Исследование электромагнитного поля в прямоуголньном волноводе

     МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

     государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

     «ЧИТИНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТИТЕТ»

     (ЧитГУ)

     Институт  переподготовки и повышения квалификации

     Кафедра «Физики и техники связи» 
 
 

     КУРСОВАЯ РАБОТА 
 
 
 
 

     Чита 2011 г.

Содержание

Введение 3

1 Электромагнитные  волны, распространяющиеся  в линиях передачи 5

1.1  Класс ТЕМ (поперечные электромагнитные волны) 6

1.2  Классы волн Е и Н 7

2  Системы уравнений  для Е и Н-волн  в прямоугольном  волноводе 8

2.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе 9

2.2  Система уравнений  для Н-волн в  прямоугольном волноводе 12

3  Анализ решений  уравнений Максвелла  для прямоугольного  волновода 14

3.1  Характеристическое сопротивление Е и Н-волн в волноводе 14

3.2  Волна основного типа в прямоугольном волноводе 15

4  Физический смысл  индексов m и n 17

5  Потери энергии  в волноводах 18

6  Структуры полей  волн H₁₀, H₂₀, H₁₁ и E₁₁ в   волноводе 19

7  Токи в прямоугольном  волноводе на волне  H₁₀ 20

8  Условие распространения  электромагнитного  поля 21

9  Расчет характеристик  электромагнитного  поля в прямоугольном 22

10  Параметры ГОСТ 20900-75 «Трубы волноводные  прямоугольные медные  и латунные» 25

11  Сравнение результатов  расчетов с табличными  данными 26

Заключение 27

Список  используемых источников 28 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение

     Вопросы распространения волн в направляющих системах давно привлекли внимание ученых, занимающихся теорией электромагнитного  поля. Первые исследования, относящиеся  к волнам в полых трубках (волноводах), были проведены английским физиком  Релеем еще в 1897 году. В создание современной теории направляющих устройств  значительный вклад внесли советские  ученые: Г.В. Кисунько, А. А. Самарский, А.Н. Тихонов, Л.А. Вайнштейн и др.

     Электромагнитная  волна в устройствах и системах связи должна распространяться по определенному  пути и достигать пункта назначения с наименьшими потерями. Эту функцию  выполняют направляющие системы, их называют также линиями передачи или волноводами.

     Направляющие  системы должны удовлетворять следующим  требованиям: малое затухание, обеспечение заданной передаваемой мощности, экономическая целесообразность (малый вес, доступные материалы, простота конструкции и технологии производства).

     Применяются следующие конструкции направляющих систем:

      - двухпроводные линии;

       - коаксиальный кабель;

      - линии поверхностной волны;

      - металлические волноводы;

      - оптические волноводы.

     Основными, широко используемыми линиями передачи закрытого типа, являются коаксиальный волновод, прямоугольный, круглый и  эллиптический волноводы. Данные линии  передачи более широкополосные, дешевле  и проще в изготовлении, имеют  высокую электрическую прочность  необходимую для передачи большой  мощности, высокую механическую прочность, обеспечивающую высокую надежность, длительный срок службы, устойчивость к механическим воздействиям и минимальные  потери энергии.

     В сантиметровом и миллиметровом  диапазонах длин волн основным типом  линий передачи являются волноводы  с прямоугольным поперечным сечением. Металлический волновод с прямоугольным сечением представляет собой полую металлическую трубу, стенки которого выполняются из хорошо проводящего материала (медь, латунь). Во избежание коррозии волноводы часто гальванически покрывают тонким слоем серебра или другого стойкого к коррозии металла (золото, никель).

     Целью данной курсовой работы является исследование электромагнитного поля и волн в  прямоугольном волноводе и его  самого, расчет характеристик магнитного поля (направляемых волн) в проводящем прямоугольном волноводе, а также сравнение полученных результатов с табличными расчетными данными.

