Анализ электрических цепей. 2

       
Задание курсовой работы. 

    Схема 1 

    

 

    e(t)=14,1sin314t В 

    

1. Составить систему уравнений Кирхгофа в  интегро-дифференциальной и комплексной  форме.

 
    

2. Определить  токи всех ветвей цепи, предварительно обосновав выбранный метод анализа.

 
    

3. Построить векторную диаграмму напряжений по обозначенным точкам.

 

    R₁=150 Ом

    L₁=1 Гн

    R₂=500 Ом

    R₃=900 Ом

    C₃=2∙10^-5 Ф

    R₄=400 Ом

    L₅=0.8 Гн

 

     Содержание 

    Содержание…………………………………………………………….3 

    Введение………………………………………………………………..4 

    Решение………………………………………………………………..17 

    Заключение……………………………………………………………24 

    Список  использованной литературы………………………………..25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение. 

    Реальные  электротехнические устройства и системы имеют сложные схемы. В электрические цепи, кроме основных элементов – источников и приемников электрической энергии, входят различные вспомогательные аппараты и приборы, предназначенные для управления (рубильники, переключатели), регулирования (реостаты, стабилизаторы тока и напряжения), защиты (плавкие предохранители, реле), контроля (амперметры, вольтметры и другие электроизмерительные приборы). Перед специалистами стоят задачи расчета их параметров. Процесс расчета параметров в теории электротехники принято называть «анализом схем». Электрические схемы любой сложности подчиняются законам Ома и Кирхгофа. Однако применение только этих законов часто приводит к неоправданно сложным решениям. Поэтому был разработан ряд методов анализа, адаптированных к топологии электрических цепей и упрощающих процесс расчета их параметров. 

1.  АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ  

 1.1 Анализ электрических цепей применением законов Кирхгофа 

    Суть  анализа электрических цепей  применением законов Кирхгофа заключается в составлении системы из N независимых линейных уравнений, причем

    N = (n - 1) + к,

где: n – число сложных потенциальных узлов, к – число независимых контуров.

По первому  закону Кирхгофа составляется (n - 1) уравнение, по второму закону – к уравнений.

    Схема рис. 1.1.1 содержит 5 ветвей (N=5), 3 cложных потенциальных узла (n = 3) и 3 независимых контура (к=3). Значит, в систему необходимо включить два уравнения по первому закону Кирхгофа (например, для узлов 1 и 2) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (для контуров I, II, III).

    

    Рис 1.1.1

    Обозначив на схеме стрелками условно принятые положительные направления токов ветвей и направления обхода контуров и полагая, что индексы токов ветвей совпадают с индексами пассивных приемников электрической энергии, получим систему уравнений вида:

    

.

     Далее необходимо решить систему из пяти уравнений относительно токов. Точность расчетов может быть проверена с помощью уравнения баланса мощностей источников и приемников электрической энергии:

    В левой части уравнения слагаемые  имеют знак плюс, если направления  Э.Д.С. и токов совпадают. В противном случае они имеют знак минус. 

1.2  Анализ электрических цепей методом эквивалентных преобразований 

      Данный  метод применяется, когда в состав электрической цепи входит только один источник Э.Д.С., ток которого определяется общим сопротивлением пассивных приемников электрической энергии – Rэкв. Очевидно, что если известно Rэкв, то цепь можно представить в виде двух последовательно соединенных элементов – источника Э.Д.С. и Rэкв, а определение тока источника сводится к применению закона Ома. Процесс перехода от электрической цепи с произвольной топологией к цепи с Rэкв называется эквивалентным преобразованием. Такое преобразование и положено в основу рассматриваемого метода анализа.

      Различают четыре основных способа соединения: последовательное, параллельное, треугольником и звездой. Рассмотрим сущность эквивалентных преобразований при каждом из названных способов.

      Электрическая схема с последовательным соединением  элементов приведена на рис. 1.2.1, а. Такая цепь имеет только один контур. Через все элементы контура протекает один и тот же ток I. Согласно второму закону Кирхгофа, можно записать

R1 × I + R2 × I +¼+ Rn × I = Rэкв × I,

откуда

      Rэкв = R1 + R2 +¼+ Rn,                                         (1)

I = U / Rэкв.

