Содержание

Введение

Адаптивная  модель прогнозирования - самонастраивающаяся рекуррентная модель, способная отражать изменяющиеся во времени динамические свойства временного ряда и учитывать информационную ценность его членов.

       Преимущество  адаптивных моделей в том, что  они отражают динамические свойства временного ряда и учитывают информационную ценность его ретроспективных членов и поэтому способны давать достаточно точные оценки будущих значений. Такие модели предназначаются прежде всего для краткосрочного прогнозирования. Они позволяют достичь компромисса между требованием статистических подходов к увеличению объемов выборки для получения более точных оценок и требованием гомогенности (однородности) данных, ибо чем больше период наблюдений, тем выше вероятность того, что исследуемый процесс или объект претерпел коренные изменения.

       Адаптивные  модели обладают высокой гибкостью, но при этом достаточно низкой универсальностью, поскольку приспосабливаются к  конкретному ряду. Поэтому при  построении и обосновании моделей  необходимо учитывать наиболее вероятные закономерности развития исследуемого процесса и соотносить динамические свойства ряда с их структурой и возможностями.

       К числу наиболее популярных адаптивных прогностических моделей можно  отнести модели Хольта, Брауна, Бокса-Дженкинса и др. 
 

§1. Трендовые модели на основе кривых роста.

       Основная  цель создания трендовых моделей  экономической динамики — на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образовании одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

       Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

     • временной ряд экономического показателя действительно

     имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

     •общие условия, определявшие развитие показателя в

     прошлом, останутся без существенных изменений  в течение

          периода упреждения.

       В настоящее время насчитывается  большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

y_t = а₀ + a₁+t (полином первой степени)

y_t = а₀ + a₁+t + a₂t² (полином второй степени)

       y_t = а₀ + a₁+t + a₂t² +a₃t³ (полином третьей степени)

       и т.д.

       Параметр, a₁ называют линейным приростом, параметр a₂ — ускорением роста, параметр а₃ — изменением ускорения роста.

         Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле u_t = y_t –y_t-1, t = 2, 3, ..., n,

то они будут постоянной величиной и равны a₁.

       Если  первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь  линейную зависимость от времени  и ряд из первых приростов u₂, u₃,... на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты для полинома второй степени будут постоянны.

       Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле , будут постоянной величиной. На основе сказанного можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

• от полинома высокого порядка можно путем  расчета последовательных

разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

• значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции y_t.

       Таким образом, полиномиальные кривые роста  можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования  экономических процессов, в которых  последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

       В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

       Простая экспонента представляется в виде функции.

                                               yt=ab^t,                                                              (1)

где а и b — положительные числа, при этом, если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы — функция убывает.

       Можно заметить, что ордината данной функции  изменяется с постоянным темпом прироста. Если взять отношение прироста к самой ординате, оно будет постоянной величиной:

       Прологарифмируем  выражение для данной функции  по любому основанию:

       Отсюда  можно заметить, что логарифмы ординат простой экспоненты линейно зависят от времени.

       Модифицированная экспонента имеет вид

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

       Если  прологарифмировать первые приросты данной функции, то получится функция, линейно зависящая от времени, а если взять отношение двух последовательных приростов, то оно будет постоянной величиной:

       В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

       Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

yt = ka^b,                             (3)

где а, b — положительные параметры, причем b меньше единицы; параметр k — асимптота функции. В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом — прирост функции незначителен, на втором — прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом — происходит замедление темпов прироста, и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

       Логарифм  данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции -  линейная функция времени.

       На  основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования  показателей смертности и т. д.

       Логистическая кривая, или кривая Перла—Рида — возрастающая

функция, наиболее часто выражаемая в виде

другие  виды этой кривой:

       В этих выражениях а и b — положительные параметры; k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

       Если  взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания  логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная

функция от времени.

       Конфигурация  графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие  от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую  с точкой перегиба.

       Рассмотрим  проблему предварительного выбора вида

кривой  роста для конкретного временного ряда. Допустим,

имеется временной ряд у₁,у₂,у₃,...,у_n.

       Для выбора вида полиномиальной кривой роста  наиболее

распространенным  методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

       На  первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:

       Для аппроксимации экономических процессов  обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

       Затем для исходного ряда и для каждого  разностного ряда вычисляются дисперсии по следующим формулам: для исходного ряда

для разностного  ряда k-го порядка (k = 1, 2,...)

