ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»

КАФЕДРА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОЦЕССОВ И ТЕХНОЛОГИЙ» 
 

Курсовая  работа

по дисциплине «Дифференциальные уравнения»

Тема: «Качественное исследование модели динамики

малого  предприятия в условиях кредитования» 
 
 

«УТВЕРЖДАЮ»

зав. кафедрой ММПТ,

к.ф.-м. н., профессор        К.В. Кетова 

РУКОВОДИТЕЛЬ РАБОТЫ

к.ф.-м. н., доцент         С.А. Королев 

ВЫПОЛНИЛ

студент группы 5-52-8        Е.И. Попова 
 
 
 

ИЖЕВСК  2008 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление……………………………………………………………………………..….2

Введение…………………………………………………………………………………...3

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ……………………………………………………………...5

     1.1. Описание изучаемой модели в  экономических терминах…………………..5

     1.2. Модель малого предприятия в условиях кредитования.………...………….7

2. РЕШЕНИЕ МОДЕЛИ ПО СХЕМАМ КРЕДИТОВАНИЯ………………………….11

     2.1. Схема «Воздушный шар»…………………………………………………….11

     2.2. Схема равномерного погашения кредита……………………………….......13

     2.3. Схема «кредитных каникул»…………………………………………….......14

3. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ………………………………………………………..18

     3.1. Сравнительный анализ результатов моделирования кредитно - инвестиционной деятельности малого предприятия …………………………………18

     3.2. Исследование доступности кредитов……………………………………….21

Заключение……………………………………………………………………………….23

Литература………………………………………………………………………………..24

 

     Введение 

     Проблема  финансирования малого предпринимательства  является едва ли не самой острой на всем протяжении осуществляемых в нашей стране экономических реформ. Она разделяется на две более частных проблемы: размер стартового капитала и емкость источников поддержания и развития малого предприятия [3].

     Величина  стартового капитала (порог первоначальных инвестиционных вложений, ниже которого малый бизнес становится не только невыгодным, но и нежизнеспособным) в значительной степени определяется, как правило, низким уровнем благосостояния российских предпринимателей, решивших начать собственное дело, и поэтому недостаточна для эффективного функционирования малого предприятия.

     Его внутренние источники развития (прибыль, амортизационные, различные резервные  и страховые фонды) также не могут  рассматриваться в качестве серьезной  финансовой основы, позволяющей ему развиваться и выживать в сложных условиях становления рыночных отношений. Государственная финансовая поддержка российского малого бизнеса (играющая в развитых странах существенную роль) имеет эпизодический характер, невелика по размеру и, как правило, не доходит до адресата.

     В этих условиях потенциальным поставщиком  финансово-инвестиционного ресурса  может быть банковская система, сосредоточившая  значительные запасы сбережений физических и доходов юридических лиц. Однако, сложившийся в стране инвестиционный климат не благоприятен для кредитования малых предприятий. Коммерческий кредит, недоступен из-за того, что малое предпринимательство - сфера повышенного риска, и банки неохотно идут на его кредитование. Препятствиями в использовании кредита являются также слишком высокая ставка процента, небольшой срок его выдачи и проблема ссудного залога. Важным для устранения этих препятствий становятся вопросы обоснования кредитов, их доступности для малых предприятий, предоставление им различных льгот по возвращении долга и т.д. Решение этих вопросов в каждом конкретном случае осуществляется на основе известных методик по обоснованию кредитно-инвестиционных вложений [10].

      Не  менее важен концептуальный анализ основных тенденций и закономерностей  развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционный ресурс. Следует иметь в виду, что исследование проблем кредитно-инвестиционной политики в сектор малого бизнеса существенно осложняется и теоретико-методическими трудностями. Как правило, оно ограничивается лишь качественными методами анализа, между тем, как сложность возникающих задач требует применения количественных методов, и в частности методов экономико-математического моделирования, адаптированных к специфике изучаемого экономического объекта - малого предприятия.

      Целью работы является экономико-математический анализ деятельности малых предприятий, использующих для своего развития различные инвестиционные ресурсы.

      В первой главе представлена экономико-математическая модель, основанная на применении аппарата дифференциального исчисления и учитывающая различные способы инвестирования малого бизнеса (самофинансирование, государственная поддержка, кредитование). Вторая глава содержит решения модели для различных схем кредитования. В третьей главе представлен сравнительный анализ результатов моделирования кредитно - инвестиционной деятельности малого предприятия и проведено исследование доступности кредитов.