Рис. 1.2.1

      Таким образом, видим, что схема из n последовательно соединенных резистивных элементов может быть заменена схемой с одним элементом (рис. 1.2.1,б), сопротивление которого определяется по (1).

      Параллельным  называют соединение, при котором  все элементы цепи присоединяются к  двум сложным потенциальным узлам и находятся под воздействием одного и того же напряжения. Схема такой цепи приведена на рис.1.2.2,а. Ток каждой к – ой ветви этой цепи определяется напряжением источника U и проводимостью G_к соответствующей ветви:

      Iк = Gк × U.                                                   (2)

      Определим правило эквивалентной замены разветвленной схемы рис. 1.2.2, а на простейшую схему рис 1.2.2, б:

или в  единицах проводимости

         (3)

Рис. 1.2.2 

      Таким образом, цепь, состоящая из n параллельных резистивных элементов, может быть заменена простейшей цепью, эквивалентное сопротивление которой определяется выражением (3).

      При параллельном соединении двух резистивных  элементов с сопротивлениями  R₁ и R₂ их эквивалентное сопротивление равно:

           (4)

а эквивалентная  проводимость

        (5)

Токи  двух ветвей при их параллельном соединении определяются по правилу деления  токов:

                        (6) 

     Соединение  трех сопротивлений в виде трехлучевой  звезды (рис. 1.2.3, а), называют соединением «звезда», а соединение, при котором элементы образуют стороны треугольника (рис. 1.2.3, б), – «треугольник».

      

      Рис. 1.2.3

      На  рис. 1.2.4, а приведена схема до преобразования. Пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 1.2.4, б приведена та же схема после преобразования. Расчет токов в ней значительно проще.

      При преобразовании треугольника в звезду следует пользоваться выражениями:

           `(7)

Рис. 1.2.4 
 
 

      Суть  метода:

      а) Участки электрической цепи с последовательно и параллельно

соединенными  элементами заменяют одним эквивалентным  элементом. Рядом последовательно выполненных преобразований схему упрощают до элементарного вида.

      б) Применением закона Ома находится ток упрощенной схемы. Его значение определяет ток ветви, ближайшей к источнику Э.Д.С. (ток первой ветви). Это позволяет легко вычислить токи остальных ветвей. 

1.3  Анализ электрических цепей методом контурных токов 

      Метод контурных токов оказывается  полезным, когда схема электри-

ческой  цепи содержит несколько источников электрической энергии. Он позволяет  выполнить анализ такой цепи решением системы из К канонических уравнений, где К равно числу независимых контуров.

      Члены канонических уравнений снабжаются двумя индексами, причем первый индекс соответствует номеру строки, а второй – номеру столбца. Если ввести понятия  контурных токов, контурных сопротивлений и Э.Д.С., а также взаимных сопротивлений, то формально записанное каноническое уравнение соответствует уравнению, составленному по второму закону Кирхгофа.

      Рассмотрим  метод на примере схемы, приведенной  на рис. 1.3.1, а. Схема имеет два независимых контура. Для ее анализа методом контурных токов необходимо составить систему из двух канонических уравнений:

       ,           (1)

где: I₁₁, I₂₂ – контурные токи, Е₁₁, Е₂₂ – контурные Э.Д.С., R11, R22 – контурные сопротивления, R₁₂, R₂₁ – взаимные сопротивления контуров.

          На рис 1.3.1, а направление контурных токов показано стрелками в контурах. Пусть направление этих токов будет одинаковым – по часовой стрелке.

      Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что

значение  контурных токов совпадает со значением действительных токов

только  во внешних ветвях:

I₁₁ = I₁,         I₂₂ = I₄.

Рис. 1.3.1

      Токи  смежных ветвей равны разности контурных  токов соседних контуров:

I₅ = I₁₁ – I₂₂.

      Таким образом, по известным контурным токам легко найти действительные токи всех ветвей. Следовательно, решение системы уравнений (1) относительно контурных токов отвечает целям анализа электрической цепи.

      Для решения системы уравнений (1) определим  понятия контурных сопротивлений – R₁₁, R₂₂, контурных Э.Д.С. – Е₁₁, Е₂₂ и взаимных сопротивлений – R₁₂, R₂₁:

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₅,                  R₂₂ = R₃ + R₄ +R₅;

 Е₁₁ = Е₁ + Е₅,                                    Е₂₂ = Е₄ −Е₅.

