Исследование теплообмена с окружающей средой, температура которой изменяется

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

           УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ   “ГРОДНЕНСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ  ЯНКИ КУПАЛЫ” 
 
 
 
 

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ  ФАКУЛЬТЕТ 
 

    Кафедра ИСиТ 
 

Курсовая  работа по предмету

” Информационные технологии и программирование ” 
 
 

    Исследование  теплообмена с  окружающей средой, 
температура которой изменяется. 
 
 
 
 
 
 

Специальность “ Информационно-измерительная техника” 

Автор работы

Студент 2 курса, 4 группы                                                        ПлощенкоА.Н. 

Руководитель

кандидат физ.-мат. наук, доцент                                              Курстак В.Ю. 
 
 
 
 
 
 
 

                           Гродно 2008

Оглавление 

    1.Введение……………………………………………………………………3 

    2. Теоретическое описание изменения  
температуры окружающей среды…………………………………………..……4 

        2.1 Понятие теплообмена (теплопередачи). 
Описание процессов теплопередачи…………………………………………….4 

        2.2 Закон Фурье и другие физические закономерности,  
определяющие процессы, связанные с распространением тепла……………..5 

    3. Используемые функции среды MathCAD……………………………....9 

    4. Реализация исследований в MathCAD…………………………………10 

    5. Вывод……………………………………………………………………..15

     

    6.Список использованной литературы…………………………………....16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     

      Так как тепловые процессы  очень распространены в природе, науке и технике, быту, то они имеют большой интерес со стороны учёных. С широким развитием науки и техники повышаются требования к точности и надежности функционирования различных систем. Они должны быть точными, исправными и четко налаженными.

    Целью моей курсовой работы является изучение теплообмена с  окружающей средой. Для эффективного получения точных результатов актуально использование компьютерного моделирования, к примеру, в среде MathCAD. MathCAD – главный помощник инженера, радиолюбителя, математика и конечно студента. MathCAD обладает широкими вычислительными возможностями, сохраняя при этом понятный интерфейс и простоту ввода данных. Данная программа помогает нам с решением различных систем и уравнений, их моделирование и исследование различных факторов воздействующих на нашу систему. Благодаря возмржности визуализации численных результатов в виде графиков MathCAD позволяет раскрыть содержание и цель задачи моделирования. 
 
 
 
 

 

     2.Теоретическое  описание изменения  температуры окружающей среды

    2.1. Теплообмен (теплопередача)

    Теплообмен, самопроизвольный необратимый процесс переноса теплоты в пространстве, обусловленный неоднородным полем температуры. В общем случае перенос теплоты может также вызываться неоднородностью полей других физически величин, например разностью концентраций (диффузионный термоэффект). Различают 3 вида Теплообмена.: теплопроводность, конвекция и лучистый теплообмен (на практике теплообмен обычно осуществляется всеми 3 видами сразу). Теплообмен определяет или сопровождает многие процессы в природе (например, ход эволюции звёзд и планет, метеорологические процессы на поверхности Земли и т. д.). в технике и в быту. Во многих случаях, например при исследовании процессов сушки, испарительного охлаждения, диффузии, теплообмен рассматривается совместно с массообменом. Теплообмен между двумя теплоносителями через разделяющую их твёрдую стенку или через поверхность раздела между ними называется теплопередачей. 
 
 
 
 

     2.2 Закон Фурье и другие физические закономерности, определяющие процессы, связанные с распространением тепла

   1. Закон Фурье. Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Количество тепла, протекающее через сечение х за промежуток времени dt, равно 
 

    ,             (1) 

   где 

    ,                      (2) 

   - плотность теплового потока, равная  количеству тепла, проходящего  в единицу времени через площадь равную 1см². Можно придать интегральную форму 
 

    ,          (3) 

   где Q – количество теплоты, протекающее за промежуток (t₁,t₂) через сечение х.

   2. Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на , равно 
 

    ,                                                                    (4) 
 

   где с – удельная теплоемкость, m – масса тела, - его плотность, V – объем.

   Если  изменение температуры имеет различную величину на разных участках стержня или если стержень неоднороден, то 
 

    .             (5)

   3. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло (например, при прохождении тока, вследствие химических реакций и т. д.). Выделение тепла может быть характеризовано плотностью тепловых источников F(x,t) в точке х в момент времени t. В результате действия этих источников на участке стержня (x,x+dx) за промежуток времени (t, t+dt) выделится количество тепла 

    ,          (6) 

   или в интегральной форме 

    ,                          (7) 

   где Q – количество тепла, выделяющегося на участке стержня (x₁,x₂) за промежуток времени (t₁,t₂).

   Уравнение теплопроводности получается при подсчете баланса на некотором участке (x₁,x₂) за некоторый промежуток времени (t₁,t₂). Применяя закон сохранения энергии и пользуясь формулами (3), (5) и (7), можно написать равенство 
 

    (8)                                
 

   которое и представляет собой уравнение теплопроводности в интегральной форме.

   Чтобы получить уравнение теплопроводности в дифференциальной форме, предположим, что функция u(x,t) имеет непрерывные производные u_xx и u_t. Пользуясь теоремой о среднем, получается равенство 
 

    (9)  

   которое  при помощи теоремы о конечных приращениях можно преобразовать к виду 
 

         (10)             

   где t₃, t₄, t₅ и x₃, x₄, x₅ – промежуточные точки интервалов (x₁,x₂) и (t₁,t₂).

