Гармонические волны: основные понятия и определения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

1. Гармонические волны: основные понятия и определения..................3

2. Постановка  задачи.......................................................................................8

3. Исследование  модельных задач...............................................................12

3.1. Частоты  толщиных резонансов...................................................12

3.2. Дисперсионные уравнения Рэлея-Лэмба........................................16

3.3. Асимпттотики дисперсионного уравнения Релея-Лэмба...........21

4. Список использованных источников и литературы...........................25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Гармонические  волны: основные понятия и определения

Изменения состояния  среды, распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию, называются волнами.[1]

Для волн любой природы  характерно распространение с конечной скоростью и перенос энергии  без переноса вещества.

В [2] приведён следующий  критерий: если характерный размер системы  (где - скорость распространения возмущения, - время заметного изменения этого возмущения), о процессе следует говорить как о колебательном, происходящем в системе с сосредоточенными параметрами; если , то систему следует считать распределённой, а происходящий в ней процесс – волновым.

Волны могут иметь  различную форму. Различают одиночные  волны или импульсы – сравнительно короткие возмущения; цуги волн – ограниченный ряд повторяющихся возмущений (например, отрезок синусоиды); гармонические волны (бесконечно синусоидальные волны).

Задачи распространения  гармонических волн относятся к  задачам стационарной динамики. В  задачах нестационарной динамики закон изменения искомых величин по времени неизвестен и требует определения. В задачах стационарной динамики предполагается, что все величины изменяются по времени по гармоническому закону:

 

                             (1.1)

или

,                                 (1.2)

 

где круговая частота, ;

 - период волны;

 - волновое число;

 - длина волны;

 

 - переменная фаза колебаний;

 - сдвиг фазы;

 - амплитуда.

Наряду с (1.1), (1.2) используются комплексные представления:

,

,                                              (1.3)

где - комплексная амплитуда;

.

В задачах стационарной динамики  начальные условия не ставятся. определена с точностью до произвольной постоянной : . Обычно полагают .

Если требуется, чтобы  решение в виде (1.1) удовлетворяло  всем граничным условиям на поверхности  ограниченного тела, то говорят, что  изучаются установившиеся колебания  тела.

Если рассматривается  бесконечное тело, то говорят, что изучается распространение гармонических волн.

Гармоническая волна  является идеализированной, её возбуждение  в реальных условиях проблематично. Однако, её важное значение заключается  в том, что волну любой формы  можно представить как сумму  гармонических волн различных частот (гармоник). В линейных распределённых системах выполняется принцип суперпозиции, приводящий к тому, что эффекты, вызываемые негармоническими волнами, могут быть определены как сумма эффектов, создаваемых в отдельности каждой из её гармонических составляющих.

Если  является линейной функцией , то говорят, что в теле распространяется плоская волна.

Если  имеет вид , то говорят, что плоская волна распространяется в направлении оси .

Пусть тело представляет собой волновод, например, представляет собой цилиндр с направляющей параллельной оси  или слой конечной толщины. В этом случае ищется решение вида:

                                        (1.4)

и требуется, чтобы оно  удовлетворяло граничным условиям на боковой поверхности волновода. В комплексной форме плоская волна, распространяющаяся в направлении оси имеет вид:

,                                (1.5)

Модами называют частные  решения, или волны, распространяющиеся вдоль оси волновода и удовлетворяющие граничным условиям на боковой поверхности волновода. Так же их называют нормальными волнами.

Запишем уравнение движения постоянной фазы:

, тогда                              (1.6)

Поверхность постоянной фазы представляет собой плоскость, перпендикулярную оси  . Эта плоскость перемещается параллельно самой себе со скоростью

,                                                 (1.7)

называемой  фазовой  скоростью. Таким образом, фазовая  скорость – это скорость движения поверхности постоянной фазы.

Путь, проходимый поверхностью постоянной фазы за время равному  периоду колебаний  , называется длиной волны.

Решение в виде (1.4) должно удовлетворять граничным условиям на боковой поверхности. Из-за этого  величины и не являются независимыми: . Тогда фазовая скорость также является зависимой от волнового числа:

.

Явление зависимости  фазовой скорости гармонической  волны от волнового числа или  частоты называется дисперсией. Дисперсия  может быть вызвана не только наличием границ, но и физическими свойствами среды (в идеально упругом теле этот вид дисперсии отсутствует).

Соотношение, связывающее  и , называется дисперсионным уравнением. В общем виде записывают следующим образом:

.

Если фазовая скорость является постоянной , то говорят, что дисперсия отсутствует. В этом случае частота и волновое число линейно зависимы .

Частота, на которой нормальная волна перестаёт быть распространяющейся, называется частотой запирания.   Полагая  в дисперсионном уравнении, можно получить уравнение для определения частот запирания.

Рассмотрим распространение  волнового пакета с длинами волн, близкими к некоторой длине волны  . В этом случае ,  где ,  . Тогда

.

Если дисперсия отсутствует, то заменяем и получаем . Следовательно, в случае отсутствия дисперсии волновой пакет распространяется со скоростью .

Рассмотрим случай, когда  дисперсия есть, то есть . Разложим в окрестности в ряд Тейлора:

.

Обозначим , а и подставим в интеграл:

 

.

Следовательно, волновой пакет распространяется со скоростью  , называемый групповой скоростью.

 

 

2. Постановка задачи

Изучим распространение  волн в бесконечном изотропном слое, толщиной . Слой находится в условиях плоского напряжённого состояния.

Введём декартовую систему  координат: ось  направлена по нормали, а вдоль срединной линии слоя, , .

 

 

Рис.2.1

 

 

Выпишем уравнение движения в перемещениях:

                    (2.1)

 

где - компоненты вектора перемещения;

 - время;

 - скорость распространения продольной волны в изотропном слое;

 - скорость распространения поперечной волны;

 - постоянные Ламе;

 - объёмная плотность.

 

 

Используя формулы Коши, запишем соотношения, связывающие компоненты тензора напряжений и вектора перемещений:

 

                     (2.2)

 

 

Здесь , , - компоненты тензора напряжений. 

Введём безразмерные переменные, безразмерные компоненты вектора перемещений и тензора  напряжений; а также безразмерные фазовую скорость и волновое число.

;

Подставим безразмерные величины в (2.2)

Подставим безразмерные величины в (2.1)

Умножим эти уравнения  на

Введем  , получим

Опустим тильду, тогда  уравнения движения в перемещениях (2.1) и граничные условия (2.3), соответственно, примут следующий вид:

 

                                 (2.4)

где .

 

Таким образом, требуется  найти решение краевой задачи для уравнения(2.4), граничные условия  выбираются в зависимости от условий  закрепления границ. Рассмотрим простые  модельные задачи, а именно, задачу о распространении гармонических волн в упругом слое со свободными и задачу об определении частот толщинных резонансов.

3. Исследование  модельных задач

3.1. Частоты толщинных резонансов

Введём в рассмотрение безразмерные потенциалы поля перемещений  , такие, что

                                                                                                   (3.1)

Они должны удовлетворять  волновым уравнениям:

 

     где  - оператор Лапласа.     (3.2)

 

Далее опустим тильду. Используя формулы (2.2), выразим напряжения через потенциалы:

разделим на и опустим тильду

                                      (3.3)

 

Будем считать, что границы рассматриваемого слоя свободны от напряжений, тогда граничные условия имеют вид:

 при                        (3.4)

Частоты толщинных резонансов – это частоты собственных  колебаний бесконечно тонких поперечных волокон слоя [3]. В этом случае перемещения не зависят от координаты .

Решение краевой задачи (3.2), (3.4) ищем в виде:

                                                       (3.5)

Определим частоты толщинного резонанса растяжения-сжатия. Считаем, что

Тогда из (3.2), (3.4) получим  краевую задачу для нахождения функции  :

                                            (3.6)

 

Общее решение уравнения (3.6) имеет вид:

.                                    (3.7)

Используя граничные  условия, из условия существования  нетривиального решения, получим

.                                                   (3.8)

Отсюда находим частоты  толщинного резонанса растяжения-сжатия:

.                                            (3.9)

Если перемещение  является чётным относительно координаты , то функция должна быть нечётной, и из (3.6), (3.7) можно получить частоты для так называемого антисимметричного напряженного состояния

                                                  (3.10)

Если перемещение  является нечётным относительно , то - чётная, а частоты толщинного резонанса растяжения сжатия для симметричного напряжённого состояния:

                                            (3.11)

Определим частоты сдвигового толщинного резонанса. Считаем, что 

                                                         (3.12)

 

 

Из (3.2), (3.4) получим краевую  задачу для определения функции  :

                                                 (3.13)

Общее решение задачи (3.13) имеет вид:

.                             (3.14)

Используя граничные  условия задачи (3.13), из условия существования  нетривиального решения получим:

.                                                      (3.15)

Решая (3.15) находим частоты  сдвигового толщинного резонанса:

                                              (3.16)

Рассматривая симметричное и антисимметричное напряжённые состояния, можно получить, соответственно:

                                                (3.17)

                                        (3.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Дисперсионные уравнения Рэлея-Лэмба

Будем считать, что границы  рассматриваемого слоя свободны от напряжений

 

 при

Через потенциалы эти  граничные условия  запишутся  в виде (3.4).

Ищем решение краевой  задачи (3.2), (3.4) в виде гармонической  волны, распространяющейся вдоль оси  :

                                                     (3.19)

 

Здесь - комплексные функции действительного переменного .

Подставим вид решения (3.19) в (3.2) и получим обыкновенные дифференциальные уравнение для определения функций и :

 

                                       (3.20)

                                           (3.21)

 

Обозначим через  , .