     Теперь  уравнения системы (1) полностью соответствуют  параметрам схемы рис. 1.3.1, а. Значение взаимных сопротивлений контуров в (2) определено с обратным знаком. Это обусловлено необходимостью привести канонические уравнения (2) в соответствие с уравнениями, составленными по второму закону Кирхгофа. Взаимное сопротивление контуров, не имеющих общих ветвей, равно нулю. Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

      Если  бы схема содержала три контура, как на рис. 1.3.1, б, то система канонических уравнений имела бы вид:

.

      Таким образом, метод контурных токов более экономен по вычислительной работе. Он позволяет формализовать процесс анализа и упрощает применение ЭВМ к анализу сложных электрических цепей. 

1.4  Анализ электрических цепей методом междуузлового напряжения  

     В реальных электрических цепях часто  источники и приемники электрической энергии включаются параллельно. Схемы таких цепей имеют только два узла. Если напряжение между узлами известно, то определение токов в ветвях цепи сводится к применению закона Ома. Этот факт и положен в основу метода. На первом этапе определяют междуузловое напряжение, а затем, применяя закон Ома, вычисляют токи ветвей.

      Пусть анализу подлежит схема рис. 1.4.1, а. Схема содержит активные и пассивные ветви, соединенные параллельно. Определим токи всех ветвей цепи, применив метод междуузлового напряжения.

      Формулу для междуузлового напряжения можно  получить, используя принцип суперпозиции. Следуя этому принципу, сначала определим  напряжение, создаваемое между узлами одним источником тока и одним источником Э.Д.С. Полученные выражения распространим на общий случай, когда в цепи действует m источников Э.Д.С. и к источников тока.

          Обозначим сложные  потенциальные узлы схемы индексами  А и В. Напряжение U^I_АВ между узлами А и В, создаваемое только источником тока I, определим по схеме рис. 1.4.1, б. Согласно первому закону Кирхгофа, ток источника I равен сумме токов всех ветвей:

                 (1)

где:g_i – проводимость i-ой ветви (кроме ветви с источником тока).

      Отсюда

                 (2)

Рис. 1.4.1

      Напряжение  между узлами А и В, создаваемое только источником Э.Д.С. Е_1, найдем по схеме рис.1.4.1, в. Заменим в схеме рис.1.4.1, в источник Э.Д.С. Е₁ эквивалентным источником тока. Схема примет вид рис.1.4.1, г. Теперь напряжение , создаваемое источником Э.Д.С. Е_1, можно определить по (2):

               (3)

      Напряжение  от действия источника Э.Д.С. Е₂ найдем аналогично (3):

                                           (4)

      Результирующее  напряжение U_АВ, определим как сумму от воздейст-вия источников I, Е₁ и Е₂. Значения знаменателей в выражениях (2.13), (2.14), (2.15) одинаковы. Поэтому

      Если  схема содержит к источников тока и m источников Э.Д.С., то напряжение U_АВ между узлами равно алгебраической сумме напряжений, создаваемых источниками тока и источниками Э.Д.С., т. е.

                                             (5)

      В выражении (5) произведения g_i,∙E_i и I_i берут со знаком плюс, когда направления Е_i и I_i противоположны выбранному условно – положи тельному направлению напряжения U_АВ, и со знаком минус, когда эти направления совпадают.

      Зная  междуузловое напряжение U_АВ, легко найти токи, как в пассивных, так и в активных ветвях цепи рис. 1.4.1, а:

   
 

  1.5  Анализ электрических цепей методом эквивалентного активного двуполюсника 

      В случаях, когда интересуются электрическим состоянием одной ветви, полезен метод эквивалентного генератора (метод активного эквивалентного двухполюсника). Обоснованием данного метода является теорема об активном эквивалентном двухполюснике. Теорема утверждает, что любую, сколь угодно сложную электрическую цепь или ее часть, можно представить активным эквивалентным двухполюсником с параметрами Е_экв и R_экв. Режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.

      Рассмотрим  данный метод на примере схемы рис. 1.5.1,а. Предположим, что в этой цепи нас интересуют напряжение и ток только одной ветви – R₃. Тогда всю схему, кроме ветви R₃, представим активным двухполюсником (рис. 1.5.1, б). К зажимам двухполюсника а и б присоединим ветвь R₃.

