Использование симплекс-метода при нахождении и анализе оптимального решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: РАЗРАБОТКА УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

НА ТЕМУ: Использование симплекс-метода при нахождении и анализе оптимального решения

 

 

Содержание

 

 

 

Введение

 

Принятие решений - основная часть работы менеджеров любого звена любого предприятия. Поэтому понимание всех тонкостей процесса принятия решений в различных условиях, знание и применение различных методов и моделей принятия решений играет значительную роль в повышении эффективности работы управленческого персонала.

Для принятия оптимальных решений необходимо использовать научный метод. В науке управления научный метод подразумевает наличие определенной структуры процесса принятия решений и использование различных методов и моделей принятия решений.

Эффективность управления зависит от комплексного применения многих факторов и не в последнюю очередь от процедуры принимаемых решений и их практического воплощения в жизнь. Но для того, чтобы управленческое решение было действенным и эффективным, нужно соблюсти определенные методологические основы.

Для того чтобы принять управленческое решение, каждый менеджер должен хорошо разбираться не только в понятийном аппарате, но и достаточно квалифицированно при этом применять на практике: методологию управленческого решения; методы разработки управленческих решений; организацию разработки управленческого решения; оценку качества управленческих решений.

Методология управленческого решения представляет собой логическую организацию деятельности по разработке управленческого решения, включающую формулирование цели управления, выбор методов разработки решений, критериев оценки вариантов, составление логических схем выполнения операций.

Методы разработки управленческих решений включают в себя способы и приемы выполнения операций, необходимых в разработке управленческих решений. К ним относятся способы анализа, обработки информации, выбора вариантов действий и пр.

Организация разработки управленческого решения предполагает упорядочение деятельности отдельных подразделений и отдельных работников в процессе разработки решения. Организация осуществляется посредством регламентов, нормативов, организационных требований, инструкций, ответственности.

Технология разработки управленческого решения - вариант последовательности операций разработки решения, выбранный по критериям рациональности их осуществления, использования специальной техники, квалификации персонала, конкретных условий выполнения работы.

Качество управленческого решения - совокупность свойств, которыми обладает управленческое решение, отвечающих в той или иной мере потребностям успешного разрешения проблемы.

Объектом исследования является ООО «Евросантехник». Предметом – применение симплекс-метода для нахождения оптимального решения.

Цель работы - использование симплекс-метода для нахождения и анализа оптимального решения.

Для достижения цели выполнялись следующие задачи:

1) Изучить  учебную и  научную литературу по данному  вопросу;

2) Проанализировать применение симплекс-метода при выборе варианта проекта;

3) По результатам исследования  сделать вывод.

Работа состоит из трех глав, введения и заключения.

В первой главе отражены теоретические вопросы симплекс-метода.

Вторая глава посвящена исследованию применения методов принятия управленческих решений в ООО «Евросантехник».

В третьей главе представлены рекомендации по применению симплекс-метода при выборе варианта проекта в ООО «Евросантехник».

 

 

Глава 1. Симплексный метод принятия оптимального управленческого решения

 

1.1. Виды математических  моделей ЗЛП

 

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) записывается так: найти максимум линейной целевой функции, все переменные которой неотрицательные и удовлетворяют системе линейных уравнений и неравенств.

Если все ограничения системы заданы уравнениями и все переменные неотрицательные, то такая модель ЗЛП называется канонической. Математическая модель ЗЛП в канонической форме имеет вид:

 при  ограничениях

, 

 

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической.

Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную . Если знак   неравенства , то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства , то - минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Упорядоченный набор неотрицательных значений переменных , удовлетворяющий  системе ограничений, называется допустимым решением ЗЛП (допустимым планом).

Множество допустимых решений ЗЛП называют областью допустимых решений ЗЛП.

Допустимое решение , при котором целевая функция достигает экстремального значения, называют оптимальным решением ЗЛП и обозначается .

 

1.2. Идея симплексного метода нахождения оптимального решения

 

Симплексный метод – метод последовательного улучшения решения задачи линейного программирования, то есть задачи оптимизации.

Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи приводится к каноническому (стандартному) виду. Заполняется опорная симплекс–таблица с использованием коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Решается задача по алгоритму.

Идея симплексного метода заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательный направленный переход от одного допустимого решения к другому и так далее – к оптимальному решению. Значение целевой функции для задач на максимум не убывает.

Так как число допустимых решений конечное, то через конечное число шагов получим оптимальное решение. Процесс упорядоченного перебора допустимых решений продолжается до тех пор, пока не найдено оптимальное решение или не установлено, что задача не имеет такого решения.