Общее решение уравнений (3.20), (3.21) имеет вид:

 

                                            (3.22)

 

Рассмотрим два случая:

1) - чётная функция переменной ;

 - нечётная функция переменной , то есть .

В этой случае перемещение  является чётной функцией по , а перемещение - нечётной функцией по .

Такие моды называются симметричными.

 

2) - нечётная функция переменной ;

 - чётная функция переменной , то есть .

В этой случае перемещение  является нечётной функцией по , а перемещение - чётной функцией по .

Такие моды называются антисимметричными.

 

Рассмотрим случай симметричных мод:

 

                                               (3.23)      

 

 

 

Введём обозначения  , подставляя (3.23) в граничные условия (3.4), получим:

   при .                               (3.24)

 

Удовлетворяя граничным  условиям, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения  констант , эта система является однородной. Для того чтобы система имела нетривиальное решение, нужно потребовать, чтобы её определитель был равен нулю.

  

 

Получаем дисперсионное  уравнение Рэлея-Лэмба [4] для симметричных мод:

.                                      (3.25)

Рассмотрим случай антисимметричных мод:

 

                                                (3.26)

 

 

 

 

Подставляя (3.26) в граничные  условия (3.4), получим в:

 

                                (3.27)

 

Получили систему линейных алгебраических уравнений для определения констант , эта система является однородной. Для того чтобы система имела нетривиальное решение, нужно потребовать, чтобы определитель был равен нулю.

  

 

 

Получим дисперсионное  уравнение Рэлея-Лэмба для антисимметричных мод [4]:

.                                      (3.28)

 

Проведём численный  и асимптотический анализ на примере дисперсионного уравнения Рэлея-Лэмба для симметричных мод. Графики дисперсионных кривых уравнения (3.25) при представлены на рис.3.1. Фундаментальная мода показана линией красного цвета, гармоники, соответствующие частотам сдвигового толщинного резонанса, – сиреневыми линиями, гармоники, соответствующие частотам толщинного резонанса растяжения-сжатия, – синими. Остальные кривые будут описаны ниже.

 

Рис.3.1. Графики дисперсионных  кривых для уравнения Рэлея-Лэмба (3.25) и  уравнения (3.35)

 

 

  

3.3. Асимптотики дисперсионного уравнения  Рэлея-Лэмба

Получим длинноволновую низкочастотную асимптотику  , .

Так как  , , то , . Тогда можно разложить гиперболические функции в ряды:

 

                                   (3.29)

 

Представим величину в виде разложения по степеням :

.

Численный анализ (Рис 3.1) показал, что в рассмотренном  случае , тогда

.

Подставляем (3.29) в уравнение  Рэлея-Лэмба (3.25):

.

Раскладываем значения функций  в ряд по степеням  :

 

,

,

.

 

Подставляя полученные выражения уравнения Рэлея-Лэмба (3.25) и приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях  , получим:

 

,

.

 

Таким образом, асимптотика  для фундаментальной моды имеет  вид:

.         (3.30)

Получим теперь длинноволновые асимптотики для мод высшего  порядка. Они описывают поведения гармоник в окрестностях частот запирания. Найдём значения  частот запирания . Для этого в уравнения Рэлея-Лэмба (3.25) положим :

,

,

,

,

.

Тогда, подставляя эти  значения в уравнение (3.25), и решая  его, получим два семейства частот запирания:

    где .

Частоты соответствуют частотам толщинного резонанса растяжения-сжатия (3.11), а - частотам сдвигового толщинного резонанса (3.17).

На плоскости  с каждой из этих частот начинается непрерывная ветвь корня дисперсионного уравнения Рэлея-Лэмба . Частоты ищем в виде: 

.                              (3.31)

 

Уравнение Рэлея-Лэмба (3.25) при этом удобно записать в форме:

 

.

 

  Подставляя выражение для частоты в это уравнение, и, представляя все величины в виде степенных рядов по , найдём асимптотики для гармоник в окрестности частот запирания:

                (3.32)

Сравнение асимптотик (3.30), (3.31) и (3.32) с численным решением представлено на Рис.3.2.

 

Рис.3.2. Сравнение асимптотик дисперсионного уравнения Релея-Лэмба  для симметричных мод с численным  решением

 

На этом рисунке представлены чёрными линиями асимптотики; разноцветными  линиями - точные решения.

Из рис.3.2 видно, что  для гармоник более высокого порядка асимптотики (3.31), (3.32) применимы в более широком диапазоне волновых чисел.

4.Список использованных  источников и литературы

1. Физический энциклопедический  словарь/Гл.ред. А.М.Прохоров. - М.: Сов.Энциклопедия.

2. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1979.

3. 4. J.D. Kaplunov, L.Y. Kossovich,E.V. Nolde «Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies» - Academic Press, New York , 1998.

4. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность.-М.:ФИЗМАЛИТ, 2002.-208с.-ISBN 5-9221-0294-X.