Министерство  образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет 
 
 

Факультет радиоэлектроники

Кафедра электронной техники 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Специальные разделы физики» 
 

«Исследование температурной зависимости дифференциальной термо – э.д.с» 
 
 
 
 
 
 

Руководитель  работы,

Доцент  кафедры ЭЛТ,

канд. техн. наук

Макаров В.К. 

Выполнил 

студент группы ЭЛТ-3 д  
 
 
 
 
 
 
 
 

Севастополь

2007

 

В данной курсовой работе проводится описание и исследование одного из термоэлектрических эффектов полупроводника-эффекта Зеебека, а именно исследование температурной зависимости дифференциальной термо-э.д.с. при различных степенях легирования примесью. В данном исследовании используется германиевый полупроводниковый материал n-типа.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1  Теория исследуемого явления…………………………………………………4 

1.1 Возникновение термо – э.д.с………………………………………………...4 

1.2 Вывод расчетной формулы для вычисления дифференциальной

термо-э.д.с. ………………………………………………………………………...7 

1.3  Эффект фононного увлечения……………………………………………….11 

2     Аппаратура и методика эксперимента………………………………………14 

3     Исследование математической модели эффекта Зеебека и результаты этого исследования………………………………………………………………………16 

Заключение………………………………………………………………………...24 

Библиографический список………………………………………………………23

 

1. Теория  исследуемого явления

1.1 Возникновение термо – э.д.с. 

Эффект Зеебека  является одним из термоэлектрических явлений.

Возникновение электрического тока в замкнутой цепи, состоящей из двух различных полупроводников, места соединений которых находятся при различных температурах называется эффектом Зеебека, а ток, возникающий в цепи – термоэлектрический. На концах такой разомкнутой цепи появляется разность потенциалов ε, которая называется термоэлектродвижущей силой или термо – э.д.с. Величина этой разности потенциалов зависит от разности температур и вида материала.

Рассмотрим два  образца 1 и 2 различных веществ, находящихся в контакте (Рисунок.1).  

 

Если температура  контактов различна – T+dT и T, то в замкнутой цепи возникает ток. Если цепь разорвать в произвольном месте, то на концах разомкнутой цепи появляется разность потенциалов или термо – э.д.с. Зеебек установил, что разность потенциалов dε~dT, а коэффициент пропорциональности α является характеристикой вида материала, используемого при наблюдении данного явления при условии, что оба металлических измерительных электрода и соединительные провода сделаны из одинакового материала и температура  контактов измерительного вольтметра равна между собой.

           (1)

где

α- дифференциальная термо-э.д.с. и представляет собой полную термо – э.д.с., отнесенную к градиенту температуры на образце.

dε (и α) принято считать положительной величиной, если потенциал “горячего контакта” выше потенциала “холодного” контакта. Если dε₁₂>0, то ток течет по часовой стрелке (Рисунок 2); если dε₁₂<0, то ток протекает против часовой стрелки (Рисунок 3), т.е. при dε₁₂>0 положительный заряд переходит от 1 к 2 в “горячем” контакте, а dε₁₂<0-в “холодном” контакте.

 
 
 

 

Величина α₁₂ может зависеть от температуры T, поэтому термо – э.д.с., возникающая в цепи, контакты в которой имеют конечную разность температур T₂-T₁, равна

          (2)

Если полупроводник  нагреть неравномерно, то средняя  энергия носителей заряда и их концентрация будут больше в той его области, где выше температура. Следовательно, градиент температуры в однородном полупроводнике приводит к градиенту средней энергии носителей заряда и градиенту их концентрации, вследствие чего возникает диффузионный поток носителей заряда и появляется электрический ток. Поток диффузии заряженных частиц от нагретого конца к холодному больше, чем в обратном направлении. Поэтому на концах проводника (и на его поверхности) появляются электрические заряды, а внутри проводника – электрическое поле. В стационарном состоянии разомкнутого проводника это поле таково, что вызываемый им ток дрейфа как раз компенсирует результирующий поток диффузии. В разомкнутой цепи в стационарном состоянии плотность тока в любой точке образца равна нулю. Это означает, что электрический ток, обусловленный градиентом температуры, компенсируется током, возникающим в электрическом поле при разделении зарядов. На образце возникает термоэлектродвижущая сила.