     В данной работе рассмотрим прямоугольный  волновод с параметрами: a=23 мм - ширина канала волновода, b=10 мм - высота канала волновода, s=1мм - толщина стенки. Диапазон частот: f₁ =8.2 ГГц и f₂ =12,47 ГГц

     Задачи  курсовой работы:

     - составление системы уравнений Максвелла при заданных граничных условиях;

       - расчет следующих параметров электромагнитной волны внутри волновода:

      - диапазон длин волн прямоугольного  волновода;

      - критические длины волн, критические частоты волны основного типа;

      - фазовую и групповую скорость  волны основного типа;

      - коэффициент распространения волны  в волноводе;

      - характеристическое сопротивление  волны основного типа;

      - коэффициент затухания волны  с длиной выбранной из рабочего  диапазона;

       - сравнить полученные в ходе расчетов данные с уже имеющимися табличными значениями.

     1 Электромагнитные волны, распространяющиеся в линиях передачи

     В любой направляющей системе, ориентированной  вдоль оси Z, распространяются разные типы (моды) плоских электромагнитных волн, отличающиеся друг от друга продольным волновым числом g .

     где : F (x,y.z) любая компонента напряженности  электромагнитного поля (E_x, E_y, E_z, H_x, H_y, H_z), g - продольное волновое число

     k_s – поперечное волновое число, разное для различных типов волн.

     k – волновое число в свободном  пространстве

     k_s – называют критическим волновым числом, потому что при k < k_{s g} становится чисто мнимым числом, поэтому волна в волноводе отсутствует. Помимо критического волнового числа вводят понятия критической длины волны λ _кр и критической частоты f_кр по определению

     где

     Каждый  тип волны имеет свое критическое  волновое число k_s, свою критическую длину волны λ _кр и свою критическую частоту f_кр .

     Из  приведенных формул следует, что  фазовая скорость всегда больше скорости света С, а групповая скорость всегда меньше скорости света С . Нетрудно показать, что произведение .

     В зависимости от вида линий передачи в них могут распространяться электромагнитные волны (моды) четырех  классов:

     1-й  класс – Электрические волны  (поперечно-магнитные или ТМ-волны)  Е_z ≠ 0, Н_z = 0 (Е-волны);

     2-й  класс – Магнитные волны (поперечно-электрические  или ТЕ-волны) Н_z ≠ 0, Е_z = 0 (Н-волны);

     3-й  класс – Поперечные или Т-волны  (поперечно-электромагнитные или  ТЕМ-волны) Н_z = 0, Е_z = 0 (Т-волны), плоская ЭМВ;

     4-й  класс – Гибридные волны Е_z ≠ 0, Н_z ≠ 0 ( характерны для световодов)

     Класс волны определяется наличием или  отсутствием продольных составляющих E_Z и H_Z, параллельных направлению ее распространения. При классификации используются два принципа: либо указывается, какой вектор лежит целиком в поперечной плоскости (ТЕМ, ТМ), либо указывается, какой вектор имеет продольную составляющую (т.е. E и H). Тип волны определяется числом максимумов и минимумов поля в поперечном сечении волновода и обозначается двумя числовыми индексами (E₀₁ и H₁₁).

     Классификация волн позволяет упростить анализ волн в волноводах и записать все  составляющие полей через одну продольную составляющую

     { Ех , Еу , Нх , Ну} = f (Еz , Нz )

     Любая электромагнитная волна в волноводе  может быть представлена в виде линейной комбинации этих типов волн. В волноводах могут существовать только моды Е  и Н, в открытых системах и коаксиальном кабеле могут существовать 1,2,3 классы. В диэлектрических направляющих системах, как правило, существуют гибридные  волны. 

     1.1  Класс ТЕМ (поперечные электромагнитные волны)

     Поле  поперечной волны имеет только поперечные электрическую и магнитную составляющие. Коэффициент распространения волны  ТЕМ в волноводе всегда равен  таковому в среде, которой заполнена  эта направляющая система. Структура  электрической составляющей поля волны  ТЕМ в поперечной плоскости идентична  электростатическому полю в этой системе. Отсюда следует: структура  поля волны ТЕМ в поперечном сечении  не зависит от частоты, волна ТЕМ может распространяться лишь в таких направляющих системах, где возможно существование электростатического поля.

