки определяем по справочнику. Для каждой стали свой график изотермического процесса;

Охлаждение на воздухе.

Окончательная термическая обработка:

Операция окончательной термической обработки выбираются в зависимости от технических требований к заданной детали. Так как по техническим требованиям необходима высокая твёрдость и контактная выносливость, выбираем, с учётом марки стали, следующие операции: цементация, закалка в масле и низкий отпуск. Цементацией называется процесс диффузионного насыщения поверхностного слоя стальных деталей углеродом. Выбор последовательности всех операций термической обработки.

Назначение режимов окончательной термической обработки.

Температура нагрева рассчитаем по формуле:

tn = АС3+(30…50) °C = 860 + (30…50) °C = 890…910°C

Время выдержки. Учитывая, что при газовой цементации цементированный слой толщиной 1 мм образуется за 6 - 7 часов, примем время выдержки равное 10 – 12 часам.

3) В качестве закаливающей среды  выбираем масло трансформаторное, температурой 170°C.

4) Температура нагрева при отпуске: tн =180°C

5) Продолжение отпуска: 1,5-2 часа.

Окончательная структура после термической обработки – мартенсит отпуска с включениями глобулярных карбидов, сердцевина – сорбит, тростит.

 

2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. 
Так, например, для двух факторов полный факторный эксперимент 
типа 2* можно представить матрицей. Число строк в матрице равно количеству опытов. Знаками + 1 и - 1 обозначают уровни факторов х1 и х2 в опытах.  Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо +1 пишут только +, а вместо -1 — только-. 
Для движения по градиенту необходима линейная модель. При к =2 
моделью будет уравнение регрессии вида  y = bo+ b1 x1+ b2 x2.

После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов варьировании факторов переходят к эксперименту. Каждая строка матрицы — это условия опыта. Для исключения систематических ошибок рекомендуется опыты, предусмотренные матрицей, проводить в случайной последовательности.

Обработку результатов эксперимента производят по следующей схеме.

1. Для вычисления дисперсии sy2 воспроизводимости эксперимента выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (в центре плана). При постановке опытов в нулевой точке все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опытов в центре плана вычисляют дисперсию sy2 воспроизводимости эксперимента

где n0 -число параллельных опытов в нулевой точке; уu - значение параметра оптимизации в u-м опыте; у — среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 параллельных опытах.

2. Закончив эксперимент, вычисляют  коэффициенты модели. 
Свободный член bo определяют по формуле

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты, 
вычисляют по выражению

Коэффиценты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия, определяют по формуле

где i, l — номера факторов; j — номер строки или опыта в матрице планирования; уj — значение параметра оптимизации в j- м опыте; xij xlj кодированные значения (±1) факторов i и l в j-м опыте.

3. Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. Проверку значимости коэффициентов можно производить двумя способами: 1) сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом; 2) с помощью (критерия.

При проверке значимости коэффициентов первым способом для 
определения доверительного интервала вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии по выражению

где s2{bi] — дисперсия i-го коэффициента регрессии; N - число 
строк или опытов в матрице планирования.

Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. При проверке значимости коэффициентов вторым 
способом вычисляют критерий tp

4. Определяют дисперсию S2а   адекватности по формуле

где yi - наблюденное значение параметра оптимизации в j- м  опыте;              уj -значение параметра оптимизации, вычисленное по модели 
для условий j- го опыта; f— число степеней свободы, которое для 
линейной модели определяется по выражению f=N-(к+1), где к — число факторов.

5. Проверяют гипотезу адекватности  модели по F-критерию.

Если FР<FТ для принятого уровня значимости и соответствующих чисел степеней свободы, то модель считают адекватной. При FР>FТ гипотеза адекватности отвергается. В этом случае для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений: 1) переходят к планированию второго или более высокого порядка; 2) уменьшают интервалы варьирования и ставят новый эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого восхождения. Необходимо заметить, что крутое восхождение эффективно тогда, когда все коэффициенты при факторах значимы. Незначимость некоторых коэффициентов может получиться вследствие неудачно выбранных интервалов варьирования; включения факторов, не влияющих на параметр оптимизации: большой ошибки опыта.

