Динамическое программирование. Задачи об инвестировании

Министерство образования  и науки Российской Федерации

ГОУ " Санкт-Петербургский  государственный политехнический  университет"

Чебоксарский институт экономики  и менеджмента (филиал)

Кафедра высшей математики и информационных технологий

 

 

 

Курсовая работа

по курсу: «Экономико-математические методы»

на тему: «Динамическое  программирование. Задачи об инвестировании»

 

 

 

 

                                                                 Выполнил

                                                                        студент 3 курса

                                                                        очного отделения

                                                                        специальности "080502"

                                                                        Кватерман М.А.

                                                                        подпись студента___________

                                                                    Проверила

                                                                        к. ф.-м. н., доцент Санаева Т. А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебоксары

2011

 

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………………..3

Глава 1. Теоретическая часть

1.1.Инвестиции в экономике

1.1.1.Понятие инвестиций. Цели инвестирования………………….……5

1.1.2.Математические модели в инвестировании………………………..8

1.2.Динамическое программирование

1.1.1.Понятие динамического программирования……...………...…….14

1.2.2.Общая структура динамического программирования………...….17

1.2.3.Задача планирования рабочей силы………………….……....……18

1.2.4.Задача замены оборудования………………………………...…….20

1.2.5.Задача инвестирования……………………………………...…...…21

Глава 2. Практическая часть

2.1. Задача………………………………………………………..…….…..23

2.2. Решение задачи…………………………………………….……...….23

Заключение……………………………………………………………………....27

Список используемой литературы……………………………………………..29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Инвестиции играют весьма важную роль в экономике. Они объективно необходимы для стабильного развития экономики, обеспечения устойчивого  экономического роста. Активный инвестиционный процесс предопределяет экономический  потенциал страны в целом, способствует повышению жизненного уровня населения. Экономическая деятельность отдельных  хозяйствующих субъектов зависит  в значительной степени от объемов  и форм осуществляемых инвестиций.

При инвестировании средств необходимо руководствоваться следующими соображениями:

- безопасность вложений (неуязвимость инвестиций от потрясений  на рынке инвестиционного капитала),

- стабильность получения  дохода,

- ликвидность вложений, то  есть их способность участвовать  в немедленном приобретении товара (работ, услуг), или быстро и без потерь в цене превращаться в наличные деньги.

Ни одна из инвестиционных ценностей не обладает всеми перечисленными выше свойствами. Поэтому неизбежен  компромисс. Если ценная бумага надежна, то доходность будет низкой, так  как те, кто предпочитают надежность, будут предлагать высокую цену и  собьют доходность. Главная цель при  инвестировании средств состоит в достижении наиболее оптимального сочетания между риском и доходом для инвестора. Иными словами, соответствующий набор инвестиционных инструментов призван снизить риск вкладчика до минимума и одновременно увеличить его доход до максимума.

Актуальность курсовой работы на тему «Динамическое программирование. Задача инвестирования» заключается в том, что необходимо из многочисленных вариантов найти наиболее оптимальный, от которого может зависеть судьба всей страны.

Планирование инвестиций преимущественно  осуществляется на основе использования математических моделей. Наилучший вариант инвестирования можно получить, разбив задачу на подзадачи, и решив задачу по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования, который будет рассмотрен в данной курсовой работе.

Цель курсовой работы –  научиться находить наиболее оптимальный  вариант вложения инвестиций при  существующих условиях.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

- определить понятие «инвестиции», цели, задачи, проблемы инвестирования;

- изучить математические  модели инвестирования;

- рассмотреть суть динамического  программирования;

- изучить процесс динамического  программирования;

- рассмотреть виды задач  динамического программирования;

- решить задачу инвестирования;

- найти оптимальный вариант  вложения средств.