 

1.3. Алгоритм симплексного метода

 

Математическую модель задачи привести к каноническому виду.

1. Построить начальную  симплекс-таблицу. В ней система ограничений должна быть приведена к единичному базису. Подробнее – см. пример.

2. Найти разрешающий  столбец (в строке коэффициентов ЦФ найти значение с наименьшим отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим).

3. Определить разрешающую строку (почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей). Разрешающий элемент будет на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки.

4. Построить вторую симплекс-таблицу.

• Построение элементов разрешающей строки (почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент).

• Построение других строк в новой таблице. Пересчитать каждый элемент в предыдущей таблице по правилу прямоугольника

 

.

 

Схематично «правило прямоугольника» выглядит так:

 

 

 

Здесь - пересчитываемый элемент, - новое значение элемента , - разрешающий элемент.

При построении новой таблицы «убирается» из базиса строка с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице, а «вводится» в базис строка с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы.

5. Проверяем полученную  симплекс-таблицу второго шага  на оптимальность.

Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда симплекс-таблица имеет оптимальный план.

6. Записать оптимальное  решение задачи и значение  целевой функции, используя столбец свободных членов. В решении Х базисные переменные приравниваются свободным членам, а остальные переменные приравниваются к нулю: . Значение целевой функции равно свободному члену в строке ЦФ.

Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент (элементы), тогда переходят к следующему (третьему) шагу.

7. Построение третьей симплексной таблицы. Строят новую симплекс-таблицу в соответствии п.4-5 и затем проверяют ее на оптимальность. Построение таблиц заканчивается с нахождением оптимального плана.

8. Замечание.

Если в строке ЦФ симплексной таблицы, содержащей оптимальный план, имеется хотя бы один нулевой элемент , то задача линейного программирования имеет бесконечное множество оптимальных решений.

 

1.4. Нахождение оптимального решения производственной задачи

 

Задача. На предприятии имеется возможность выпускать вида продукции , , , . При ее изготовлении используются ресурсы , , , размеры которых ограничены соответственно величинами , , . 4Расход -го ресурса на единицу продукции -го вида составляют и образуют «технологическую матрицу» .

Прибыль от реализации единицы продукции , , , равна ден. ед.

1. Построить математическую модель задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных.

2. Найти оптимальный план производства симплекс-методом.

Математическая модель задачи

• основные переменные ( =1,…,4) – количество произведенной продукции ; ;

• целевая функция – прибыль от реализации всей продукции.

,

• ограничения: расход ресурсов не превышает запасов:

Канонический вид математической модели для решения симплексным методом (добавим дополнительные переменные):

 

Экономический смысл дополнительных переменных:

•   ( =5, 6,  7) – количество неиспользованного ресурса , , .

Симплексные таблицы.

Таблица 1
Базис	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	bi	Отношение
х5 х6 х7	2 4 3	3 1 5	2 3 2	1 2 2	1 0 0	0 1 0	0 0 1	25 30 42	12,5 7,5 14
	–6	–5	–4	–3	0	0	0	0
Таблица 2
Базис	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	bi	Отношение
х5 х1 х7	0 1 0	2,5 0,25 4,25	0,5 0,75 -0,3	0 0,5 0,5	1 0 0	-0,5 0,25 -0,8	0 0 1	10 7,5 19,5	4 30 4,59
	0	-3,5	0,5	0	0	1,5	0	45	-
Таблица 3
Базис	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	bi	Отношение
х2 х1 х7	1 0 0	0 1 0	0,2 0,7 -1,1	0 0,5 0,5	0,4 -0,1 -1,7	-0,2 0,3 0,1	0 0 1	4 6,5 2,5
	0	0	1,2	0	1,4	0,8	0	59

 

 

Анализ оптимального решения и значения целевой функции .

Чтобы получить наибольшую прибыль ден. единиц, необходимо произвести 6,5 ед. продукции первого вида , 4 ед. продукции второго вида , а продукции третьего и четвертого видов не производить. Ресурсы и дефицитны (остаток ресурсов ), ресурс избыточен (остаток ресурса равен ).

 

 

Глава 2. Анализ деятельности ООО «Евросантехник»

 

2.1. Характеристика  компании

 

ООО «Евросантехник» находится по адресу: г. Пермь, ул. Бульвар Гагарина, 86.

Компания появилась в 2003 году и занималась продажей инженерной сантехники. В 2010 году мы открылся первый в городе Перми полноценный интернет-магазин сантехники.

