Исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5мм

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Забайкальский государственный  университет»

(ФГБО УВПО «ЗабГУ»)

Кафедра физики и техники связи (ФиТС)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5мм

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: электромагнитные поля и волны.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                        Выполнил: ___________________

 

 

                                                               Проверил: ____________________

____________________

____________________

____________________

____________________

 

 

 

Чита 2013

Содержание

Введение…...………………………………………………………………………3

1 Электромагнитные  волны……………………………………………………....5

2 Общие свойства  направляемых электромагнитных  волн………………........8

3 Структура  электромагнитного поля E и H волн, распространяющихся в прямоугольном волноводе……………………………………….………...........17

3.1 Система  уравнений для E волн в прямоугольном волноводе…………….17

3.2 Система  уравнений для H волн в прямоугольном волноводе ……………22

4 Анализ решения уравнений Максвелла для прямоугольного волновода.....24

5 Структура поля волны в волноводе прямоугольного сечения………...26

5.1 Распределение токов проводимости по стенкам волновода, в котором распространяется волна Н₁₀ …………………………………………………….30

5.2 Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение собственных волн прямоугольного волновода………………………………………………..32

6 Расчет параметров волны Н₁₀ в прямоугольном волноводе 19 9,5.…………………………………………………………………………...........33

Заключение……………...………………………………………………………..36

Список использованных источников…………………………………………...37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Волновод  – это средство сосредоточения электромагнитной энергии в определенном пространстве и передачи ее в заданном направлении. По волноводам электромагнитная энергия  передается принципиально по тем  же законам, что и в атмосфере, но только в волноводах эта передача имеет строго заданное направление  и, кроме того, ограничена по частоте.

Волновод  представляет собой полую металлическую  трубу, стенки которого выполняются  из хорошо проводящего материала (медь, латунь). Во избежание коррозии волноводы  часто гальванически покрывают  тонким слоем серебра или другого  стойкого к коррозии металла (золото, никель).

 В  последнее время на практике  широкое распространение получили  прямоугольные и круглые волноводы.

Такие волноводы  более широкополосные, дешевле и  проще в изготовлении, имеют высокую  электрическую прочность необходимую  для передачи большой мощности, высокую  механическую прочность, обеспечивающую высокую надежность, длительный срок службы и устойчивость к механическим воздействиям, минимальные потери энергии.

На сверхвысоких частотах волноводы имеют то решающее преимущество, что затухание распространяющихся в них волн может быть много  меньше, чем в других системах, например в коаксиальной или двухпроводной (полосковой) линиях.

В сантиметровом  и миллиметровом диапазонах длин волн основным типом линии передачи являются волноводы с прямоугольным  поперечным сечением.

Целью данной работы является исследование электромагнитного поля в линии передачи: в прямоугольном волноводе размером сечения 19х9,5мм

 

 

Основные  задачи исследований:

• Изучение электромагнитного поля, его структуры и свойств.
• Анализ решения уравнений Максвелла для прямоугольного волновода.
• Изучение  структуры поля волны в волноводе прямоугольного сечения.
• Расчет параметров волны в прямоугольном волноводе 19 9,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1  Электромагнитные волны

Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля,  распространяющиеся в пространстве.

Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием решения системы уравнений Максвелла. Согласно этой теории следует, что переменное электромагнитное поле  распространяется в пространстве в виде волн, фазовая  скорость которых равна:

(1.1),

где - скорость света в вакууме;

ε – диэлектрическая  проницаемость среды;

μ – магнитная  проницаемость среды;

 

Векторы и поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны друг другу. Вектор скорости волны и векторы и образуют правую тройку векторов (Рисунок 1.1).

Взаимно перпендикулярные векторы 

и колеблются в одной фазе (их колебания синфазны). Модули этих векторов связаны соотношением: (1.2),

которое справедливо для любой  бегущей электромагнитной волны  независимо от ее формы.

