Исследование системы автоматического регулирования (САР) расхода воздуха через фильтр

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.  Задание на курсовую работу 3

2. Анализ  динамических характеристик объекта  управления 5

2.1. Анализ  структурной схемы и составление  передаточной функции объекта  регулирования 5

2.2. Построение  временных характеристик объекта  управления 5

2.3. Построение  частотных характеристик объекта  управления 7

    2.4. Оценка устойчивости объекта управления 10

2.4.1. Анализ  устойчивости объекта управления  по переходной характеристике 11

2.4.2. Анализ  устойчивости объекта управления  корневым критерием (критерием  Ляпунова) 11

2.4.3. Анализ  устойчивости объекта управления  критерием Рауса – Гурвица 12

2.4.4. Анализ  устойчивости объекта управления  критерием Михайлова 13

3. Исследование динамических характеристик  разомкнутой системы управления 15

3.1. Анализ  передаточной функции разомкнутой  системы управления 15

3.2 Построение  переходной характеристики разомкнутой  системы управления 15

3.3. Построение  частотных характеристик разомкнутой  системы управления 17

3.4. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления 19

3.4.1. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления критерием Ляпунова 19

3.4.2. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления критерием Рауса –  Гурвица 19

3.4.3. Анализ  устойчивости разомкнутой системы  управления критерием Михайлова 20

4. Исследование  динамических характеристик замкнутой  системы управления 22

4.1. Анализ  передаточной функции замкнутой  системы управления 22

4.2. Построение  переходной характеристики замкнутой  системы управления 22

4.3. Построение  частотных характеристик замкнутой  системы управления 23

4.4. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления 25

4.4.1. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления критерием Ляпунова 25

4.4.2. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления критерием Рауса –  Гурвица 26

4.4.3. Анализ  устойчивости замкнутой системы  управления критерием Михайлова 27

5. Расчет  оптимальных настроек регулятора 29

Выводы 33

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 34

 

1. Задание на курсовую работу

Исследовать заданную САР, объект регулирования который представлен структурной схемой (рис. 1.1), состоящей из звеньев с соответствующими характеристиками (табл.1.1). В качестве регулятора выбрать ПИД-регулятор, передаточная функция и численные значения настроек приведены в табл. 1.2. Рассчитать оптимальные настройки аналогового регулятора при соответствующих показателях переходного процесса (табл. 1.3).

Обозначение звена	Тип звена	Передаточная функция  звена	Характеристики звена
(p)	реальное интегрирующее	W(p) =	k = 2
(p)	Колебательное	W(p) =	k = 1,1 T = 2

Таблица 1.1. – Звенья, входящие в объект регулирования, и их характеристики.

Тип регулятора	Передаточная функция  регулятора	Настройки регулятора
ПИД	(p)=	= 5 = 2 = 2,5

Таблица 1.2. – Передаточная функция регулятора и его параметры.

Показатели переходного  процесса	Обозначение	Значение
Степень устойчивости	η	1,6
Колебательность	μ	0,6

Таблица 1.3. – Показатели переходного процесса.

 

 

 

y

(p)

x

(p)

   

Рис.1.1. Структурная схема  объекта регулирования

 

x

y

регулятор

 

 

Место

разрыва

≈

(p) = 1

 

Рис.1.2. Структурная схема  САР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Анализ динамических характеристик объекта управления

2.1. Анализ структурной схемы и составление передаточной функции объекта регулирования

Объект управления представляет собой последовательное соединение двух звеньев: реального интегрирующего (W1(p)) и реального дифференцирующего (W2(р)) следовательно, передаточная функция для объекта регулирования, при данной структурной схеме запишется следующим образом:  или

2.2. Построение временных характеристик объекта управления

При анализе процессов  в системах автоматического регулирования  широко используются временные характеристики - переходная и импульсная. Переходная характеристика оценивает реакцию системы или составного элемента на единичное ступенчатое воздействие 1(t) при нулевых начальных условиях. Единичное ступенчатое воздействие представляет собой мгновенное изменение величины сигнала и аналитически записывается следующим образом:

1(t) = 1, при t > 0,

1(t) = 0, при t < 0.