Подход к делу

Как только был открыт интернет-магазин, то было решено, что есть только один путь к успеху: компания должна предлагать не только качественный товар, но и исключительно высокий уровень сервиса. С тех пор это стало правилом нашей компании.

Что мы продаем

Комфорт в вашей ванной комнате,  красота и удобство кухни, тепло и уют в вашем доме – вот, пожалуй, наши основные товары. В «Евросантехник» можно найти все, чтобы превратить ваше жилище в уютный дом, куда хочется возвращаться каждый день снова и снова. Наши специалисты знают о комфорте в доме все, поэтому вы можете звонить им каждый раз, когда захотите изменить что-то к лучшему. А можете и сами сделать выбор, тем более что у нас есть из чего выбирать. «Евросантехник» предлагает:

• Радиаторы отопления (Fondital, Henrad, Konner, Kermi, Zehnder)    

• Котельное оборудование (Wirbel, Baxi, Fomdital, Vailand, Zota)

• Запорная арматура, обжимной фитинг, металлопластиковая труба (Aqualink, Itapp, Tiemme)

• Насосы и насосные станции (Grundfos, Wilo, Wester, Unipump, Джилекс)

• Промышленное насосное оборудование (Sea Land)        

• Тепловое оборудование (Эрдо)           

• Водонагреватели, газовые колонки (Thermex, Timberk, Ariston, Electrolux)   

• Санфаянс (Jika, Roca, Jacob Delafon, Ideal Standard, Ido, Ifo)

• Ванны  (BAS, Triton, Bellrado, Ravak, Alpen, Riho, Jacob Delafon)

• Смесители, запорная арматура (Oras, Grohe, Hansgrohe, Vidima, Elghansa, Teka)

• Мойки (Teka, Granfest, Kromevye)

• Полотенцесушители (Сунержа, Termosmart, Terminus, Grinox, Мартин)

• Мебель для ванной комнаты (Акватон, Aqwella, Corozo, Koral)

• Душевые кабины (Artex, Faro, Aquapulse)

• Душевые уголки и ограждения (Ravak, Radaway)

• Печи, камины (Теплодар)

• МП и ПП трубы (Blansol, Flexiplex, General Plastic)

Хочется отдельно заметить, что есть как продукция эконом-класса, так и эксклюзивные коллекций премиум-класса.

В компании «Евросантехник» выгодно покупать, так как:

• Вся продукция сертифицирована

• Мы можем предложить скидки и приемлемые цены

• Мы готовы предлагать выгодные условия сотрудничества

• Мы отвечаем за качество предлагаемой продукции

• Мы работаем только с лучшими заводами производителями и поставщиками

• Мы обеспечим индивидуальный подход к каждому клиенту

• Мы можем разработать для вас любой проект на заказ.

ООО «Евросантехник» имеет линейно-функциональную организационную структуру, т.е. линейные звенья управления призваны командовать, а функциональные — консультировать, помогать в разработке конкретных вопросов и подготовке соответствующих решений, программ, планов. Организационная структура ООО «Евросантехник» наглядно изображена на рисунке 2.1:

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1. Организационная структура управления

 

Руководителем ООО «Евросантехник» является директор. Он решает самостоятельно все вопросы деятельностикомпании, организует всю работу предприятия и несет ответственность за его состояние и деятельность. Он заключает договора, в том числе по найму работников. Издает приказы и распоряжения, обязательные к исполнению всеми работниками салона. Он несет в пределах своих полномочий полную ответственность за деятельность предприятия, обеспечение сохранности товарно-материальных ценностей, денежных средств и другого имущества предприятия.

В обязанности директора входит и рассмотрение жалоб и предложений, принятие мер по устранению отмеченных недостатков; обеспечить повышение квалификации работников салона красоты.

В подчинении директора находятся бухгалтер, дизайнер и главный инженер.

Бухгалтер осуществляет организацию бухгалтерского учета предприятия и контроль за экономным использованием материальных, трудовых и финансовых ресурсов, принимает меры по своевременному снабжению предприятий продовольственными товарами и средствами материально-технического снабжения. А также устанавливает для каждого материально ответственного лица лимит товарных остатков; руководит внедрением прогрессивных форм обслуживания; обеспечивает соблюдение работниками правил безопасности; санитарных требований.

Дизайнер назначается на должность и освобождается от должности в установленном действующим трудовым законодательством порядке приказом директора. Дизайнер подчиняется непосредственно директору.  Дизайнер создает: информационные, коммерческие, торговые объявления; Веб-страницу в заданном стиле, компонует элементы страницы, а также соответствующим образом их оформляет. Дизайнер разрабатывает модели полок в ванную комнату.