      Параметры двухполюсника R_экв и Е_экв определяются составом и топологией схемы цепи рис. 1.5.1, а. Поэтому режим работы ветви R₃ не изменился. Но теперь для определения тока в ней достаточно применить закон Ома:

                                                    (1)

      В этом и заключается преимущество рассматриваемого метода.

_{Рис. 1.5.1}

      Для решения (1) необходимо определить значения Е_экв и R_экв. Значение Е_экв определяют исходя из того, что напряжение U_хх на разомкнутых зажимах источника равно значению его Э.Д.С. – Е_экв.

      Разомкнем зажимы а, б. Схема рис. 1.5.1, а примет вид рис. 1.5.2, а. Напряжение между разомкнутыми узлами а, б – U_хх = Е_экв. Схема рис. 1.5.2, а позволяет определить это напряжение, используя принцип суперпозиции. Для этого последовательно определяем напряжение узла а, затем узла б, а затем вычисляем разность напряжений.

Рис. 1.5.2 

      Напряжение  узла а:

U_а = I₁ ∙ R₂ = E ∙ R₂/(R₁ + R₂).

      Напряжение  узла б:

U_б = I ∙ R₄.

      Тогда

      Эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – R_экв находится также относительно разомкнутых зажимов а, б. Однако дополнительно требуется исключить источники электрической энергии. Правила исключения источников заключаются в следующем.

      При исключении источника Э.Д.С. полагают, что напряжение на его зажимах и внутреннее сопротивление равны нулю. Поэтому зажимы источника Э.Д.С. замыкают накоротко.

      При исключении источника тока полагают, что ток источника равен нулю, а внутреннее сопротивление –  бесконечности. Поэтому зажимы источника тока разрываются.

      После исключения источников электрической  энергии схема рис. 1.5.2, а приходит к виду рис. 1.5.2, б (полагаем, что между узлами а, б сохраняется режим холостого хода). Теперь очевидно, что эквивалентное сопротивление активного двухполюсника – R_экв определится выражением:

.

      Подставляя  выражения, полученные для Е_экв и R_экв в (2.17), получим:

      Таким образом, метод активного эквивалентного двухполюсника существенно упрощает процесс анализа, но требует определенных навыков в преобразовании топологии схемы к удобному и наглядному виду.

      В данной курсовой работе имеем схему  с одним источником энергии, поэтому применение метода контурных токов считаю нерациональным. Так же нам не подойдет и метод активного эквивалентного двуполюсника, т.к. нас интересуют токи во всех ветвях, а ни одной в отдельности, и метод междуузловых напряжений. Применение законов Кирхгофа приводит к неоправданно сложному решению. Следовательно, наиболее подходящим методом для решения данной задачи является метод эквивалентных преобразований. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Решение.

    Для составления системы уравнений Кирхгофа в интегро-дифференциальной и комплексной форме, обозначим на схеме условно принятые положительные направления сил токов ветвей и направления обхода контуров: 

    Схема 2 

    

 

    Составим  систему N уравнений по законам Кирхгофа. N=(n-1)+k , где n- число сложных потенциальных узлов, а k- число независимых контуров. Следовательно, надо составить 2 уравнения по первому закону Кирхгофа и 3 – по второму. В общем виде в интегро-дифференциальной форме система будет иметь вид: 

      
 
 

    В комплексной форме: 

      

    Так как в данной схеме содержится только один источник энергии, то будем анализировать её методом эквивалентных преобразований.

    Представим  сопротивление каждой ветви в  комплексной форме:        

      Z_i = R_i + jX_i.

    Тогда схема примет вид: 

    Схема 3

    

 

    Где

       

    В схеме 3 Z₄ и Z₅ соединены параллельно, т.е. их можно заменить эквивалентным сопротивлением Z₄₅. 

    

    В результате схема примет вид: 
 

    Схема 4

    

 

    В схеме 4 элементы Z₃ и Z₄₅ соединены последовательно, значит их также можно заменить эквивалентным сопротивлением Z₃₄₅.

      

    В результате получим: 

    Схема 5 

    

 

    В схеме 5 элементы Z₃₄₅ и Z₂ соединены параллельно. Так же заменим их эквивалентным сопротивлением Z₂₅: 

    

    Схема при этом примет вид:

    Схема 6