Анализ эффективности работы гарантийного центра по ремонту вычислительной техники

Министерство  образования и науки Российской Федерации 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 «Алтайский  государственный технический университет  им. И.И. Ползунова» 

                 Факультет (институт) __Информационных технологий_____________

                 Кафедра  Системы автоматизированного проектирования_____

                              наименование кафедры  
 

                                                                    Расчёт защищен с оценкой ________________

                                    

                                                                    Преподаватель  __________________________

                                                                                                  (подпись)           (и.о.фамилия)  

                                                                    “____”______________ 2010 г.

                                                          дата 
 
 
 

Расчётное задание 

Анализ  эффективности работы гарантийного центра по ремонту вычислительной техники

название  работы 

по дисциплине ___Модели и методы анализа проектных  решений __ 

                                                      
 
 
 
 
 
 
 

   Студентка группы ____________САПР - 91  _________   Марков А.В. _

                                                                                               и.о., фамилия

   Преподаватель   ____профессор   ________________      О.П. Иванов    ___

                                                
 
 

БАРНАУЛ 2010

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Описание процесса функционирования объекта проектирования и задание его характеристик…………………………………………………...….10
2. Задание условия работоспособности……………………………….……11
3. Задание переменных проектирования…………………………………...12
4. Описание математической модели объекта проектирования………….13
5. Задание первого проектного решения………………………..………….16
6. Аналитическое моделирование системы, отвечающей первому проектному решению……………………………………………………...…….17
7. Проверка выполнения условия работоспособности системы, отвечающей первому проектному решению…………………………………..18
8. Синтез объекта проектирования……………………………………..…..19
9. Моделирование и синтез СМО методом статистического моделирования………………………………………………………………..….20
10. Формирование отчёта по результатам анализа и синтеза проектных решений……………………………………………………………………….….22
11. Список использованных источников…………..………………………..23
12. Приложение А…………………………………….…………………….…24
13. Приложение Б……………………………………………………………..25

 
 

 

Введение

     Проектирование  – процесс создания описания, необходимого для построения в заданных условиях еще не существующего объекта.

     Образ объекта или его составных  частей может создаваться в воображении  человека в результате творческого  процесса или генерироваться в соответствии с некоторыми алгоритмами в процессе взаимодействия человека с ЭВМ.

     Стадии  проектирования  - наиболее крупные части проектирования как процесса, развивающегося во времени.

     Стадии (этапы) проектирования подразделяют на составные части, называемые проектными процедурами.

     В свою очередь, проектные процедуры  можно расчленить на более мелкие компоненты, называемые проектными операциями.

     Проектное решение – промежуточное или конечное описание объекта проектирования, необходимое и достаточное для рассмотрения и определения дальнейшего направления или окончания проектирования.

     Проектная процедура – часть процесса проектирования, заканчивающаяся получением проектного решения.

     Создать проект объекта (или процесса) означает выбрать структуру объекта, определить значение всех его параметров и представить  результаты (проектную документацию) в установленной форме.

     Разработка  или выбор структуры объекта  есть проектная процедура, называемая структурным синтезом, а расчет (выбор) значений (собственных) параметров системы -  параметрическим синтезом.

     Следующая после синтеза группа проектных  процедур называется процедурой анализа.

     Цель  анализа – получение информации о характере функционирования объекта. Этот характер функционирования обычно описывается с помощью специальных  характеристик, для которых могут быть указаны их количественные значения. Значения таких характеристик рассматриваются как значения некоторых величин.

     Задачи  анализа делятся на задачи одновариантного и многовариантного анализа.

     К задачам многовариантного анализа  относят задачи статистического анализа и анализа чувствительности. 

     Основной целью одновариантного анализа при проектировании является проверка условий работоспособности. Очевидно, что такая проверка базируется на определении значений  y_i  .

     Для определения таких значений при  автоматизированном проектировании используется метод математического моделирования.

     Такой метод предполагает построение математической функциональной модели объекта проектирования (системы), представляющей собой в  общем случае алгоритм вычисления вектора  выходных параметров системы Y по заданным значениям векторов собственных параметров H и внешних параметров X.

     В общем виде такая модель может  быть представлена следующим образом: 

                                           Y = F(X , H ),                                                                    

     где вид функциональной зависимости  определяется структурой системы.

     Таким образом, с помощью математической модели можно реализовать процедуру  одновариантного анализа и проверить  на этой основе факт выполнения или невыполнения условий работоспособности.

     Важной  особенностью процесса проектирования является то, что оно сводится  к решению группы задач, относящихся  либо к задачам синтеза, либо к задачам анализа.

     В процессе проектирования этапы анализа и синтеза тесно взаимосвязаны. Так, после синтеза некоторого варианта объекта проектирования сразу осуществляется его анализ. На основании такого анализа либо делается заключение о работоспособности объекта (об удовлетворении им требований ТЗ), либо заключение о том, что он таким требованиям не удовлетворяет.