Рассмотрим картину  возникновения термо – э.д.с. на контакте металлов. Как известно, в любой системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, электрохимический потенциал (уровень Ферми) один и тот же в любой части системы. Если приведены в контакт два металла, то их уровни Ферми должны совпасть. Но если контактирующие металлы имеют различную концентрацию электронов, то энергии Ферми, отсчитанные от дна зоны проводимости в каждом металле, будут различны, и тем самым E_c1 не совпадает с E_c2, поскольку энергии Ферми разные. Разность E_c2-E_c1 представляет собой потенциальный барьер, возникающий на контакте, она получила название внутренней контактной разности потенциалов Uⁱ. Определяется Uⁱ разностью энергий Ферми в исходных металлах:

           (3)

На контакте тем самым существует электрическое поле, локализованное в тонком приконтактном слое.

Если составить  замкнутую цепь из двух металлов, то Uⁱ возникает на обоих контактах.

Очевидно, что  электрическое поле будет направлено одинаковым образом в обоих контактах - от большего F к меньшему. Это значит, что если совершить обход по замкнутому контуру, то в одном контакте обход будет происходить по полю, а в другом – против поля. Циркуляция вектора E тем самым будет равна нулю.

Предположим теперь, что температура одного из контактов  изменилась на dT.Так как энергия Ферми зависит от температуры, Uⁱ изменится.

Но если изменилась внутренняя контактная разность потенциалов, то изменилось электрическое поле в  одном из контактов, и поэтому  циркуляция вектора E будет отлична от нуля, т.е. появляется э.д.с. в замкнутой цепи. 

1.2 Вывод расчетной формулы для вычисления дифференциальной термо – э.д.с. 

Вычисление термо  – э.д.с проведем с помощью  кинетического уравнения для  однородного невырожденного полупроводника, имеющего сферические изоэнергетические  поверхности для электронов ( ) и дырок ( ). Запишем кинетическое уравнение для электронов (стационарный случай):

       (4)

где - время релаксации электрона;

, а  -электростатический потенциал;

-скорость электронов.

 и  - соответственно и ;

Будем считать, что неравновесная функция распределения мало отличается от равновесной .Тогда в уравнении (4) можно заменить на везде, кроме члена, содержащего магнитное поле. Для этого случая уравнение (4) запишется в виде:

      (5)

Для невырожденного электронного газа:

        (6)

где -энергия электрона в Дж;

- уровень Ферми в Дж;

- тепловая энергия в Дж.

       (7)

        (8)

     (9)

         (10)

где -постоянная Дирака в Дж*с;

- эффективная масса электрона в кристалле полупроводника;

-постоянная Больцмана в Дж/К;

     (11)

Но , а поскольку

        (12)

то

     (13)

Тогда

     (14)

так как  .

Далее, используя  равенства (8), (9), (10) и (14), из уравнения (5) находим:

   (15)

Следовательно, на основании (12)

      (16)

где - время жизни электрона;

Поскольку энергия  и уровень Ферми дырок соответственно равны:

           (17)

где - эффективная масса дырки в кристалле полупроводника.

          (18)

где -ширина запрещенной зоны.

Тогда

     (19)

где -время релаксации дырки.

Определение и из уравнений (16) и (19) сводится к решению векторного уравнения вида

           (20)

Умножим уравнение (20) скалярно на вектор b:

         (21)

Умножим уравнение (20) векторно на вектор b:

    (22)

Тогда

         (23)

          (24)

Теперь воспользуемся  уравнением (24) и запишем выражения (16) и (19) в виде:

 (25)

(26)

где -вектор магнитной индукции.

