Интерполирование функций. Формула Лагранжа и Эрмита

Государственное образовательное  учереждение высшего профессионального  образования «Арзамасский государственный  педагогический институт имени А.П.Гайдара»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К У Р С О В А  Я  РАБОТА     

 

 

Тема:”Интерполирование функций. Формула Лагранжа и Эрмита”

 

 

 

 

 

 

   

 

                                                                      Выполнил: Игрушкин С.Ю., студент 4 курса,41группы

 физико-математического  факультета 

 

 

 

 

                                                                         Проверил: научный руководитель

Алексеенко С.Н

     

 

 

 

 

 

 

 

Арзамас

2007

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………..3
2. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа…………..4
3. Дополнительный член формулы Лагранжа……………………………..5
4. Интерполирование с квадратными узлами. Формула Эрмита…………7
5. Постановка задачи………………………………………………………..9
6. Интерполяционный многочлен Лагранжа для произвольных узлов….11
7. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равностоящих узлов….14
8. Приближенное представление функций………………………………...16
9. Заключение………………………………………………………………..22
10. Список литературы………………………………………………………23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Интерполирование, интерполяция,- приближенное или точное нахождение какой-либо величины по известным отдельным  значениям или других величин, связанных  с ней. В первоначальном понимании восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям или значениям ее производных в заданных отрезках.

Основное применение интерполяции - это вычисление значении табулированной функции для неузловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшая  задача интерполировании. Формула Лаграижа.

Представим себе, что  для некоторой функции f(x), определенной в промежутке [а, Ь], вычислены m+ 1 ее значений в точках х₀, х₁, ..., х_т промежутка:

                                  (1)

 

и требуется  по этим значениям вычислить 'значение f(x) при каком-либо новом значении х.

В этом и состоит простейшая задача интерполupования. Конечно, в такой постановке вопроса содержится много неопределенного. Обычно задачу понимают гак: ищется целый многочлен L(x) наинизшей степени, который в заданных точках (i=0,1,….,m) , называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f что и функция f(x), и приближенно полагают для любого х из [a,b]:

f(x)=L(x) (2)

Подобное  приближенное равенство называется интерполяционной формулой. Итак, надлежит прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем - при определенных предположениях относительно функции f(х) - оценить погрешность приближенной формулы (2). Для разыскания многочлена L(x), удовлетворяющего условиям

                                                     (i=0,1,…..,m)             (3)

удобно ввести многочлены m-й степени.           

                                              (k=0,1,….m)

которые, соответственно значку, принимают значение 1 при х = х_и и обращаются в 0 при x = если i . Теперь ясно, что многочлен

                                                                                      (4)

 

удовлетворяет всем условиям (3). Степень этого многочлена не выше m и стало быть условиями (3) он определяется однозначно, его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближенное равенство (2) – интерполяционной формулой Лагранжа.

 

 

 

 

 

 

Дополнительный  член формулы Лагранжа.

 

Обратимся теперь к оценке разности f(x) - L(x), где х есть любое фиксированное значение в

 промежутке [а,b], отличное от узлов интерполирования.

 Предположим, что функция f(z) в этом промежутке имеет производные всех порядков до (т+1)-го включительно.

 

Какова, бы ни была постоянная К, функция

 

тоже имеет т+1 производных и к тому же обращается в 0 в узлах   (i=0,1,…,m). Мы выберем теперь постоянную К так, чтобы и при z=x было , т. е. положим  

                                   (5)

(так как  ,, то . По теореме Ролля  в т+1 промежутках

между т+2 корнями х,х_о,х,, ...,х_т функции найдется m+1

 различных корней ее производной . Применяя снова теорему Ролля к

 функции  и к m промежуткам между ее m + 1 корнями, установим

 существование т различных корней второй производной и т.д

. Продолжая  это рассуждение, на (m+1)-м его шаге придем к

 существованию  корня  (т + 1)-й производной , так что

 

              (6)

 

Но  , ибо степень многочлена L(z) не выше т, a Учитывая определение вспомогательной функции (z), имеем

, так что из (6) получается, что

Окончательно, из (5) находим:

       (7)

Это — интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от (2), она является т о ч н о й!