       Производится  сравнение отклонений каждой последующей  дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются  величины

и если для какого-либо k эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.

       Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания т = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

причем  чтобы не потерять первый и последний  уровни, их сглаживают по формулам

Затем вычисляются первые средние приросты

вторые средние приросты

а также  ряд производных величин, связанных  с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

       В соответствии с характером изменения  средних приростов и производных  показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 1.

       На  практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста  для дальнейшего исследования и  построения трендовой модели данного  временного ряда.

Рассмотрим  методы определения параметров отобранных кривых роста. Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Таблица 1

Для полинома первой степени

y_t =a₀ + a_1t 

система нормальных уравнений имеет вид:

где знак суммирования распространяется на все  моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда.

       Аналогичная система для полинома второй степени

       y_t = a₀ + a₁t + a₂t²,

имеет вид

       Для полинома третьей степени

       y_t = a₀ + a₁t + a₂t²+ a₃t³

система нормальных уравнений записывается следующим образом: 

       Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты

                                                   y_t=ab^t

предварительно  логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или  натуральному):

т.е. для  логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

       При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.

       Если  значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др.

       Таким образом, при моделировании экономической  динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трен- довых моделей для исходного временного ряда. Встает вопрос, насколько эти модели близки к экономической реальности, отраженной во временном ряду, насколько обосновано применение этих моделей для анализа и прогнозирования изучаемого экономического явления.

§2. Оценка адекватности и точности трендовых моделей.

       Независимо  от вида и способа построения экономико-математической

модели  вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования  экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность — в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

       Трендовая модель y_t конкретного временного ряда y_t считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента εt = y_t – y_t (t = 1, 2, ..., n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания

случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты. Рассмотрим, каким образом осуществляется проверка этих свойств остаточной последовательности.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда мы располагаем набором разностей

       Характер  этих отклонений изучается с помощью  ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при n четном. Возвращаясь к исходной последовательности и сравнивая значения этой последовательности с ,будем ставить знак «плюс», если значение (превосходит медиану, и знак «минус», если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее значение опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией. Для того чтобы последовательность была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий —слишком малым. Обозначим протяженность самой длинной серии через

K_max, а общее число серий — через v. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства для 5% -ного уровня значимости:

                                                                          (8)

где квадратные скобки, как обычно, означают целую  часть числа. Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно, трендовая модель признается неадекватной. Другим критерием для данной проверки может служить критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности ( считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е. ,и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. . В обоих случаях считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности обозначим через р.

       В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота и дисперсия выражаются формулами:

       Критерием случайности с 5% -ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства

где квадратные скобки, как и ранее, означают целую  часть числа. Если это неравенство  не выполняется, трендовая модель считается  неадекватной.

Проверка  соответствия распределения случайной компоненты

нормальному закону распределения

       Может быть произведена лишь приближенно с помощью исследования показателей асимметрии ( ) и эксцесса ( ),так как временные ряды, как правило, не очень велики. При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из генеральной совокупности, поэтому можно определить только выборочные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

       В этих формулах — выборочная характеристика асимметрии; -выборочная характеристика эксцесса; и   соответствующие среднеквадратические ошибки.

Если  одновременно выполняются следующие  неравенства:

то гипотеза о нормальном характере распределения  случайной компоненты принимается.

       Если  выполняется хотя бы одно из неравенств

то гипотеза о нормальном характере распределения  отвергается, трендовая модель признается неадекватной. Другие случаи требуют  дополнительной проверки с помощью более сложных критериев.

       Кроме рассмотренного метода известен ряд  других методов проверки нормальности закона распределения случайной  величины: метод Вестергарда, RS-критерий и т. д. Рассмотрим наиболее простой из них, основанный на RS-критерии. Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S. В нашем случае Вычисленное значение RS-критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения, и если это значение не попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о нормальности распределения отвергается; в противном случае эта гипотеза принимается. Для иллюстрации приведем несколько пар значений критических границ RS-критерия для уровня значимости α= 0,05: при n= 10 нижняя граница равна 2,67, а верхняя равна 3,685; при n = 20 эти числа составляют соответственно 3,18 и 4,49; при n = 30 они равны 3,47 и 4,89.

   Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты равной нулю

       Если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

                                                                                   (11)

где — среднее арифметическое значение уровней остаточной

последовательности  ;

        — стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.

       Если  расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.