При известной передаточной функции переходная характеристика определяется через обратное преобразование Лапласа:

Импульсная характеристика (весовая характеристика) w(t) оценивает реакцию системы или элемента на единичный импульс при нулевых начальных условиях. Так как единичный импульс представляет собой производную по времени от 1(t), импульсная характеристика может быть выражена через переходную характеристику:

С другой стороны импульсная характеристика выражается через обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

w(t) = L^l{W(p)}.

Переходная функция для  объекта в изображении по Лапласу:

Импульсная функция для  объекта в изображении по Лапласу:

Так как получили достаточно сложные выражения, то для обратного преобразования Лапласа воспользуемся функцией invlaplace среды Mathcad, предварительно подставив численные значения коэффициентов звеньев, в результате переходная и импульсная функции объекта:

 

 

Строим переходную (рис. 1) и импульсную (рис. 2) характеристики объекта управления.

Рис. 1. Переходная характеристика объекта управления.

 

Рис. 2. Импульсная характеристика объекта управления.

Анализируя полученные графики, можно сделать вывод, что переходная характеристика объекта управления приходит через какое-то время к установившемуся значению, следовательно, объект является устойчивым.

2.3. Построение частотных характеристик объекта управления

В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость  определить реакцию на периодические  сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение  этой задачи, возможно, получить путем  использования частотных характеристик. Различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависят от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний. Поэтому в качестве динамических характеристик объекта используют частотные характеристики: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) - A(ω); фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – φ(ω), и амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) - W(iω).

Если задана передаточная функция W(p), то путём подставки р=iω получаем частотную передаточную функцию W(iω), которая является комплексным выражением т.е. W(iω)= Re(ω) + Im(ω), где Re(ω) - вещественная составляющая, а Im(ω) - мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена и в показательной форме: , где - модуль; - аргумент.

В передаточной функции объекта  управления заменяем р на iω

Так как полученное выражение  достаточно громоздко, для вычисления действительной и мнимой частей воспользуемся возможностями среды Mathcad, в результате чего получим выражения для действительной и мнимой части частотной передаточной функции:

По которым изменя ω от -∞ до ∞ построим АФЧХ объекта управления (рис. 3).

Амплитудно-частотная характеристика рассчитывается по формуле:

подставляя полученные ранее  значения, строим характеристику при  изменении ω от-10 до 10, рис. 4.

Фазо-частотная характеристика определяется по формуле:

подставляя полученные ранее  значения, строим характеристику при  изменении со от -10 до 10, рис. 5.

Рис. 3. Амплитудно-фазо-частотная характеристика объекта управления.Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика объекта управления.

Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика объекта управления.

Рис. 5. Фазо-частотная характеристика объекта управления.

 

2.4. Оценка устойчивости объекта управления

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой  динамических свойств САР. Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения. Различают три типа систем:

1. устойчивые системы  - это системы, которые, будучи  выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущением, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия;

2. нейтральные системы  - системы, которые после снятия  возмущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного;

3. неустойчивые системы  - такие системы, в которых не  устанавливается равновесия после  снятия возмущения.

С целью упрощения анализа  устойчивости систем разработан ряд  специальных методов, которые получили название критериев устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими.

2.4.1. Анализ устойчивости объекта управления по переходной характеристике

Переходной процесс объекта  управления был построен ранее (рис. 1). Анализируя полученный график можно сделать вывод, что объект управления является устойчивым.

2.4.2. Анализ устойчивости объекта управления корневым критерием (критерием Ляпунова)

Все критерии устойчивости базируются на критерии Ляпунова.