      Источниковая  база представлена трудами отечественных  ученых-экономистов, экономических  исследований малого предпринимательства, опубликованные в экономической литературе, а также материалами периодической печати по данной проблематике.

        

      1. Постановка задачи 

      

1. Описание  изучаемой модели в экономических  терминах

 

      В рассматриваемой модели основными операционными понятиями являются производственные функции экономических объектов, а так же концепции динамики экономических систем, экономического равновесия и согласования экономических интересов. Фактор неопределенности внешней среды малого предприятия, функционирующего в условиях реформируемой экономики, учитывается с помощью вариантного и теоретико-множественного подходов. Основное назначение модели - описание основных закономерностей динамики малых предприятий, тенденций и стратегий их развития в зависимости от изменяющихся параметров внешней среды (и, в частности, от кредитно-инвестиционных факторов), а также параметров внутреннего управления.

      Входами системы являются различные виды производственных ресурсов (сырье, материалы, рабочая сила, производственные фонды); выходами - производимые малым предприятием товары и услуги. Контур положительной обратной связи образуется как зависимость входных переменных системы (ресурсов) от выходных (результатов деятельности в виде суммарного дохода или выручки за произведенный товар) и реализуется через фонды развития малого предприятия. По существу контур положительной обратной связи описывает механизм самофинансирования малого предприятия, то есть развитие его за счет внутренних инвестиционных ресурсов.

     В модели считается, что малое предприятие может одновременно использовать четыре различных финансово-инвестиционных источника для своего развития:

• собственные средства (часть реинвестируемой прибыли);
• кредиты (предполагается, что кредиты выдаются ежегодно в виде кредитной линии);
• государственная инвестиционная поддержка (предполагается в виде государственного субсидирования кредитов – между величиной кредитов и государственными инвестициями соблюдается известная пропорциональность на всем рассматриваемом промежутке времени);
• доход от внешних инвестиций малого предприятия (за счет части свободной прибыли).

      Модель  основывается на следующих гипотезах

1. Малое предприятие может развиваться как за счет внутренних источников (прибыли), так и за счет внешней финансовой поддержки в виде инвестиций.
2. Государственная поддержка определяется спросом предприятия на кредиты.
3. Основные производственные фонды являются единственным лимитирующим фактором, определяющим выпуск продукции.
4. Малое предприятие функционирует при неизменной технологии, что предполагает постоянство его фондоотдачи.
5. Производственная деятельность описывается однофакторной функцией типа Леонтьева, а темпы развития предприятия определяются динамикой основных производственных фондов, которая, в свою очередь, определяется величиной инвестиционных ресурсов (отчислениями от прибыли и величиной финансовой поддержки).
6. Часть свободной прибыли предприятия размещается в доходные финансовые инструменты.
7. Заемные средства привлекаются в виде кредитной линии.
8. Основной долг погашается за счет доходов от внешнего инвестирования.
9. Производственные мощности амортизируют с темпом m>0. Это означает, что за единицу времени из строя выбывает  m-я часть имеющихся основных фондов.

 
 

 

      1.2. Модель малого предприятия в условиях кредитования 

      С учетом сделанных предположений, зависимости между основными переменными модели малого предприятия могут быть представлены следующей системой уравнений:

               (1.1)

              (1.2)

              (1.3)

            (1.4)

               (1.5)

           (1.6)

             (1.7)

      где

      P(t) - выпуск продукции в момент t в стоимостном выражении;

      ¦ - коэффициент фондоотдачи;

      A(t) - стоимость основных производственных фондов;

      M^об(t) - общая прибыль малого предприятия;

      c - удельная себестоимость выпуска продукции в стоимостном выражении;

       - процентные платежи;

      M(t) - чистая прибыль;

      N(t) - сумма налоговых отчислений;

      t₁,t₂ - ставки налогообложения на объем выпуска и прибыль соответственно;

       - коэффициент, отражающий долю  реинвестируемых средств прибыли,  не имеющих льгот по налогообложению;

      x - доля чистой прибыли, отчисляемой на реинвестирование;

      I(t) - государственное финансирование;

      l - коэффициент соотношения государственного финансирования

      K(t) - объем кредитования;

       - размер погашения основного  долга;

      m - темп выбытия изношенных фондов;

      t - время;

      T - горизонт моделирования.