Таким образом, линейная-функциональная организационная структура обеспечивает прямое воздействие на исполнителей и в полной мере реализует принцип единоначалия. Решения руководителя передаются по цепочке «сверху вниз», являются обязательными для всех нижестоящих звеньев. Сам руководитель, в свою очередь, подчинен вышестоящему руководителю.

Достоинством линейно-функциональной структуры управления является простота организационной структуры фирмы и полная ответственность линейного руководителя за результаты работы, а ее недостатком – предъявление высоких требований к линейному руководителю, который должен обладать исключительной компетентностью одновременно во всех сферах.

 

2.2. SWOT–анализ ООО  «Евросантехник»

 

Для получения более детальной картины, позволяющей выработать дальнейшую стратегию развития компании, воспользуемся таким популярным инструментом, как SWOT–анализ. Этот подход при грамотном применении позволяет получить исчерпывающую оценку среды для разработки стратегии и учесть все многообразие действующих на организацию факторов и сил [4].

Техника SWOT–анализа представляет собой качественный анализ перспектив, включающий описание: сильных сторон (Strengths) фирмы, слабых сторон (Weaknesses) фирмы, возможностей (Opportunities), предоставляемых внешней средой, угроз (Threats), предоставляемых внешней средой.

На практике применяется несколько различных форм проведения SWOT-анализа:

1) экспресс-SWOT-анализ - наиболее  часто встречающийся (в силу простоты  проведения) вид качественного анализа, позволяющего определить, какие  сильные стороны нашей организации  помогут бороться с угрозами  и использовать возможности внешней  среды, а какие наши слабые  стороны помешают это делать. Однако на практике эта методика  имеет недостатки: в пункты всех  клеток таблицы попадают только  самые очевидные факторы, и даже  при этом часть этих факторов  исчезает в перекрестной матрице, поскольку не может быть использована;

2) сводный SWOT-анализ, в котором  должны быть представлены основные  показатели, которые характеризуют  деятельность фирмы в текущий  момент и намечают перспективы  будущего развития. Поэтому его  следует делать не «до» и  не «вместо», а только после  проведения всех остальных видов  стратегического анализа. Достоинством  такой формы проведения анализа  является то, что он позволяет  в некотором приближении дать  количественную оценку тех факторов, которые были выявлены (даже в  тех случаях, когда объективной  информации об этих факторах  у фирмы нет). Еще одним достоинством  является возможность (на основе  проведения всех видов стратегического  анализа) сразу перейти к выработке  стратегии и разработать комплекс  мероприятий, необходимых для достижения  стратегических целей;

3) смешанный SWOT-анализ - это  попытка совместить первую и  вторую формы проведения анализа. Для этого предварительно проводятся  как минимум основные три вида  стратегического анализа (обычно  это STEP-анализ, анализ по модели  «5 сил Портера» и анализ внутренней  среды по одной из методик). Затем все факторы объединяются  в единые таблицы, из которых  формируется перекрестная матрица (как в экспресс-форме). [1].

В табл. 2.1 представлены сильные и слабые стороны ООО «Евросантехник» на:

 

Таблица 2.1

SWOT-анализ (анализ сильных и слабых  сторон, возможностей и угроз) ООО  «Евросантехник»

Слабые стороны	Сильные стороны
1. Большая конкуренция 2. Продукция находится  на стадии падения спроса 3. Наличие на рынке  аналогичной продукции, но с лучшими  техническими характеристиками 4. Отсутствие достаточных  производственных площадей 5. Небольшой штат сотрудников  и специалистов	1. Наличие постоянной  клиентуры 2. Положительная характеристика  на рынке 3. ООО «Евросантехник» обладает слаженной командой высококвалифицированных менеджеров, которые успешно продвигают его на рынке уже несколько лет. 4. Так как штат сотрудников  предприятия невелик, то управление  наиболее эффективно. 5. ООО «Евросантехник» сотрудничает со многими крупными оптовыми покупателями, в том числе, с входящими в рейтинг крупнейших дистрибьюторов России. 6. ООО «Евросантехник» обладает репутацией надежного делового партнера.
Угрозы	Возможности
1. Появление все большего  числа конкурентов 2. Невозможность обеспечить прибыльную работу предприятия в конкретных экономических условиях. 3. Рост стоимости ресурсов на рынке капитала 4. Небольшое разнообразие  размеров полок.	1. Захват 50% доли рынка  путем модернизации производства  и разработки новой продукции 2. Введение инновации  на предприятии 3. Расширение производственной  деятельности предприятия

 

 

Как показывает анализ, ООО «Евросантехник» обладает большим количеством сильных сторон и возможностей.

Основными негативными моментами деятельности предприятия является то, что на данный момент размеры полок идут только 2х типов, что снижает число покупателей.

Компания может преодолеть свои слабые стороны и угрозы благодаря использованию симплекс-метода для поиска оптимального решения, который мы рассмотрим в следующей главе.

 

 

Глава 3. Применение симлекс-метода в ООО «Евросантехник» для нахождения оптимального решения

 

Компания производит полки для ванных комнат двух размеров – А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В – 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. машинного времени, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В – 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

РЕШЕНИЕ. Составим математическую модель задачи. Пусть х1 – количество полок вида А, х2 – количество полок вида В, которые производятся в неделю (по смыслу задачи эти переменные неотрицательны). Прибыль от продажи такого количества полок составит 3х1 + 4х2, прибыль требуется максимизировать. Выпишем ограничения задачи.

х1 + х2 ≤ 550 – в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок.

Затраты материала: 2х1 + 3х2 ≤ 1200

Затраты машинного времени: 12х1 + 30х2 ≤ 9600.

Таким образом, приходим к задаче линейного программирования.

f = 3х1 + 4х2 → max,

х1 + х2 ≤ 550,

2х1 + 3х2 ≤ 1200,

12х1 + 30х2 ≤ 9600,

x1≥ 0, x2≥0.

Решим ее симплекс-методом. Введем три дополнительные переменные x3, x4, x5 и придем к задаче

f = 3х1 + 4х2 → max,

х1 + х2 + x3 = 550,

2х1 + 3х2 + x4 = 1200,

12х1 + 30х2 + x5 = 9600,

xi≥ 0, i=1,2,3,4,5.

В качестве опорного плана выберем X0=(0, 0, 550, 1200, 9600). Составим симплекс-таблицу.

В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца (последний столбец). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги, пока не придем к таблице с неотрицательными оценками.

В последнем плане строка f не содержит отрицательных значений, план x1 = 450, x2 = 100 оптимален, целевая функция принимает значение 1750.

Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль, предприятию необходимо производить 450 полок вида А и 100 полок вида В, при этом прибыль составит 1750 ден. ед., а останется неиспользованными 1200 минут (20 часов) машинного времени.

 

 

Заключение

 

Решение - это выбор альтернативы. Принятие решений - связующий процесс, необходимый для выполнения любой управленческой функции. В условиях рыночной экономики менеджер своими решениями может повлиять на судьбы многих людей и организаций.

В зависимости от уровня сложности задач, среда принятия решений варьируется в зависимости от степени риска.

Условия определенности существуют, когда руководитель точно знает результат, который будет иметь каждый выбор.

В условиях риска вероятность результата каждого решения можно определить с известной достоверностью.

Если информации недостаточно для прогнозирования уровня вероятности результатов в зависимости от выбора, условия принятия решения являются неопределенными. В условиях неопределенности руководитель на основе собственного суждения должен установить вероятность возможных последствий.

Каждое решение сопряжено с компромиссами, негативными последствиями и побочными эффектами, значение которых руководитель должен соотнести с ожидаемой выгодой. Все решения, как запрограммированные, так и не запрограммированные, принимаемые менеджером должны быть основаны не только на суждениях, интуиции и прошлом опыте, но и применять рациональный подход к принятию решений.

При принятии решений современный менеджер должен: широко использовать различные методы науки управления; оценивать среду принятия решений и риски; знать и уметь применять различные модели и методы прогнозирования для принятия решений.

Целью работы являлось  использование симплекс-метода для нахождения и анализа оптимального решения. Цель работы достигнута.

Для достижения цели выполнялись следующие задачи:

1) Изучена учебная и научная литература по данному вопросу и её анализ представлен в первой главе;

2) Дана характеристика  компании ООО «Евросантехник», анализ  внешней и внутренней среды  которого показал, что предприятию, в целях развития, необходимо  увеличить прибыль.

3) С этой целью было  предложено проанализировать использование  симплекс-метода при нахождении  оптимального решения увеличения  прибыли. 

По анализу необходимо сделать следующий вывод: симплекс-метод помогает при принятии управленческих решений. В данном случае было выявлено, чтобы получить максимальную прибыль, предприятию необходимо производить 450 полок вида А и 100 полок вида В, при этом прибыль составит 1750 ден. ед., а останется неиспользованными 1200 минут (20 часов) машинного времени.