Формулировка критерия. Необходимым  и достаточным условием устойчивости линейной системы является условие, когда все вещественные корни характеристического уравнения системы, а также действительные части комплексных корней, отрицательны. Если хотя бы один из корней положителен - система неустойчива; если равен 0 - система находится на границе устойчивости. Мнимая ось Im является границей устойчивости.

Определим характеристическое уравнения объекта управления. Характеристическим уравнением в данном случае является знаменатель передаточной функции объекта. Так как передаточная функция выглядит достаточно громоздко

то для определения  знаменателя воспользуемся программными возможностями среды Mathcad. В результате преобразования получили:

Вычислим корни данного уравнения  в среде Mathcad, получим:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что объект управления является устойчивым, так  как действительные корни характеристического уравнения отрицательны.

2.4.3. Анализ устойчивости объекта управления критерием Рауса – Гурвица

Критерий Рауса-Гурвица является наиболее распространенным алгебраическим критерием и применяется для определения устойчивости системы, когда известно характеристическое уравнение.

Формулировка критерия. Необходимым  условием устойчивости линейной системы  является условие - все коэффициенты характеристического уравнения  положительны; достаточным условием устойчивости линейной системы является условие - все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны. Если хотя бы один из определителей равен 0 - система находится на границе устойчивости. Если какой-либо из определителей меньше 0 - система не устойчива.

Правило составления определителей. В главную диагональ определителя п- го порядка записываются все коэффициенты, начиная с первого. Столбцы матрицы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами с порядковыми номерами по возрастанию индексов, вниз - по убыванию индексов. Все элементы определителя, индексы которых больше порядка характеристического уравнения и меньше 0, заполняют нулями.

Характеристическое уравнение  для объекта управления имеет  вид:

Здесь А₀ = 1.8 > 0; А₁ = 2.9 > 0; А₂ = 1 > 0.

Так как все коэффициенты характеристического  уравнения положительны, то необходимое  условие устойчивости критерия Рауса-Гурвица выполняется. Проверим достаточное условие устойчивости. Для анализа достаточного условия из коэффициентов характеристического уравнения составляем определители:

 

 

Так как все определители положительны, то достаточное условие  устойчивости критерия Рауса-Гурвица выполняется и объект управления является устойчивым.

2.4.4. Анализ устойчивости объекта управления критерием Михайлова

Так же как и алгебраический критерий, частотный критерий применяется  в тех случаях, когда задано характеристическое уравнение системы. В характеристическом полиноме заменяется р на iω. Получается вектор характеристического полинома:

При изменении ω от 0 до ∞ вектор D(m) опишет кривую, называемую годограф Михайлова.

Формулировка критерия. Система  будет устойчива в том случае, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до оо начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости, проходит последовательно против часовой стрелки п квадрантов плоскости, нигде не обращается в 0 и не проходит через начало координат (п - порядок характеристического уравнения системы). Если годограф проходит через начало координат комплексной плоскости, то система находится на границе устойчивости, если нарушается хотя бы одно из условий критерия - система неустойчива.

Заменяем в характеристическом уравнении разомкнутой системы р на iω, получим:

Вычислим его в комплексных  корнях:

Выделяем действительную и мнимую части:

,

 

Строим годограф Михайлова  для объекта управления при изменении  ω от 0 до ∞, рис. 6.

Рис. 6. Годограф Михайлова  для объекта управления.

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что годограф для объекта управления при изменении  ω от 0 до ∞ начинается на положительной части действительной оси, и последовательно проходит 2 квадранта комплексной плоскости против часовой стрелки, не пересекая начало координат. А так как порядок характеристического уравнения 2, следовательно, объект управления является устойчивым.

По всем этапам анализа устойчивости объекта управления получили аналогичные результаты, из чего следует вывод, что объект управления является устойчивым.

 

 

 

3. Исследование динамических характеристик разомкнутой системы управления

3.1. Анализ передаточной функции разомкнутой системы управления

При включении объекта  управления в разомкнутую систему  к нему последовательно подсоединяется регулятор, при этом передаточная функция разомкнутой системы запишется в виде:

W_рс(p) = W₀(p)-W_p(p).