Курсовая работа состоит  из введения, теоретической, практической частей, заключения, списка использованной литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                 Глава 1. Теоретическая часть

1. Инвестиции в экономике
1. Понятие инвестиций. Цели инвестирования

 

Динамичное и эффективное  развитие инвестиционной деятельности является необходимым условием стабильного  функционирования и развития экономики. Масштабы, структура и эффективность  использования инвестиций во многом определяют результаты хозяйствования на различных уровнях экономической  системы, состояние, перспективы развития и конкурентоспособнесть национального хозяйства.

Под инвестициями понимаются денежные средства, ценные бумаги, иное имущество, в том числе имущественные  права, имеющие денежную оценку, вкладываемые в объекты предпринимательской  и (или) иной деятельности в целях  получения прибыли и (или) достижения иного полезного эффекта.

На общеэкономическом  уровне инвестиции требуются для:

•расширенного воспроизводства;

•структурных преобразований в стране;

•повышения конкурентоспособности  отечественной продукции;

•решения социально-экономических  проблем, в частности проблем  безработицы, экологии, здравоохранения, развития системы образования и  др.

На микроуровне инвестиции способствуют:

•развитию и упрочнению позиции компании;

•обновлению основных фондов;

•росту технического уровня фирмы;

•стабилизации финансового  состояния;

•повышению конкурентоспособности  предприятия;

•повышению квалификации кадрового состава;

•совершенствованию методов  управления.

Инвестирование – вложение капитала в целях получения дохода в будущем, компенсирующего инвестору  отложенное потребление, ожидаемый  рост общего уровня цен и неопределенность получения будущего дохода (риск).

Цель инвестирования заключается  в поиске и определении такого способа вложения инвестиций, при  котором обеспечивался бы требуемый  уровень доходности и минимальный  риск.

На инвестирование оказывают  воздействие различные факторы:

• временной;

• инфляционный;

• фактор неопределенности или риска.

Временной фактор. Инвестирование, по сути, означает отказ от использования дохода на текущее потребление, чтобы в будущем иметь большую сумму. Другими словами, инвестор намерен получить в будущем сумму денег, превосходящую отложенную в текущий момент, как плату за то, что он не потратил деньги на себя, а предоставил их в долг.

Инфляционный фактор. Инфляция это устойчивое, неуклонное повышение общего уровня цен. Инвестор, ожидая, что цены на необходимые ему товары и услуги повысятся, должен компенсировать подобное повышение цен, когда он вкладывает свои средства в тот или другой вид инвестиций. В противном случае ему невыгодно осуществлять инвестирование.

Фактор риска. Под риском понимается возможность неполучения от инвестиций желаемого результата. Когда инвестирование сопряжено с риском для инвестора, то для последнего важно возмещение за риск при вложении средств в инвестиционный объект.

В инвестиционном бизнесе  важную роль играет инвестиционный или  холдинговый период. Под последним, понимается период времени от момента приобретения инвестиции до ее конечной реализации или ликвидации (превращения в наличные деньги).

Виды инвестирования. Инвестирование подразделяют на:

•  инвестирование в финансовые активы;

•  инвестирование в нефинансовые активы;

•  инвестирование в материальные активы;

•  инвестирование в нематериальные ценности.

Инвестирование в финансовые активы предполагает вложение средств в различные ценные бумаги: акции, облигации, депозитные и сберегательные денежные сертификаты, фьючерсы и т.п.

Инвестирование в нефинансовые активы означает вложение средств в драгоценные камни, драгоценные металлы, предметы коллекционирования.

Инвестирование в материальные активы включает в себя вложение средств в производственные здания, сооружения, станки, оборудование, строительство жилых и других помещений.

Под инвестированием в  нематериальные ценности подразумевается  вложение денежных средств в знания, переподготовку персонала, в здравоохранение, научные исследования и разработки. 