Если химический потенциал для электронов F, то для дырок он будет F^’=-E_g-F, где E_g-ширина запрещенной зоны. Поскольку полупроводник невырожденный, то равновесная функция распределения для электронов и дырок , где E и E^’- соответственно энергии электронов и дырок. Концентрации электронов и дырок соответственно равны при и : и

где и - эффективная плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне соответственно;

 и  - энергия дна зоны проводимости и потолка валентной зоны соответственно.

В этом случае, с  учетом того, что B=0 (магнитное поле отсутствует), выражения (25) и (26) будут иметь вид:

        (27)

       (28)

Вычисление плотности  тока проведем для полупроводника у  которого рассеяние носителей заряда осуществляется на акустических колебаниях кристаллической решетки. В этом случае длина свободного пробега не зависит от энергии носителей заряда и время релаксации можно выразить через длину свободного пробега l:

          (29)

Найдем плотность тока в полупроводнике с учетом двух сортов носителей заряда по формуле:

 (30)

где

Запишем соотношение:

       (31)

Электронную составляющую тока (30) с учетом (27), (28) и (31) можно  представить в виде выражения:

    (32)

Если ввести , то . Величину электронной составляющей плотности тока с учетом (6) и (27) можно найти по формуле:

     (33)

где

          (34)

где - подвижность электронов в полупроводнике при рассеянии на тепловых атомах кристаллической решетки.

Выражение (33) с  учетом (34) можно представить в  виде:

       (35)

Проведя аналогичный  расчет для дырочной составляющей тока, получим:

      (36)

Из выражения (30) с учетом (35) и (36) получим формулу  для расчета полной плотности  тока:

  (37)

Из соотношения (37) следует, что в полупроводнике при наличии градиента температуры возникают электронный и дырочный токи, которые обусловлены действием градиента электрохимического потенциала и градиента температуры . Для нахождения термо-э.д.с. необходимо определить разность потенциалов для разомкнутой цепи. Поскольку для разомкнутой цепи j=0, то напряженность электрического поля, обусловленного градиентом температуры и называемого термоэлектрическим, можно найти из (37), приравняв ток к нулю. Но при измерении термо-э.д.с. на границах полупроводника и измерительных металлических электродах существуют контактные разности потенциалов, которые не равны друг другу вследствие существующего температурного градиента. Измерительный прибор отметит э.д.с., равную термо-э.д.с. полупроводника и разности контактных потенциалов измерительных электродов. Чтобы исключить разность контактных потенциалов измерительных электродов необходимо определить термо-э.д.с. как градиент электрохимического потенциала . Абсолютная величина будет равна разности контактных потенциалов в граничных точках, если считать, что полупроводник и металл на контакте находятся в термодинамическом равновесии.

Поэтому дифференциальную термо-э.д.с. определяют как:

          (38)

Полагая, что  ток в (37) равен нулю, получаем для  дифференциальной термо-э.д.с. полупроводника:

     (39)

Запишем выражения для определения концентрации электронов и дырок невырожденного полупроводника:

           (40)

          (41)

где , -эффективная плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне.

Тогда выражение (39) с учетом (40) и (41) можно записать в виде:

    (42)

Таким образом, дифференциальная термо-э.д.с. полупроводника определяется двумя слагаемыми, каждое из которых соответствует вкладу, вносимому электронами и дырками, причем эти слагаемые имеют противоположные знаки.

Из выражения (42) следует, что дифференциальная термо-э.д.с. отрицательна для электронного полупроводника. В этом случае на горячем торце образца возникает положительный объемный заряд (положительно заряженные ионы), так как электроны диффундируют от горячего торца к холодному. В дырочном полупроводнике дифференциальная термо-э.д.с. положительна, в нем, наоборот, на горячем торце возникает отрицательный объемный заряд. Таким образом, если полупроводник примесный, то направление внутреннего электрического поля определяется знаком основных носителей заряда и, следовательно, по знаку дифференциальной термо-э.д.с. можно определить тип примесной проводимости исследуемого образца. В случае смешанной проводимости знак дифференциальной термо-э.д.с. определяется не только соотношением концентраций носителей заряда, но и их подвижностью. Величина дифференциальной термо-э.д.с. примесных полупроводников уменьшается с ростом содержания примеси. При нагревании примесного образца его дифференциальная термо-э.д.с. уменьшается.