Подставив в полученное выражение  передаточную функцию объекта и  передаточную функцию заданного  ПИД-регулятора, получим:

3.2 Построение переходной характеристики разомкнутой системы управления

Переходная функция для  объекта в изображении по Лапласу:

Импульсная функция для  разомкнутой системы в изображении  по Лапласу:

Так как получили достаточно сложное выражение, то для обратного  преобразования Лапласа воспользуемся  функцией invlaplace среды Mathcad, предварительно подставив численные значения коэффициентов звеньев, в результате переходная и импульсная функции разомкнутой системы управления:

Строим переходную и импульсную характеристики разомкнутой системы  управления (рис. 7, 8).

Рис. 7. Переходная характеристика разомкнутой системы управления

Рис.8. Импульсная характеристика разомкнутой системы управления.

 

Анализируя переходную характеристику, можно сделать вывод, что она  не приходит к установившемуся значению, а возрастает с постоянной скоростью, следовательно, разомкнутая система управления находится на границе устойчивости.

3.3. Построение частотных характеристик разомкнутой системы управления

В передаточной функции разомкнутой  системы управления заменяем р на iω:

Так как полученное выражение достаточно громоздко, для вычисления действительной и мнимой частей воспользуемся возможностями  среды MathCAD, в результате чего получим выражения для действительной и мнимой части частотной передаточной функции:

по которым изменяя ω от -∞ до ∞ построим АФЧХ разомкнутой системы управления (рис. 9).

Амплитудно-частотную  характеристику строим при изменении ω от -10 до 10 (рис. 10.)

Строим Фазо-частотную характеристику при изменении ω от -10 до 10 (рис. 11.)

Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы управления

Рис. 10. Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы управления.

Рис. 11. Фазо-частотная характеристика разомкнутой системы управления.

3.4. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления

3.4.1. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления критерием Ляпунова

Определим характеристическое уравнения объекта управления. Характеристическим уравнением в данном случае является знаменатель передаточной функции разомкнутой системы управления.

Вычислим корни данного уравнения  в среде Mathcad, получим:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что разомкнутая  система управления находиться на границе устойчивости т.к. есть действительный корень равный нулю.

 

3.4.2. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления критерием Рауса – Гурвица

Характеристическое уравнение  для разомкнутой системы управления имеет вид:

Здесь А₀ = 18; А₁= 29; А₂=10; А₃=0;

Так как в характеристическом уравнении нет отрицательных  коэффициентов, то необходимое условие устойчивости критерия Рауса-Гурвица выполняется. Проверим достаточное условие устойчивости. Для анализа достаточного условия из коэффициентов характеристического уравнения составляем определители:

                                                    

Так как один из определителей равен нулю, то разомкнутая система находиться на границе устойчивости.

3.4.3. Анализ устойчивости разомкнутой системы управления критерием Михайлова

Заменяем в характеристическом уравнении разомкнутой системы р на iω, получим:

Вычислим в комплексных  числах:

Выделяем действительную и мнимую части:

Строим годограф Михайлова  для объекта управления при изменении  су от 0 до ∞ (рис. 12.)

Рис. 12. Годограф Михайлова  для разомкнутой системы управления.

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что годограф для разомкнутой системы управления при изменении ω от 0 до ∞ начинается в начале координат, и направлен против часовой стрелки. Следовательно, разомкнутая система управления находиться на границе устойчивости.

По всем этапам анализа устойчивости разомкнутой системы управления получили аналогичные результаты, из чего следует вывод, что разомкнутая система управления находится на границе устойчивости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Исследование динамических характеристик замкнутой системы управления

4.1. Анализ передаточной функции замкнутой системы управления

При замыкании замкнутой системы с отрицательной обратной связью передаточная функция системы запишется в виде:

Подставив в полученное выражение  передаточную функцию разомкнутой  системы, получим:

4.2. Построение переходной характеристики замкнутой системы управления

Переходная функция для объекта  в изображении по Лапласу является достаточно сложным выражением. Для  обратного преобразования Лапласа  воспользуемся функцией invlaplace среды Mathcad, предварительно подставив численные значения коэффициентов звеньев, в результате переходная характеристика замкнутой системы:

 

Рис. 13. Переходная характеристика замкнутой  системы управления.

