Детерминированный хаос

Оглавление

Введение 3

Основные понятия 5

История развития теории хаоса 7

«Эффект бабочки» и управляемость хаоса 11

Эксперимент Бенара и модель Лоренца 14

Эксперимент Бенара 14

Вывод модели Лоренца 15

Анализ устойчивости, возникновения конвекции и турбулентности в модели Лоренца 17

Введение и определение странных аттракторов 20

Энтропия Колмогорова 24

Сценарии перехода от порядка к хаосу 26

Приложения теории хаоса 29

К экологии и биологии 29

К анализу турбулентности 29

К предсказаниям поведения Солнечной системы 30

К информационным системам и вычислительной технике 31

Хаотические компьютеры 31

Связь с помощью хаоса 33

Хаос и компьютерные сети 34

Заключение 37

Список литературы 38

 

Введение

Как показывает повседневный опыт, для многих физических систем малые изменения начальных условий  приводят к малым изменениям результата. Так, например, путь автомобиля мало изменится, если руль лишь слегка поворачивать.

Но есть ситуации, для  которых справедливо противоположное. Сторона, на которую упадет монета, поставленная на ребро, зависит от слабого  прикосновения. Последовательность «орлов»  и «решек» проявляет нерегулярное, или хаотическое, поведение во времени, так как крайне малые изменения начальных условий могут привести к совершенно различным результатам.

В последние годы стало  ясно (и отчасти определилось благодаря  исследованиям нелинейных систем с  применением быстродействующих  компьютеров), что высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени, никоим образом не исключение, –  это типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в периодически стимулируемых клетках  сердца, в электронных цепях, при  возникновении турбулентности в  жидкостях и газах, в химических реакциях, в лазерах и т.д. С  точки зрения математики во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше 2 (особенно во многих биологических, метеорологических  и экономических моделях) можно  обнаружить хаос и, следовательно, на достаточно больших временах их поведение становится непредсказуемым.

Рассмотрим само словосочетание «детерминированный хаос». На первый взгляд кажется, что это два взаимоисключающих  понятия. Случайный процесс — это такой процесс, точное предсказание которого принципиально невозможно. Можно лишь ставить вопрос о вероятности того или иного варианта его развития. С другой стороны, детерминированный процесс — это по определению процесс, каждый шаг которого предопределен некоторыми закономерностями, которые нам заведомо известны. Иными словами, это означает, что можно со 100-пpоцентной вероятностью предсказать его будущее развитие во времени.

Например, если речь идет о  механической системе, то хорошо известно, что задание начальных условий  — координат и импульсов —  однозначно определяет последующую  ее эволюцию. Именно поэтому, во времена  преобладания механистического взгляда  на природу вещей, появилось известное  изречение Лапласа: "Дайте мне  начальные условия, и я предскажу  будущее мира". Эта уверенность  в правоте Лапласа и предсказуемости  поведения систем, описываемых классической механикой, сохранялась вплоть до самого последнего времени в сознании большинства  естествоиспытателей. Однако исследования последних 20 лет произвели настоящую  революцию в этой области и  показали, что не все так просто и что детерминированная механическая система может вести себя совершенно непредсказуемо. И, наоборот, в основе нерегулярного, хаотического поведения  часто лежит вполне детерминированное  описание, которое, однако, вовсе не означает практическую возможность  долговременного прогноза эволюции процесса.

Целью данного курсового проекта является ознакомление с общими положениями теории хаоса и рассмотрение простейших моделей, которые демонстрируют хаотическое поведение, а также рассмотрение области применения теории хаоса на практике.

 

 

 

 

 

 

 

Основные понятия

Слово «хаос» (от греч. «χαοζ» - сырая бесформенная масса, в которую Создатель привнес гармонию и порядок) в современном его понимании, означает состояние беспорядка и нерегулярности.

Детерминированные системы – это такие физические системы, поведение которых во времени детерминированно, т.е. существует правило в виде дифференциальных или разностных уравнений, определяющее их будущее исходя из заданных начальных условий.

Было бы естественно предположить, что детерминированное движение (описываемое, например, непрерывными дифференциальными уравнениями) достаточно регулярно и далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния  непрерывно развиваются одно из другого. Но Эдвард Лоренц еще в 1963 обнаружил, что даже простая система из трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка может  привести к совершенно хаотическим  траекториям.

В дальнейшем под детерминированным хаосом подразумевается нерегулярное, или хаотическое, движение, порожденное нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории.

Начиная с рубежа 1980-х  – 1990-х годов в дискуссиях историков-методологов появилось новое направление, связанное с наукой о сложном (complexity sciences).

Так принято называть новую  междисциплинарную область исследований, в центре внимания которой находятся  проблемы исследования систем с нелинейной динамикой, неустойчивым поведением, эффектами  самоорганизации, наличием хаотических  режимов. Единая наука о поведении  сложных систем, самоорганизации  в Германии названа синергетикой (Г. Хакен), во франкоязычных странах - теорией диссипативных структур (И. Пригожин), в США – теорией динамического хаоса (М. Фейгенбаум). В отечественной литературе принят преимущественно первый термин, наиболее краткий и емкий – теория хаоса.

 Теория хаоса – раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем.

Динамическая  система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим (такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности).

Также при рассмотрении данной темы нам понадобятся такие понятия, как хаусдорфова размерность и спектр мощности.

Хаусдорфова размерность. Если для того, чтобы покрыть некоторое множество d-мерного пространства, требуется N(l) d-мерных шаров диаметра l, N(l) изменяется следующим образом:

         (1)

то D называется хаусдорфовой размерностью этого множества.

Для самоподобных множеств размерность D можно вычислить по формуле

        (2)

Спектр мощности – функция, задающая распределение мощности сигнала по частотам, сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих, а информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектры мощностей.

На данном этапе ограничимся этими основными понятиями и перейдем к истории развития теории хаоса.

 

 

История развития теории хаоса

Первые элементы теории хаоса  появились еще в XIX веке, однако подлинное  научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с  работами Эдварда Лоренца из Массачусетского  технологического института и франко-американского  математика Бенуа Б. Мандельброта. Эдвард Лоренц в свое время рассматривал, в чем возникает трудность  при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности  точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый  подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».

Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования  погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй  подход к возможности прогнозирования  погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее  развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму.

Гейзенберг  показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра.

Так, из-за очень малых  размеров ядра невозможно знать все  процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда  это ядро распадется невозможно.

В 1926–1927 голландский инженер Б. Ван-дер-Пол  сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие  в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны, когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации.

 В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что  неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини – Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать «интеллектуальный» стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости – метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.

Но вернемся к 1960-м  годам, в начале  которых американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию   типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения.

Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад  В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса.

То, что чувствительность к начальным  данным ведет к хаосу, понял - и  тоже в 1963 году - американский метеоролог Эдвард Лоренц. Он задался вопросом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к воплощению в жизнь мечты метеорологов - достоверному среднесрочному (на 2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы), просчитал ее на компьютере и не побоялся всерьез отнестись к полученному результату. Этот результат - динамический хаос - есть непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает  движение точки в пространстве, называемом фазовым. Важнейшая характеристика этого пространства - его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа - количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, до сих пор поддерживающих президента. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Здесь размерность фазового пространства всего 3. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Эффект бабочки» и управляемость  хаоса

В последние годы благодаря  новым теоретическим результатам, наличию быстродействующих компьютеров  и развитию техники эксперимента стало ясно, что явление детерминированного хаоса часто встречается в  природе и имеет далеко идущие последствия во многих областях науки.

Заметим, что нелинейность – необходимое, но не достаточное  условие для возникновения хаотического движения (линейные дифференциальные или разностные уравнения  не приводят к хаосу).

Наблюдаемое во времени хаотическое  поведение возникает не из-за внешних  источников шума, не из-за бесконечного числа степеней свободы (в рассматриваемых  нами системах их лишь 3) и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой (рассматриваемые системы чисто  классические). Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством  нелинейных систем экспоненциально  быстро разводить первоначально  близкие траектории в ограниченной области фазового пространства (например, трехмерного в системе Лоренца, которую мы рассмотрим далее).

Таким образом, поскольку  реально начальные условия можно  задать лишь с конечной точностью, то ошибки экспоненциально нарастают. Если попытаться решить такую нелинейную систему на ЭВМ, результат на все более дальних временах зависит от все большего количества цифр в (иррациональных) числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах (а рациональные числа на действительной оси есть множество меры 0) распределены нерегулярно, траектория становится хаотической.

Лоренц назвал эту чувствительность к начальным условиям эффектом бабочки, так как решение его уравнений (приближенно описывающих также потоки воздуха в атмосфере Земли, т. е. задачу предсказания погоды) может изменить даже взмах крыльев бабочки, а также подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Поговорим о предсказании будущего в динамических системах.

Как отметил Пуанкаре в  своей работе "Наука и метод" (1908), в неустойчивых системах "совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. (...) Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление  случайное". Таким образом прогнозирование на длительные времена теряет всякий смысл.

Хаотическое поведение с  непредсказуемым будущим может  иметь место даже в очень простых  системах.

Возникает закономерный вопрос: а как же обстоит дело с прошлым  таких систем?

Динамическая природа "непредсказуемости" прошлого сходна с природой непредсказуемости  будущего: неустойчивость траекторий динамической системы и быстрое  нарастание числа возможных вариантов  по мере удаления от точки отсчета. Чтобы реконструировать прошлое, кроме  самой динамической системы нужна  достаточная по количеству и надежная по качеству информация из этого прошлого. Следует отметить, что на разных участках исторического процесса степень  его хаотичности различна и может  даже падать до нуля (ситуация, когда  все существенное предопределено). Естественно, что чем менее хаотична система, тем проще реконструируется ее прошлое.

Теперь поговорим об управляемости  хаотических систем.

На первый взгляд природа  хаоса исключает возможность  управлять им. В действительности все наоборот: неустойчивость траекторий хаотических систем делает их чрезвычайно  чувствительными к управлению.

Пусть, например, требуется  перевести систему из одного состояния  в другое (переместить траекторию из одной точки фазового пространства в другую). Требуемый результат  может быть получен в течение  заданного времени путем одного или серии малозаметных, незначительных возмущений параметров системы. Каждое из них лишь слегка изменит траекторию, но через некоторое время накопление и экспоненциальное усиление малых  возмущений приведут к существенной коррекции движения. При этом траектория останется на том же хаотическом  аттракторе. Таким образом, системы  с хаосом демонстрируют одновременно и хорошую управляемость , и удивительную пластичность: чутко реагируя на внешние воздействия, они сохраняют тип движения.

Мы уже установили, что  поведение хаотических систем не может быть предсказано на большие  интервалы времени. По мере удаления от начальных условий положение  траектории становится все более  и более неопределенным. С точки  зрения теории информации это означает, что система сама порождает информацию, причем скорость этого процесса тем  выше, чем больше степень хаотичности. Отсюда, согласно теории хаотической  синхронизации, следует интересный вывод: чем интенсивнее система  генерирует информацию, тем труднее  ее синхронизировать, заставить вести  себя как-то иначе.

Теперь перейдем к рассмотрению экспериментального обнаружения хаоса  на примере эксперимента Бенара и описывающей этот эксперимент модели Лоренца.

 

 

 

 

 

 

Эксперимент Бенара и модель Лоренца

Эксперимент Бенара

Эксперимент Бенара является типичной системой, в которой проявляется детерминированный хаос.

В этом эксперименте слой жидкости (с положительным коэффициентом  объемного расширения) подогревается  снизу в поле тяготения, как показано на рис. 1а. Нагретая жидкость вблизи дна «стремится» подняться, а холодная вблизи крышки – опуститься, но этим движениям противодействуют вязкие силы.

Рис. 1. Неустойчивость Бенара

При малых разностях температур ΔТ преобладает вязкость, жидкость покоится и тепло переносится постоянной теплопроводностью. Это состояние становится неустойчивым при критическом значении R_a числа Рэлея R (пропорционального ΔТ), и появляются стационарные конвективные валы (рис. 1б). С дальнейшим ростом R после второго порога R_c наблюдается переход к хаотическому движению.

Рис. 2. Спектры мощности х-компоненты скорости

На рис. 2 приведены спектры  мощности х-компоненты скорости, измеренной по эффекту Доплера при рассеянии света (Swinney, Gollub, 1978).

Теоретическое описание эксперимента Бенара предложил Лоренц в 1963 году.

Он упростил сложные дифференциальные уравнения, описывающие эту систему, и получил дифференциальные уравнения  так называемой модели Лоренца:

         (3)

где точка обозначает дифференцирование  по времени t. Переменная X пропорциональна скорости конвективного потока, Y — описывает разность температур для потоков вверх и вниз, а Z — характеризует отклонение профиля температуры от линейного в продольном направлении, вдоль приложенного градиента температуры. Величина последнего характеризуется управляющим параметром r, а σ и b — некоторые безразмерные константы, характеризующие систему.

Приведем беглый вывод  этой системы.

 Вывод модели Лоренца

Рассмотрим эксперимент  Рэлея – Бенара. Жидкость описывается полем скорости v(x, t) и полем температуры T(x, t). Основными уравнениями, описывающими эту систему, являются:

а) уравнение Навье-Стокса

        (4)

б) уравнение теплопроводности

          (5)

в) уравнение неразрывности

         (6)

с граничными условиями

       (7)

Здесь ρ – плотность жидкости, μ – вязкость, p – давление, k – температуропроводность,

F = ge_z – внешняя сила тяготения в направлении e_z. Нелинейность в гидродинамике связана с конвективным слагаемым (квадратичным по v) в уравнении Навье – Стокса (4).

Чтобы упростить вычисления, предполагается, что а) система обладает трансляционной инвариантностью по у, так что конвекционные валы простираются до бесконечности, и б) зависимостью от ΔТ всех коэффициентов, кроме ρ = (1-αΔТ), можно пренебречь (приближение Буссинеска). Уравнение неразрывности принимает вид:

      (8) 
поэтому удобно ввести функцию ψ(x, z, t), для которой

        (9)

так, что (8) выполняется автоматически.

Далее введем отклонение Θ(x, z, t) от линейного профиля температуры:

     (10)

Используя (9) и (10), основные уравнения можно записать в виде (Saltzman, 1981)

     (11)

     (12)

где

      (13)

v = μ/ – кинематическая вязкость (член, содержащий давление, уничтожается применением ротора к уравнениям Навье – Стокса).

Чтобы упростить (11) и (12), Лоренц использовал свободные граничные условия

    (14)

и, сохраняя только младшие члены в фурье-представлении ψ, предложил следующую подстановку:

     (15)

  (16)

где переменные  X, Y и Z зависят только от времени, R = gαh³ΔТ/vk – число Рэлея, R_c = π⁴a^-2(1+a²)³ – критическое значение R, а – отношение геометрических размеров.

Отсюда получаем (3):

где точкой обозначена производная  по безразмерному времени              τ = π²h^-2(1+a²)kt, σ = v/k – число Прандтля, b 4(1+a²)^-1, r = R/R_c ΔТ – внешний управляющий параметр.

Численный анализ этой, очевидно, простой системы нелинейных дифференциальных уравнений показывает, что ее переменные могут проявлять хаотическое  поведение при превышении порога r_c. Продемонстрируем это при проверке системы на устойчивость.

Анализ устойчивости, возникновения  конвекции и турбулентности в  модели Лоренца

Запишем уравнения Лоренца (3) в краткой форме

          (17)

и линеаризуем их вблизи неподвижных точек

    (18)

определяемых условием

         (19)

Первая неподвижная точка Х₁ = 0 соответствует состоянию теплопроводности без движения жидкости, и ее матрица устойчивости

      (20)

имеет собственные значения

   (21)

Таким образом, решение Х = 0 устойчиво, т. е. все λ отрицательны, при 0 < r < 1. При r = 1 начинается конвекция Бенара, так как λ₁ = 0, и именно в этот момент «принимает эстафету» вторая неподвижная точка Х₂ (соответствующая движущимся валам). Матрица устойчивости для Х₂:

   (22)

а ее собственные значения – корни полинома

  (23)

Видно, что при r = 1 λ₁ = 0; λ₂ = -b; λ₃ = -(σ+1), т.е. «конвективная» неподвижная точка находится на грани устойчивости, и, как показывает рис. 3, она устойчива при 0 < r < r₁. При r₁ < r_с два собственных значения становятся комплексными, т. е. появляются два предельных цикла, устойчивых до тех пор, пока действительная часть этих значений меньше 0. При r = r_с действительные части обращаются в 0, т. е. λ = i λ₀, и из (23)

   (24)

Рис. 3. Вид полинома Р(λ) в зависимости от параметра r

При превышении r_с предельный цикл становится неустойчивым (действительные части комплексных собственных значений положительны) и наступает хаос. Этот анализ согласуется с численным результатом, полученным Лоренцем, обнаружившим хаотическое поведение при σ = 10, b = 8/3 и значениях параметра r, превышающих r_с = 24,74.

Однако следует отметить, что уравнения Лоренца описывают эксперимент Бенара только непосредственно вблизи перехода от теплопереноса к конвективным валам, так как пространственные фурье-коэффициенты, оставленные Лоренцем в системе уравнений, описывают только простые валы. Хаос, обнаруженный Лоренцем в уравнениях (3), таким образом, отличается от хаоса, наблюдаемого по экспериментальному спектру мощности (рис. 2). Для описания экспериментально наблюдаемого хаоса необходимо сохранить гораздо больше пространственных фурье-компонент.

Далее введем понятия аттрактора и странного аттрактора.

 

 

 

 

 

 

Введение и определение странных аттракторов

Аттрактор (от англ. to attract  — притягивать) ― компактное инвариантное множество L в трехмерном фазовом пространстве гладкого потока, которое имеет определённую сложную топологическую структуру и является асимптотически устойчивым, оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из некоторой окрестности   стремятся к   при   (отсюда название).

Рассмотрим данный вопрос на примере рассмотренной ранее  модели Лоренца (3):

для которой

     (25)