Исследование сетей массового обслуживания

 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа 

по  дисциплине «Моделирование» 

«Исследование сетей массового  обслуживания» 

Вариант № 1/7 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка гр.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

      Цель работы: комплексное исследование характеристик функционирования замкнутых и разомкнутых сетей массового обслуживания (СеМО) с однородным потоком заявок с использованием методов аналитического, численного и имитационного моделирования и изучение свойств и закономерностей, присущих процессам, протекающим в них.

     Комплексная учебно-исследовательская работа выполняется в рамках курсового проектирования и включает в себя разработку и подготовку моделей и исходных данных, необходимых для выполнения расчетов и экспериментов с использованием специальных программных средств моделирования, а также обработку и оформление результатов модельных экспериментов.  

     Содержание  работы: разработка аналитических, численных и имитационных моделей и проведение на их основе модельных экспериментов с целью исследования характеристик функционирования и выявления свойств замкнутых и разомкнутых СеМО.  
 

1. Постановка задачи  и исходные данные: 
 

Параметры замкнутой СеМО  

(структурные  параметры и количество заявок  в СеМО)  
 

 
 

Тип модели:

(Модель M2) 
 

 
 
 
 
 

Параметры замкнутой СеМО 

(вероятности передач и средние длительности обслуживания заявок) 

 

2. Исследование Замкнутых СеМО на аналитических и марковских моделях: 
 

      2.1 Описание исследуемой ЗСеМО: 

• Количество  узлов СеМО – n = 3;
• Количество обслуживающих приборов в узлах СеМО принимается равным 1;
• поток заявок – однородный;
• Число заявок, циркулирующих в сети M = 2;
• Средние длительности обслуживания заявок в узлах сети :

       , ,

• В замкнутой СеМО всегда существует стационарный режим, так как число заявок в сети ограничено и не может быть бесконечных очередей.

 
 

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Матрица вероятностей передач и рассчитанные по этой матрице коэффициенты передач: 

  

         

              

      

      

      

        

      2.2 Результаты аналитического расчета  характеристик ЗСеМО и их анализ: 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

      Сетевые характеристики функционирования СеМО при изменении числа заявок в  ЗСеМО: 

 
 

        
 

        

     Как видно из графиков до достижения критического числа заявок (М = 8) в ЗСеМО производительность растет, а после достижения критического числа заявок перестает меняться. Это происходит за счет увеличения загрузки какого-то узла, который является узким местом системы. После того, как загрузка этого узла достигает 1, производительность ЗСеМО перестает меняться. Дело в том, что предельная производительность ЗСеМО определяется загруженностью «узкого места» сети, и ее можно определить, выявив «узкое место» и оценив производительность системы при загрузке «узкого места».

     После достижения критического числа заявок в системе, время пребывания, время ожидания, длина очереди растут линейно в зависимости от числа заявок, эту зависимость можно объяснить тем, что число заявок в ЗСеМО ограничено и невозможно образование бесконечных очередей.  

      Согласно  расчетам, “узким местом” в СеМО является узел 3,  т.к. его загрузка значительно больше, чем загрузка других узлов и равна 0.678261.  Изменим сетевые характеристики функционирования СеМО при устранении “узкого места”, путем изменения длительности обслуживания заявок.

      Найдем  b₃ из условия равенства загрузок всех узлов. Т.к. загрузки всех трех узлов совпадают, имеем: 

            
 
 
 
 
 
 

      Уменьшим  в третьем узле среднее время обслуживания до b₃ = 0.25 

 

     Благодаря уменьшению времени обслуживания в узле 3 (b₃ = 0.25), критическое число увеличилось до 13. 

 
 
 
 
 

      

 
 
 

      

 
 
 
 
 
 
 

      

 

      

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      2.3 Перечень состояний Марковского процесса для исследуемой ЗСеМО: 

      Заявка  после обслуживания в узле 1 с вероятностью p₁₂ = 0.75 переходит в узел 2, либо с вероятностью p₁₀ = 0.25 переходит в узел 0. С вероятностью p₀₁ = 1 заявка возвращается в узел 1. Из узла 2 заявка с вероятностями p₂₃ = 1 переходит в узел 3, а с вероятностью p₃₁ = 1 заявка возвращается в узел 1.

      В ЗСеМО всегда существует стационарный режим, т.к. число заявок в сети ограничено и не может быть бесконечных очередей.

      Закодируем  состояния следующим образом  (M₁, M₂, M₃), где M₁ = {0, 1, 2} – количество заявок, находящихся в узле 1, M₂ = {0, 1, 2} – количество заявок, находящихся в узле 2 и M₃ = {0, 1, 2} – количество заявок, находящихся в узле 3. При этом суммарное число заявок в трех узлах должно быть равно 2. 

      При выбранном способе кодирования система может находиться в следующих состояниях:

      E₀: (2, 0, 0) – все две заявки находятся в узле 1, причем одна заявка находится на обслуживании в приборе, а другая заявка ожидает в накопителе.

      E₁: (1, 1, 0) – одна заявка находится в узле 1 и одна – на обслуживании в узле 2.

      E₂: (0, 2, 0) - две заявки находятся в узле 2 (одна на обслуживании в приборе, одна в накопителе).

      E₃: (1, 0, 1) – одна заявка находится на обслуживании в узле 1, одна – на обслуживании в узле 3.

      E₄: (0, 1, 1) - одна заявка находится на обслуживании в узле 2, одна – на обслуживании в узле 3.