   Откуда, после сокращения на произведение находим: 

                                                (11) 

   Все эти рассуждения относятся к  произвольным промежуткам (x₁,x₂) и (t₁,t₂). Переходя к пределу при x1, x2 x и t1, t2 t, получим уравнение 
 

                                                    (12) 
 

   называемое  уравнением теплопроводности. 

   Рассмотрим  частные случаи: 

   

1. Если стержень однороден, то k, c, r можно считать постоянными, и уравнение обычно записывают виде

    

    _,     

    ,     

   где a² - постоянная, называемая коэффициентом температуропроводности.

   Если  источники отсутствуют, т.е. F(x,t)=0, то уравнение теплопроводности примет простой вид: 

    _.                     (13) 

   

2. Плотность тепловых источников может зависеть от температуры. В случае теплообмена  с окружающей средой, подчиняющегося закону Ньютона, количество тепла, теряемого стержнем, рассчитанное на единицу длины и времени, равно

 

   

   где q(x,t) – температура окружающей среды, h – коэффициент теплообмена. Таким образом, плотность тепловых источников в точке х в момент времени t равна

     ,                                                             (14)

   где - плотность других источников тепла.

   Если  стержень однороден, то уравнение теплопроводности с боковым теплообменом примет следующий  вид: 

    _, 

   где , - известная функция. 

   В случае теплообмена с окружающей средой, температура которой изменяется, уравнение теплопроводности примет вид: 

    ,

                                                                                                           (16)

   где - функция, по которой изменяется температура окружающей среды с течением времени;

     - коэффициент температуропроводности;

   Коэффициент температуропроводности равен: 

    ,                                                                                      (17)

   где h – коэффициент теплообмена; с – удельная теплоемкость среды;       ρ – плотность окружающей среды. 

   В случае теплообмена с окружающей средой, температура которой не изменяется, уравнение теплопроводности примет вид: 

    ,                                                                             (18)

   где

-  постоянная температура окружающей среды. 
3. Используемые функции среды MathCAD 

     Аппроксимация – расчет сглаживающей кривой, не проходящей в общем случае через экспериментальные точки, но отслеживающей зависимость и сглаживающей возможные выбросы, вызванные погрешностью округления. Аппроксимацию данных выполняет функция linfit.

      C: = linfit (X, Y, f), где

      X – вектор узлов точки,

      Y – вектор значений узлов точек,

        f – символьный вектор базисных функций.

     Для реализации поставленной нами задачи мы воспользуемся встроенной функцией среды MathCAD – odesolve.

     Преимущества  этой функции над остальными в  том, что она помогает установить влияние какого-либо параметра задачи на поведение искомых функций.

     Функция работает со служебным словом Given, за которым следуют дифференциальные уравнения, записанные как булевы выражения. Там же указывают начальные условия. Сама функция  имеет следующий синтаксис:

     Odesolve (F, t, t_max, n), где

     F – искомые функции,

     t – переменная интегрирования,

          t_max – конец промежутка интегрирования,

          n – шаг, который используется при интегрировании.

    4. Реализация исследований в MathCAD 

     Задаем  значения температуры и времени  помещая их в матрицу S:

     

     Считываем количество элементов:

                                      

     

     Задаем  векторы значений времени и температуры:

                                               

     

     Задаем  функцию linfit для аппроксимации:

     

     Проверка  аппроксимирующей функции:

     

     

     Проверка  работоспособности функции Temp:

     

     Выводим график значений полученных после аппроксимации:

     

  

     Задаем  значения констант:

                                                                             

     Задаем  значение температуры окружающей среды:

     

     

     Задаем  начальное и конечное значение времени и число шагов на который будет разбит интервал [tmin, tmax]:

                                                      

     

     Записываем  служебное слово, без которого функция Odesolve не работает:

     

     Изменение температуры стержня при изменяющейся  температуре окружающей среды (записываем дифференциальное уравнение как  булево выражение):

     

     Задаём  начальное значение:

     

     

     Записываем  служебное слово:

     

     Изменение температуры стержня при неизменной температуре окружающей среды(записываем дифференциальное уравнение как булево выражение):

     

     Задаём  начальное значение:

     

     

     Выводим полученный результаты на график:

     

       

     5. Вывод

    В процессе выполнения курсовой работы был изучен вопрос, использования пакета MathCAD для решения систем дифференциальных уравнений I порядка на примере уравнения теплообмена тела с окружающей средой, температура которой изменяется.

    Свою  задачу я решил при помощи системной  функции Odesolve и аппроксимирующей функции linfit, которая предназначена для сглаживания полученных экспериментальных данных.

    Изменение температуры окружающей среды существенно  влияет на охлаждение (нагревание) тела. В зависимости от того как изменяется температура окружающей среды изменяется и скорость охлаждения. Если температура будет изменятся скачкообразно то зависимость температуры охлаждения от времени будет нелинейной. Это можно легко пронаблюдать из графика полученного в результате решения MathCAD задачи.

 

6.Список использованной литературы: 

     1.Тихонов А.С., Самарский С.С. «Уравнения математической физики», 1977г.

     2.Кирьянов Д.В. «Самоучитель MathCad 11», 2003г.

     3.Кошляков Н.С. – «Уравнения в частных производных математической физики»    М: Наука   1970г.

     4.Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В.  «Введение в Mathcad 2000», 2001г.

     5.Григорьев Б. А., Цветков Ф. Ф. Тепломассообмен: Учеб. пособие — 2-е изд. — М: МЭИ, 2005.