Целью инвестирования является максимальное увеличение вложенных  средств. Прирост денежных средств  инвестора называется отдачей инвестиционного  объекта. Если инвестор вложил 10 млн. рублей и по окончании инвестиционного  периода получил 15 млн. рублей, то прирост  вложенной суммы на 5 млн. рублей и есть отдача вложения де нежных средств. Но по абсолютным величинам трудно судить о степени выгодности альтернативных инвестиций. Скажем, инвестор может  вложить инвестиции стоимостью 15 млн. рублей и 18 млн. рублей, при этом отдача от первой составит 150 тыс. рублей, а  от второй 160 тыс. рублей. Какой вариант  предпочтительней? Куда лучше вкладывать? Второй вариант дает большую отдачу, чем первый, но получение 150 тыс. рублей на вложенные 15 млн. рублей более выгодно, чем 160 тыс. рублей на 18 млн. рублей первоначальных затрат. Поэтому желательно использовать относительную величину доходность.

Любой вид инвестирования предполагает определение двух основных параметров: доходности и риска.

Доходность определяется как отношение суммарного денежного потока от инвестиционного объекта к инвестиционным затратам.

Суммарный денежный поток  будет складываться из конечной цены (цены продажи инвестиции), начальной  цены (цены покупки инвестиции), а  также дохода, который получает инвестор в виде дивидендов при покупке  акции или в виде процента, который  получает инвестор, приобретая облигацию.

Другой важной составляющей является риск. В инвестиционной деятельности существует опасность денежных потерь. Вкладывая средства в тот или  иной инвестиционный объект, инвестор может лишь с определенной долей  уверенности прогнозировать будущую  отдачу инвестиций. Инвестор прекрасно  понимает, что ожидаемая им отдача инвестиций может существенно отличаться от фактической отдачи, которая будет  наблюдаться по прошествии инвестиционного периода. Скажем, он приобретал акции в надежде на быстрый рост их цены, а на самом деле цена акций понизилась и соответственно изменилась доходность акции. Собственно, отсутствие у инвестора 100%ой гарантии получения планируемого дохода от инвестиций и составляет основу риска инвестиционной деятельности.

 

2. Математические модели в инвестировании

 

Сформулированные  цели инвестирования упрощают решение  задач, связанных с определением направлений инвестирования. Среди них могут быть как взаимосвязанные инвестиции, так и независимые, а также альтернативные (взаимоисключающие друг друга).

Завершающей фазой первого этапа инвестиционного  процесса является выбор конкретных объектов инвестирования, который осуществляется в процессе планирования инвестиций.

Под планированием  инвестиций, как правило, понимается процесс формирования такого портфеля проектов (инвестиционной программы), который можно рассматривать как один из альтернативных и наиболее предпочтительных вариантов достижения целей инвестирования. Планирование инвестиций преимущественно осуществляется на основе использования математических моделей, которые не могут в полной мере отражать все факторы инвестиционной деятельности. Поэтому результаты моделирования не гарантируют однозначного принятия абсолютно верных решений, обеспечивающих достижение поставленных целей. Принятие окончательного решения о конкретных объектах инвестирования, включаемых в инвестиционную программу предприятия, осуществляется высшим руководством предприятия на основе результатов планирования, а также с учетом иных неформализуемых факторов инвестиционной деятельности.

Под инвестиционной моделью понимается такая математическая модель, с помощью которой может  быть произведена оценка эффективности и результативности инвестиции по отношению как к установленной цели инвестирования, так и к средствам ее достижения.

Инвестиционное  планирование может быть как изолированным, или обособленным, так и взаимосвязанным. В первом случае в процессе принятия решения рассматриваются только альтернативные варианты инвестиционной деятельности. Взаимосвязанное инвестиционное планирование наряду с учетом инвестиционных альтернатив учитывает также альтернативы решений в области финансирования и организации производства. Соответственно предметом изолированного планирования выступает разработка программы инвестирования. Во втором случае предметом планирования является вся область предпринимательства.