      E₅: (0, 0, 2) - две заявки находятся в узле 3 (одна на обслуживании в приборе, одна в накопителе). 

2.4 Размеченный  граф переходов Марковского процесса: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

, и интенсивности обслуживания заявок в узлах 1, 2 и 3 соответственно.

 

      

      2.5 Матрица интенсивностей переходов  Марковского процесса: 
 
 

 
 

      Система уравнений для определения стационарных вероятностей: 

 

2.6 Значения  стационарных вероятностей состояний: 

p₀ = 0.1318

p₁ = 0.0565

p₂ = 0.0424

p₃ = 0.1976

p₄ = 0.1906

p₅ = 0.3812 

 

      2.7 Расчет характеристик системы  (результаты численного моделирования): 

     Узловые характеристики: 

1. Загрузка  узлов:

 

      

      

        

2. Среднее число  заявок в очередях перед узлами:

 

 

 

3. Среднее число заявок в узлах СеМО:

 

      

      

        
 

4. Среднее время  ожидания заявок в узлах СеМО:

 

, , , где 

, и - коэффициент передачи соответственно узла 1, узла 2 и узла 3;

- производительность замкнутой  СеМО, рассчитываемая как сетевая характеристика; 

5. Среднее время  пребывания заявок в узлах СеМО:

 

, ,  

6. Производительность  узла СеМО:

 

, ,  
 

      Сетевые характеристики: 

1. Среднее число  одновременно работающих узлов сети, определяемое как суммарная загрузка всех узлов СеМО:

 

       

2. Суммарное число  заявок, циркулирующих в СеМО:

 

       

3. Суммарное число  заявок во всех очередях СеМО:

 

       

4. Суммарное (полное) время ожидания заявок в очередях СеМО:

 

       
 

5. Время пребывания заявок в СеМО:

 

       

6. Производительность  замкнутой СеМО:

 

       
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      2.8 Неэкспоненциальная ЗСеМО: 

      Заменим первый узел с длительностью обслуживания, распределённой по закону Эрланга 2-порядка, двумя последовательно работающими псевдо узлами с интенсивностями обслуживания 2µ₁ каждый, длительности обслуживания в которых распределены по экспоненциальному закону: 
 
 
 
 
 
 
 
 

µ₁=4 
 

Перечень  состояний Марковского процесса ЗСеМО (Эрланг - второго порядка для первого узла) 

      M₁ = {0, 1’, 1”, 2’, 2”}

      M₂ = {0, 1, 2}

      M₃ = {0, 1, 2} 

      Е₀ = (2', 0, 0) – 2 заявки в узле 1 (1 на обслуживании в псевдо узле 1, 1 в накопителе);

      Е₁ = (2", 0, 0) – 2 заявки в узле 1 (1 на обслуживании в псевдо узле 2, 1 в накопителе);

      Е₂ = (1', 1, 0) – 1 заявка в узле на обслуживании в псевдо узле 1, 1 заявка в узле 2 на обслуживании;

      Е₃ = (1", 1, 0) – 1 заявка в узле на обслуживании в псевдо узле 2, 1 заявка в узле 2 на обслуживании;

      Е₄ = (0, 2, 0) – 2 заявки в узле 2(1 на обслуживании в приборе, 1 в накопителе);

      Е₅ = (0, 1, 1) – 1 заявки в узле 2 на обслуживании, 1 заявка в узле 3 на обслуживании;

      Е₆ = (0, 0, 2) –2 заявки в узле 3(1 на обслуживании в приборе, 1 в накопителе);

      Е₇ = (1", 0, 1) – 1 заявка в узле 1 на обслуживании в псевдо узле 2, 1 заявки в узле 3;

      Е₈ = (1', 0, 1) – 1 заявка в узле на обслуживании в псевдо узле 1, 1 заявка в узле 3 на обслуживании. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Размеченный граф переходов Марковского процесса ЗСеМО

(Эрланга второго порядка для первого узла)

       

 

Матрица интенсивностей переходов Марковского процесса 

      Система уравнений для определения стационарных вероятностей: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

      

Значения  стационарных вероятностей состояний

(Эрланг - второго порядка для первого узла) 

p₀ = 0.0563

p₁ = 0.1408

p₂ = 0.0704

p₃ = 0.0563

p₄ = 0.0845

p₅ = 0.0845

p₆ = 0.0845

p₇ = 0.1972

p₈ = 0.2254 

 

Расчет  характеристик системы

(Эрланг – второго порядка для первого узла) 
 

     Узловые характеристики: 

1. Загрузка  узлов:

 

      

      

        

2. Среднее число  заявок в очередях перед узлами:

 

        

      

        

3. Среднее число заявок в узлах СеМО:

 

      

      

        

4. Среднее время  ожидания заявок в узлах СеМО:

 

 

5. Среднее время  пребывания заявок в узлах СеМО:

 

, ,  

6. Производительность узла СеМО:

 

, ,  
 

      Сетевые характеристики: 

1. Среднее число  одновременно работающих узлов сети, определяемое как суммарная загрузка всех узлов СеМО:

 

       

2. Суммарное число заявок, циркулирующих в СеМО:

 

        

3. Суммарное число  заявок во всех очередях СеМО:

 

        

4. Суммарное (полное) время ожидания заявок в очередях СеМО:

 

        

5. Время пребывания заявок в СеМО:

 

        

6. Производительность  замкнутой СеМО:

       

 

     В сравнении с аналитическим методом  численный отличается тем, что здесь  происходит замена сложных математических формул и отношений более простыми, и, следовательно, существует определенная погрешность.