Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Двойственность в линейном программировании

Содержание:

Введение

Под двойственной задачей понимается вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из условий прямой задачи. Заинтересованность в определении оптимального решения прямой задачи путём решения двойственной к ней задачи обусловлена тем, что вычисления при решении ДЗ могут оказаться менее сложными. Трудоёмкость вычислений при решении ЗЛП в большей степени зависит от числа ограничений, а не от количества переменных.

Целью курсового проекта является изучить литературу по выбранной теме и научиться применять на практике симплекс – метод для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования, а также решить двойственную задачу линейного программирования с помощью программы MS Excel.

Курсовой проект состоит из введения, двух глав и заключения.

В первой главе рассматриваются основные понятия и предложения теории двойственности ЗЛП, виды математических моделей двойственных задач и их экономическая интерпретация.

Во второй главе рассматривается решение двойственной задачи с помощью программы MS Excel.

1. Двойственность в линейном программировании

1.1 Прямые и двойственные задачи линейного программирования

С экономической точки зрения двойственную задачу можно интерпретировать так: какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов b_iи величинах стоимости единицы продукции C_jминимизировать общую стоимость затрат? А исходную задачу определим следующим, образом: сколько и какой продукции x_j(_j=1,2,…, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях C_j (j=1,2,…, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов b_i(_i=1,2,…, n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении. Большинство задач линейного программирования изначально определяются как исходные или двойственные задачи. Сделав вывод можно говорить о паре двойственных задач линейного программирования.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции:

F=c₁x₁+c₂x₂+…c_nx_n

при условиях
Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи задается на максимум, а целевая функция двойственной на минимум.

2. Матрица

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием (т.е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в системе исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.

5. Если переменная x_j исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в системе двойственной задачи является неравенством вида «>». Если же переменная x_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если i – соотношение в системе исходной задачи является неравенством, то i-я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная у_j может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения прямой задачи и соотношения двойственной задачи являются неравенствами вида « «. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Двойственная задача тесно связана задачей линейного программирования. Задача первоначальная называется исходной. Решение двойственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот. Связующим фактом этих двух задач являются коэффициенты C_j функции исходной задачи. Данные коэффициенты называются свободными членами системы ограничений двойственной задачи. Коэффициенты B_iсистемы ограничений исходной задачи называются коэффициентами двойственной задачи. Транспонированная матрица коэффициентов системы ограничений исходной задачи является матрицей коэффициентов системы ограничений двойственной задачи.

Рассмотрим задачу использования ресурсов. У предприятия есть t видов ресурсов в количестве b_i (i=1, 2,…, m) единиц, из которых выпускается n видов продукции. На изготовление 1 ед. i-й продукции тратится a_ij ед. t-гo ресурса, ее стоимость составляет C_jед. Необходимо определить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении. Примем за x_j(j=1,2,…, n) количество ед. j-й продукций и составляет максимальное значение линейной функции

Z=C₁x₁+C₂x₂+ … +C_nx_n

Определим ресурсы, которые потребуются для изготовления товара. Обозначим за единицу стоимости ресурсов единицу стоимости выпускаемого товара. А через у_i(j=1,2,…, m) стоимость единицы i-го ресурса. Т.е. стоимость всех затраченных ресурсов, которые используются для изобретения единицы j-й продукции, составляет. Цена израсходованных ресурсов не должна превышать цены окончательного товара.

1.2 Основы теоремы двойственности

Пусть исходная ЗЛП имеет вид

(1)

(2)

(3)

причём ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной. М-задача запишется так:

(4)

(5)

, , (6)

Задача (4)-(6) имеет предпочтительный план. Её начальный опорный план имеет вид

Если некоторые из уравнений (2) имеют предпочтительный вид, то в них не следует вводить искусственные переменные.

Теорема: Если в оптимальном плане

(7)

М-задачи (4)-(6) все искусственные переменные , то план является оптимальным планом исходной задачи (1)-(3).

Для того чтобы решить задачу с ограничениями, не имеющими предпочтительного вида, вводят искусственный базис и решают расширенную М-задачу, которая имеет начальный опорный план

Решение исходной задачи симплексным методом путем введения искусственных переменных называется симплексным методом с искусственным базисом.

Если в результате применения симплексного метода к расширенной задаче получен оптимальный план, в котором все искусственные переменные , то его первые n компоненты дают оптимальный план исходной задачи.

Теорема: Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то исходная задача не имеет допустимых планов, т. е. ее условия несовместны.

Теорема: Пусть исходная задача решается на максимум. Если для некоторого опорного плана все оценки неотрицательны, то такой план оптимален.

Теорема: Если исходная задача решается на минимум и для некоторого опорного плана все оценки неположительны, то такой план оптимален.

Теорема: Для любых допустимых планов и прямой и двойственной ЗЛП справедливо неравенство , т.е.

(7) – основное неравенство теории двойственности.

Теорема: (критерий оптимальности Канторовича)

Если для некоторых допустимых планов и пары двойственных задач выполняется неравенство , то и являются оптимальными планами соответствующих задач.

Теорема: (малая теорема двойственности)

Для существования оптимального плана любой из пары двойственных задач необходимо и достаточно существование допустимого плана для каждой из них.

Теорема:

Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций равны: . Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.

Экономическое содержание первой теоремы двойственности состоит в следующем: если задача определения оптимального плана, максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученной при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадение значений целевых функций для соответствующих планов пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти планы были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными тогда и только тогда, когда цена произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Оценки выступают как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки, обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, т. е. равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обусловливают убыточность всякого другого плана, отличного от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставить и сбалансировать затраты и результаты системы.

Теорема: (о дополняющей нежесткости )

Для того, чтобы планы и пары двойственных задач были оптимальны, необходимо и достаточно выполнение условий:

(1)

(2)

Условия (1), (2) называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует: если какое-либо ограничение одной из задач ее оптимальным планом обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю; если же какая-либо компонента оптимального плана одной из задач положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче ее оптимальным планом должно обращаться в строгое равенство.

Экономически это означает, что если по некоторому оптимальному плану производства расход i -го ресурса строго меньше его запаса , то в оптимальном плане соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок его i -я компонента строго больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу. Отсюда следует вывод: двойственные оценки могут служить мерой дефицитности ресурсов. Дефицитный ресурс (полностью используемый по оптимальному плану производства) имеет положительную оценку, а ресурс избыточный (используемый не полностью) имеет нулевую оценку.

Теорема: (об оценках). Двойственные оценки показывают приращение функции цели, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи математического программирования, точнее

(3)

Двойственный симплекс-метод, как и симплекс-метод, используется при нахождении решения задачи линейного программирования, записанной в форме основной задачи, для которой среди векторов , составленных из коэффициентов при неизвестных в системе уравнений, имеется m единичных. Вместе с тем двойственный симплекс–метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами (при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательными). Такую задачу и рассмотрим теперь, предварительно предположив, что единичными являются векторы т. е. рассмотрим задачу, состоящую в определении максимального значения функции

(54)

при условиях

(55)

(56)

где

и среди чисел имеются отрицательные.

В данном случае есть решение системы линейных уравнений (55). Однако это решение не является планом задачи (54) – (56), так как среди его компонент имеются отрицательные числа.

Поскольку векторы – единичные, каждый из векторов можно представить в виде линейной комбинации данных векторов, причем коэффициентами разложения векторов по векторам служат числа Таким образом, можно найти

Определение:

Решение системы линейных уравнений (55), определяемое базисом , называется псевдопланом задачи (54) – (56), если для любого

Теорема:

Если в псевдоплане , определяемом базисом , есть хотя бы одно отрицательное число такое, что все , то задача (54) – (56) вообще не имеет планов.

Теорема:

Если в псевдоплане , определяемом базисом , имеются отрицательные числа такие, что для любого из них существуют числа a_ij<0, то можно перейти к новому псевдоплану, при котором значение целевой функции задачи (54) – (56) не уменьшится.

Сформулированные теоремы дают основание для построения алгоритма двойственного симплекс-метода.

Итак, продолжим рассмотрение задачи (54) – (56). Пусть – псевдоплан этой задачи. На основе исходных данных составляют симплекс-таблицу (табл. 15), в которой некоторые элементы столбца вектора являются отрицательными числами. Если таких чисел нет, то в симплекс-таблице записан оптимальный план задачи (54) – (56), поскольку, по предположению, все . Поэтому для определения оптимального плана задачи при условии, что он существует, следует произвести упорядоченный переход от одной симплекс–таблицы к другой до тех пор, пока из столбца вектора не будут исключены отрицательные элементы. При этом все время должны оставаться неотрицательными все элементы (т +1)–й строки, т.е. для любого

Таким образом, после составления симплекс-таблицы проверяют, имеются ли в столбце вектора отрицательные числа. Если их нет, то найден оптимальный план исходной задачи. Если же они имеются (что мы и предполагаем), то выбирают наибольшее по абсолютной величине отрицательное число. В том случае, когда таких чисел несколько, берут одно из них: пусть это число b_l. Выбор этого числа определяет вектор, исключаемый из базиса, т. е. в данном случае из базиса выводится вектор P_l. Чтобы определить, какой вектор следует ввести в базис, находим , где

Пусть это минимальное значение принимается при , тогда в базис вводят вектор Р_r. Число является разрешающим элементов. Переход к новой симплекс–таблице производят по обычным правилам симплексного метода. Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока в столбце вектора Р₀ не будет больше отрицательных чисел. При этом находят оптимальный план исходной задачи, а следовательно, и двойственной. Если на некотором шаге окажется, что в i–й строке симплекс–таблицы (табл. 15) в столбце вектора Р₀ стоит отрицательное число b_i, а среди остальных элементов этой строки нет отрицательных, то исходная задача не имеет решения.

Таким образом, отыскание решения задачи (54) – (56) двойственным симплекс-методом включает следующие этапы:

1. Находят псевдоплан задачи.

2. Проверяют этот псевдоплан на оптимальность. Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану.

3. Выбирают разрешающую строку с помощью определения наибольшего по абсолютной величине отрицательного числа столбца вектора Р₀ и разрешающий столбец с помощью нахождения наименьшего по абсолютной величине отношения элементов (m+1)–и строки к соответствующим отрицательным элементам разрешающей строки.

4. Находят новый псевдоплан и повторяют все действия начиная с этапа 2.

Таблица 1

Пример:

Найти максимальное значение функции при условиях

Решение: Запишем исходную задачу линейного программирования в форме основной задачи: найти максимум функции при условиях

Умножим второе и третье уравнения системы ограничений последней задачи на –1 и перейдем к следующей задаче: найти максимум функции

(57)

при условиях

(58)

(59)

Составим для последней задачи двойственную задачу. Такой является задача, в результате решения которой требуется найти минимальное значение функции

(60)

при условиях

(61)

(62)

Выбрав в качестве базиса векторы и , составим симплексную таблицу (табл. 16) для исходной задачи (57) – (59).

Таблица 2

Базис

С_б

Р₀

P₁

P₂

P₃

p₄

p₅

p₃

P₄

p₅

–4

–6

–1

–2

Из этой таблицы видим, что планом двойственной задачи (57) – (59) является . При этом плане Так как в столбце вектора Р₀ таблица 16 имеются два отрицательных числа (–4 и –6), а в 4–й строке отрицательных чисел нет, то в соответствии с алгоритмом двойственного симплекс–метода переходим к новой симплекс–таблице. (В данном случае это можно сделать, так как в строках векторов Р₄ и Р₅ имеются отрицательные числа. Если бы они отсутствовали, то задача была бы неразрешима. Вектор, исключаемый из базиса, определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом, стоящим в столбце вектора Р₀. В данном случае это число –6. Следовательно, из базиса исключаем вектор Р₅. Чтобы определить, какой вектор необходимо ввести в базис, находим где Имеем

Значит, в базис вводим вектор P₂. Переходим к новой симплекс–таблице (табл. 3).

Таблица 3

Базис

С_б

Р₀

P₁

P₂

P₃

p₄

p₅

p₃

P₄

p₂

–7

1/2

–3/2

1/2

–1/2

1/2

Из этой таблицы видно, что получен новый план двойственной задачи При этом плане значение ее линейной формы равно Таким образом, с помощью алгоритма двойственного симплекс–метода произведен упорядоченный переход от одного плана двойственной задачи к другому.

Так как в столбце вектора Р₀ таблицы 17 стоит отрицательное число –7, то рассмотрим элементы 2–й строки. Среди этих чисел есть одно отрицательное –3/2. Если бы такое число отсутствовало, то исходная задача была бы неразрешима. В данном случае переходим к новой симплекс-таблице (табл. 4).

Таблица 4

Базис

С_б

Р₀

P₁

P₂

P₃

p₄

p₅

p₃

P₁

p₂

8/3

14/3

2/3

32/3

1/3

–2/3

1/3

2/3

–1/3

2/3

Как видно из таблицы 4, найдены оптимальные планы исходной и двойственной задач. Ими являются и . При этих планах значения линейных форм исходной и двойственной задач равны между собой:

2. Решение двойственных задач линейного программирования с помощью Microsoft Excel

2.1 Постановка задачи

Необходимо спланировать работу швейной мастерской на некоторый период. Установлен перечень выпускаемой продукции, известна рыночная цена каждого продукта. Для производства продукции используются ресурсы: материал, нитки, пуговицы, труд закройщиков, швей-мотористок и т.д. Установлен полный перечень этих ресурсов и общее количество каждого ресурса, которое может быть израсходовано в плановом периоде. Известен расход каждого ресурса на единицу каждого продукта. Необходимо определить, сколько каждой продукции нужно производить, чтобы суммарная рыночная цена всей продукции (выпуск, выручка) была наибольшей.

Введем следующие обозначения:

i=1,…, m - номера (индексы) используемых ресурсов;

- запас i-го ресурса, т.е. допустимый расход i-го ресурса в плановом периоде; другое название - ограничение по ресурсу i;

j=1,…, n - номера (индексы) продуктов;

- рыночная цена j-го продукта;

- расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта;

- плановый объем производства j-го продукта, величина неизвестная, ее нужно найти в процессе решения задачи. Исходные данные задачи запишем в виде матрицы.

Рис. 2

Каждая строка матрицы соответствует одному ресурсу, каждый столбец – одному продукту. Справа от каждой строки записана величина ограничения по ресурсу (b₁,…, b_i,…, b_m); внизу каждого столбца - цена продуктов (с₁,…, с_j,…, с_m).

В каждой клеточке матрицы записаны так называемые технологические коэффициенты a_ij, показывающие расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта.

Запишем конкретный числовой пример

Рис. 3

2.2 Построение математической модели и её реализация

Теперь приступим к созданию математической модели, т.е. к математической записи задачи.

Целевая функция:

Ограничения:

x₁ ³ 0;

x₂ ³ 0;

x₃ ³ 0.

Решим поставленную выше задачу с применением EXCEL.

Содержание ячеек:

B1:D1 – имена продуктов (технологических способов);

A2:A4 – имена ресурсов;

B2:D4 – технологические коэффициенты (расход ресурсов при единичных интенсивностях технологических способов);

B6:D6 – цены продуктов;

B8:D8 – переменные;

F2:F4 – запас ресурсов;

G2:G4 – плановые расходы ресурсов, получаются в результате решения;

G6 – значение целевой функции, получается в результате решения.

Формулы для вычислений:

G2=СУММПРОИЗВ (B$8:D$8; B2:D2);

G3:G4 – копируются из G2;

G6=СУММПРОИЗВ (B8:D8; B6:D6).

Запишем формулы в ячейки G2:G4. Установить курсор на G2. На панели инструментов выбрать значок формул (f). Появятся два окна. В окне «категория» выбрать «математические», затем в окне «функция» выбрать «СУММПРОИЗВ». Появится окно «СУММПРОИЗВ». В нем нужно указать, где располагаются операнды. Первый операнд – строка B$8:D$8, второй операнд – стока B2:D2. В ячейки G3:G4 формулу скопировать из G2. Аналогичным образом записать формулу целевой функции в ячейку G6. Теперь нужно указать остальные условия решения задачи. Установить курсор на ячейку целевой функции G6. В главном меню выбрать «сервис», а потом «поиск решения». Появится окно, в котором нужно указать:

Целевая ячейка – G6;

Включить кнопку «максимальное значение»;

Указать изменяемые ячейки (расположение переменных) – B8:D8;

Записать ограничения. Их можно записать прямо в этом же окне, но лучше выбрать «добавить» и в появившемся окне «добавить» последовательно записать ограничения:

B8:D8 0 – неотрицательности переменных;

G2:G4 F2:F4 – плановый расход ресурсов меньше их запаса.

Теперь электронная модель сформирована и можно решать задачу. Для этого нужно вернуться в окно «поиск решения» и нажать «выполнить». Если электронная модель сформирована правильно, то будет получено сообщение, что задача решена. Результат решения находится на листе EXCEL и в трех отчетах: Результаты, Устойчивость, Пределы.

Рис. 4.1.4

Основные результаты видны в таблице (рис. 4.1.4.). По сравнению с условиями задачи, показанными на рис. 4.1.3., появились данные:

1. Значение целевой функции в ячейке G6 = 15880;

2. Значения переменных в ячейках B8:D8: х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268; это значит, что 1-й продукт должен производиться в объеме 86 единиц, 2-й – 0, а 3-й – 286.

3. Плановый расход ресурсов в ячейках G2:G4: расход 1-го ресурса = 271,6, расход 2-го ресурса = 310, расход 3-го ресурса = 2200.

Как видно 1-й ресурс недоиспользован, а 2-й и 3-й израсходованы полностью.

Кроме результатов в электронной таблице EXCEL готовит три отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Отчет по результатам изображен на рис 4.1.5, где изображены три таблицы.

Отчет по результатам

Целевая ячейка (максимум)

Ячейка Имя Исходно Результат

$G$6 Цены ЦФ 15880

Изменяемые Ячейки

Ячейка Имя Исходно Результат

$B$8 Перем Пр1 0 86

$C$8 Перем Пр2 0 0

$D$8 Перем Пр3 0 268

Ограничения

Ячейка Имя Значение Формула Статус Разница

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 $G$2$F$2 не связан 228,4

$G$3 Рес 2 Расход 310 $G$3$F$3 связанное 0

$G$4 Рес 3 Расход 2200 $G$4$F$4 связанное 0

$B$8 Перем Пр1 86 $B$80 не связан 86

$C$8 Перем Пр2 0 $C$80 связанное 0

$D$8 Перем Пр3 268 $D$80 не связан 268

Рис. 4.1.5

1-я таблица – целевая ячейка – дает значение целевой функции, которая уже имеется в таблице EXCEL, значит, эти данные избыточны.

2-я таблица – изменяемые ячейки – дает значение переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL, эти данные тоже избыточны.

3-я таблица – ограничения – дает оценку ограничений. Колонка «значение» дает значения планового расхода ресурсов и переменных – эти данные имеются в таблице EXCEL и здесь избыточны. Столбец «статус» значением «связанное» отмечает ограничения (не больше или не меньше), которые в результате решения превратились в строгие равенства, прочие ограничения имеют статус «несвязанные». Столбец «разница» показывает, на какую величину ограничения отклонились от строгого равенства. Так, например, ограничение 1-го ресурса 500, плановое значение 271,6, разница = 500 – 271,6 = 228,4.

Отчет по устойчивости изображен на рис. 4.1.6. Он состоит из двух таблиц.

Отчет по устойчивости

Изменяемые ячейки

Ячейка Имя Результат Норир.

Значение градиент

$B$8 Перем Пр1 86 0

$C$8 Перем Пр2 0 -22,8

$D$8 Перем Пр3 268 0

Ограничения

Ячейка Имя Результат. Лагранжа

значение Множитель

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 0

$G$3 Рес 2 Расход 310 20

$G$4 Рес 3 Расход 2200 4,4

Рис. 4.1.6

Таблица «изменяемые ячейки» показывает значения переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL. Столбец «нормируемый градиент» показывает, как влияет увеличение переменных на единицу на величину целевой функции. Таблица «ограничения» содержит важную информацию в столбце «Лагранжа множители». Эти величины в литературе имеют различные названия: объективно обусловленные оценки (О.О.О.) по Л. Канторовичу, двойственные оценки по Д. Данцигу, оптимальные цены, теневые цены и другие. В дальнейшем будем называть их наиболее распространенным именем – двойственные оценки и обозначать – v_i, где i – номер ограничения. В данном примере v₁ = 0, v₂ = 20,0, v₃ = 4,4. Отчет по пределам показан на рис. 4.1.7.

Отчет по пределам

Ячейка Целевое Значение

имя

$G$6 Цены ЦФ 15880

Ячейка Изменяемое Значение имя	Нижний Целевой предел результат	Нижний Целевой предел результат
$B$8 Перем Пр1 86	0 10720	86 15880
$C$8 Перем Пр2 0	0 15880	0 15880
$D$8 Перем Пр3 268	0 5160	268 15880

Рис. 4.1.7.

В этом отчете уже в третий раз дается значение целевой функции 15880, в пятый раз значение переменных (х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268). Нижний предел для всех переменных = 0, так, установлены ограничения по переменным. Верхний предел равен соответственно 86, 0 и 268, так устанавливают ограничения по ресурсам. Целевой результат показывает значение целевой функции при соответствующих значениях переменных. Если х₁ = 0, то ЦФ = 10720 и т.д.

Запишем математическую модель рассмотренной задачи в общем виде:

Пусть:

В-бюджет, т.е. количество денег, которое можно израсходовать на приобретение ресурсов для производства продукции, а s_i – рыночная цена i-го ресурса. Тогда единственное ограничение по ресурсам будет выглядеть следующим образом:

Двойственность в линейном программировании 📙 Курсовая → 🆔 67323