Любое планирование предполагает определенный период, на протяжении которого будут осуществляться и реализовываться (эксплуатироваться) инвестиции. Этот период времени всегда ограничен. Необходимо отметить, что вопросы сроков планирования инвестиций были и остаются предметом дискуссии. Основным дискуссионным вопросом является возможность корректировки принятых решений под влиянием событий, имеющих место после завершения отрезка планирования. Здесь необходимо подчеркнуть, что хотя это требование, безусловно, является справедливым, в то же время определить воздействие будущих инвестиционных решений можно только после того, когда эти инвестиции осуществятся.

В системе  инвестиционного планирования весь срок планирования подразделяется на ряд интервалов, которые называются периодами. Решения, реализуемые в одном периоде, относят либо к началу, либо к концу соответствующего периода. Отметим, что это не отражается на содержательной стороне инвестиционных решений, а оказывает влияние лишь на нумерацию периодов. Отправной точкой планирования является начало первого планового периода. Последствия, возникающие в результате осуществления инвестиций, выражаются количественно посредством платежей, которые подразделяются на выплаты (например выплаты инвестора другим хозяйствующим субъектам) и на поступления (например поступления инвестору от других хозяйствующих субъектов).

Итоговая сумма платежей представляет собой сумму выплат и поступлений, произведенных в течение конкретного периода. Если сальдо выплат и поступлений положительно, то это означает преобладание поступлений над выплатами, а если отрицательно, то, соответственно, выплаты преобладают над поступлениями. Высвобождающиеся вложенные средства в общем случае носят название дезинвестиций.

В качестве цели инвестирования капитала в том  или ином периоде времени в системе инвестиционного планирования могут выступать прирост имущества, увеличение потока поступлений, рост рентабельности инвестиций и другие показатели, характеризующие возможность получения долговременной прибыли.

В инвестиционных моделях планирования объем капиталовложений может изменяться в течение определенного промежутка времени, на который разрабатывается план. При принятии решения предпочтение отдается проектам с более ранними по времени поступлениями от осуществления инвестиций по сравнению с более поздними. Соизмерение потока платежей в различные периоды времени осуществляется методами дисконтирования.

Изолированное планирование инвестиций осуществляется в отношении отдельных инвестиционных объектов или отдельных инвестиционных программ при заданном бюджете. Срок эксплуатации инвестиций (инвестиционных проектов) может рассматриваться в качестве переменного либо фиксированного параметра. Рынок капитала трактуется либо как совершенный, либо как несовершенный. Разграничение совершенного и несовершенного рынков капитала осуществляется посредством использования разницы между процентными ставками по депозитам и кредиту. Все ограничения по финансовым ресурсам в системе изолированного планирования могут относиться к любому периоду планирования.

Инвестиционные модели для совершенного рынка капитала и заданного срока эксплуатации инвестиционного проекта различаются между собой прежде всего критериями принятия решений об инвестировании отдельных проектов. В качестве критериев принятия решений используются: чистая приведенная стоимость, конечная стоимость имущества, внутренняя процентная ставка (внутренняя доходность).

В моделях  оценки чистой приведенной стоимости  этот показатель, отнесенный к начальному моменту планирования, характеризует изменение стоимости имущества за период планирования или за период эксплуатации инвестиционного проекта посредством дисконтирования поступлений по расчетной процентной ставке. Под расчетной процентной ставкой понимается величина ставки процента на рынке капитала, равная ставке процента по кредиту.

Модель  оценки чистой приведенной стоимости  заключается в том, что конечная стоимость имущества предприятия  в результате реализации различных  инвестиционных проектов при единой расчетной ставке процента должна быть максимальной. Данная модель рассматривается для случаев, когда инвестиционные альтернативы одинаковы по времени и объемам инвестированного капитала.

Использование модели оценки конечной стоимости предполагает наличие заданной одинаковой для  всех периодов суммы изымаемых из оборота средств.

Модель  внутренней процентной ставки ориентирована  на максимизацию рентабельности капитала, связанного в инвестиционном проекте. Условие в данной модели означает, что оптимальная инвестиционная альтернатива позволяет получать процент на вложенный капитал не меньший, чем на рынке капитала.

