Arcsin d комплексной плоскости

Page 1
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»
Кафедра математического анализа
АРКСИНУС В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
КУРСОВАЯ РАБОТА
Студента 2 курса 221 группы
направления (специальности) 02.03.01 Математика и компьютерные науки
механико-математического факультета
Магомедшерифова Бекера Гюлеметовича
Научный руководитель
ассистент
Г.С. Бердников
Заведующий кафедрой
проф., д.ф-м.н.
Д.В.Прохоров
Саратов 2015

Page 2

Содержание
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ........................................................... 3
ВВЕДЕНИЕ ................................................................ 4
1 Тригонометрические функции в
R
..................................... 5
1.1 Функция синус.................................................... 5
1.2 Функция косинус ................................................. 6
1.3 Функция тангенс.................................................. 7
1.4 Функция котангенс ............................................... 8
2 Тригонометрические функции в
C
..................................... 9
2.1 Тригонометрические функции .................................... 9
2.2 Гиперболические функции ........................................ 10
2.3 Обратные тригонометрические функции.......................... 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................ 14
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.......................... 15

Page 3

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Опр. Показательной функцией называется функция вида: w = e
z
, z ∈
C
.
Отметим, что показательная функция также представима и следующем
виде: e
z
= e
x
(cos(y) + isin(y)), для любого z = x + iy.
Очевидно, что при x = 0 функция принимает следующую форму: e
iy
=
cosy + isiny (формула Эйлера).
Заметим, что используя формулу Эйлера, любое комплексное число z
можно записать в показательной форме z = ρe

, ρ = |z|, φ = arg z.
Рассмотрим некоторые основные свойства показательной функции:
1. Функция w = e
z
аналитическая во всей комплексной плоскости
C
.
2. Для взаимной однозначности при отображении с помощью функции
w = e
z
необходимо и достаточно, чтобы отображаемая область не содержала
никакой пары различных точек z
1
, z
2
, для которых z
1
−z
2
= 2kπ, k ∈ N. Этому
условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной меньше 2π ,
например, полосы 2kπ < Imz < 2(k + 1)π.
Таким образом, можем сделать вывод, что функция w = e
z
периодиче-
ская в
C
с периодом T = 2πi.
3. Очевидно, что данная функция конформна во всей комплексной плос-
кости
C
.
Опр. Заданная в области D однозначная функция f(z) называется
аналитической или регулярной, если она дифференцируема в каждой точке
этой области.
Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая рас-
пространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость
(кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распро-
странения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном ана-
лизе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма
многозначна.
Для комплексных чисел логарифм можно определить так же, как для
вещественных, то есть как обращение показательной функции. На практике
используется практически только натуральный комплексный логарифм, осно-
вание которого — число Эйлера e: он обозначается обычно Lnz.
3

Page 4

ВВЕДЕНИЕ
В данной работе рассматриваются тригонометрические и гиперболи-
ческие функции комплексного переменного, которые определяются в виде:
sinz =
e
iz
− e
−iz
2i
, cosz =
e
iz
+ e
−iz
2
, shz =
e
z
− e
−z
2
, chz =
e
z
+ e
−z
2
. Свой-
ства этих функций следуют из определений и свойств показательной функции.
Так же рассматриваются обратные тригонометрические функции, в частности
выводы формулы для арксинуса в комплексной плоскости, будут приведены
примеры решения задач на применение формул обратных тригонометриче-
ских функций.
4

Page 5

1 Тригонометрические функции в
R
1.1 Функция синус
y = sin(x)
Область определения функции - множество
R
всех действительных
чисел.
Множество значений функции - отрезок [−1;1] т.е. синус функция -
ограниченная.
Функция нечетная: sin(−x) = −sin(x) для всех x ∈
R
. График функ-
ции симметричен относительно начала координат.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:
sin(x + 2πk) = sin(x), где k ∈
Z
для всех x ∈
R
.
sin(x) = 0 при x = πk, k ∈
Z
.
sin(x) > 0 (положительная) для всех x ∈ (2πk;π + 2πk),k ∈
Z
.
sin(x) < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (2π + 2πk;2π + 2πk),k ∈
Z
.
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: [−
π
2
+ 2πk;
π
2
+ 2πk],
k ∈
Z
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: [
π
2
+ 2πk;

