Гармонические колебания в линейных электрических цепях

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

 

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

(ГОУВПО) ВГТУ

 

Факультет вечернего и заочного обучения

 

Кафедра радиотехники

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине «Основы теории цепей»

 

 

Гармонические колебания  в линейных электрических цепях

 

 

Разработал студент гр.РТ-112	А.А. Борисов
	Подпись, дата                                Инициалы, Фамилия
Руководитель	А.В. Останков
	Подпись, дата                                Инициалы, Фамилия
Члены комиссии
	Подпись, дата                                Инициалы, Фамилия
	Подпись, дата                                Инициалы, Фамилия
Нормоконтролер	А.В. Останков
	Подпись, дата                                Инициалы, Фамилия

Защищена_____________________ Оценка______________________________

^дата          

 

 

2013

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО  ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение  
  высшего профессионального образования  
"Воронежский государственный технический университет"

Кафедра радиотехники

ЗАДАНИЕ  
на курсовую работу

по дисциплине "Основы теории цепей"

Тема работы:_ Гармонические колебания в линейных электрических цепях.  

 Студент группы:   РТ-112  Борисов Алексей Александрович    

 Номер варианта:         4                                 Технические условия: Имеется пассивная линейная электрическая цепь, образованная   соединением конденсаторов емкостью 1 нФ и резисторов сопротивлением 7.5 кОм.____  

Содержание и объем работы:  1) методом комплексных амплитуд рассчитать численно амплитуды и начальные фазы токов во всех ветвях схемы и напряжений на всех элементах, полагая, что ко входу цепи подключен источник напряжения с внутренним сопротивлением Re = 1 кОм и ЭДС e(t)=Em×cos(ω×t), амплитуда которой равна Em= 1 В, а угловая частота ω=3×10⁵рад/с; 2) построить векторную диаграмму токов, напряжений в цепи; проверить выполнение законов Кирхгофа; 3) получить аналитические выражения для комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению, АЧХ и ФЧХ цепи; рассчитать численные значения АЧХ и ФЧХ цепи на большом интервале частот, построить и проанализировать их графики; определить граничные частоты полосы пропускания цепи; 4) проверить методом имитационного моделирования (в схемотехническом симуляторе) результаты, полученные расчетным путем; 5) экспериментально проверить расчетные АЧХ и ФЧХ цепи             

Сроки выполнения этапов:___________________________________________

Срок защиты курсовой работы:________________________________________

 

Руководитель                                                                А.В. Останков

Подпись, дата                        Инициалы, фамилия 

Задание принял студент                                                                      А.А. Борисов

Подпись, дата                        Инициалы, фамилия 

 

Замечания руководителя

 

Содержание

Введение	5
1 Расчет токов и напряжений  в цепи при заданном гармоническом  воздействии	6
2 Векторная диаграмма токов и  напряжений в цепи. Проверка выполнения  законов Кирхгофа	10
3 Расчет частотных характеристик  цепи	13
4 Проверка основных расчетных  результатов посредством имитационного  моделирования	21
Заключение	25
Список литературы	27
Приложение

 

 

  Введение

Данная курсовая работа имеет цель  приобретение практических навыков  анализа линейных разветвленных  электрических цепей, методом комплексных  амплитуд, освоение методики расчета  частотных характеристик линейных электрических цепей и овладение  навыками имитационного и экспериментального моделирования процессов в электрических  цепях.

 Расчет сложных электрических  цепей осуществляется при помощи  элементарных законов Ома и Кирхгофа и систем уравнений, составленных на основе комплексной схемы замещения исследуемой цепи. Для уменьшения количества уравнений в системе применяются метод контурных токов и метод узловых потенциалов. В случае, если необходимо найти токи и напряжения только в одном участке сложной цепи, может быть применен метод эквивалентного генератора. В данном случае расчет можно вести последовательным нахождением токов и напряжений находя эквивалентные сопротивления для участков цепи. Для упрощения математических расчетов применена система Mathcad, предоставляющая достаточно широкие вычислительные возможности и при этом обладающая гибкостью и простотой в использовании. Так же при помощи системы Mathcad осуществлено построение графиков. Векторные диаграммы построены в системе графического редактора «КОМПАС». Моделирование и исследование схемы выполнено в схемотехническом симуляторе «Electronics Workbench».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Расчет  токов и напряжений в цепи  при заданном гармоническом воздействии

 

Изобразим схему  заданной цепи с подключенным к входу  реальным источником напряжения (рисунок 1). В цепях с одним источником сигнала токи и напряжения можно  определить с помощью закона Ома.

 

 

Рисунок 1 - Схема цепи

 

Последовательно пронумеруем однотипные элементы цепи. Обозначим токи во всех ветвях и  напряжения на всех элементах, зададим  их условные положительные направления (рисунок 2).

 

 

Рисунок 2

Затем перейдем к комплексной схеме замещения  цепи, заменив все пассивные элементы комплексными сопротивлениями, все  токи и напряжения их комплексными  амплитудами (рисунок 3).

 

Рисунок 3 - Комплексная схема замещения  цепи

 

Используя закон Ома в комплексной форме, произведем аналитический, а затем и численный расчет комплексных амплитуд искомых токов и напряжений.

Аналитический расчет предполагает вывод формул для  комплексных амплитуд искомых колебаний, численный – непосредственный расчет по полученным формулам.

Так комплексную амплитуду полного  тока в цепи Im1 найдем как

 

где Em - комплексная амплитуда ЭДС источника, Zэ- эквивалентное комплексное сопротивление цепи:

 

 

 

 

Подставляя приведенные в техническом  задании исходные данные, получаем

 

или

Zэ = 9.32 - j2.59 кОм.

или

 

 

 

Численный расчет комплексных сопротивлений, токов  и напряжений произведен с помощью  системы компьютерной математики MathCAD и представлен в приложении 1.

Так как соединение элементов Z1 и Z2 комплексной схемы последовательное, то Im1=Im2.  Далее определяем по найденной комплексной амплитуде тока Im1 и известным комплексным сопротивлениям Z1, Z2 и параллельно соединенных элементов Z3,Z4,Z5 комплексные амплитуды напряжений Um1,Um2,Um3.

Имеем:  Um1=99.49+27.71j mV

Um2=746.19+207.81j mV

Um3=154.32-235.52j mV

Далее вычислив Um3, определяем токи Im3, Im4, Im5.

Имеем:   Im3=70.66+46.29j мкA.

Так как элементы С2 и R2 включены последовательно то,

Im4=Im5=28.84-18.59j мкA.

Проверим правильность выполненных  расчетов по законам Кирхгофа.

В соответствии с первым законом  для токов:

Im1-Im3-Im4=0.

В соответствии со вторым законом для напряжений:

Em-Um1-Um2-Um3=0,   Um3-Um4-Um5=0.

Далее рассчитываем амплитуды токов  и напряжений как модуль комплексного числа, имеем: I1=I2=103.28мкА;  I3=84.47мкА;  I4=I5=34.31мкА. U1=103.28mV;  U2=774.59mV;  U3=281.57mV;  U4=114.36mV;  U5= 257.3mV

Начальные фазы токов и напряжений найдем как  аргумент комплексного числа по формуле  φ = arctg     и представим в градусах:

начальные фазы токов:

φi1= φi2=15.56 º;  φi3=33.23 º ;  φi4= φi5=-32.8 º.

начальные фазы напряжений:

φu1= φu2=15.56 º;  φu3=-56.77 º;  φu4=-122.8 º;  φu5=-32.8 º.

Результаты расчетов сведем в таблицу 1.

 

Таблица 1 – Результаты расчета  гармонических токов и напряжений в цепи

Элемент	Комплексная амплитуда
	Напряжения на элементе:			тока через элемент:
	обозначение	амплитуда, мВ	начальная фаза, º	обозначение	амплитуда, мкА	начальная фаза, º
Re	Um1	103.28	15.56	Im1	103.28	15.56
R1	Um2	774.59	15.56	Im2	103.28	15.56
R2	Um3	281.57	-56.77	Im3	84.47	33.23
C1	Um4	114.36	-122.8	Im4	34.31	-32.8
C2	Um5	257.3	-32.8	Im5	34.31	-32.8

 

 

 

 

 

 

2 Векторная  диаграмма токов и напряжений  в цепи. Проверка выполнения законов  Кирхгофа

 

По данным таблицы 1 построим векторные диаграммы  сначала для токов проходящих через узел (первый закон Кирхгофа), затем для ЭДС и падений напряжений в контуре (второй закон Кирхгофа).

Векторные диаграммы выполнены  с помощью системы графического моделирования «Компас».

Алгебраическая  сумма токов в узле равна нулю. Для нашей цепи имеем уравнение: Im1=Im3+Im4.

Начнем с  того, что зададим масштаб для  векторов токов и напряжений. Так  для токов возьмем 1 см = 10 мкА, а  для напряжений 1 см = 100 мВ. Сначала построим вектор тока Im3 с амплитудой  равной 84,47 мкА и начальной фазой φi1=33,23º, для чего на инструментальной панели системы проектирования «Компас» выберем команду «отрезок», укажем на поле фрагмента произвольную точку, затем, в панели свойств зададим значение длины отрезка, равное амплитуде выбранного тока с учетом взятого масштаба, а угол наклона отрезка равный значению начальной фазы тока, создадим отрезок. Дорисуем на конце отрезка стрелку и получим вектор тока Im3. Затем аналогичным способом начертим вектор напряжения Um3. Векторы напряжений и токов на элементах целесообразно показать исходящими из одних и тех же точек. Видно, что ток, протекая через емкость С1, опережает по фазе напряжение  на 90º. Следующим построим вектор тока Im4 исходящим из конца вектора Im3, затем вектор напряжений Um4 и Um5, так же видно что ток опережает по фазе напряжение на элементе С2 на 90º. Последним построим вектор входящего в узел тока Im1, который будет равняться сумме векторов Im3 и Im4 что графически подтверждает выполнение первого закона Кирхгофа, и сонаправленный с ним вектор  напряжения Um1 (рисунок 4).

 

 

Рисунок 4 –  Векторная диаграмма выполнения первого закона

Кирхгофа  в узлах цепи

 

Проведем  графическую проверку второго закона Кирхгофа, используя те же методы. В  рассматриваемой цепи два контура, топологические уравнения которых  будут иметь вид: Em=Um1+Um2+Um3; Um3=Um4+Um5.

Проверку  начнем с построения вектора напряжения Um1 и тока Im1, затем, обходя контур по часовой стрелке, построим векторы всех напряжений и токов, входящих в контур. Последним построим вектор Em  из точки начала вектора Um1 совпадение концов векторов Um3 и Em графически подтверждает выполнение второго закона Кирхгофа для первого контура. Для второго контура для удобства восприятия из конца вектора Um3 повторно отложим вектор Um3. Из его начала  отложим вектор Um4, из конца которого построим вектор Um5, конец которого совпадет с концом вектора Um3, что в свою очередь подтверждает правильность расчета и выполнение второго закона Кирхгофа во втором контуре цепи (рисунок 5).

 

Рисунок 5 - Векторная диаграмма  выполнения второго закона

Кирхгофа в контурах цепи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Расчет  частотных характеристик цепи

 

Первоочередная  задача расчета частотных характеристик  – получить аналитическое выражение  для комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению, по которому в дальнейшем рассчитываются АЧХ и ФЧХ цепи.

Поскольку частотные  свойства цепи не зависят от типа источника  электрической энергии, подключенного  к ее входу, а определяются лишь частотными свойствами элементов и топологией цепи, полагаем, что на входе по прежнему действует исходный источник напряжения, частота колебаний которого теперь может быть установлена любой (рисунок 6).

 

Рисунок 6 - Комплексная схема замещения  цепи

 

Комплексный коэффициент передачи цепи рассчитывается по формуле:

 

 

где Umвх и Umвых - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений в установившемся режиме. Используя комплексную схему замещения цепи, выразим комплексные амплитуды Umвх и Umвых   через комплексную амплитуду входного тока Im1. Получаем согласно закона Ома:

Umвх=Im1Z1+    Umвых=

тогда:   
 
упростим:    

подставив значения комплексных сопротивлений и упростив, придем к следующей формуле:

 

модуль этого выражения:

 

и его аргумент:

 

упростив получим:  

Для того, чтобы найти граничные частоты полосы пропускания, необходимо вычислить максимальное значение коэффициента передачи по напряжению Kmax(ω), так как граничная частота определяется как частота, на которой коэффициент передачи по напряжению равен относительно максимального значения (3дБ). Для этого мы находим производную от K(ω) и приравниваем ее к нулю. Решение этого уравнения и есть экстремум функции K(ω).

 

получим:   
 
или   

подставив в формулу получим:

 

упростив получаем:   

То есть, граничные частоты находятся  из условия 

или   

записываем  

В результате решения данного уравнения  с помощью системы компьютерной математики MathCAD получаем четыре корня, из которых нас интересуют только действительные и положительные. Имеем полосу пропускания от 6.4251kHz   до 70.087kHz,  график АЧХ имеет вид представленный на рисунке 7.

 

 

Рисунок 7 – Амплитудно-частотная характеристика

 

 

 

 

 

 

Расчет фазовых характеристик  цепи.

 

 

Рисунок 8 – Фазо-частотная характеристика цепи

Выборочные значения АЧХ и ФЧХ  цепи в диапазоне частот приведены  в таблице 2

Таблица 2 – Результаты расчета выборочных значений АЧХ и ФЧХ

Частота f, кГц	1	2	6	10	18	24	40	68	94	170
АЧХ K(f)	0,04	0,09	0,25	0,29	0,33	0,33	0,30	0,23	0,19	0,11
ФЧХ φ(f),º	81,93	74,07	-39,5	28,82	6,29	-4,7	-24,2	-43,9	-54,4	-69,1

 

Для исследования влияния нагрузки на АЧХ цепи, рассчитаем АЧХ для  цепи с подсоединенным к выходным клеммам сопротивлением  Zн   (рисунок 9):

Рисунок 9 – Комплексная схема замещения цепи,

      нагруженной на сопротивление

 

Напряжение на входных клеммах  можно выразить как

 

Напряжение на элементе Z3 равно

 

Тогда напряжение на выходных клеммах  можно определить как

 

 

Отсюда комплексный коэффициент  передачи цепи по напряжению

 

после упрощения получим

 

 

Принимая, что сопротивление нагрузки чисто активно и равно  и подставляя значения, получим

 

 

преобразуя, это выражение получаем

 

 

 

Рисунок 10 – АЧХ цепи нагруженной на сопротивление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Проверка основных расчетных  результатов посредством имитационного  моделирования

 

Для проведения проверки основных расчетных результатов  посредством имитационного моделирования  необходимо воспользоваться схемотехническим симулятором. Наиболее распространенным и простым в использовании  является схемотехнический симулятор «Electronics Workbench». Кроме того, ранее этот симулятор использовался мной при выполнении лабораторных работ.

Изобразим схему  цепи в симуляторе, задействовав идеализированные модели элементов. Ко входу подключим источник напряжения. Его параметр «Voltage» установим равным 0,707 В, что соответствует действующему значению требуемого напряжения (амплитуда колебаний при этом составит 1 В). Параметр Frequency = 47,746 кГц. Параметр Phase установим 90º (рисунок 11).

Измерения проведем посредством двухлучевого цифрового осциллографа, подключенного одним концом ко входу, а вторым к выходу цепи (рисунок 11).

Рисунок 11 – Цепь смоделированная в «Electronics Workbench»

Запустив  симулятор, получим осциллограммы  сигналов входного и выходного напряжений (рисунок 12). АЧХ и ФЧХ цепи можно рассчитать по измеренным значениям амплитуд напряжений или измерить по графикам в симуляторе.

 

 

Рисунок 12

 

Так АЧХ на установившейся частоте будет равно:

 

Найдем ФЧХ. Измерим в установившемся режиме сдвиг во времени  мс. Из рисунка 12 видно, что напряжение на выходе запаздывает по фазе, значит абсолютное значение сдвига фаз на установившейся частоте будет со знаком минус.

Далее измерим  период колебаний 20.944 мс (рисунок 13).

 

Рисунок 13

 

Абсолютное  значение сдвига фаз на заданной частоте  можно вычислить по формуле 

   учитывая знак получим φ(f)=-22.5

Таким способом необходимо рассчитать значения АЧХ  и ФЧХ в нескольких значениях  частоты, достаточных для качественного  построения графиков. Другой, более  удобный способ, показан на рисунке 14, где посредством встроенных приложений симулятора «Electronics Workbench» автоматически строятся графики АЧХ и ФЧХ цепи, по которым с помощью подвижных меток снимаются значения АЧХ и ФЧХ в любых точках заданного диапазона частот. Найдем значение АЧХ на границе полосы пропускания для чего измеренное максимальное значение K(f) разделим на  , получим:

 

Рисунок 14

Измерим полосу пропускания (рисунок 14). Для чего, по графику определим частоты среза f1=5.926 кГц, f2=67.138 кГц. Получим измеренное значение 61.211кГц.

 

Заключение

 

В ходе выполнения курсовой работы был проведен численный  расчет амплитуд и начальных фаз  токов во всех ветвях цепи и напряжений на всех элементах методом комплексных  амплитуд. Результаты расчета представлены в таблице 1. Построены векторная  диаграмма токов в узле цепи (рисунок 4) и напряжений в контурах (рисунок 5). Проведена проверка первого и  второго законов Кирхгофа для  всех узлов и контуров схемы цепи.

Получены аналитические выражения  для комплексного коэффициента передачи цепи: 

амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) цепи: 

и фазо-частотной  (ФЧХ) характеристики цепи: 

Посредством пакета программ «MathCAD» рассчитаны численные значения АЧХ и ФЧХ цепи на большом интервале частот, выборочные результаты расчета отображены в таблице 2. Построены и проанализированы их графики (рисунок 7,8). Определены граничные частоты полосы пропускания: f1=6.42 кГц, f2=70.08kHz.

Методом имитационного  моделирования в схемотехническом симуляторе «Electronics Workbench» проверены результаты, полученные расчетным путем: f1=5.926 кГц, f2=67.138 кГц, получили измеренное значение полосы пропускания 61.211кГц , близкое по значению к расчетному 63.662кГц.

Экспериментально  проверили (измерили) расчетные АЧХ  и ФЧХ цепи (рисунок 14), получили значения близкие к ним. Это означает, что расчеты проведены верно. Задание выполнено полностью, в соответствии с техническим заданием руководителя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1 Радиотехнические  цепи и сигналы. Гоноровский И. С. 1986г.

2 Радиотехнические  цепи и сигналы. Каганов В.И. 2004 г.

3 Основы  теории цепей. Попов В.П. 2003г.

4 Расчет  и моделирование цепей на ПК. Фриск В.В. 2006 г.