Рисунок 1.1

Монохроматической волной называется электромагнитная волна одной определенной частоты. Монохроматическая волна не ограничена в пространстве и во времени. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов и на оси координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты . Например, для плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОУ, как показано на рисунке 1.1, ее уравнение имеет вид:                                

    (1.3)

Объемная  плотность энергии электромагнитного  поля в линейной изотропной среде  задается соотношением:

(1.4),

где с - скорость света в вакууме.

В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления  ОY, напряженность электрического поля задается уравнением:

(1.5).

 

Соответственно объемная плотность энергии этой волны:

(1.6).

Значение  объемной плотности энергии волны  меняется за период от 0 до Т.

(1.7).

Среднее за период значение энергии равно:

 (1.8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Общие  свойства направляемых электромагнитных  волн

 

Полная  система уравнений Максвелла  позволяет рассчитать электромагнитное поле по распределению зарядов и токов.

 

 (2.1),

(2.2),

  (2.3),

(2.4);

 

Физический  смысл уравнения (2.1) заключается  в том, что источниками электрического поля могут быть не только электрические  заряды, но и изменяющиеся во времени  магнитные поля.

Уравнение (2.2) показывает, что магнитные поля могут возбуждаться как токами проводимости, так и токами смещения.

Уравнение (2.3) – теорема Гаусса для электростатического  поля в диэлектрике. Поток вектора  смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен  алгебраической сумме заключенных  внутри этой поверхности свободных  электрических зарядов.

В уравнении (2.3), ρ – объемная плотность распределения  заряда внутри замкнутой поверхности. Физический смысл этого уравнения  заключается в том, что силовые  линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах (на положительных и отрицательных  соответственно).

Уравнение (2.4) – теорема Гаусса для магнитного поля : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю. Уравнение говорит о том, что линии индукции всегда замкнуты – поле имеет вихревой характер.

Уравнения Максвелла можно представить  и в дифференциальной форме.

(2.5),

(2.6),

(2.7),

(2.8).

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми, и между ними существует следующая связь:

(2.9),

(2.10),

(2.11),

где и - соответственно электрические и магнитные постоянные;

 и  - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости;

- удельная проводимость вещества;

Предположим, что прямоугольный волновод заполнен воздухом , а проводимость стенок будем считать бесконечно большой. Тогда в рассматриваемой области будут отсутствовать сторонние токи и заряды.

 Требуется определить электромагнитное поле, которое может существовать в данной линии передачи при условии, что это поле гармоническое во времени, а частота колебаний равна ω.

Искомое поле должно удовлетворять однородным уравнениям Максвелла в комплексной  форме:

(2.12),    

и граничному условию для касательной составляющей вектора напряженности электрического поля ( ) на поверхностях идеальных проводников:

(2.13).

Уравнения (3.12) легко трансформируются в однородные волновые уравнения для векторов и : 

(2.14),

 

(2.15),

где волновое число для плоской однородной волны, распространяющейся в безграничной среде с параметрами диэлектрика, заполняющего (окружающего) линию передачи. При решении задачи определения структуры электромагнитных полей Е и Н волн в линиях передачи используется следующий прием.

1. Все поперечные составляющие векторов поля выражают с помощью так называемых уравнений связи через имеющиеся в данной волне продольные составляющие векторов напряженности электрического или магнитного поля ( для Е волн и для Н волн).

2. Решают волновые уравнения только для этих продольных составляющих;

3. Вычисляют с помощью уравнений связи поперечные составляющие векторов и в линии передачи. Таким образом, решение задачи сводится к составлению уравнений связи и решению одномерных однородных волновых уравнений для продольных составляющих векторов и . Для Е волн предстоит решить уравнение:

(2.16),

а для Н волн – уравнение:                                   

(2.17).

Решениями  уравнений (3.16) и (3.17) являются следующие уравнения:

(2.18),

(2.19).