Модель  внутренней процентной ставки предполагает связанность капитала на весь период эксплуатации инвестиционного проекта. Поэтому для внутренней процентной ставки как выражения рентабельности капитала условие повторного вложения высвобождающихся финансовых средств по внутренней процентной ставке важно только в том случае, когда объем связанного капитала должен поддерживаться на фиксированном уровне.

Вследствие  такого подхода согласно критерию максимизации чистой приведенной стоимости и критерию максимизации внутренней процентной ставки можно прийти к различным результатам выбора альтернатив, так может возникнуть так называемый конфликт между целями максимизации прибыли и максимизации рентабельности. Этот «конфликт» связан с наличием предпосылки «промежуточного» вложения суммы превышения поступления над выплатами под процент, ставка которого равна ставке внутреннего процента.

При использовании  метода величины чистой приведенной  стоимости исходят из того, что высвобождающаяся сумма превышения поступления над выплатами может быть использована на ранке капитала по расчетной процентной ставке.

Рассмотрим  инвестиционные модели для совершенного рынка капитала и переменного срока эксплуатации.

В случае, когда срок эксплуатации инвестиционного проекта является величиной переменной, определение оптимального срока, на который инвестируются в настоящий момент средства, происходит при допущении, что инвестиционные проекты являются не повторяющимися. В качестве критерия отбора инвестиционных проектов используются показатели максимизации чистой приведенной стоимости.

Для указанного типа моделей  выбора инвестиционных проектов фактически речь идет о проблемах принятия многопериодных решений. Многопериодные модели принятия решений включают в себя переменные, относящиеся не только к основному, но и к последующим периодам планирования. Установление переменных последующих периодов может оказывать влияние на принятие решений относительно переменных основного рассматриваемого периода планирования.

При постоянном сроке эксплуатации инвестиционного  проекта ликвидационная стоимость, т. е. возможные денежные средства от реализации объекта инвестирования по окончании срока его эксплуатации, учитываются в последнем периоде срока эксплуатации инвестиционного проекта. При переменном сроке эта выручка зависит от момента окончания инвестиционного проекта и поэтому определяется отдельно.

При выборе наиболее оптимального варианта инвестирования используется динамическое программирование, представляющее собой поэтапное планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг.

 

 

 

2. Динамическое программирование
1. Понятие динамического программирования

 

Большинство методов исследования операций связано в первую очередь  с задачами вполне определенного  содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным для решения  многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или  ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения  задачи большой размерности на подзадачи  меньшей размерности, включающие всего  по нескольких переменных, и последующего решения общей задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического программирования.

Динамическое программирование (ДП) представляет собой математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит прежде всего Беллману. Метод можно использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

Происхождение названия динамическое программирование, вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

Динамическое программирование позволяет осуществлять оптимальное  планирование управляемых процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем в той  или другой степени влиять.

Пусть предполагается к осуществлению  некоторое мероприятие или серия  мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как  нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того чтобы  поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый  численный критерий W, которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

Сформулируем общий принцип, лежащий в основе решения всех задач динамического программирования («принцип оптимальности»):

«Каково бы ни было состояние  системы S перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

Динамическое программирование – это поэтапное планирование многошагового процесса, при котором  на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий  в будущем.

При постановке задач динамического  программирования следует руководствоваться  следующими принципами:

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.
2. Расчленить  операцию на этапы (шаги).
3. Выяснить набор шаговых управлений x_i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.
4. Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление x_i, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать «функцию выигрыша»:

.

5. Определить, как изменяется состояние S системы S под влиянием управление x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

. (1.1)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S):

. (1.2)

Этому выигрышу соответствует  условное оптимальное управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние )

7. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле
8. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (1.2), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

Заметим, что если состояние  системы в начальный момент известно (а это обычно бывает так), то на первом шаге варьировать состояние системы  не нужно - прямо находим оптимальный  выигрыш для данного начального состояния S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию