Интерполяционная задача Абеля-Гончарова

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского» 
 

Механико-математический факультет 

Кафедра теории функций

Курсовая  работа на тему

 «Интерполяционная задача Абеля-Гончарова »

                         

               

                          Исполнитель:

                      студентка группы 633

                                                               Ушакова А.С.      

                                      Руководитель:

                                                                                             доцент Андрианов В.Л.

                                                
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                            Нижний Новгород

2010 г.

Содержание.

Введение.                                                                                                                     3 Глава I Формула В.Л. Гончарова для остаточного члена интерполяционного ряда и ее применение                                                                                               4

  §1. Постановка задачи                                                                                              4

  §2. Метод В.Л. Гончарова оценки остаточного члена                                           6

  §3. Простейший пример использования оценок §2                                               7

  §4. Теорема И.И.Ибрагимова. И ее уточнение.                                                     9

Глава II Исследование задачи Абеля-Гончарова                                                11

  §1 Решение однородной задачи Абеля-Гончарова                                              11

  §2 Решение  неоднородной задачи Абеля-Гончарова                                          13

Список литературы.                                                                                                   14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

   Задача Абеля-Гончарова является одной из тех задач, которые очень важны для аналитических функций, а с точки зрения интерполяции функции действительного переменного кажутся, по меньшей мере вычурными. Действительно, очень трудно представить себе задачу, в которой нам было бы задано лишь значение функции в одной точке, значение ее производной в другой точке, значение второй производной в третьей точке и т.д., а в задаче Абеля-Гончарова нужно приблизить функцию именно по таким данным.

    Важность задачи Абеля-Гончарова объясняется тем, что целью интерполяции аналитических функций является не приближение функции, о которой известны некоторые отрывочные данные, а изучение поведения некоторых элементов произвольной аналитической функции, удовлетворяющей данным интерполяционным условиям

   В частности  задача Абеля-Гончарова имеет  вид: где и заданные последовательности комплексных чисел. Нужно восстановить F(z). По самим условиям задачи Абеля-Гончарова видно, что она должна использоваться для изучения свойств последовательности производных аналитических функций.

 По всей  видимости, именно эту цель  имел в виду С.Н.Бернштейн, когда он предложил своему ученику В.Л.Гончарову заняться обобщением задачи Абеля, частный случай классической задачи, которой занимался Абель . Однако результаты, полученные В.Л.Гончаровым, не дали возможности осуществить эти намеренья, проблема оказалась слишком трудной.

   Впрочем, за достаточно большое время, что прошли с того времени, задача Абеля-Гончарова не раз подтверждала свою репутацию трудной задачи. Вопрос о приложениях задачи Абеля-Гончарова к теории функций уже не поднимался. В более поздних работах или немного улучшались или обращались в другие задачи результаты В.Л. Гончарова.

    В  связи с задачей Абеля-Гончарова  А.О. Гельфонд обратил внимание на некоторые общие и глубокие закономерности в вопросах интерполяции, единственности и полноты, в дальнейшем обобщенные А.И. Маркушевичем. С помощью этих закономерностей удалось гораздо лучше и полнее оценить возможности всех методов, используемых в интерполяции.

   Последнее  время удалось найти методы, применение  которых к задаче Абеля–Гончарова  позволило решить большинство  стоящих там вопросов, причем  возможности этих методов далеко  не исчерпаны. 
 
 
 

Глава I

Формула В.Л. Гончарова для  остаточного члена интерполяционного ряда и ее применение

§1 Постановка задачи

Пусть нам дана аналитическая функция   , регулярная в некоторой области и   произвольная последовательность комплексных чисел, лежащих в этой области. Найдем многочлен    степени , обладающий тем свойством, что

 

Этот многочлен  определяется однозначно, так как  система равенств(1.1) дает    уравнение первой степени для определения его   коэффициентов, причем матрица системы уравнений треугольная, так что определитель системы не равен нулю. Первой задачей интерполяции является выяснение обстоятельств, при которых  сходиться к

Обычным классическим приёмом выяснения сходимости какого-либо процесса является исследование остаточного члена. Аналитическое выражение остаточного члена долгое время было единственным подходом к решению этой интерполяционной задачи. Оно имеет вид:

Доказательство  формулы (1.2) получается непосредственно  при интегрирование. Действительно:

 

и т.д. Закон ясен. Тогда в итоге имеем:

 

т.е. n-кратный  интеграл в формуле (1.2) представляет собою разность и многочлена степени n. Кроме того, видно, что    для

Из приведенного рассуждения ясен удобный способ построения   

 

Из формулы (1.3) видно, что многочлены    - их называют интерполяционными многочленами  Абеля-Гончарова - удовлетворяют условиям

Рассмотрим метод оценки остаточного члена сформулированного в виде теоремы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2 Метод В.Л. Гончарова оценки остаточного члена

Теорема. Пусть D - наименьшая выпуклая область, содержащая точки z,   Тогда

 

Д о к а  з а т е л ь с т в  о: Можно считать, что интегрирование происходит по прямолинейным отрезкам. Докажем, что все точки    не выходят за пределы области D. Действительно, из выпуклости области D следует, что если какие-то две точки лежат в этой области, то там же лежит и весь отрезок прямой, которая их соединяет. Поэтому, если точка    лежит в D, то и точка   лежащая на отрезке прямой между   и , также лежит в D. Но точка   лежит в D по условию.

Таким образом, точка    лежит в D. Значит

Сделаем в    замену переменных, положив       Тогда получим   В силу того, что интегрировали по прямолинейным отрезкам можем переписать    в виде  . Переобозначим    получим . Но  , где   поэтому   , где при F(z)=1 получим

а пологая    получаем

где 

§3 Простейший пример использования оценок §2

Теорема. Пусть ,     регулярная в некотором круге с центром в точке    и радиуса    и                                                                 

Тогда ряд

равномерно сходиться к    внутри любого круга 

Д о к а  за т е л ь с т в о. Выберем    настолько большим, чтобы выполнились условия

где    определим чуть позднее. Рассмотрим функцию  . Запишем для нее ряд Абеля-Гончарова

где 

Согласно формуле (2.2)

Кроме того, если обозначить    то  . Значит общий член ряда (3.3) не превосходит величины

 

т.е. ряд (3.3) сходиться  при    а так как могло быть выбрано сколь угодно близким к , а сколь угодно малым, томы тем самым доказали, что ряд (3.3) сходиться , и при том равномерно, в любой замкнутой области, лежащей внутри круга  . Остается показать, что он сходиться к   Для этой цели рассмотрим разность

Она по формуле (1.2) равна  . Значит по формуле (3.2)

где    Взяв    получим   так как в этом случае    a

Следовательно, при         т.е ряд (3.3) сходиться к   в круге По принципу аналитического продолжения он сходиться к   во всей области сходимости. Теперь утверждение теоремы получаем, интегрируя    раз обе части равенства

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4 Теорема И.И.Ибрагимова и ее уточнения

Теорема И.И.Ибрагимова Пусть   T(r)-число точек последовательности , удовлетворяющих условию    Если для    выполнено условие

то ряд Абеля-Гончарова сходиться к f(z) равномерно в любой конечной части плоскости.

Сделаем некоторые  уточнения по данной теореме.

Пусть  , тогда   будет иметь такой вид так . Неравенство   преобразуется в следующее неравенство   Для наилучшей оценки логарифма найдем наибольшее значение    учитывая условия   и   Для этого рассмотрим функцию Ф График этой функции будет выглядеть так

 
 
 
 
 
 

Найдем ее максимум.  .Сделаем замену    .получим    и   Тогда Возьмем   и   и получим неравенство Из него найдем

 

Проведем аналогичные  рассуждения для последовательностей 

    Ее график  

                                                       

                        

                     

                  

                  

                  

  Найдем ее максимум   вычислили   и при таком     примерно  равно   Итак если возьмем    и   

Отмечу, что данная теорема   является очень общей, т.к последовательность    произвольная. Но за счет общности она теряет точность, в том смысле, что например для     конкретизируя условия задачи получили    , а известны теоремы дающие более точные оценки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава II Исследование задачи Абеля-Гончарова

В своей работе  для исследования поставленной задачи использовала преобразования Бореля-F(z)= , где функция ассоциированная по Борелю для F(z)т.е.  , где     коэффициенты разложения 

§1 Решение однородной задачи Абеля-Гончарова

   является классом единственности  для задачи Абеля-Гончарова.. В случае однородной задачи решение тривиально.

Область U задается следующими условиями: 0   и граница области задается условием    и

 

Применим к n-ой производной F(z) преобразование Бореля. F   Вычисляем значение в точке   Сделаем замену w=A(t)=te , такую функцию называют функцией Абеля .Обратную к ней функцию A w   обозначим T(w). Тогда Под интегральную функцию   можно представить в виде разности Ф (w) и Ф . Это можно сделать в силу леммы: Если есть замкнутая жорданова кривая Г и задана регулярная функция Ф(z) на этом контуре, то ее единственным образом можно представить в виде разности Ф(z)=Ф (z)-Ф (z), где Ф   регулярна во внутренности Г , а Ф (z) во внешности. Функцию Ф можно разложить в ряд   в окрестности То получим при n=0 будет     и т.д. найдем все Тогда и   т.к   А значит и F(z) тождественно равна 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2 Решение неоднородной задачи Абеля-Гончарова .

     является классом единственности для задачи Абеля-Гончарова. В случае неоднородной задачи решение при допустимой последовательности   единственное   допустимая последовательность, т.е.    Задачи Абеля-Гончарова для F(z)    имеет единственное решение вида    где

Аналогично применяя преобразование Бореля получаем  Аналогично делая замену w=A(t)=te   ,  и раскладывая в разность Ф (w) и Ф (w).w Получим   Далее раскладываем   в ряд в окрестности нуля.    и при n=0 получаем, что   и при n=1 будет   и т.д. Мы нашли  Ф   . Далее ищем  Возвращаясь к переменной t и выражая     находим   Тогда   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы.

1.Евграфов  М.А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова//гос. изд-во технико-теоретической литературы. Москва 1954. стр.9-15.

2.Ибрагимов  И.И. Избранные труды//Редколл.: А.Д.Гаджиев. Баку “Элм” 2003 стр.41-46

3.Леонтьев  А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент.//Москва “Наука”1983 стр.42-52.