     1.2  Классы волн Е и Н

     Эти волны имеют одну продольную составляющую E_Z или H_Z. Е-волны, или “электрические”, имеют электрическую продольную составляющую и, естественно, поперечные компоненты E и H. Н-волны, или “магнитные” имеют продольную магнитную составляющую H_Z и поперечные Е и Н. Существуют при некоторых условиях так называемые гибридные волны ЕН. Они возникают в волноводах из нескольких сред.

     Заметим, что в линиях передачи ось OZ совпадает с направлением движения распространяющихся вдоль этих линий электромагнитных волн. Т-волны могут существовать только в двухсвязных или многосвязных линиях передачи (причем как в открытых линиях, так и в волноводах). Е- и Н-волны могут существовать в односвязных и многосвязных волноводах различного поперечного сечения. Гибридные волны могут существовать в неоднородных линиях передачи различных типов.

     В любой направляющей системе возможно существование большого числа типов  волн (из классов Е и Н), количество которых зависит от выбора рабочей  длины волны l_р. Однако существует область длин волн, при которой распространение электромагнитных волн в волноводе невозможно (область отсечки), то есть когда рабочая длина волны l_р больше или равна критической длине волны основного типа волны l_кр (l_р ³ l_кр). Основным типом волны в волноводе называется волна, обладающая максимальной критической длиной. 
 
 
 
 
 
 

     2  Системы уравнений для Е и Н-волн в прямоугольном волноводе

     Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений Максвелла и граничному условию для тангенсальной составляющей вектора напряженности электрического поля ( ) на поверхностях идеальных проводников:

                                                                              _(2.1)

     Для декартовой (прямоугольной) системы  координат (x, y, z) уравнения связи  для Е- и Н-волн выглядят следующим  образом:

     Е-волны

     Н-волны

     где    K – продольное волновое число для E и H-волн в волноводе,

              x -  поперечное волновое число.

     2.1 Система уравнений для Е-волн в прямоугольном волноводе

     Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы  уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода.

     Рис. 1. Система координат прямоугольного волновода 

     Разместим прямоугольную систему координат  так, как показано на рис. 1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях y=0 и y=b, а боковые – в плоскостях x=0 и x=a.

     Уравнение

     в декартовой системе координат имеет  следующий вид:

     При интегрировании уравнения (2.7) воспользуемся  методом Фурье. Представим функцию  Ψ(x,y) в виде произведения двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой:

                                         Ψ(x,y) = X(x)Y(y)                                    (2.8)

     Подставим (2.8) в (2.7) и выполним частное дифференцирование:

                                  (2.9)

     Перейдя в (2.9) от частных дифференциалов к  обыкновенным и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем:

                                       (2.10)

     Приравняем  первый член уравнения (2.10) постоянному  коэффициенту , а второй – постоянному коэффициенту . В этом случае уравнение (2.10) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений:

                                                                  (2.11)

                                                                   (2.12)

                                                                                    (2.13)

     Уравнения (2.11) и (2.12) являются обыкновенными однородными  дифференциальными уравнениями  второго порядка, решениями которых  являются комбинации показательных  либо тригонометрических функций и  постоянных коэффициентов.

     Решение уравнения (2.11) для рассматриваемого случая будет иметь следующий  вид:

     В выражение (2.14) входят постоянные коэффициенты C, D и k для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием

     Граничное условие  для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода преобразуется в следующие условия для составляющей при x=0, x=a, y=0 и y=b. Применительно к уравнению (2.14) это означает, что при x=0 и при x=a правая часть уравнения должна обращаться в ноль.