Уравнения связи  получаются в результате преобразования уравнений Максвелла (3.12), раскрытых для соответствующей системы координат. Для декартовой (прямоугольной) системы координат (x,y,z) уравнения связи для Е и Н волн выглядят следующим образом:

Е волны:

(2.20),

Н волны:

 (2.21),

где K –продольное  волновое число для E и H-волн в волноводе,      поперечное волновое число.

(2.22),

(2.23).

Для этих волн поперечное волновое число  ≠ 0, а продольное волновое число K отличается от k. Рассмотрим, как будет изменяться величина K в зависимости от частоты колебаний ω. В реальных системах частота ω есть частота источника, возбуждающего поле, т.е. частота генератора. Положим в общем виде:

K = β –  jα (2.24),

jK = α  + jβ (2.25).

В зависимости  от величины ω могут иметь место  три случая (напомним, что  ).

1. Волновое число k > (частота ω достаточно высокая). При этом продольное волновое число K является чисто вещественной величиной (2.23). Следовательно, в данном случае (2.24) K = β, α = 0. Волна распространяется вдоль линии без затухания и процесс ее распространения определяется множителем , где β играет роль коэффициента распространения этой волны в волноводе: 

(2.26).

2. Волновое число k < (частота ω низкая). При этом продольное волновое число K является чисто мнимой величиной (2.23) и, в соответствии с (2.24), K = –jα, β = 0. Это означает, что в данном случае в линии передачи существует не электромагнитная волна, а не распространяющееся электромагнитное поле, «привязанное» к источнику возбуждения и затухающее по мере удаления от него по закону , где α – коэффициент затухания, равный:

(2.27). 

3.  Волновое число k = . При этом продольное волновое число K = 0. Формально в этом случае в линии передачи нет ни волны, ни «привязанного» поля. Такой режим работы линии передачи называют критическим, а частоту, при которой наступает этот режим, также называют критической и обозначают ω_кр. Она определяет границу перехода от режима, при котором в линии передачи могут распространяться электромагнитные волны, к режиму, при котором распространение электромагнитных волн вдоль линии передачи невозможно. Из выражения (2.23), полагая K = 0, находим ω_кр:

(2.28),

(2.29),

где V –  фазовая скорость плоской электромагнитной волны, распространяющейся в свободном  пространстве. Из формул (2.28) и (2.29) видно, что критическая частота зависит не только от поперечного волнового числа , но и от параметров диэлектрика, заполняющего линию передачи. Такая зависимость иногда оказывается неудобной, поэтому помимо ω_кр и f_кр для характеристики критического режима пользуются параметром «критическая длина волны» – λ_кр, под которой понимают длину волны плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве, частота возбуждения которой равна f_кр:

(2.30).

Таким образом  Е и Н волны могут распространяться вдоль линии передачи не при любых частотах, а лишь при выполнении условия:

f > f_кр  или λ < λ_кр (2.31),

где f –  частота возбуждающего линию  передачи генератора, а λ – длина  волны в свободном пространстве, соответствующая этой частоте.

Найдем  фазовую и групповую скорости Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи – V_ф и V_гр. Для этого запишем мгновенное значение функции для падающей волны:

(2.32).

Приравняв аргумент косинуса этого выражения  постоянной величине, получим:

(2.33).

Фазовая скорость будет равна производной  по времени от полученной величины z

(2.34),

где β  определяется выражением (2.26).

Продолжая преобразования, найдем:

(2.35).

Анализ  выражения (2.35) показывает, что, во-первых, V_ф зависит от частоты генератора и, следовательно, линии передачи с Е и Н волнами являются диспергирующими системами. Во-вторых, V_ф оказывается больше, чем фазовая скорость плоской однородной волны в свободном пространстве V. Этот результат, на первый взгляд, может показаться противоречащим основному постулату теории относительности, согласно которому передача сигналов со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, невозможна. На самом деле противоречия, конечно, нет, так как скорость передачи сигнала электромагнитной волной, равная , совпадает с фазовой скоростью этой волны и скоростью переноса энергии только для плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Для Е и Н волн скорость передачи сигнала, которую мы назовем групповой скоростью и обозначим V_гр, отличается от V_ф и равна:                   

(2.36).