      При этом уравнение:

      (1.1) - определяет линейную производственную функцию малого предприятия;

      (1.2) - процесс формирования общей прибыли за вычетом издержек производства;

      (1.3) - величина чистой прибыли за вычетом общей суммы налоговых отчислений;

      (1.4) - алгоритм расчета налоговых отчислений;

      (1.5) - зависимость государственной поддержки от объемов кредитования;

      (1.6) - уравнение динамики фондов (капитала) малого предприятия.

      Из  соотношений (1.2), (1.3) и (1.4) получим явное выражение для показателя чистой прибыли предприятия M(t).

            (1.8)

      Вводя обозначения 

      

 

      получаем  следующую линейную зависимость  M(t) от переменных A(t) и :

             (1.9)

      Подставив (1.9) в (1.6) и обозначив , получаем следующее линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

          (1.10)

      Решение линейного дифференциального уравнения (1.10) зависит от вида функций K(t), , , определяемых условиями кредитования.

      В качестве примера рассмотрим три  типовых схемы кредитования, различные  комбинации которых позволяют достаточно полно представить множество  условий предоставления кредитов малым  предприятиям в реальной экономической практике [2].

      В целях удобства сопоставления схем будем считать общим для них единый способ кредитования рассматриваемого малого предприятия – формирование «кредитной линии». При этом общий объем выделяемых кредитных ресурсов распределен в периоде [0,T] по некоторому известному закону K(t), отображаемому соответствующим классом функций (линейная или нелинейная зависимость), а схемы кредитования различаются условиями (механизмами) погашения долга:

• "воздушный шар" (в этой схеме период погашения долга приходится на конец периода кредитования, причем в этот момент предполагается либо единовременное погашение всей задолженности по кредиту, либо возврат только основного долга, но с процентными выплатами в течение всего срока кредитования);
• равномерное погашение (функция выплаты долговых обязательств имеет линейный характер);
• «кредитные каникулы» (выплата долговых обязательств начинается с некоторого момента интервала кредитования).

      Рассмотрим  процесс формирования «кредитной линии», то есть найдем величину потока кредитов K(t) для конкретного вида функции. Будем считать K(t) убывающей линейной функцией времени, заданной на интервале [0,T] и описывающей на этом интервале процесс равномерного распределения инвестиций объема . Данный вид зависимости является типичным, так как затраты начальных этапов большинства инвестиционных проектов обычно бывают наиболее капиталоемкими.

      Итак,

      где w₁ и w₂ параметры зависимости, определяемые из условий (1.11):

               (1.11)

      Отсюда

                

            

      Таким образом, получаем:

                

              

      Исследуем на периоде [0,T] процесс формирования кредитной задолженности D, которая определяется величиной начисленных процентов с непрерывными темпами роста r для кредитного потока K(t).

          (1.12)

      Вычислим  интеграл выражения (1.12) как алгебраическую сумму двух интегралов.

              

        

      Подставляя  результаты интегрирования в выражение (1.12), получим:

        (1.13)

      Рассмотрим  процесс погашения кредитной  задолженности по различным схемам кредитования. Введем соответствующий индекс номера кредитной схемы i = 1, 2, 3 и рассчитаем величины A_i(t). 

 

      

      2. Решение модели по схемам кредитования малого предприятия 

1. Схема «Воздушный шар» (i=1)

 

      Согласно  этой схеме кредитование осуществляется на всем периоде [0,T], а погашение всего долга осуществляется в конце срока кредитования, то есть в момент времени Т. В условиях относительно небольшой величины кредитов, предоставляемых обычно малым предприятиям (а, следовательно, и небольших процентов по ним), данная схема имеет достаточно широкое распространение в сфере малого бизнеса. Эта схема имеет две модификации:

• выплата процентов по долгу в течение периода кредитования;
• выплата процентов и основного долга общей суммой единовременно в момент окончания срока кредитования Т.

      Рассмотрим  первую модификацию, в соответствии с которой на интервале [0,T] в течение  срока кредитования основной долг не погашается, а осуществляются равномерно только процентные выплаты, включаемые в себестоимость; тогда

            (2.1)

      В этих условиях с учетом (2.1) основное уравнение динамики основных фондов, как решение дифференциального уравнения (1.10), примет вид:

         (2.2)

      где A₀ - начальное значение фондов;

       - параметр, определяющий эффективность предприятия и темп его роста.