2
+ 2πk],
k ∈
Z
Наибольшее значение функции sin(x) = 1 в точках: x =
π
2
+ 2πk,
k ∈
Z
Наименьшее значение функции sin(x) = −1 в точках: x =

2
+ 2πk,
k ∈
Z
5

Page 6

1.2 Функция косинус
y = cos(x)
Область определения функции - множество
R
всех действительных
чисел.
Множество значений функции - отрезок [−1;1], т.е. косинус функция
- ограниченная.
Функция четная: cos(−x) = cos(x) для всех x ∈ R. График функции
симметричен относительно оси OY .
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:
cos(x + 2πk) = cos(x), где k ∈
Z
для всех x ∈
R
cos(x) = 0 при x =
π
2
+ πk, k ∈
Z
cos(x) > 0 для всех x ∈ −
π
2
+ 2πk;2πk, k ∈
Z
cos(x) < 0 для всех x ∈
π
2
+ 2πk;

2
+ 2πk, k ∈
Z
Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: [−π+2πk;2πk], k ∈
Z
Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: [2πk;π + 2πk], k ∈
Z
Наибольшее значение функции sin(x) = 1 в точках: x = 2πk, k ∈
Z
Наименьшее значение функции sin(x) = −1 в точках: x = π + 2πk,
k ∈
Z
6

Page 7

1.3 Функция тангенс
y = tan(x)
Область определения функции - множество всех действительных чи-
сел, кроме x =
π
2
+ πk, k ∈
Z
Множество значений функции - вся числовая прямая, т.е. тангенс -
функция неограниченная.
Функция нечетная: tan(−x) = −tan(x) для всех x из области опреде-
ления. График функции симметричен относительно оси OY .
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π,
т.е. tan(x + πk) = tan(x), k ∈
Z
для всех x из области определения.
tan(x) = 0 при x = πk, k ∈
Z
tan(x) > 0 для всех x ∈ (πk,
π
2
+ πk); k ∈
Z
tan(x) < 0 для всех x ∈ (−
π
2
+ πk;πk), k ∈
Z
Функция возрастает на промежутках: (−
π
2
+ πk;
π
2
+ πk), k ∈
Z
7

Page 8

1.4 Функция котангенс
y = cot(x)
Область определения функции - множество всех действительных чи-
сел, кроме πk, k ∈
Z
Множество значений функции - вся числовая прямая, т.е. котангенс -
функция неограниченная.
Функция нечетная: cot(−x) = −cot(x) для всех x из области опреде-
ления. График функции симметричен относительно оси OY .
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π,
т.е. cot(x + πk) = cot(x), k ∈
Z
для всех x из области определения.
cot(x) = 0 при x =
π
2
+ πk, k ∈
Z
cot(x) > 0 для всех x ∈ (πk;
π
2
+ πk), k ∈
Z
cot(x) < 0 для всех x ∈ (−
π
2
+ πk;πk), k ∈
Z
Функция убывает на каждом из промежутков: πk;π + πk, k ∈
Z
8

