Анализ эмпирического распределения. Выборочное наблюдение

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский  государственный политехнический  университет» 

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра «Предпринимательство и коммерция» 
 
 

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ 

по дисциплине «Статистика» 
 
 
 

Выполнил  студент группы 5077/76

М.В. Алексеева

Принял 

_____________________ Н.В. Куприенко

Оценка: __________________

«___» ___________ 2011 года 

Санкт-Петербург

2011 

Оглавление 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Ряд распределения  – это распределение единиц совокупности по значению того или иного признака.

Анализ ряда распределения включает:

• Табличное и графическое представление ряда распределения;
• Расчёт и анализ выборочных статистик;
• Характеристику формы распределения;
• Выбор теоретического распределения, которому соответствует изучаемое эмпирическое.

 

Одна  из важнейших целей изучения рядов  распределения состоит в том, чтобы выявить закономерность распределения  и определить ее характер. 

1. Основная  часть

1. Анализ эмпирического распределения

Анализ  распределений направлен на выявление  закономерности изменения частот в  зависимости от значений варьирующего признака и анализ различных характеристик  изучаемого распределения. Прежде, чем  приступить к вычислению специальных статистических показателей, необходимо из исходной совокупности исключить единицы, не подчиняющиеся общей закономерности распределения, так называемые выбросы. Выбросы – это значения признака, резко отличающиеся как в большую, так и в меньшую сторону, от значений признака у основной части единиц совокупности. Для удобства локализации и устранения выбросов необходимо ранжировать исходные данные.

1. Исходные  данные

Исходные  данные (вар.1-22)

Объем статистической совокупности N=167 

    Таблица 1.1

    Статистическая совокупность (N=167) 

198.3	235.0	313.3	271.5	176.9	230.3	283.8	257.7	347.7	314.7
339.1	337.5	282.0	298.6	351.1	338.8	298.5	287.2	262.5	277.4
280.7	296.1	371.7	200.6	203.9	265.2	277.0	315.2	320.7	244.5
233.3	318.1	320.3	293.7	337.0	265.3	311.4	326.0	299.3	244.0
209.8	350.0	215.5	273.2	265.3	256.1	237.3	203.9	278.3	286.7
244.8	246.0	355.0	309.6	260.1	241.9	294.4	287.9	290.3	250.8
286.8	351.6	284.9	334.6	243.9	412.7	377.9	287.4	326.1	236.5
218.3	333.7	272.8	253.7	237.9	344.6	328.6	320.9	298.0	251.1
345.6	247.8	216.6	286.5	310.4	267.1	238.3	316.3	415.9	251.2
307.9	251.8	162.9	239.2	312.5	292.0	312.8	280.3	323.9	368.2
336.7	277.0	270.5	215.1	367.7	284.1	350.9	354.0	188.9	295.4
250.2	339.9	274.1	200.6	293.8	258.4	262.7	312.7	379.1	340.1
285.1	242.3	331.6	234.4	349.8	393.6	260.9	277.6	243.9	325.9
347.6	424.0	288.1	249.8	286.6	260.6	268.1	414.5	328.4	331.6
303.9	323.7	380.6	329.6	236.7	289.5	307.2	191.9	270.6	248.8
342.4	343.5	302.7	348.5	192.1	286.0	279.3	389.0	302.9	264.6
437.9	294.6	336.8	371.1	410.0	299.3	268.6

2. Графическое и табличное представление  вариационного ряда распределения

 

    Вариационным  называется ряд распределения, построенный  по количественному признаку. Он может  быть представлен в графическом  и табличном виде. Табличное представление позволяет не только выявить ту или иную закономерность распределения, но и подробно охарактеризовать структуру изучаемой совокупности.

    Объем статистической совокупности равен 167. Для дальнейшей работы вариационного ряда распределения необходимо ранжировать исходные данные.

    Таблицы вариационных рядов строятся по принципам  группировки.

Определим количество групп по «STURGES's»-формуле: 

    k = 1 + 3.322lgN,                                  (1.1) 

    где k – число групп; N – объем совокупности.

    По  формуле число групп получается равным 8.

    Ранжированный ряд распределения представлен  в таблице 2.1. 