Из рисунка видно, что переходная характеристика приходит к установившемуся значению, следовательно, замкнутая система управления является устойчивой.

4.3. Построение частотных характеристик замкнутой системы управления

В передаточной функции разомкнутой  системы управления заменяем р на iω:

 

 Так как полученное выражение достаточно громоздко, для вычисления действительной и мнимой частей воспользуемся возможностями среды Mathcad, в результате чего получим выражения для действительной и мнимой части частотной передаточной функции, по которым изменяя ω от —∞ до оо построим АФЧХ замкнутой системы управления (рис. 14).

Амплитудно-частотную характеристику строим при изменении от -10 до 10, рис. 15.

Рис. 14. Амплитудно-фазо-частотная характеристика замкнутой системы управления.

Рис. 15. Амплитудно-частотная  характеристика замкнутой системы  управления.

Строим Фазо-частотную характеристику при изменении от -10 до 10, рис. 16.

Рис. 16. Фазо-частотная характеристика замкнутой системы управления.

4.4. Анализ устойчивости замкнутой системы управления

4.4.1. Анализ устойчивости замкнутой системы управления критерием Ляпунова

Определим характеристическое уравнения объекта управления. Характеристическим уравнением в данном случае является знаменатель передаточной функции замкнутой системы управления. Так как передаточная функция выглядит достаточно громоздко:

то для определения  знаменателя воспользуемся программными возможностями среды Mathcad. В результате преобразования получили:

Вычислим корни данного  уравнения в среде Mathcad, получим:

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что замкнутая  система управления является устойчивой.

4.4.2. Анализ устойчивости замкнутой системы управления критерием Рауса – Гурвица

Характеристическое уравнение  для замкнутой системы управления имеет вид:

Здесь А₀ = 18; А₁ = 84; А₂ =120; А₃ =44.

Так все коэффициенты характеристического  уравнения положительны, то необходимое  условие устойчивости выполняется. Проверим достаточное условие устойчивости. Для анализа достаточного условия  из коэффициентов характеристического  уравнения составляем определители:

 

 

Так как все определители положительны, то достаточное условие  устойчивости критерия Рауса – Гурвица выполняется, и замкнутая система управления является устойчивой.

 

4.4.3. Анализ устойчивости замкнутой системы управления критерием Михайлова

Заменяем в характеристическом уравнении разомкнутой системы р на iω, получим:

Вычислим в комплексных  корнях:

Выделяем действительную и мнимую части:

Строим годограф Михайлова  для объекта управления при изменении  ω от 0 до ∞ (рис. 17.)

Рис. 17. Годограф Михайлова для замкнутой  системы управления.

Анализируя полученные результаты можно сделать вывод, что годограф начинается на положительной части действительной оси, и проходит против часовой стрелки 3 квадранта комплексной плоскости, а так как порядок характеристического уравнения – 3, то замкнутая система управления  является устойчивой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Расчет оптимальных настроек регулятора

При проектировании регулятора необходимо решать задачу распределения  на комплексной плоскости корней характеристического уравнения системы. Требуется решить вопрос, как расположить корни, чтобы переходной процесс был в некотором смысле оптимальным, а система обладала желаемыми показателями качества.

Для этого необходимо в  характеристическом уравнении выделить полюсы, предназначенные для компенсации  нулей, а оставшийся полином формировать  из условия желаемого расположения корней, учитывая следующее.

По критерию Ляпунова, для  того, чтобы САР была устойчива  необходимым и достаточным условием является отрицательность всех вещественных корней, а также действительных частей комплексных корней характеристического  уравнения системы.