Дифференциальную  термо-э.д.с. запишем виде:

          (43)

Запишем уравнение  компоненты плотности тока в направлении  x в стационарном случае:

 (44)

где - функция распределения по энергии.

Из (43) с учетом (44) получаем:

        (45)

где - постоянная Больцмана;

-полная подвижность с учетом  смешанного рассеяния носителей заряда.

После интегрирования обоих интегралов и перейдя к  безразмерной энергии  , получим:

       (46)

Запишем формулу  для времени жизни носителей  заряда с учетом смешанного рассеяния  носителей заряда (рассеяние носителей заряда на акустических ветвях фононов и на ионах примеси):

          (47)

где -время релаксации носителей заряда в начальный момент при рассеянии на акустических ветвях фононов;

           (48)

где -время релаксации носителей заряда при рассеянии на ионах примеси в начальный момент;

Подставим формулу (47) в (46) и получим:

         (49)

где       (50)

      (51)

Рассмотрим частные  случаи, а именно только рассеяние  на ионах ( ) и рассеяние на фононах ( ):

:          (52)

:         (53)

где -обобщенная сила в кинетическом уравнении Больцмана (зависит от подвижности носителей заряда).

Выражение (52) при  переходит в:

          (54)

Выражение (54) называется формулой Писаренко. Следовательно, выражение (53) при тех же ограничениях переходит  в:

          (55)

При данных вычислениях  были приведены аппроксимации второго  порядка интегралов Ферми, которые в общем случае имеют вид:

        (56)

Если воспользоваться  аппроксимацией, справедливую в другом крайнем случае , то выражения (52) и (53) переходят в .Нулевые значения термо-э.д.с. получились из-за грубости аппроксимации, в которой учтен лишь первый член разложения подынтегральной функции в . Если воспользоваться более сложной аппроксимацией с учетом второго члена разложения, то получаем соответственно:

         (57)

         (58)

1.3 Эффект фононного увлечения

Большое возрастание  термо-э.д.с., которое иногда обнаруживается в чистом веществе, при низких температурах называется эффектом фононного увлечения. Данное явление определяется особым видом электрон-фононного взаимодействия.

При наличии  градиента температуры в полупроводнике имеет место анизотропия в  распространении фононов, так как  градиент концентрации фононов вызывает их движение в направлении от горячего к холодному краю образца. При каждом акте электрон-фононного рассеяния, которое сопровождается поглощением фонона, электрон приобретает энергию и квазиимпульс фонона. Поскольку фононов с квазиимпульсом, направленным от горячего к холодному краю образца, больше, чем с противоположно направленным квазиимпульсом, то электроны, поглощая фононный квазиимпульс, будут увлекаться фононным потоком. Вследствие этого электроны станут дрейфовать к холодной части образца. Дрейф электронов будет продолжаться до тех пор, пока в связи с их перераспределением не возникнет электрическое поле, которое уравновесит силу, действующую на электроны со стороны фононного потока. Эта разность потенциалов и представляет собой дополнительную термо-э.д.с., которая добавляется к термо-э.д.с., рассчитанной для случая отсутствия электрон-фононного взаимодействия. Эффект фононного увлечения приводит к значительному росту термо-э.д.с. только при низких температурах, так как из-за взаимных столкновений распределение фононов медленно возвращается к равновесному. При более высоких температурах рассеяние фононов на фононах быстро восстанавливает равновесие распределения фононов и эффект увлечения исчезает.