    Таблица 1.2

Ранжированный ряд распределения (N=167)

№   п/п	Var1	№   п/п	Var1	№   п/п	Var1	№   п/п	Var1	№   п/п	Var1	№   п/п	Var1
1	162.9	31	244.5	61	271.7	91	293.8	121	323.9	151	351.6
2	176.9	32	244.8	62	272.8	92	294.4	122	325.9	152	354.0
3	188.9	33	246.0	63	273.2	93	294.6	123	326.0	153	355.0
4	191.9	34	247.8	64	274.1	94	295.4	124	326.1	154	367.7
5	192.1	35	248.8	65	277.0	95	296.1	125	328.4	155	368.2
6	198.3	36	249.8	66	277.0	96	298.0	126	328.6	156	371.1
7	200.6	37	250.2	67	277.4	97	298.5	127	329.6	157	377.9
8	200.6	38	250.8	68	277.6	98	298.6	128	331.6	158	379.1
9	203.9	39	251.1	69	278.3	99	299.3	129	331.6	159	380.6
10	203.9	40	251.2	70	279.3	100	299.3	130	333.7	160	389.0
11	209.8	41	251.8	71	280.3	101	302.7	131	334.6	161	393.6
12	215.1	42	253.7	72	280.7	102	302.9	132	336.7	162	410.0
13	215.5	43	256.1	73	282.0	103	303.9	133	336.8	163	412.7
14	216.6	44	257.7	74	283.8	104	307.2	134	337.0	164	414.5
15	218.3	45	258.4	75	284.1	105	307.9	135	337.5	165	415.9
16	230.3	46	260.1	76	284.9	106	309.6	136	338.8	166	424.0
17	233.3	47	260.6	77	285.1	107	310.4	137	339.1	167	437.9
18	234.4	48	260.9	78	286.0	108	311.4	138	339.9
19	235.0	49	262.5	79	286.5	109	312.5	139	340.1
20	236.5	50	262.7	80	286.6	110	312.7	140	342.4
21	236.7	51	264.6	81	286.7	111	312.8	141	343.5
22	237.3	52	265.2	82	286.8	112	313.3	142	344.6
23	237.9	53	265.3	83	287.2	113	314.7	143	345.6
24	238.3	54	265.3	84	287.4	114	315.2	144	347.6
25	239.2	55	267.1	85	287.9	115	316.3	145	347.7
26	241.9	56	268.1	86	288.1	116	318.1	146	348.5
27	242.3	57	268.6	87	289.5	117	320.3	147	349.8
28	243.9	58	270.5	88	290.3	118	320.7	148	350.0
29	243.9	59	270.6	89	292.0	119	320.9	149	350.9
30	244.0	60	271.5	90	293.7	120	323.7	150	351.1

 

   С помощью программы получаем табличные представления вариационного ряда распределения, построенные с использованием разного числа интервалов k=8, k=9, k=10, k=12, k=14 (рис.1.1). 

а) k=8

 

б) k=9

 
 
 
 
 
 
 
 
 

в) k=10

 

г) k=12

 

д) k=14

Рисунок 1.1. Число интервалов k=8, k=9, k=10, k=12, k=14

    В таблицах первая графа (From…to…) содержит интервалы значений статистической совокупности.

    Count – абсолютные частоты (f_i), т.е. число единиц совокупности, обладающих указанным значением.

    ComulativeCount – накопленные абсолютные частоты, получаемые последовательным суммированием частот по группам.

    Percent – частости (относительные частоты w_i, выражаются в процентах), рассчитываются:

 

w_i– доля каждой группы в общем объеме совокупности.

      ComulativePercent – накопленные частости – это результат последовательного суммирования относительных частот по группам, итоговая сумма, очевидно, равна 100%.

    Табличное представление вариационного ряда позволяет получить подробную информацию о составе и структуре изучаемой совокупности, т.е. определить какое количество единиц изучаемой совокупности обладает тем или иным значением признака и какова доля этой группы единиц в общем объеме совокупности, а также выявить закономерность изменения частот.

    С помощью программы, на основе таблиц, строятся графики, наглядно представляющие закономерность распределения анализируемой статистической совокупности. В нашем случае, на основе задания, строим полигон (рис. 1.2.), кумуляту (рис. 1.3.) и гистограмму (рис. 1.4) в относительных (w_i) частотах. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

а) k=8 

      

б) k=9

 
 
 
 
 

в) k=10

 

г) k=12

 
 
 
 
 

д) k=14

Рисунок 1.2. Полигоны распределения при k=8, k=9, k=10, k=12, k=14 

а) k=8

 
 
 
 

б) k=9

в) k=10

 
 
 
 
 

г) k=12

д) k=14

Рисунок 1.3. Кумуляты распределения при k=8, k=9, k=10, k=12, k=14 
 
 
 

а) k=8

б) k=9

 
 
 
 
 

в) k=10

г) k=12

 
 
 
 
 

д) k=14

Рисунок 1.4. Гистограммы распределений с наложенными на них кривыми нормального распределения с числом интервалов k=8, k=9, k=10, k=12, k=14

      На  основе построенных графиков делаем вывод, что наиболее приемлемый вариант для данного вида статистики при k=9, так как кривая нормального распределения, обозначенная на гистограмме, захватывает все вершины.

3. Вычисление  выборочных статистик  для количества интервалов k=9

     Статистический  анализ вариационных рядов распределения  предполагает расчет характеристик центра распределения, его структуры, оценку степени вариации и дифференциации изучаемого признака, изучение формы распределения.

     В качестве показателей центральной  тенденции распределения используются: среднее арифметическое значение, мода и медиана. Основными показателями вариации являются: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Для характеристики структуры распределения используются следующие показатели: медиана, квартили, децили и прочие перцентили. Изучение формы распределения предполагает оценку асимметрии и эксцесса (куртозиса). Перечисленные показатели имеют самостоятельное аналитическое значение, поскольку отражают разные свойства изучаемой совокупности, а все вместе они позволяют получить комплексную характеристику эмпирического распределения.

     С помощью программы получаем все  перечисленные показатели (рис. 1.5).

Рисунок 1.5. Показатели вариационного ряда

Средние показатели

     Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который  погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.

Средняя арифметическая ( в табл.Mean) относится к степенным средним.

В таблице  рассчитана простая средняя величина 292,0964 по формуле:

     Структурные средние  применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака. К структурным средним относятся Мода, Медиана, Квартили.

1. Мода (в табл.Mode) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Определяется непосредственно по исходных данным (запись в таблице Multipleозначает, что распределение имеет не одну Моду).
2. Медиана (в табл. Median) - величина признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части.

У нас  N=167, нечетное число. Таким образом:

Me = x₈₄= 287,40

3. Нижний (первый) квартиль (в табл.Lower)

 

Где floor – округление до ближайшего целого;

Ceiling – округление до ближайшего большего.

Таким образом, в нашем случае i=42, j=42.

Q₁=(253,7+253,7)/2=253,7

4. Верхний (третий) квартиль (в табл.Upper)

 

i=126; j=125

Q₃=(328,6+328,6)/2=328,6

Показатели  вариации

Абсолютные:

    R – размах вариации. Разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

    σ²– средний квадрат отклонений значений переменной от среднего арифметического значения (дисперсия - в таблице Variance).

    σ– среднее квадратическое отклонение (в табл. Std.Dev).

Относительные:

V – относительный показатель вариацииявляется наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.

Рассчитывается  по формуле: 

    В статистике совокупности, имеющие коэффициент  вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.

    В нашем случае коэффициент вариации=18%, таким образом, совокупность является однородной.

As – коэффициент асимметрии оценивает симметричность эмпирического распределения относительно вертикальной оси симметрии, проходящей через среднюю арифметическую (в табл. Skewness). Значение коэффициента 0,224374 означает, что распределение имеет незначительную правостороннюю асимметрию.

Kurtosis – коэффициент эксцесса. Оценивает отклонения формы эмпирического распределения от идеального модального распределения. Значение коэффициента 0,017441.

4. Сглаживание эмпирического распределения. Проверка гипотезы о  законе распределения

    Процедура выравнивания, сглаживания анализируемого распределения заключается в  замене эмпирических частот теоретическими, определяемыми по формуле теоретического распределения, но с учетом фактических значений переменной. На основе сопоставления эмпирических и теоретических частот рассчитываются критерии согласия, которые используются для проверки гипотезы о соответствии исследуемого распределения тому или иному типу теоретических распределении.

    С помощью программы проводится расчет для нескольких типов сглаживания (нормальное, лог-нормальное и прямоугольное  сглаживание представлены на рисунках 1.6, 1.7 и 1.8 соответственно). 

Рисунок 1.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении переменной Var1.

Рисунок 1.7. Проверка гипотезы о лог-нормальном распределении переменной Var1 

Рисунок 1.8. Проверка гипотезы о прямоугольном распределении переменной  Var1 

а)

б)

 

в)

Рисунок 1.9. Гистограммы и расчетные кривые а) нормального распределения; б) лог-нормального распределения; в) прямоугольного распределения для переменной Var1. 
 

В шапке таблиц и графиков находятся следующие  показатели:

Chi-SquareTest – расчетное значение критерия Пирсона;

d.f.(adjusted) – уточненное значения числа степеней свободы:

Гдеk -   число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда);

l– число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным (например, в случае нормального распределения число оцениваемых по выборке параметров l=2, математическое ожидание и дисперсия).

p – расчетный уровень значимости. 