Замечание.  Если в промежутке [а,b]

то, так как в этом промежутке получаем такую оценку для погрешности формулы (2)

Правая часть при  стремится к нулю лишь для очень узкого класса функций f(x); например, это будет иметь место для таких функций, которые в [а,b] дифференцируемы любое число раз, причем все их производные ограничены одной постоянной М. В этом случае по мере возрастания числа узлов интерполирования и независимо от закона, по которому выбираются эти узлы, погрешность формулы (2) будет равномерно стремиться к нулю. Как доказал Марцинкевич (J. Marcinkiewicz), для каждой отдельно взятой непрерывной функции можно достигнуть такого же эффекта путем надлежащего выбора последовательных систем узлов. Но — по теореме Фаберa (G. Faber) - не существует такого закона выбора узлов, который годился бы в этом смысле для всех непрерывных функций одновременно. В подробности относительно этих и им подобных вопросов мы здесь входить не имеем возможности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполирование  с кратными узлами. Формула Эрмита.

Можно поставить  более общую задачу интерполирования, задав в узлах х_о,х₁, ..., х_т, кроме значений самой функции f(х), также и значения последовательных ее производных:

где - неотрицательные целые числа. Общее число этих условий равно

.

Задачу вычисление значения функции f(x) при любом отличном от узлов значении x из [a,b] - с использованием всех данных (8) — мы, подобно простейшему случаю, будем понимать так. Ищется целый многочлен H(x) наинизшей степени, который в каждом узле , вместе со своими производными до порядка ,- включительно, принимает те же значения, что и сама функция f(x) и се соответствующие производные, а затем приближенно полагают

f(x)=H(x). (9)

Узлы  называют узлами интерполирования, сответственно кратности

Можно долазать существование и единственность многочлена.H(x) степени не выше N-1, удовлетворяющего всем поставленным условиям. Его называли интерполяционным многочленом Эрмита, а формулу (9) - интерполяционной формулой Эрмита (Ch. Hernrite).

Если все  положить равными нулю, то мы вернемся к формуле Лагранжа (2). Мы встречались и с другим частным случаем формулы Эрмита: возьмем один лишь узел х₀, но кратности п+ 1, т. е. от многочлена не выше n-й степени, Т(х), потребуем, чтобы в точке его значения и значения п его производных совпадали, соответственно, со значениями самой функции f(x) и ее производных. Мы знаем, что этим требованиям: удовлетворяет многочлен Тейлора.

Таким образом  приближенная формула    f(x)=T(x)

также является частным  случаем интерполяционной формулы Эрмита.

Дополнительный член формулы (9), восстанавливающий ее точность, выводится с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в предыдущем номере. Рассмотрим многочлен N-й степени

и положим для 

       где  K=const.

Если предположить, что  функция f(z) в промежутке [а,b] имеет N последовательных производных, то это будет справедливо и для Ф(z).

 

Фиксируя значение z=x, отличное от узлов, мы выберем постоянную К так:

        (10)

при таком выборе функция Ф(z) обращается в 0 и при z = x. Всего она будет иметь N+ 1 корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность*). Применяя последовательно теорему Ролля как и выше (с тем лишь усложнением, что каждый кратный корень функции Ф(z) еще в течение нескольких шагов будет (фигурировать и как корень ее последовательных производных), окончательно придем к утверждению, что в некоторой точке обратится в 0 производная . Отсюда

и ввиду (10)

 (11)

Это и есть интерполяционная формула Эрмита с дополнительным членом.

Формула Лагранжа с дополнительным членом [(7)] является ее частным случаем. Точно так же, взяв единственный узел х₀ кратности n+1, мы как частный случай формулы (11) получим формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа.

 

 

 

 

 

Постановка  задачи

Предположим, что задано различных точек плоскости:

                         (7.1)

Требуется найти функцию  , значения которой при данных значениях абсциссы в точности равны соответствующим ординатам заданных точек:

Т.е. нужно найти линию, описываемую уравнением , проходящую через данную точку (рис.7.1).

Рис.7.1    

 

Заметим, что здесь  приходится различать два случая:

1. интерполяцию (от лат. interpolar — подновлять) — восстановление промежуточных значений функции внутри интервала по ряду известных ее значений;
2. экстраполяцию (лат. приставка extra означает «вне») — когда не вошедшее в исследование значение лежит вне интервала .

Очевидно, интерполяция более надежна, чем экстраполяция.

Вообще говоря, существует бесконечное число линий, проходящих через  заданную точку. Потребуем, чтобы искомая линия была простейшей, т.е. значения функции, задающие эту линию, должны находиться при помощи простейших операций (сложения, умножения). Этому требованию отвечают многочлены (полиномы), т.е. выражения вида:

                    (7.2)

Зная численные значения коэффициентов многочлена, мы можем найти его ординату при любом значении переменной . Наконец, из двух многочленов условимся считать простейшим тот, степень которого ниже.