     Первое  условие может быть выполнено  только в том случае, если C = 0, а второе – если , где m – любое целое положительное число; a – поперечный размер широкой стенки волновода. Используя граничные условия, уравнение (2.14) принимает следующий вид:

                                                         (2.15)

     Проведя аналогичные операции с уравнением (2.12), получаем

                                                           (2.16)

     где B – постоянный коэффициент,

           – постоянный коэффициент,

            n – любое целое положительное число,

            b – поперечный размер узкой стенки волновода.

     Подставив (2.15) и (2.16) в (2.8), имеем:

                                                   (2.17)

     Подставив (2.17) в  и обозначив произведение коэффициентов B, D и A как , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е-волн в прямоугольном волноводе

                                   (2.18)

     Чтобы воспользоваться уравнениями связи  для определения поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей Е-волн в прямоугольном  волноводе, необходимо найти частные  производные  и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (2.18) по переменным x и y:

     Анализ  уравнения (2.18) и его частных производных  показывает, что для Е-волн целые  числа m и n, входящие в выражения для коэффициентов и , не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов E и H этих волн будут равняться нулю.

     Подставляя  значения вычисленных частных производных  в уравнения связи, получим систему  уравнений для составляющих векторов и поперечно-магнитных волн (Е-волн) в прямоугольном волноводе:

     где , , , , – амплитуды векторов и , – максимальные значения этих амплитуд.

     2.2  Система уравнений  для Н-волн в  прямоугольном волноводе

     Отличие решения уравнения (2.6) для Н-волн от решения для Е-волн заключается  в применении граничных условий. Дело в том, что уравнение  , которое  в случае Е-волн непосредственно  трансформируется в граничные условия  для составляющей E_z, в данном случае может быть использовано лишь опосредованно с помощью системы уравнений связи. Причем граничные условия могут быть получены не непосредственно для составляющей HZ, а лишь для ее частных производных ∂H_z /∂y и ∂H_z /∂x. Так как Ex  является касательной составляющей при y=0 и при y=b, а Ey является касательной составляющей при x=0 и при x=a, то получаем

     ∂H_z /∂y=0  при y=0 и при y=b,

     ∂H_z /∂x=0  при x=0 и при x=a.

     Используя эти граничные условия при  решении уравнения (2.6) находим выражение  для составляющей H_z магнитных волн (Н-волн) в прямоугольном волноводе H_z.

     Анализ  уравнения (2.20) показывает, что, в отличие  от уравнения (2.18), в данном случае целые  числа m и  n порознь могут равняться  нулю.

     Найдя частные производные ∂H_z/∂y и ∂H_z/∂x, подставляя полученные значения в уравнения связи, получаем систему уравнений для векторов E и H магнитных волн (Н-волн) в прямоугольном волноводе:

                         (2.21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3  Анализ решений уравнений Максвелла для прямоугольного волновода

     Полученные  выше системы уравнений ((2.19), (2.21)) являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим условиям рассматриваемой задачи и граничным  условиям. Следовательно, в соответствии с теоремой единственности, эти решения  однозначно описывают законы изменения  в пространстве и во времени векторов E и H внутри волновода. Попробуем на основе этих математических выкладок описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих внутри волновода.

     Прежде  всего запишем развернутую формулу  для критической длины волны  Е- и Н-волн:

           λкр = 2π/æ = 2π/(kx2+ ky2)0.5 = 2 / ((m/a)2 + (n/b)2) 0.5          (3.1)

     где m и n – целые положительные числа, которые для Н-волн могут порознь  равняться нулю, а для Е-волн начинаются с единицы.

     Каждой  паре целых чисел m и n соответствуют  разные значения векторов E и H, а также  разные значения λкр, Vф и Λ. Физически  это означает, что при выполнении определенных условий в волноводе  могут одновременно существовать различные  по своей структуре и фазовой  скорости Е- и Н-волны. Эти волны  носят название «собственных волн»  волновода и обозначаются Еmn или  Нmn, где латинские заглавные буквы  определяют принадлежность собственной  волны к классу Е- или Н-волн, а  нижние индексы m и n определяют тип  собственной волны (т.е. структуру  электрического и магнитного полей  этой волны).