      Вычислим  последовательно соответствующие интегралы:

          (2.3)

      где  

            (2.4)

      где  

      Подставляя (2.3) и (2.4) в соотношение (2.2) для A₁(t) получим следующее выражение:

        

      где 

      Обозначив , получим окончательно:

            (2.5)

      для tÎ[0,T].

      Соотношение (2.5) характеризует в рассматриваемом случае динамику малого предприятия как сумму экспоненциальной и линейной функций, параметры которых зависят как от внутренних, так и внешних управляющих переменных, входящих в и .

      Вторая  модификация схемы «воздушный шар» предполагает следующие условия  погашения долга:

             

             

      Иными словами, в соответствии со второй модификацией этой схемы, выплата процентов и  погашение основного долга производится в конце периода. Очевидно, что динамика основных фондов по второй модификации соответствует (с точностью до констант) динамике по первой модификации. Это означает, что в соотношении (2.5) при расчете константы для интервала [0,T] следует считать , а для момента времени T+0 следует положить .

      Таким образом, имеем:

          

         

2. Схема равномерного погашения кредита (i=2)

 

      По  этой схеме период кредитования и  период погашения долга совпадают, причем ежегодная сумма погашения  задолженности является постоянной. Данная схема является достаточно распространенной как среди малых, так и среди крупных предприятий.

      Пусть кредитная задолженность размером D, погашается равномерно так, что:

             

              

      Тогда, в соответствии с общим решением основного дифференциального уравнения (1.10), имеем для второй схемы погашения кредита:

         (2.6)

      Сопоставляя соотношения (2.6) и (2.2), убеждаемся в том, что формулы для расчета величин и различаются одним слагаемым, связанным с погашением основного долга , а именно:

            (2.7)

      Тогда (2.6) с учетом (2.5) и (2.7) примет вид:

          

      Раскрывая выражение для  согласно (2.5) и вводя новые обозначения для констант, получаем:

            (2.8)

      где 

      Таким образом, динамика основных фондов подчиняется  принципиально тем же закономерностям, что и для первой схемы. 

3. Схема «кредитных каникул» (i=3)

 

      Данная  схема рассматривается как одна из льгот, предоставляемых малым предприятиям. В течение срока кредитных каникул [0,q) погашение долга и процентов по нему не производится, а затем, в течение периода [q,T] осуществляется выплата задолженности, например, по схеме ее равномерного погашения. В данной схеме период погашения долга представляет собой значительную часть периода кредитования; при этом

              

             

              

             

      Можно видеть, что третья схема является комбинацией первой схемы (если рассматривать вторую ее модификацию) и второй схемы, причем точкой их «стыковки» является момент времени q. Сложность третьей схемы состоит в необходимости сопряжения указанных двух схем в точке q. Это означает, что константа интегрирования должна быть подобрана из условий равенства значений соответствующих функций и друг другу в точке q, что обеспечит непрерывность рассматриваемой зависимости .

      Очевидно, что для любого tÎ[0, q) будет выполнено

            (2.9)

      где

      Данное  выражение для  может быть получено из соотношения (2.32), в котором рассчитывается на отрезке [0,T].

      Для любого tÎ[0, q) выражение для определяется как решение уравнения (1.10), но с учетом других пределов интегрирования и новых начальных условий. Это означает, что по аналогии с соотношением (2.6), описывающим динамику основных фондов для схемы равномерного погашения долга, можно записать:

         (2.10)

      где tÎ[0, q) и c - константа интегрирования, соответствующая начальному значению основных фондов в точке q.

      Перейдем  к интервалу [q,T] и повторим ту же последовательность действий, которая была осуществлена ранее для расчета динамики основных фондов (см. соотношения (2.3)-(2.5)), и вычислим интеграл:

           (2.11)

      С учетом того, что:

              

     

      имеем:

        (2.12)

      где в соответствии с ранее сделанными обозначениями.

      Подставляя (2.12) в (2.10) и учитывая, что

           

      а также, что и

      получаем:

          (2.13)

      Приравнивая (2.13) и (2.10) для t=q, приходим к уравнению для определения константы c:

             

             

               (2.14)

      где