     При решении прикладных задач методом  статистического моделирования  часто возникает необходимость  в формировании реализаций случайных  векторов и случайных процессов, обладающих заданными вероятностными характеристиками. Задача моделирования  n-мерных векторов при n >2  достаточно сложна. Практически доступным оказывается получение реализаций  только в том случае, когда случайный вектор задается в рамках корреляционной теории. 

     Моделирование случайных процессов также представляет собой в общем случае достаточно сложную задачу. При статистическом моделировании могут быть использованы  лишь дискретные реализации случайных функций для некоторой дискретной последовательности значений аргумента t₁, t_{2 , … ,} t_n . Задача формирования реализаций случайного процесса в этом случае сводится к задаче построения n-мерного случайного вектора. Для решения такой задачи используются различные подходы, основанные на использовании корреляционных функций, каноническом разложении функций и др. .

     Рассмотрим  важный частный случай случайных процессов - процессы, происходящих в системах массового обслуживания.  В рамках таких процессов выделяются характерные подпроцессы – потоки однородных событий. Такие потоки используются для  описания процессов поступления

  заявок в систему,  обслуживания  заявок и ряд других . 

     Важной  задачей моделирования СМО в  рамках СМ является формирование реализаций таких потоков.

     Чтобы описать случайный поток однородных событий как случайный процесс, достаточно задать закон распределения, характеризующий последовательность случайных величин  t₁ , t₂ , … , t_m , … , задающих моменты наступления однородных событий. (Такие моменты отсчитываются от точки t=0 ).

     Обычно  бывает удобным вместо величин t₁ , t₂ , … , t_m  рассматривать случайные величины t₁ , t₂ , … , t_m , являющиеся длинами интервалов времени между последовательными моментами t_j ,

                                        t₁  = t₁  

                                        t₂  =  t₁ + t₂                                                                                                    

                                         .  .  .  .  .  .  .  .

                                        t _k = t₁ + t₂ + … +t _k

     Совокупность  случайных величин t_j считается заданной, если определена совместная функция распределения этих величин или функция плотности распределения этих величин f(z₁, z₂,   … , z_k).   

     Обычно  при моделировании систем используются частные случаи потоков: потоки с ограниченным последействием, стационарные потоки и потоки без последействия.

     Для стационарных потоков с ограниченным последействием временные интервалы t_j, начиная со второго (j >1), распределены одинаково.

     Плотность распределения первого интервала f₁ (z₁)  может быть найдена с помощью формулы Пальма, связывающей функцию плотности на первом интервале f₁(z₁) с функцией плотности на остальных интервалах f(z ) :

                          

     где l - интенсивность потока событий, определяемая как величина, обратная математическому ожиданию СВ, описывающей длину интервала .

     Порядок моделирования моментов появления заявок в стационарном потоке с ограниченным последействием следующий. Из последовательности случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1), выбирается случайная величина и формируется первый интервал z₁ любым из способов формирования случайной величины. Момент наступления первого события  t₁ = t₀ + z₁. Следующие моменты появления событий определяются  как  

                                  t ₂ = t₁ + z₂ ,  ….. ,  t_k = t_k-1 + z_k     

     Примером  рассматриваемого потока является поток  с равномерным распределением интервалов времени между заявками. Функция плотности f(z) такого распределения имеет вид:

                                       f(z) = 1/(b-a)  ,    a £ z £ b .                                              

     Распределение длины первого интервала между началом отсчета и первым событием потока

                                              

      Интенсивность потока определяется в виде

                                            l = 2/(a+b)

      Тогда

                                   f(z₁) = 2[1- z₁/(b-a)] / (a+b) . 

     Длины интервалов между событиями будут  определяться следующим образом

                                  и                   ,                         

где x₁ и x_i - базовые случайные величины.

     Для выполнения моделирования из соотношений необходимо найти зависимости z_i   от   x_i  для i=1 и i >1.

     Для i >1 требуемая зависимость получается следующим образом:

       

    ,

откуда

      z_i =a + (b-a)x_i

     Нахождение  требуемой  зависимости для i=1 является более сложной задачей, поскольку требует нахождения  зависимости z₁ от x₁  из соотношения

                                        .                                             

     Для частного случая, при а=0 для получения  значения z₁ используется формула

                                                                                                        

     где x – базовая случайная величина.

           В теории массового  обслуживания и на практике важную роль играет так называемый простейший поток однородных событий. Он является стационарным, ординарным и потоком без последействия.

     Для простейшего потока плотность распределения  случайной величины t_j  при j>0 имеет вид показательного распределения с параметром l

                                                      f (z) = le^{- lz}

     где l - интенсивность (плотность) потока.

     Для простейшего потока плотность распределения  на первом интервале совпадает с плотностью распределения на последующих интервалах ( f₁(z₁) = f(z) ). Длина интервала между ( j-1)-м и j-м событиями

                                                     z_j = - (1/l)×lnx_j

     Отметим, что если закон распределения  длительность интервалов времени между  потоками однородных событий распределено по нормальному закону, то плотности  распределений на первом и остальных интервалах также совпадают.