Как и  следовало ожидать, V_гр оказывается меньше, чем V. Примечательно, что всегда выполняется условие:

(2.37).

Найдем  длину волны Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи.

Фазовая скорость V_ф определяет длину волны в линии передачи, которую мы обозначим Λ и будем понимать под ней расстояние, которое Е или Н волна проходит вдоль линии за отрезок времени, равный периоду колебаний T:

(2.38).

Подставляя  в (3.38) значение V_ф из (2.35), и учитывая, что T = λ/V, получаем:

 (2.39),

где λ  – длина волны в свободном  пространстве, соответствующая частоте  генератора, возбуждающего Е и  Н волны в линии передачи. Как и следовало ожидать, при одной и той же частоте возбуждения длина волны в линии передачи Λ оказывается больше длины волны в свободном пространстве λ. Из формул (2.39) и (2.35) следует, что с увеличением частоты возбуждающего генератора длины волн электрических и магнитных волн в линии передачи и их фазовые скорости приближаются к длине волны и фазовой скорости плоской волны в свободном пространстве. Этот результат можно объяснить тем, что, по мере увеличения частоты, относительные (по отношению к λ) размеры поперечного сечения линии передачи возрастают и условия распространения волн вдоль линии передачи все больше приближаются к условиям, существующим при распространении волны в свободном пространстве. Наоборот, при стремлении f  к f_кр значения Λ и V_ф все больше превосходят λ и V, стремясь в пределе (при f = f_кр) к бесконечности.

Установив общие свойства направляемых волн, перейдем к рассмотрению структуры  электромагнитного поля этих волн для  конкретных направляющих систем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Структура электромагнитного поля  E и H волн, распространяющихся в прямоугольном волноводе

3.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе

 

Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы  уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

Разместим прямоугольную систему координат  так, как показано на рисунке 3.1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях y=0 и y=b, а боковые – в плоскостях x=0 и x=a.  Уравнение

(3.1)

в декартовой системе координат имеет следующий  вид:

(3.2).                                              

Рисунок 3.1

При интегрировании уравнения (3.2) воспользуемся методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

Ψ(x,y) = X(x)Y(y) (4.3).

Подставим (3.2) в (3.3) и выполним частное дифференцирование

(3.4).

Перейдя в (3.4) от частных дифференциалов к обыкновенным и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

(3.5).

Приравняем  первый член уравнения (4.5) постоянному коэффициенту , а второй – постоянному коэффициенту , физический смысл которых будет выяснен позднее. В этом случае уравнение (3.5) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

 (3.6),

(3.7),

(3.8).

Уравнения (3.6) и (3.7) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями которых являются комбинации показательных либо тригонометрических функций и постоянных коэффициентов.

Решение уравнения (3.6) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид:

 (3.9),

Уравнение (3.9) представляет собой суперпозицию бегущих волн. В данном случае следует выбрать решения, представляющие собой стоячие волны, а решения в виде бегущих волн отбросить как физически не реализуемые, так как распространению бегущих волн в направлениях осей 0x и 0y препятствуют металлические стенки волновода.

В выражение (3.9) входят три постоянные коэффициента C, D и k_x, для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием .

Граничное условие для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода (см. рисунок 3.1) трансформируется в следующие условия для составляющей при x=0, x=a, y=0 и y=b. Применительно к уравнению (3.9) это означает, что при x=0 и при x=a правая часть уравнения должна обращаться в нуль.

Первое  условие может быть выполнено  только в том случае, если C = 0, а  второе – если , где m – любое целое положительное число; a – поперечный размер широкой стенки волновода. Таким образом, используя граничные условия, мы определили значения постоянных коэффициентов C и , и уравнение (3.9) принимает следующий вид:

(3.10).

Проведя аналогичные операции с уравнением (4.7), получаем

(3.11),

где B –  постоянный коэффициент, – постоянный коэффициент, n – любое целое положительное число, b – поперечный размер узкой стенки волновода.

Подставив (3.10) и (3.11) в (3.3), имеем

(3.12).

Численные значения коэффициентов B и D зависят  от параметров источника, возбуждающего  электромагнитную волну в линии  передачи. Подставив (3.12) в (2.18) и обозначив произведение коэффициентов B, D и A как , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е волн в прямоугольном волноводе

(3.13)

Чтобы воспользоваться  уравнениями связи для определения  поперечных составляющих векторов напряженности  электрического и магнитного полей  Е-волн в прямоугольном волноводе, необходимо найти частные производные  и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (3.13) по переменным x и y:

(3.14),

(3.15).

Анализ  уравнения (3.13) и его частных производных показывает, что для Е волн целые числа m и n, входящие в выражения для коэффициентов и , не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов и этих волн будут равняться нулю. Подставляя значения вычисленных частных производных в уравненияx связи, получим систему уравнений для составляющих векторов и поперечно-магнитных волн (Е волн) в прямоугольном волноводе:

(3.16),

(3.17),

, (3.18)

(3.19)

(3.20)

(3.21).

Уравнения (3.16)-(3.21) могут быть записаны в более компактном виде:

(3.22),

(3.23),

(3.24),

(3.25),

(3.26),

(3.27),

где , , , , – амплитуды соответствующих составляющих векторов и , а – максимальные значения этих амплитуд.

Полезно отметить, что в случае Е волн, являющихся неоднородными плоскими волнами, амплитуды составляющих векторов и изменяются при перемещении вдоль фазового фронта этих волн (в отличие от однородных плоских волн, распространяющихся в свободном пространстве).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Система уравнений для Н-волн в прямоугольном волноводе

 

Отличие решения уравнения (3.1) для Н волн от решения для Е волн заключается в применении граничных условий. Дело в том, что уравнение (3.2), которое в случае Е волн непосредственно трансформируется в граничные условия для составляющей в данном случае (т.е. применительно к продольной составляющей вектора напряженности магнитного поля) может быть использовано лишь опосредованно с помощью системы уравнений связи (2.20).                                      

  Причем  граничные условия могут быть  получены не непосредственно  для составляющей  а лишь для ее частных производных и (см. первые два уравнения системы (2.20)). Так как является касательной составляющей при y=0 и при y=b, а является касательной составляющей при x=0 и при x=a, то окончательно получаем:

 при y =0 и при y =b (3.28),

при x = 0 и при x = a. (3.29).

Используя эти граничные условия при  решении уравнения (3.1) находим выражение для составляющей магнитных волн (Н волн) в прямоугольном волноводе:

(3.30).

Анализ  уравнения (3.30) показывает, что, в отличие от уравнения (3.13), в данном случае целые числа m и n порознь могут равняться нулю.

Найдя частные  производные  и , и подставляя полученные значения в уравнения связи (3.21), получаем систему уравнений для векторов и магнитных волн (Н волн) в прямоугольном волноводе:

 

 

(3.31),

(3.31)

(3.32),

(3.33),

(3.34),

(3.35).

Уравнения (3.31)-(3.35) могут быть записаны в более компактном виде:

(3.36),

(3.37),

(3.38),

(3.39),

(3.40),

(3.41).                      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Анализ решения уравнений Максвелла  для прямоугольного волновода

 

Полученные  выше уравнения (3.22)-(3.27) и (3.36)-(3.41) являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим условиям рассматриваемой задачи и граничным условиям. Попробуем на основе этих математических выкладок описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих внутри волновода.

   Прежде всего запишем развернутую  формулу для критической длины  волны Е и Н волн в соответствии с уравнениями (2.30), (3.8), (3.10), (3.11).