Принятие решения в данной ситуации зависит от того, какая их трех гипотез выбрана. Если принята первая гипотеза, то изменяю интервалы варьирования по незначимым факторам и ставят новую серию опытов. Если принята вторая, то не влияющие факторы стабилизируют и исключают из опытов. Если принята третья гипотеза, то увеличивают число параллельных опытов.   Увеличение числа этих опытов приводит к уменьшению дисперсии коэффициентов и величины доверительного интервала, в результате все или часть коэффициентов могут оказаться значимыми. Возможен случай, когда 
все коэффициенты, кроме b0, незначимы, а модель адекватна. Такая ситуация чаше всего возникает из-за слишком узких интервалов варьирования или вследствие большой ошибки опыта. В этой ситуации возможны два решения; 1) расширение интервалов варьирования или 2) повышение точности эксперимента путем улучшения методики проведения опытов и увеличения числа параллельных опытов.

 

3.ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Причинами  для проведения оптимизации состава стали с использованием методик математического моделирования являются:

1) повышение точности химического состава выплавки;

2) оптимизация химического состава  материала;

3) зависимость химического состава  и механических свойств от  условий эксплуатации;

4) возможность получения прибыли  за счет повышения качества  стали.

В таблице 3.1 приведены условия проведения эксперимента. Факторы выбирают с учетом их влияния на характеристику, которую определяют, то есть предел текучести. Нулевой уровень определяют как среднее значение интервала варьирования

Таблиця 3.1 –Условия проведения эксперимента

Фактори	Код	-1	0	+1	Предел текучести, МПа
Концентрація вуглецю, %	X1	0,23	0,26	0,29	1079
Температура гартування, °С	X2	850	860	870	1080
Температура відпуску, °С	X3	180	190	200	1077
Міцність, Мпа	X4	1100	1150	1200	1076

 

Разрабатываем математическую модель, в которой отображается зависимость между факторами и пределом текучести. Поскольку для оптимизации стали было выбрано 4 фактора, то можна определить, что для выполнения полного факторного эксперимента необходимо провести 24 = 16 опытов. В дальнейших расчетах используем только половину реплик, полагаясь, что эффекты взаимодействия не значимы.

Матрица проведения эксперимента приведена в таблице 3.2

Таблица 3.2. - Матрица проведения эксперимента

№	X0	X1	X2	X3	X4	X1X2	X1X3	X2X3	X1X2X3	X1X2X3 X4	Y
1	+	-	-	+	+	+	-	-	+	+	1071
2	+	+	-	+	-	-	+	-	-	+	1080
3	+	-	+	+	-	-	-	+	-	+	1074
4	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	1105
5	+	-	-	-	-	+	+	+	-	+	1052
6	+	+	-	-	+	-	-	+	+	+	1080
7	+	-	+	-	+	-	+	-	+	+	1078
8	+	+	+	-	-	+	-	-	-	+	1081

 

Проверяем адекватность модели, соответствующими расчетами:

Y = (1071+1080+1074+1105+1052+1080+1078+1081)/8 =1077,63 – середнє значення теплостійкості на нульовому рівні.

S²y = 1/(n-1)Ʃ(Y-Yn)² = 1/(4-1)*((1077,63-1071)²+ (1077,63-1080)²+ (1077,63-1074)²+ (1077,63-1105)²+ (1077,63-1052)²+ (1077,63-1080)²+ (1077,63-1078)²+ (1077,63-1081)²) = 3,520833333

 

Sy=√ S²y=√3,520833333= 1,87

 

S{bi}=(S²y/N)= (3,520833333/8)= 0,440104167

 

 

∆bi =tg*S{bi}=3.18*√0,440104167= 2,109623041

 

 

bo=1/N Ʃxo yi=(1/8)*( 1071+1080+1074+1105+1052+1080+1078+1081)    =1077,63

 

b1 =1/8*(-1071+1080-1074+1105-1052+1080-1078+1081) = 8,875

 

b 2 =1/8*(-1071-1080+1074+1105-1052-1080+1078+1081) = 6,875

 

b3 =1/8*(1071+1080+1074+1105-1052-1080-1078-1081) = 4,875

 

b4 =1/8*(1071-1080-1074+1105-1052+1080+1078-1081) = 5,875

        b12 =1/8*(1071-1080-1074+1105+1052-1080-1078+1081) = -0,375

 

 

        b23= 1/8*(-1071-1080+1074+1105+1052+1080-1078-1081) = 0,125

 

 

        b123 =1/8*(1071-1080-1074+1105-1052+1080+1078-1081) = 5,875

 

        b1234 =1/8*(1071+1080+1074+1105+1052+1080+1078+1081) = 134,7031

 

Сравниваем полученные коэффициенты с доверительным интервалом   эксперимента ∆bi   для того чтобы определить их значимость. Если bi<∆bi , то коэффициент является незначимым. Определяем что  b12,  b23 – незначимы коэффициенты, а b1, b2, b3, b4, b123, b1234 - значимы коэффициенты. Исходя из этого получим уравнение:

y = bo+ b1 x1+ b2 x2+ b3 x3+ b4 x4 + b123х1 х2 х3+ b1234 х1 х2 х3 х4 = 1077,63 +

8,875x1+ 6,875x2+ 4,875x3+ 5,875x4 + 5,875х1 х2 х3+ 134,7031х1 х2 х3 х4

у1 = 1077,63 - 8,875- 6,875+ 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1072,63

у2 = 1077,63 + 8,875- 6,875+ 4,875- 5,875 - 5,875+ 134,7031= 1078,63

у3 = 1077,63 - 8,875+ 6,875+ 4,875- 5,875 - 5,875+ 134,7031= 1074,63

у4 = 1077,63 +8,875+ 6,875+ 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1104,13

у5 = 1077,63 - 8,875- 6,875- 4,875- 5,875 - 5,875+ 134,7031= 1051,13

у6 = 1077,63 +8,875- 6,875- 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1080,63

у7 = 1077,63 - 8,875+ 6,875- 4,875+ 5,875 + 5,875+ 134,7031= 1076,63

у8 = 1077,63 +8,875+ 6,875- 4,875-5,875 - 5,875+ 134,7031= 1082,63

Проверим адекватность модели:

S²ад=1/(N-(k+1))Ʃ(Y-Yj)² = 1474,50/ (8-5)= 491,50

 

Fр = S2ад/S2y = 491,50/3,520833333= 139,5976521

 

Значение рассчитанного критерия Фишера Fр = 139,5976521 больше табличного значения Fт = 9,3 – модель не адекватна.

 

 

Вывод

Для получения адекватной модели принимают одно из следующих решений: 1) переходят к планированию второго или более высокого порядка; 2) уменьшают интервалы варьирования и ставят новый эксперимент, повторяя эти действия до получения адекватной линейной модели.

Используя данную математическую модель, можно контролировать значение предела текучести, путем изменения значений факторов, которые на него влияют.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.Геллер Ю.А. Инструментальные стали.– М.:Металлургия,1983.

2. Методичні вказівки до лабораторних  робіт із дисципліни «Термічна  обробка»/Укл.: Бабицька Г.М., Грабовський  В.Я., Лазечний І.М. – Запоріжжя: ЗНТУ,2002. – 88с.

3. Материаловедение/ под  ред.  Б.Н.  Арзамасова. –  М.: Машиностроение, 1986. – 384 с. 4. Лахтин  Ю.М.,  Леонтьева  В.П.  Материаловедение. –  М.: Машиностроение, 1980. – 528 с.

5. Марочник сталей и сплавов: Справочник /Под ред. В.Г. Сорокина. – М.: Машиностроение, 1989. – 640 с.

6. Конструкционные  материалы:  Справочник /Под  ред.  Б.Н. Арзамасова. – М.: Машиностроение, 1990. – 688 с.

7. Смольников  В.А.  Термическая  и химико-термическая  обработка инструментов  в  соляных  ваннах. –  М.:  Машиностроение, 1989. – 312 с.

8. Башнин Ю.А., Ушаков  Б.К., Секей  А.Г. Технология термической обработки стали. – М.: Металлургия, 1986. – 424 с.

9.Сергейчев И.М.,Печковский А.М. Термическая обработка режущего и измерительного инструмента М.:Машиностроение,1967