     Технология  статистического моделирования  может быть представлена в виде последовательности следующих этапов.

     1. Представление моделируемого объекта  в виде системы (установление  границ системы, выделение ее  элементов, установление взаимодействий элементов, входов и выходов системы ).

     2. Построение алгоритма функционирования  системы.

     3. Построение программы для ЭВМ.

     4. Выполнение программы (включая  ввод исходных данных).

     5. Интерпретация результатов.

     Целью данной работы является овладение технологией решения практических задач проектирования с использованием математического моделирования и информационных технологий.

 

      1 Описание процесса функционирования объекта проектирования и задание его характеристик 

     Гарантийный центр по ремонту вычислительной техники имеет четыре опытных мастера. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт 10 единиц вычислительной техники. 

     Каждая  единица вычислительной техники  в зависимости от характера неисправности также требует различного случайного времени на ремонт.

     Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. В среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать 2,5 единицы вычислительной техники.

     Показатели  эффективности: 

• относительная пропускная способность,
• абсолютная пропускная способность,
• вероятность отказа,
• среднее число занятых мастеров.

       Переменными проектирования являются производительность мастера и число мастеров.

     Условие работоспособности. Вероятность отказа – не более 0,25.

     Дополнительные  сведения. 1. Все потоки в системе – простейшие. 2. Моделирование системы осуществить как аналитически, так и с помощью метода статистического моделирования. 3. Повышение производительности мастера возможно не более, чем на 25%.

 

      2  Задание условия работоспособности 

      В условии сказано, что вероятность  отказа должна быть не более 0,25. Следовательно условие работоспособности можно записать в виде:

P_отк  ≤ 0,25.

 

3. Задание переменных проектирования

     Переменными проектирования являются :

• производительность мастера;
• количество мастеров

 

     Производительность  мастера показывает, сколько времени  мастер в среднем тратит на  один заказ. Первоначально данный показатель равен 2,5 единицам в день, т.е. по 3,2 часа на единицу вычислительной техники. Этот показатель  может быть уменьшен не более чем на 25%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

4. Описание математической модели объекта проектирования

     Анализ  работы гарантийного центра осуществляется на основе математической модели. Нами выбрана математическая схема «Система массового обслуживания» (СМО). В рамках этой схемы выбран подвид многоканальных СМО с отказами.

     В рамках расчетного задания  осуществляется анализ СМО двумя способами –  аналитическим и статистическим (методом статистического моделирования).

     При аналитическом моделировании  рассчитываются показатели относительной пропускной способности, абсолютной пропускной способности и вероятности отказа.

     Для расчёта этих показателей применяются формулы.

     В этих формулах предполагается, что потоки входящих заявок и потоки обслуженных заявок – простейшие. для их описания используются интенсивности потоков λ и μ.

     При аналитическом описании многоканальных систем используется “приведенная интенсивность” потока заявок   r = l / m .

     Заявка  получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Вероятность  такого события равна

     P_отк =  p_n = ( rⁿ /n! ) p₀,

     где, в свою очередь, величина p₀ (вероятность того, что все каналы обслуживания свободны), определяется в виде [3]

           p₀ = [ 1+ ( r /1! ) + ( r² /2! ) + … + ( rⁿ /n! ) ]^-1 

     В приведенных выше выражениях n – каналов СМО.

     Относительная пропускная способность рассчитывается, как [4]

     q = 1-p_n .

     Абсолютная  пропускная способность [5]:

     А = lq = l (1- p_n ).

    Использующийся  метод статистического моделирования  представлена в виде алгоритма. Блок-схема моделирующего алгоритма приведена на рисунке 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

t – время обслуживания заявки;

m – список числа обслуженных заявок;

 – список числа необслуженных заявок_. 
 
 
 
 

 

5. Задание первого  проектного решения

     Переменными проектирования являются:

• производительность мастера,
• количество мастеров.

       В первом проектном решении среднее время обслуживания одной единицы вычислительной техники  t_об = 3,2 часа. Количество мастеров – четыре. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

6. Аналитическое моделирование  системы, отвечающей первому проектному решению

 

     Аналитическое моделирование системы выполняется  по формулам, представленным в разделе 4. Рассчитываются такие показатели системы, как относительная, абсолютная пропускная способность,  вероятность отказа.

     Значение  λ определяет количество заявок, поступивших  за день. Пересчитаем это значение в количество заявок в час, получим:

     λ=1,25(заявок/час).

     Показатель  μ рассчитывается следующим образом:

     μ=1/ t_об =0,3125.               

     Подставив в формулы из пункта 4 заданные значения, получим:

     r = l / m=4.

         p₀=1/(1+4/1+4*4/2+4*4*4/6+4*4*4*4/24)=0,029.

     P_отк =( rⁿ /n! ) p₀ =0,309.

         q = 1- P_отк =0,69.

        А = lq=0,863(заявок/час). 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

      

7. Проверка выполнения условия работоспособности  системы, отвечающей первому проектному решению

      Условие работоспособности выглядит следующим  образом:

P_отк  ≤ 0,25,