Итак, приходим к задаче о полиномиальной интерполяции: пусть даны различных чисел и соответствующих им чисел , требуется найти многочлен наименьшей возможной степени, удовлетворяющий условиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполяционный  многочлен Лагранжа для произвольных узлов

 

Для решения предложенной задачи зафиксируем  одну ординату , а остальные будем считать равными нулю (рис.7.2), т.е. заданным значениям абсцисс ставятся в соответствие значения ординат

Из свойств многочленов следует, что многочлен, обращающийся в нуль в  разных точках, т.е. имеющий различных корней, должен

делиться на каждую из разностей:

 

                     

                           

                  Рис.7.2

 

а следовательно, и на произведение этих разностей, т.е. его  степень не может быть ниже . В таком случае многочлен должен иметь вид

           

                    (7.3)

Из условия  определим значение const

,

таким образом находим

                       (7.4)

В полученном выражении никакого особого  преимущества не имеет, мы можем приписать эту особую роль любому , т.е. если абсциссам поставить в соответствие значения , указанные в любой из следующих строк:

то выражение для  многочлена, принимающего при соответствующих  значениях абсцисс численные  значения, выписанные в одной из строк, будет аналогично рассмотренному, т.е.

     

  (7.5)

Общее решение является суперпозицией (суммой) частных решений (7.5)

                   

       

         (7.6)

Это и есть интерполяционный многочлен  Лагранжа. По наборам исходных пар (7.1) формула (7.6) позволяет достаточно просто составить «внешний вид» многочлена.

Используя обозначение

              

,     (7.7)

формуле Лагранжа  можно  придать более сжатый вид. Продифференцируем  по

;

при имеем:

             .    (7.8) 

Формула Лагранжа с учетом (7.7) и (7.8) примет вид:

или                                           (7.9)

В рассмотренном случае предполагалось, что точки  расположены на отрезке произвольно. Рассмотрим формулу Лагранжа, для равноотстоящих значений абсцисс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполяционный  многочлен Лагранжа для равностоящих узлов

Пусть на отрезке  задана система равноотстоящих узлов которыми отрезок делится на равных частей

 где 

В этом случае интерполяционный многочлен Лагранжа строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный  вид.

Обозначим , где . Отсюда:

..................................................

Т.е. в общем случае:

            (7.10)

Используя (7.10) и принятое обозначение  получим:

             (7.11)

Учитывая, что  найдем:

            (7.12)

Заметим, что в (7.12) ровно  строк ( -я строка отсутствует); причем численные значения первых строк положительны, а остальные — отрицательны. Используя (7.12), получим:

т.е.

                 (7.13)

             

С учетом (7.11) и (7.13) формула Лагранжа для равноотстоящих

узлов примет вид:

            

  (7.14)

 

 

 Погрешность многочленной интерполяции

 

1. Оценочная формула погрешности метода интерполирования по формуле Лагранжа записывается следующим образом:

                     (7.16)

где — максимальное значение производной от интерполирующей функции на отрезке (считаем, что функция дифференцируема на отрезке   раз).

 

 

 

 

Приближенное  представление функций.

Основные направления исследования: разрешимость задачи интерполирования, простейших интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных интерполяционных формул, применение интерполяции для построения приближенных и численных методов решения различных задач математики и ее приложений.

Приближенное представление функций. Интерполяционные функции на отрезке по значениям ее в узлах сетка - означает построение другой функции такой, что В более общей постановке задача интерполирования функции состоит в построении не только из условий совпадения значений функций и на стеке , но и совпадения в отдельных узлах производных до какого-то порядка или некоторых других соотношений, связанных и .

Обычно  строится в виде

,

где - некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое интерполирование называется линейным относительно системы , а интерполяционным многочленом по системе .

Выбор системы  определяется свойством класса функций, для приближения которого предназначаются интерполяционные формулы. Например, для приближения - периодической функции на   за  естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на полу оси ограниченных или возрастающих функции- систему рациональных или показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т.д.

Чаще всего используя  а л г е б р а и ч  е с к о е  интерполирование: . Существует ряд явных представлений алгебраических интерполяционных многочленов. Например интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

 

 

В задаче приближения функции и на всём отрезке алгебраическое интерполирование высокого порядка выполняется сравнительно редко. Алгебраический интерполяционный процесс не является сходящимся в классе непрерывных на функций. Обычно ограничиваются линейным интерполированием по узлам и на каждом отрезке или квадратичным по трем узлам , , на отрезке .

Эффективным аппаратом  приближения функции являются интерполяционные сплайны, но их построение в ряде частных случаях требует значительных вычислительных затрат.

На практике чаще всего  используются параболические  или  кубические полиноминальные сплайны. Интерполяция кубическим сплайном дефекта 1 для функции относительно сетки называет функцию , являющуюся многочленом 3-й степени на каждом из отрезков , принадлежащую классу дважды непрерывно дифференцируемых функции и удовлетворяющую условиям

.

При таком определении  кубического сплайна, он имеет еще свободных параметра, для нахождения которых на сплайн налагаются дополнительные краевые условия. Например  или и , или некоторые другие.

Полиномиальный интерполяционный  сплайн произвольной степени m дефекта r определяется как функция , удовлетворяющая, кроме условий и , еще дополнительно условиям совпадения в узлах сетки значений функции и интерполированной функции и их производных до некоторого порядка.

Часто при обработке  эмпирических данных коэффициенты в определяют исходя из требования минимизации суммы

- заданные числа,  .

Такое построение функции  называют интерполированием по методу наименьших квадратов.

Интерполирование  функций  многих переменных имеет ряд принципиальных и алгебраических трудностей. Например в случае алгебраической интерполяции интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной схемы различных узлов интерполяции. В частности для функций двух переменных такой многочлен суммарной степени не выше n может быть построен по узлам лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраической кривой порядка n.

Другой поход к интерполированию функции многих переменных стоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной при фиксированных потом по следующей переменной при фиксированных и т.д. интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются по многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным случаем.

Интерполирование функций и численные методы. Интерполирование функции используется:

1. для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой проще
2. для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям её в отдельных точках или по другим известным величинам
3. для получения сглаживающих функций
4. для приближенного нахождения предельных значений функции
5. в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других вопросах.

 

Общие идеи построения интерполяционных методов решения уравнения  =0 и систем уравнения , одни и те же. Трудности задачи интерполирования функций многих преременных особенно  сказывается при исследовании и практическом использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу получении интерполяционных методов решения уравнения =0 положена замена функции ее интерполяционным многочленом и последующим решением уравнения =0 берутся за приближенные решении уравнения =0 интерполяционный многочлен используется так же при построении итерационных методов решения уравнения =0.

Например взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле  или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих

,

где - разделенная разность функций для узлов и .

Другой подход к построению численных методов решения уравнения  =0 основан на интерполировании обратной функции . Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа , построенный по узлам Тогда за следующее приближению к корню уравнения =0 берется величина .

 

При численном решении интегральных уравнений, известная функция заменяется в интегральном уравнении  каким-либо интерполяционным приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования , а приближенные значения для находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования . В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения находятся соответственно из нелинейной системы.

Интерполяционная формула- для приближенного вычисления значений функции  , основанного вычисления на замене приближаемой функции более простой в каком- то смысле функцией

наперед заданного класса, причем параметры  выбираются так чтобы значения совпадали с известными заранее значениями для данного множества попарно различных значений аргумента:

такой способ приближенного  представления функций называется интерполированием, а точки  , для которых должны выполняться условия , - узлами интерполяции.

В ряде случаев (например, при интерполировании алгебраическими  многочленами) параметры  могут быть явно выражены из системы , и тогда непосредственно используется для приближенного вычисления значений функции .

Интерполяционный  процесс- процесс получения последовательности  интерполирующих функций при неограниченном возрастании числа n узлов интерполирования. Если интерполирующие функции представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда называется интерполяционным рядом. Целью построения интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по средствам интерполирующих функций , о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для непосредственного использования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Удалось построить интерполяционный многочлен и вычислить по нему значение функции для заданного значения аргумента. В программе предусмотрена возможность ввода любого числа значений функции для чего организованно хранение ее значения при помощи линейного списка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.
2. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
3. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике.
4. Фильчаков П.Ф., Численные методы.
5. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004
6. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.
7. Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике.
8. Калиткин Н.Н., Численные методы.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.
10. Фихтенгольц Г.М. Курс диф и инт исчисления. М.: Наука,1970.