Таблица 1.3

Результаты  решения задачи сглаживания

Тип распределения	Число степеней свободы (r)	Расчетное значение критерия	Табличное значение критерия	(расчетное  значение уровня значимости)
Нормальное	4	4,87120	9,488	0,30077
Логнормальное	4	7,00026	9,488	0,13587
прямоугольное	6	85,79042	12,59	0,00000

 

          Принятие решения  о справедливости гипотезы о законе распределения можно осуществить, ориентируясь на эмпирическое значение критерияχ₀² ,  либо на расчетное значение вероятности (расчетный уровень значимости) (P(χ²_α;r>χ₀²) . Первое сравнивается с табличным значением χ²_α;r, второе – с принятым уровнем значимости (примем  α=0,05).

    Окончательные выводы по проверке гипотез о законе распределения:

1. Так как

χ₀²=4,87120<χ²_0.05;4=9,488 и

P(χ²_0.05;4 >χ₀²)=0,30077<α=0.05,

    то  гипотеза о нормальном распределении переменной Var1 противоречит статистическим данным.

2. Так как

    χ₀²=7,00026<χ²_0.05;4=9,488 и

    P(χ²_0.05;4 >χ₀²)=0,13587<α=0.05,

    то  гипотеза о лог-нормальном распределении  переменной Var1 противоречит статистическим данным.

3. Так как

χ₀²=85,79042<χ²_0.05;6=12,59 и

P(χ²_0.05;6 >χ₀²)=0.0000<α=0.05,

то гипотеза о прямоугольном распределении  переменной Var1 противоречит статистическим данным.

2. Проведение  выборочного наблюдения

    Предполагаем, что имеющиеся исходные данные представляют собой полностью определенную генеральную совокупность.

    Задача: оценить генеральную среднюю  и генеральную дисперсию по выборке.

1. Получение выборок

    Реализуется одна выборка большого объема и пять малых выборок.

     Определение объема большой выборки проводится по следующей формуле: 

    Где N=167 (объем генеральной совокупности);

    t=1,96 – параметр нормального распределения (находится по таблицам интегральной функции нормального распределения в соответствии с заданным уровнем доверительной вероятности);

    σ= 52,62363 –среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности;

    Δ = 5% от генеральной средней – предельная ошибка выборки. Устанавливает точность результатов выборочного наблюдения;

    Генеральная средняя = 292,0964

    Таким образом n=120.

    Объемы  малых выборок n₁=n₂=n₃=n₄=n₅=8.

    С помощью процедуры формирования случайных выборок сформированы 6 выборок (Выборки 1, 2, 3, 4, 5 – малые; Выборка 6 – большая) – рис. 1.10.

Рисунок 1.10. Сформированные случайные выборки 

    На  рисунке первый столбец – это  генеральная совокупность.

    Далее производится статистическая обработка результатов выборочного наблюдения.

    При проведении статистической обработки  задаются следующие параметры:

    Генеральная средняя = 292,0964 (из первой части работы);

    Уровень значимости критерия α=0,05;

    Заданная  доверительная вероятность P=0.95.

    Результаты  статистической обработки представлены на рисунке 1.11.

Рисунок 1.11. Результаты статистической обработки результатов выборочного наблюдения

    В первом столбце таблицы результатов  представлены значения переменных (выборок):

    Mean – значения выборочных средних;

    Std.Dv. – среднее квадратическое отклонение;

    N – объем выборок;

    Std.Err. – средняя ошибка выборки;

    Confidence -95% - нижняя граница доверительного интервала при вероятности 95%;

    Confidence +95% - верхняя граница доверительного интервала при вероятности 95%;

    ReferenceConstant– значение генеральной средней из первой части работы;

    t-value– расчетное значение t-критерия для проверки гипотезы о значении генеральной средней;

    df – число степеней свободы (определяется как n-1);

    p– расчетный уровень значимости t-критерия.

2. Графическое представление результатов  выборочного наблюдения

Рисунок 1.12. Графическое сравнение результатов сплошного и выборочного наблюдения

    График  наглядно показывает, что доверительные  интервалы, построенные по всем выборкам, накрывают генеральную среднюю.

Заключение

    В работе выполнен анализ эмпирического  наблюдения и проведение выборочного наблюдения.

    Получены  показатели вариационного ряда.

    Коэффициент вариации не превысил 35%, следовательно, изучаемую совокупность признаем однородной. Величина коэффициента асимметрии указывает на небольшую правостороннюю асимметрию относительно вертикальной оси.

Список  использованных источников