Page 9

2 Тригонометрические функции в
C
2.1 Тригонометрические функции
Тригонометрические функции в комплексной плоскости области просто
выражаются через показательную функцию. Для действительного переменно-
го x формула Эйлера дает:
e
ix
= cos(x) + isin(x),e
−ix
= cos(x) − isin(x),
откуда
sin(x) =
e
ix
− e
−ix
2i
;cos(x) =
e
ix
+ e
−ix
2
Учитывая это, примем по определению и для любого комплексного z
sin(z) =
e
ix
− e
−ix
2i
;cos(z) =
e
ix
+ e
−ix
2
(1)
Так определенные функции:
1) для действительных z = x совпадают соответственно с обычными
синусом и косинусом;
2) всюду аналитичны
3) подчиняются обычным формулам дифференцирования:
(sin(z)) = cos(z),(cos(z)) = −sin(z);
4) периодичны с действительным периодом 2π;
5) sin(z) - нечетная функция, cos(z) - четная;
6) подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:
sin
2
(z) + cos
2
(z) = 1,sin(2z) = 2sin(z)cos(z) и т.п.
Все эти утверждения вытекают из определения (1).
Функции tan(z) и cot(z) определяются формулами
tan(z) =
sin(z)
cos(z)
= −i
e
iz
− e
−iz
e
iz
+ e
−iz
;cot(z) =
cos(z)
sin(z)
= i
e
iz
+ e
−iz
e
iz
− e
−iz
.
(2)
9

Page 10

Функция tan(z) аналитична всюду, кроме точек, где cos(z) обращается в
0, т.е., всюду, кроме точек z
k
=
π
2
+kπ(k = 0,±1,±2,...); при приближении к
этим точкам tan(z) неограниченно возрастает. То же можно сказать о функции
cot(z) и точках z
k
= kπ(k = 0,±1,±2,...).
Из формул (2) следует, что эти функции периодические с периодом π.
В самом деле, например,
tan(z + π) = −i
e
i(z+π)
− e
−i(z+π)
e
i(z+π)
+ e
−i(z+π)
= −i
−e
iz
+ e
−iz
−e
iz
− e
−iz
= tan(z)
.
2.2 Гиперболические функции
Гиперболические функции в комплексной области определяются равен-
ствами
sinh(z) =
e
z
− e
−z
2
,cosh =
e
z
− e
−z
2
(3)
и
tanh(z) =
sinh(z)
cosh(z)
=
e
z
− e
−z
e
z
+ e
−z
,coth(z) =
cosh(z)
sinh(z)
=
e
z
+ e
−z
e
z
− e
−z
(4)
Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции



sinh(z) = −isin(iz),cosh(z) = cos(iz)
tanh(z) = −itan(iz),coth(z) = icot(iz)
(5)
и поэтому несущественно от них отличаются.
Тригонометрические и гиперболические функции выражаются, как мы
видели, через показательную функцию, поэтому обратные тригонометриче-
ские и обратные гиперболические функции можно выразить через логарифмы.
То есть, например, под арксинусом имеется в виду совокупность значений:
arcsin(z) = −i(Ln(iz ±

1 − z
2
) + 2πin)
10

Page 11

2.3 Обратные тригонометрические функции
Пусть ω = arcsin(z)
Чтобы выразить arcsin(z) через элементарные функции, решаем урав-
нение z = sin(ω), выразим sin(ω) через комплексные переменные:
z =
e

− e
−iω
2i
,
умножим на 2ie

: 2ize

= (e

)
2
− 1
(e

)
2
− 2ize

− 1 = 0 Решаем квадратное уравнение
e
if
=
2iz ±

(−2iz)
2
+ 4
2
=
2iz ±

−4z
2
+ 4
2
= iz ±

1 − z
2
Логарифмируем
Ln(e

) = Ln(iz ±

1 − z
2
)
iω = Ln(iz ±

1 − z
2
)
умножаем на −i
ω = −iLn(iz ±

1 − z
2
)
Далее следует разобраться со знаком "±". С точки зрения комплексных
переменных, квадратный корень всегда имеет два значения, различающихся
знаком "плюс"и "минус". Поэтому корень всегда подразумевает неоднознач-
ность. Выберем такой знак, чтобы формула была справедлива для главного
значения арксинуса. То есть для действительных z : −1 ≤ z ≤ 1, значе-
ние арксинуса ω = arcsin(z) должны находиться в интервале −
π
2
≤ ω ≤
π
2
.
Рассмотрим знак "+". Положим z = 0.
ω = −iLn(i · 0 +

1 − 0
2
) = −iLn(0 + 1) = −iLn1 = 0
То есть знак "+"соответствует главному значению арксинуса, которое
имеет множество значений при −
π
2
≤ ω ≤
π
2
. Если возьмем знак "− то
ω = −iLn(i · 0 −

1 − 0
2
) = −iLn(−1) = −iLn(e

) = −i · iπ lne = π
То есть знак "−"соответствует ветви арксинуса, которая имеет множе-
ство значений
π
2
≤ ω ≤

2
Остальные ветви получаются вследствие многозначности логарифма.
Выразим выражение под знаком логарифма через модуль r и аргумента φ:
iz +

1 − z
2
= re

= re
i(φ+2πn)
, где n - целое. Тогда
ω = −iLn(iz +

1 − z
2
) = −iLn(re
i(φ+2πn)
) = −iLn(re
iφe
i2πn
) =
−i(Ln(re

)+Ln(e
i2πn
)) = −i(Ln(iz+

1 − z
2
)+i2πn) = −iln(iz+

1 − z
2
)+
2πn
11

Page 12

То есть многозначность логарифма дает ветви, которые отстоят друг от
друга на величину 2π, что соответствует периоду синуса.
Итак,
arcsin(z) = −iLn(iz +

1 − z
2
)
Аналогичные формулы можно дать и для других функций:











arccos(z) = −iLn(iz +

z
2
− 1),
arctan(z) = −
i
2
Ln
z + i
z − i
arctg(z) = −
i
2
Ln
z + i
z − i
(6)
Пример: решить уравнение sin(z) = 5
Решение: Если sin(z) = 5, то z = arcsin5. Воспользуемся соответству-
ющей формулой
z = arcsin5 = −iLn(i5 +

1 − 5
2
) = −iLn(i5 +

−24).
Получим две серии корней
z
1
= −iLn(i5 + i2

6),z
2
= −iLn(i5 − i2

6).
Так как
|(5 + 2

6)i| = 5 + 2

6,|(5 − 2

5)i| = 5 − 2

6
и
arg(5 + 2

6)i = arg(5 − 2

6)i =
π
2
получим
Ln(5 + 2

6)i = ln(5 + 2

6) + i(
π
2
+ 2kπ)
и
Ln(5 − 2

6)i = ln(5 − 2

6) + i(
π
2
+ 2kπ)
12

Page 13

Следовательно,
z =
π
2
+ 2kπ − iln(5 + 2

6),
z =
π
2
+ 2kπ − iln(5 − 2

6),k ∈
Z
.
Пример. Вычислить arcsini
Решение.
arcsini = −iLn(−1 ±

2)
Если перед корнем взять положительный знак, то получим
arcsini = −iLn(−

2 − 1) = −i(ln(

2 − 1)+
iarg(

2 − 1) + 2kπi) = −iln(

2 − 1) + 2kπ.
Для отрицательного знака перед корнем будем иметь
arcsin(i) = −iLn(−

2 − 1) = −i(ln(

2 + 1) + iarg(−

2 − 1) + 2kπ) =
−iln(

2 + 1) + π + 2kπ = −iln(

2 + 1) + (2k + 1)π
Эти результаты можно объединить
arcsin(i) = −iln(

2 − (−1)
n
) + πn.
13

Page 14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей курсовой работе были рассмотрены свойства тригономет-
рических и гиперболических функций на множестве действительных чисел,
тригонометрические и обратные тригонометрические функции на множестве
комплексных чисел, в частности были рассмотрен arcsinz в комплексной
плоскости, приведены примеры решение задач с применением арксинуса в
комплексной плоскости.
14

Page 15

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного /
М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1973
2 Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного /
И.И. Привалов. - М. ; Л. : Гос. технико-теорет. изд-во, 1932. - 312 с.
3 Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной перемен-
ной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
4 Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т.2. – М.: Высшая школа, 1981.
5 Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функ-
ций комплексного переменного: Учеб. для вузов.— 3-е изд., испр.– М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.
15

Arcsin d комплексной плоскости