2. Аппаратура  и методика эксперимента

Изучение температурной  зависимости дифференциальной термо-э.д.с. проводится на монокристаллических образцах германия в диапазоне температур 20-300° С.

Измерения осуществляются на установке, состоящей из кристаллодержателя, нагревательных элементов, регуляторов  питания нагревателей, переключателей измерительных цепей, тумблеров и компенсационного потенциометра КП. Кристаллодержатель, рис.4, состоит из двух зажимов 1 и 2, смонтированных на вертикальной стойке 3.На графитовом стержне верхнего зажима намотан небольшой нагреватель 4, создающий вдоль образца необходимый перепад температур .

 
 

Температура регулируется внешней цилиндрической печью 5 термопар (хромель-алюмель), с помощью которых измеряются температуры торцов образца и .Вторые холодные спаи термопар термостатированны в сосуде с маслом. Температура масла измеряется ртутным термометром. Кристаллодержатель, нагреватели и сосуд смонтированы в одном выносном блоке. С помощью переходной колодки блок подключается к стенду питания.

Принципиальная  схема установки показана на рис.5. 

 

 
 

Тумблером T₁ включается автотрансформатор, с которого снимается напряжение U₁ для внешней печи. Напряжение U₂ для внутреннего нагревателя снимается с понижающего трансформатора и регулируется потенциометром R. С помощью переключателей П₁ и П₂ осуществляется коммутация измерительных цепей. Переключатель П₁ имеет четыре положения, которым соответствует измерения э.д.с. верхней термопары E₂, э.д.с. нижней термопары Е₁, термо-э.д.с. германия относительно алюмеля ∆U(Ge-Ал) и относительно хромеля ∆U(Ge-Хр. Переключатель П₂ используется для изменения направления измеряемых токов в случае изменения знака термо-э.д.с. образца. Измерения э.д.с. термопар и термо-э.д.с. полупроводника осуществляются с помощью потенциометра КП.

Измерение температурной  зависимости термо-э.д.с. заключается  в определении температур торцов исследуемого образца и возникающей  на них э.д.с. Температура измеряется с помощью термопар, горячие спаи которых помещены вблизи торцов образца и имеют температуры T₁ и T₂. Холодные спаи этих термопар имеют температуру T₀. По показаниям термопар E₁(T₀,T₁) и E₂(T₀,T₂) находят перепад температур ∆T=T₂-T₁ вдоль образца. Э.д.с. образца ∆U  измеряется относительно металла зондов и соответствует измеренной ∆Т. Электродвижущие силы Е₁ и Е₂ термопар соответствуют разности температур их спаев Т₁-Т₀ или Т₂-Т₀. Поэтому, чтобы найти истинную температуру T₁ или T₂ надо ввести поправку на температуру холодного спая термопары T₀ . Температура T₀ равна комнатной.

Термо-э.д.с. α равна отношению и это значение следует отнести к температуре считая α постоянной в интервале температур ∆T=T₂-T₁.

Зондами при  измерении  служит проволока самих термопар, горячие спаи которых имеют электрический контакт с образцом. Таким образцом, с помощью двух термопар и соответствующей схемы переключения можно последовательно измерить все необходимые величины: E₁, E₂ и ∆U.

3. Исследование  математической модели эффекта Зеебека и результаты этого исследования

Построим график зависимости ширины запрещенной зоны германиевого полупроводника от температуры:

 
 
 

 
 

Рост амплитуды тепловых колебаний атомов решетки приводит к уменьшению ширины запрещенной зоны полупроводника. Также при увеличении температуры изменяются межатомные расстояния, что также влияет на ширину запрещенной зоны. Построим графическую зависимость концентрации свободных носителей заряда в германиевом полупроводнике от температуры при различных степенях легирования:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Построим  графики зависимостей собственной концентрации носителей заряда от температуры и полной концентрации носителей заряда от температуры:

Построим графики зависимостей подвижности электронов и дырок при смешанном рассеянии (учитывается рассеяние на ионах примеси и акустических ветвях фононов) от температуры: