Багатофакторні економетричні моделі

 

 

Зміст

 

 

Вступ...................................................................................................3

Розділ 1. Багатофакторні економетричні моделі..........................4

1. Послідовність побудови економетричної моделі..................4
2. Специфікація моделі................................................................5
3. Вибір факторів при побудові багатофакторної регрессії.....9
4. Оцінка параметрів рівняння багатофакторної регресії.......13
5. Передумови використання методу найменших квадратів..17

Розділ 2. Типове рішення задач....................................................19

1. Порядок виконання роботи (алгоритм рішення).................20
2. Розвязання завдання...............................................................21

Розділ 3. Операторна інструкція рішення задачі на ПК.............25

1. Уведення даних.......................................................................26

3.2 Уведення розрахункових формул..........................................31

Висновки...........................................................................................39

Список використаної літератури....................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

 

 

Економетричне  моделювання широко   застосовується   в   різноманітних

економічних дослідженнях. Сьогодні економетрика переживає своє друге

народження, що підтверджує вручення у 2003 році Нобелівської премії з

економіки одним з найвідоміших   вчених - економетристів   Гренджеру та

Інглу. Вивчення «Економетрики» формує навички творчого мислення, здатність аналізувати економічні явища, знаходити взаємозв'язок між ними.

Економетрична модель — це функція чи система функцій, що описує кореляційно - регресійний зв’язок між економічними показниками, один чи кілька з яких є залежною змінною, інші — незалежними.

Побудова економетричної моделі базується на єдності двох аспектів – теоретичного, якісного аналізу та аналізу емпіричної інформації. Для побудови економетричної моделі, необхідно її специфікувати, тобто дібрати пояснювальні змінні та визначити аналітичну форму залежності. При цьому можна кілька разів повертатися до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік пояснювальних змінних та вид застосованої функції.

Основною метою множинної регресії є побудова моделі з великою кількістю чинників, визначивши при цьому як вплив кожного з них окремо, а так само сукупну дію на модельований показник.

Багатофакторна  регресія широко використовується зокрема при вирішенні проблем попиту, прибутковості акцій, при вивченні функції витрат виробництва, в макроекономічних розрахунках тощо, для розвязання цілої низки важливих питань економіки. У сучасних умовах багатофакторна регресія – один з найбільш поширених методів економетрії.

 

 

Об'єктом дослідження курсової роботи є багатофакторні економетричні моделі.

Предметом дослідження  – практичне застосування багатофакторних економетричних моделей у макроекономічних розрахунках.

 

Метою курсової роботи є ознайомлення з методами досліджень, перевірки, обґрунтування, оцінювання кількісних закономірностей та якісних тверджень (гіпотез) в процесі побудови багатофакторних економетричних моделей.

Мета роботи передбачає виконання таких завдань:

• ознайомлення з методами побудови та оцінювання економетричних моделей;

• набуття практичних навичок кількісного вимірювання взаємозв'язків  між економічними показниками;

• визначення критеріїв, показників та форм їх зв'язку при побудові багатофакторної регресії;

• практичне застосування методів економетричного аналізу у багатофакторних економетричних моделях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 1.  Багатофакторні економетричні моделі

 

1.1 Послідовність побудови економетричної моделі.

Побудова будь-якої економетричної моделі, незалежно від того, на якому  рівні і для яких показників вона будується, здійснюється як послідовність певних кроків.

Крок 1. Знайомство з економічною теорією, висунення гіпотези взаємозв’язку. Чітка постановка задачі.

Крок 2. Специфікація моделі. Використовуючи всі ті форми функцій, які можуть бути застосовані для вивчення взаємозв’язків, необхідно сформулювати теоретичні уявлення і прийняті гіпотези у вигляді математичних рівнянь. Ці рівняння встановлюють зв’язки між основними визначальними змінними за припущення, що всі інші змінні є випадковими.

Крок 3. Формування масивів вихідної інформації згідно з метою та завданнями дослідження.

Крок 4. Оцінка параметрів економетричної моделі методом найменших квадратів, що дає змогу проаналізувати залишки і відповісти на запитання: чи не суперечить специфікація моделі передумовам “класичної” моделі лінійної регресії?

Крок 5. Якщо деякі передумови моделі не виконуються, то для продовження аналізу треба замінювати специфікацію або застосовувати інші методи оцінювання параметрів.

Крок 6. Проведення аналізу вірогідності моделі та визначення прогнозу за  побудованою моделю.

Схематично всі кроки можна зобразити так:

Мал.1. Етапи побудови моделі

2. Специфікація моделі.

Економетрична модель базується  на єдності двох аспектів — теоретичного, якісного аналізу взаємозв’язків та емпіричної інформації. Теоретична інформація знаходить своє відображення в специфікації моделі.

Специфікація  моделі — це аналітична форма економетричної моделі. Вона складається з певного виду функції чи функцій, що використовуються для побудови моделей, має ймовірнісні характеристики, які притаманні стохастичним залишкам моделі.

 

З досвіду економетричних досліджень, а також на підставі якісного теоретичного аналізу взаємозв’язків між економічними показниками можна  навести клас функцій, які можуть описувати ці взаємозв’язки:

 

1) лінійна функція:

2) степенева функція:

3) гіпербола: 

де 

;

4) квадратична функція:

,

де 

.

 

У цих функціях:

y - залежна (пояснювана) змінна;

 - незалежні, або пояснювальні, змінні;

 - параметри функцій.

Серед наведених видів  функцій три останні є нелінійними. Але за допомогою перетворення залежної і незалежних змінних ці функції можна звести до лінійних. Отже, всі записані функції можуть бути реалізовані на практиці як лінійні.

оскільки лінійні функції найпоширеніші в економетричному моделюванні, то це твердження може пояснити той факт, що економетричні методи обгрунтовуються, як правило, на базі лінійних моделей.

Маючи на увазі, що вибір аналітичної форми економетричної моделі не може розглядатись без конкретного  переліку незалежних змінних, специфікація моделі передбачає добір чинників для економетричного дослідження.

При цьому в процесі  такого дослідження можна кілька разів повертатись до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незалежних змінних та вид функції, що застосовується. Адже коли вид функції та її складові не відповідають реальним залежностям, то йдеться про помилки специфікації.

Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів:

1) ігнорування істотної пояснюючої змінної при побудові економетричної моделі;

2) введення до моделі незалежної змінної, яка не стосується вимірюваного зв’язку;

3) використання не відповідних математичних форм залежності.

Перша з цих  помилок призводить до зміщення оцінок, причому зміщення буде тим більшим, чим більша кореляція між введеними та не введеними до моделі змінними, а напрям зміщення залежить від знака оцінок параметрів при введених змінних і від характеру кореляції між введеними та не введеними змінними. Оцінки параметрів також будуть зміщеними (у такому разі вони вищі), тому застосування способів перевірки їх значущості може спричинитися до хибних висновків щодо значень параметрів генеральної сукупності.

Для відшукання цього  джерела помилок специфікаціі досить важко запропонувати які-небудь загальні міркування, оскільки незалежна змінна, що не враховується (або незалежні змінні), може бути одним із багатьох можливих пояснень. Про необхідність введення моделі до цих незалежних змінних можна лише здогадуватись на підставі апріорних міркувань. Проте відомі й більш формалізовані процедури, які дають змогу з’ясувати, наскільки істотним є введення до моделі якої-небудь змінної. Так, наприклад, якщо побудувати економетричну модель на базі покрокової регресії (метод покрокової регресії розглянемо пізніше), то можна досить чітко ранжувати пояснювальні змінні за величиною їх впливу на залежну змінну. Про відсутність основної змінної свідчить зміна поводження випадкового відхилення у помилково специфікованій моделі.

Друга помилка  специфікації. В цьому разі, якщо до моделі вводиться змінна, яка неістотно впливає на залежну змінну, то (на відміну від першої помилки специфікації) оцінки параметрів моделі будуть незміщеними. Причому за допомогою звичайних процедур можна дістати також незміщені оцінки дисперсій цих параметрів. Але це не означає, що економетричну модель можна беззастережно розширювати за рахунок «неістотних» змінних. По-перше, існує ненульова ймовірність того, що в результаті використання вибіркових даних змінна, яка зовсім не стосується моделі, покаже істотний зв’язок із залежною змінною. А це означає, що кількісний зв’язок між змінними буде виміряний неправильно.

Третя помилка  специфікації. Припускається, що залежна змінна є лінійною функцією від деякої пояснювальної змінної, тоді як насправді тут краще підійшла б квадратична, кубічна чи якась поліноміальна залежність вищого порядку. У цьому разі наслідки такі самі, як і при першій помилці, тобто оцінки параметрів моделі матимуть зміщення.

Наведене  зауваження може бути узагальнене тією мірою, якою теорема Тейлора придатна для того, щоб зобразити різні  функції у вигляді суми степеневого ряду, забезпечуючи (принаймні для більшості випадків) збіжність цього ряду. Так, часто функцію незалежної змінної Х можна розкласти в деякій точці в степеневий ряд, причому за таку точку, як правило, беруть середнє значення (або нульове значення пояснювальної змінної):

За таких умов найпростішу  економетричну модель можна розглядати як найбільш спрощену характеристику зв’язків між двома змінними та випадковим відхиленням:

.

Використання квадратичної функції

в моделі не лише забезпечує опуклість функції, яка добирається, а може й розглядатись як найкраща апроксимація розкладу в ряд Тейлора.

Питання про  вибір найкращої форми залежності має базуватися на перевірці ступеня узгодженості виду функції з вихідними даними спостережень.

Адекватність побудованої  моделі можна встановити, аналізуючи залишки моделі. Вони обчислюються як різниці між фактичними значеннями залежної змінної і обчисленими за моделлю. Щоб перевірити, чи має розподіл залишків невипадковий характер, можна скористатися критерієм Дарбіна —Уотсона. Тоді перевірка моделі на існування автокореляції першого порядку аналогічна перевірці того, наскільки вдало вибрано форму економетричної моделі.

 

 

1.3 Вибір факторів при побудові багатофакторної регрессії

1.3.1 Формування сукупності спостережень

Поняття сукупності спостережень є основою економетричного моделювання. Слід розрізняти одиницю спостереження — джерело даних і одиницю сукупності — носія ознак, які підлягають спостереженню. Ці поняття найбільш чітко розрізняються в соціально-економічній статистиці. Наприклад, під час перепису населення одиницею спостереження буде сім’я, а одиницею сукупності — окрема людина. При статистичних дослідженнях із застосуванням методів багатовимірного статистичного аналізу ці поняття часто збігаються. Тому в економетричному моделюванні здебільшого йтиметься про одиницю сукупності.

Сукупність спостережень можна зобразити у вигляді  упорядкованого набору (матриці) даних  з параметрами n, m, T, де n — число одиниць сукупності ; m — число ознак, які описують кожну одиницю ; t — проміжок часу, за який вивчається ознака певного спостереження. Наприклад, якщо через X позначити певну ознаку спостереження, то потрібно записати так: , або X_ijt, що означає j-та ознака і-го спостереження в період t.

За одиницю сукупності спостережень часто беруть певний економічний  об’єкт, що функціонує. Вибрати одиницю  сукупності — означає визначити рівень об’єкта моделювання, наприклад великий технологічний агрегат, цех, підприємство, галузь і т.ін.

Розрізняють три способи  формування вибірки: часову, просторову і просторово-часову.

Якщо сукупність спостережень вивчається у статиці (просторова вибірка), то всі дані можна зобразити у вигляді матриці розміром n ´ m, в якій   кожний рядок несе інформацію про одиницю вибіркової сукупності, а стовпець характеризує певну ознаку.

Часова вибірка містить набір значень ознак функціонування окремого об’єкта в динаміці m ´ T, тобто по суті складається з двовимірного чи багатовимірного часового ряду.

Просторово-часова вибірка є комбінацією просторової і часової вибірок n ´ m ´ T.

 

1.3.2. Поняття однорідності спостережень

Існує багато різноманітних  підходів до аналізу та оцінювання ступеня однорідності сукупності спостережень, на основі якої будується економетрична модель. Проте багато дослідників, хоча й мають неоднакові погляди на цю проблему, одностайні в тому, що економічні сукупності, як  правило,  неоднорідні.

В економетричному дослідженні  ми користуємося поняттям відносної  однорідності, і може йтися лише про досягнення розумного ступеня  однорідності спостережень, для якого можна було б забезпечити достатню точність економічних висновків. Поняття однорідності сукупності спостережень охоплює якісну і кількісну однорідність. Під першою треба розуміти однорідність, яка визначається однотипністю економічних об’єктів, їх однаковою якістю та певним призначенням, а під другою — однорідність групи одиниць сукупності, що визначається на основі кількісних ознак. При цьому обидва поняття діалектично взаємопов’язані, і кількісна однорідність можлива лише за наявності одноякісності явищ та процесів, що утворюють сукупність спостережень.

Ознаки, які включаються  у вибірку для кожної одиниці спостереження, будуть виступати потім як змінні економетричної моделі, тому, формуючи сукупність спостережень, треба забезпечити порівнянність даних у просторі та часі.

 

Це означає, що дані вихідної сукупності спостережень повинні мати:

1) однаковий ступінь агрегування;

2) однорідну структуру  одиниць сукупності;

3) одні й ті самі  методи розрахунку показників  у часі;

4) однакову періодичність  обліку окремих змінних;

5) порівнянні ціни  та однакові інші зовнішні  економічні умови.

 

1.3.3. Точність вихідних даних

Висновки, які можна  зробити в результаті економетричного  моделювання, цілком зумовлені якістю вихідних даних — їх повнотою та вірогідністю. Це одна з найважливіших особливостей економетричного моделювання, на яку звертають увагу багато видатних економетристів. Так, наприклад, О. Моргенштерн ступінь точності даних, які необхідні для дослідження, ставить в пряму залежність від тієї конкретної мети, заради якої виконується вимірювання. При економічних розрахунках постає питання про точність (помилку) економічних показників. Похибки показників виникають і нагромаджуються при побудові алгоритму розрахунку, при формуванні даних, у процесі обчислень. Найістотніші похибки можуть виникати при переведенні понять економічної теорії в показники. Ці помилки можна назвати помилками, пов’язаними з розрахунком економічних показників. Вони спричинюються неточністю і неповнотою визначення змісту показників, невідповідністю між вимогами і фактичним змістом, коли в принципі не можна точно виміряти економічні процеси та явища.

Усі помилки поділяються на систематичні та випадкові.

Систематичні  помилки або мають постійну величину, або змінюються, підпорядковуючись певній функціональній залежності. Вони завжди однонапрямлені і можуть бути істотними за величиною.

Випадкові помилки зумовлюються впливом випадкових чинників при формуванні показників. При повторних розрахунках економічних показників такі помилки можуть взаємно погашатись. Проте це не означає, що й економічні наслідки випадкових помилок мають ті самі властивості. Часто відхилення в оцінці показника в будь-який бік призводять до втрат або економічні наслідки є нелінійною функцією випадкових помилок. Тому, формуючи сукупність спостережень для побудови економетричної моделі, слід звертати увагу на можливість існування помилок у вихідних даних. Якщо немає змоги позбутись цих помилок (а впевненість в їх наявності існує), то слід використовувати спеціальні методи оцінювання параметрів економетричної моделі, про які йтиметься далі.

 

1.3.4. Вибір змінних і структура зв’язків

Економетричне моделювання  базується на деякій сумі професійних  знань про об’єкт дослідження. До завдань попереднього аналізу належить вирішення таких основних питань:

1) визначення набору  змінних, які описують процес  функціонування досліджуваних об’єктів;

2) аналіз взаємозв’язків  між окремими змінними;

3) установлення переліку  допустимих операцій над змінними  і зв’язками, тобто вибір раціонального  типу економетричної моделі.

Питання вибору результативних ознак (економічних  показників), що моделюються, вирішується відносно просто. Вони часто задані формулюванням мети дослідження. Вибір незалежних змінних (ознак-факторів) є процесом послідовного уточнення початкової гіпотези. У цьому процесі можна вирізнити такі етапи: формування початкової гіпотези про набір незалежних змінних; експертна оцінка цього набору; аналіз взаємозв’язків; добір і звуження кола істотних для моделювання змінних.

В основу формування початкової гіпотези про набір змінних покладено  загальну схему функціонування об’єкта, що моделюється. На перелік змінних, які вносяться до початкового набору, має вплив призначення моделі, тип дослідження і т.ін.

Звуження початкового  набору змінних — процес багатостадійний, який відбувається на всіх етапах побудови моделі: під час проведення апріорного аналізу і формування робочої гіпотези (ще до збору вихідних даних), на етапі їх попереднього аналізу і перетворення і навіть на етапі побудови моделі. В основу процесу звуження набору змінних на стадії формування робочої гіпотези покладено результати експертного опитування та змістовні міркування різного типу; можливість і точність вимірювань; трудомісткість збору даних; діапазон варіації і можливість регулювання значень змінних; максимально допустиме їх число; функціональні зв’язки та ряд інших міркувань.

 

 

1.4 Оцінка параметрів рівняння багатофакторної регресії

Оцінки параметрів є вибірковими характеристиками і повинні мати такі властивості:

1) незміщеності;

2) обгрунтованості;

3) ефективності;

4) інваріантності.

Вибіркова оцінка параметрів називається незміщеною, якщо вона задовольняє рівність

 

У розглядуваному випадку 

Оскільки згідно з  першою умовою , то .

Отже, оцінка параметрів 1МНК є незміщеною.

Незміщеність — це мінімальна вимога, яка ставиться  до оцінок параметрів . Якщо оцінка незміщена, то при багаторазовому повторенні випадкової вибірки попри те, що для окремих вибірок, можливо, були помилки оцінки, середнє значення цих помилок дорівнює нулю.

Різниця між математичним сподіванням оцінки і значенням  оціненого параметра 

 

називається зміщенням оцінки.

Не можна плутати помилку  оцінки з її зміщенням. Помилка дорівнює і є випадковою величиною, а зміщення — величина стала.

Дуже важливою властивістю оцінки є її обгрунтованість.

Вибіркова оцінка параметрів А називається обгрунтованою, якщо при досить малій величині  > 0 справджується cпіввідношення

 

Іншими словами, оцінка обгрунтована, коли вона задовольняє  закон великих чисел. Обгрунтованість помилки означає, що чим більші будуються вибірки, тим більша ймовірність того, що помилка оцінки не перевищуватиме достатньо малої величини e.

Для обгрунтованості оцінок, здобутих на основі 1МНК, мають виконуватися три умови:

1) ,  де  Q  —  додатно визначена матриця;

2)   де  Q — додатно визначена матриця;

3)

Третя властивість оцінок Â — ефективність — пов’язана з величиною дисперсії оцінок.

Тут доречно сформулювати важливу  теорему Гаусса — Маркова, що стосується ефективності оцінки 1МНК.

Теорема Гаусса — Маркова. Функція оцінювання за методом 1МНК покомпонентно мінімізує дисперсію всіх лінійно незміщених функцій вектора оцінок :

   для   ,

де  — дисперсія оцінок , визначених згідно з 1МНК, — дисперсія оцінок , визначених іншими методами.

Отже, функція оцінювання 1МНК  у класичній лінійній моделі є найкращою (мінімально дисперсійною) лінійною незміщеною функцією оцінювання. (Цю властивість називають BLUE).

З означення дисперсії  випливає, що — параметр розподілу випадкової величини А, яка є мірою розсіювання її значень навколо математичного сподівання.

Вибіркова оцінка параметрів А називається ефективною, коли дисперсія цієї оцінки є найменшою.

Нехай ефективна оцінка параметрів , а — деяка інша оцінка цих параметрів. Тоді

тобто це відношення називається  ефективністю оцінки. Очевидно, що ; чим ближче до одиниці, тим ефективнішою є оцінка. Цікаво, що відношення може бути функцією сукупності спостережень , причому зі збільшенням може швидко змінюватися.

Незміщена оцінка , дисперсія якої при задовольняє умову називається асимптотично ефективною оцінкою.

Пошук ефективних оцінок параметрів — досить складна справа. Проте оскільки дисперсія середнього арифметичного значення оцінки, яка  має  вимірів, дорівнює то, як можна довести, що дає ефективну оцінку параметрів А.

Ще одна важливість оцінок — їх інваріантність.

Оцінка  параметрів називається інваріантною, якщо для довільно заданої функції оцінка параметрів функції подається у вигляді . Іншими словами, інваріантність оцінки базується на тому, що в разі перетворення параметрів за допомогою деякої функції таке саме перетворення, виконане щодо , дає оцінку нового параметра.

Інваріантність оцінок має велике практичне значення. Наприклад, якщо відома оцінка дисперсії генеральної  сукупності і вона інваріантна, то оцінку середньоквадратичного відхилення можна дістати, добувши квадратний корінь із оцінки дисперсіі. Коефіцієнт кореляції R є інваріантною оцінкою до коефіцієнта детермінації .

 

 

 

 

 

5. Передумови використання методу найменших квадратів.

Нехай економетрична  модель у матричній формі має  вигляд

 

де Y — вектор значень залежної змінної;

X — матриця незалежних змінних розміром (n — число спостережень, m — кількість незалежних змінних);

A — вектор оцінок параметрів моделі;^*

u — вектор залишків.

Щоб застосувати 1МНК  для оцінки параметрів моделі, необхідне  виконання таких умов:

1) математичне сподівання  залишків дорівнює нулю, тобто

 

2) значення u_i вектора залишків u незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто

  

де Е — одинична матриця;

3) незалежні змінні моделі не  пов’язані із залишками:

 

4) незалежні змінні  моделі утворюють лінійно незалежну  систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто :

 

,

де X_k — k-й вектор матриці пояснювальних змінних; X_j — j-й вектор цієї матриці пояснювальних змінних X, .

Перша умова, здавалося б, є очевидною. Адже коли математичне сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфікації не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про помилку специфікації.

зауважимо, що коли економетрична модель має вільний член, то майже завжди за рахунок його значення можна скоригувати рівняння так, щоб математичне сподівання залишків дорівнювало нулю. Отже, для таких моделей перша умова практично виконуватиметься завжди.