Картографические проекции

Введение

Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Научные основы картографии были заложены в Древней Греции (6—1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается  Гномоническая проекция, примененная Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли картографические проекции стали изобретаться и использоваться при составлении географических карт (Гиппарх, Птолемей и  др.). Значительный подъём картографии в 16 в., вызванный Великими географическими открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г.Меркатором, используется и в настоящее время. Развитие военной картографии и дальнейшее увеличение объёма топографических работ в 19 в. потребовали обеспечения математической основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей картографическим проекциям. Это привело К. Гаусса к разработке фундаментальной геодезической проекции. Наконец, в середине 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений проекций. Развитие теории картографических проекций в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов. Сегодня можно дать такое определение картографической проекции:

картографическая проекция – это  математически определенное отображение  поверхностей Земли на плоскость  карты.. Картографическая проекция является одной из составляющих математической основы карт.

Целью данной курсовой работы является изучение этой составляющей, одного из главных свойств географической карты. В связи с выявленной целью были поставлены следующие задачи курсовой работы:

• Изучить сущность картографических проекций.
• Выявить их классификацию по ряду признаков.
• Показать, что лежит в основе выбора картографических проекций и в чем заключается их распознавание.
• Изучить методы объяснения свойств картографических проекций.

При написании курсовой работы использовался метод изучения и анализа литературы и документов. Объектом исследования является, как уже говорилось выше, составляющая математической основы карты – картографическая проекция. Предмет исследования включает в себя классификацию, критерии выбора, распознавания картографических проекций, а так же их свойства.

Глава 1. Общие сведения о картографических проекциях

1. Понятие о форме и размерах Земли

Определение общего вида и размеров Земли – одна из основных научных задач геодезии, так как без знания размеров и формы нашей планеты нельзя точно определять на ее поверхности положение геодезических пунктов, являющихся геометрической основой топографических съемок и карт.

Необходимо помнить, что  при определении формы Земли принимается во внимание ее теоретическая поверхность, которая отличается от физической или топографической. Топографическая поверхность Земли – это поверхность земной коры на суше и на дне морей и океанов. За теоретическую поверхность Земли принимается поверхность спокойной воды Мирового океана, мысленно продолженная под материками. Фигура Земли, ограниченная этой поверхностью – геоид.

Поверхность геоида очень  сложна, поэтому в картографии  вместо нее пользуются поверхностью более простой геометрической фигуры – эллипсоида вращения, размеры  и форма которого очень близки к размерам и форме геоида. Такой эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг его малой оси, называется земным эллипсоидом. Полярный радиус земного эллипсоида (малая полуось b) короче экваториального радиуса (большая полуось а) на 21,5 км. (Рис.1)

Единых, общепринятых для всех стран размеров земного эллипсоида нет. В отдельных странах пользуются своими размерами эллипсоида. Земной эллипсоид, принятый в данной стране для геодезических работ и составления карт, называют референц-эллипсоидом [3].

В России  был принят референц-эллипсоид Ф.Н.Красовского, вычисленный в 1940 г. Его параметры таковы: большая  полуось (а) – 6 378 245 м; малая полуось (в) – 6 356 863 м; сжатие α = (а-в)/а – 1: 298,3 [1].

Рис.1 Земной эллипсоид.

Сжатием эллипсоида можно  пренебречь в следующих случаях:

1. При создании мелкомасштабных обзорных карт
2. Когда при заданных величинах искажений невозможно получить непосредственно проекцию эллипсоида на плоскости.

В этих случаях прибегают  к двойным преобразованиям:

Эллипсоид               Сфера               Плоскость

Переход от земной поверхности со всем ее рельефом к ее изображению  на карте в математическом отношении  состоит из трех самостоятельных  частей. Сначала все точки земной поверхности проектируют по нормалям на условную поверхность земного  эллипсоида (нормаль – прямая, пересекающая эту поверхность под прямым углом). Затем эллипсоид уменьшается в требуемом масштабе, при этом получается его модель – глобус. И, наконец, от поверхности глобуса осуществляется переход к плоскости. Первая часть всего этого перехода определяется геодезической основой карты и зависит, в частности, от размеров выбранного для проектирования на его поверхность земного эллипсоида и принятого его положения по отношению к поверхности Земли. Степень уменьшения эллипсоида определяется масштабом карты, точнее, ее главным масштабом. Переход от поверхности уменьшенной модели эллипсоида к плоскости определяется картографической проекцией. Геодезическая основа, масштаб и картографическая проекция являются математическими элементами карты и в совокупности составляют ее математическую основу [2].

1.2 Понятие картографической проекции

Картографическая проекция – это математически определенное отображение поверхности эллипсоида или шара (глобуса) на плоскость карты. Проекция устанавливает однозначное соответствие между геодезическими координатами точек (широтой В и долготой L) и их прямоугольными координатами (Х и Y) на карте. Уравнения проекций в общей форме могут быть выражены двумя уравнениями вида:

Х= ƒ₁ (B, L);  Y= ƒ₂ (B, L).

Конкретные реализации функций ƒ₁ и ƒ₂ часто выражены довольно сложными математическими зависимостями, их число бесконечно, следовательно, разнообразие картографических проекций практически неограниченно.

Исходная аксиома  при изыскании  любых картографических проекций состоит в том, что сферическую поверхность земного шара (эллипсоида, глобуса) нельзя развернуть на плоскость карты без искажений. То есть при изображении земной поверхности на плоскости нарушаются свойства изображения: равномасштабность, равоугольность, равновеликость; или часть их. Сохранение одних свойств может быть достигнуто лишь за счет нарушения других. Именно поэтому на карте возникает непостоянство масштабов длин и площадей.

Иногда искажения картографических проекций очень заметны, например очертания материков выглядят непривычно вытянутыми или сплющенными, а другие части изображения становятся раздутыми. Есть карты, на которых Гренландия больше Южной Америки, хотя, в действительности, она меньше ее в восемь с лишним раз. А Антарктида иногда вообще занимает весь юг карты. Искажаются не только размеры, но и формы объектов. В картографических проекциях могут присутствовать следующие виды  искажений:

• Искажения длин – вследствие этого масштаб карты непостоянен в разных точках и по разным направлениям, а длины линий и расстояния искажены;
• Искажения площадей – масштаб площадей в разных точках карты различен, что является прямым следствием искажений длин и нарушает размеры объектов;
• Искажения углов – углы между направлениями на карте искажены относительно тех же углов на местности;
• Искажения форм – фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что прямо связано с искажениями углов;

Любая бесконечно малая  окружность на шаре (эллипсоиде) предстает  на карте бесконечно малым эллипсом – его называют эллипсом искажений. Для наглядности вместо бесконечно малого эллипса обычно рассматривают эллипс конечных размеров (рис.2). Его размеры и форма отражают искажения длин, площадей и углов, ориентировка большой оси относительно меридиана и параллели – направление наибольшего растяжения. Большая ось эллипса искажений характеризует наибольшее растяжение в данной точке, а малая ось – наибольшее сжатие, отрезки вдоль меридиана и параллели соответственно характеризуют частные масштабы по меридиану m и параллели n. Для наглядного показа распределения искажений на картографической сетке, кроме эллипсов искажения, строят линии, соединяющие точки с одинаковыми значениями искажений углов или площадей, так называемые изоколы [1].

Рис. 2. Эллипс искажений и его элементы.

Глава 2. Классификация картографических проекций

2.1 Классификация проекций по характеру искажений

 По характеру искажений  все проекции делят на равноугольные, равновеликие и промежуточные.

Равноугольные проекции оставляют без искажений углы и формы контуров, показанных на карте (ранее такие проекции называли конформными). Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются (рис. 3в). Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на навигационных картах. Зато карты, составленные в равноугольных проекциях, имеют значительные искажения площадей, особенно карты больших территорий [5].

Равновеликие  проекции сохраняют пропорциональность площадей на карте соответствующим площадям на земной поверхности (сохраняют площади без искажений). Такие проекции удобны для измерения площадей объектов, однако, в них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно для больших территорий. Например, на карте мира (рис. 3а) приполярные области выглядят сильно сплющенными.

Среди произвольных проекций выделяют равнопромежуточные, в которых масштаб длин по одному из главных направлений постоянен и обычно равен главному масштабу карты. Соответственно различают проекции равнопромежуточные по меридианам – в них без искажений остается масштаб вдоль меридианов, и равнопромежуточные по параллелям – в них сохраняется постоянным масштаб вдоль параллелей. В таких проекциях присутствуют искажения площадей и углов, но они как бы уравновешиваются (рис 3б).

Произвольные проекции – это все  остальные виды проекций, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределение искажений, достигая как бы некоторого компромисса. Скажем, выбирают проекции с минимальными искажениями в центральной части карты, «сбрасывая» все сжатия и растяжения к краям [1].

Следует отметить, что нет и не может быть картографических проекций, в которых бы на картах совсем не искажались длины, а также формы фигур конечной величины. Это имеет место лишь на глобусе. Конечно, на картах, охватывающих небольшие территории, например на листах топографических карт, искажения всех видов (в том числе и длин и форм) крайне невелики и обычно практически не ощущаются [7].

Рис.3. Искажения в равновеликой(а), равнопромежуточной(б) и равноугольной(в) проекциях.

2.2 Классификация  проекций по виду нормальной  картографической сетки

Вспомогательными поверхностями  при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и  некоторые другие геометрические фигуры. Выделяют цилиндрические проекции - вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра, касательного к эллипсоиду, или секущего эллипсоид; конические - вспомогательной плоскостью является боковая поверхность касательного или секущего конуса; азимутальные - вспомогательная поверхность - касательная или секущая плоскость.

Цилиндрические  проекции – проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего  цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость (рис.4) Если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по параллелям), то проекция называется нормальной (прямой) цилиндрической. Тогда меридианы нормальной сетки предстают в виде равностоящих параллельных прямых, а параллели – в виде прямых, перпендикулярных к ним. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях.

Рис. 4. Построение картографической сетки в цилиндрической проекции.

Если ось цилиндра расположена в плоскости экватора, то это – поперечная цилиндрическая проекция. Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вывытянутые с севера на юг. В тех случаях, когда ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости экватора, проекция называется косой цилиндрической. Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.

Конические  проекции – поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхность касательного или секущего конуса, после чего она как разрезается по образующей и разворачивается в плоскость (рис.5). Как и в предыдущем случае, различают нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпадает с осью вращения Земли, поперечную коническую – ось конуса лежит в плоскости экватора и косую коническую – ось конуса наклонена к плоскости экватора.

В нормальной конической проекции меридианы представляют собой  прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели – дуги концентрических  окружностей. Воображаемый конус касается земного шара или сечет его в районе средних широт, поэтому в такой проекции удобнее всего картографировать территории России, Канады, США,  вытянутые с запада на восток в средних широтах [1].

Рис. 5. Построение сетки в равнопромежуточной конической проекции.

Азимутальные  проекции – поверхность земного шара (эллипсоида) переносится на касательную или секущую плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция (рис.6). Параллели в ней являются концентрическими окружностями, в меридианы – радиусами этих окружностей. Азимутальные проекции получаются путем проектирования поверхности земного шара на плоскость, касающуюся полюса или какой-либо другой точки экватора. В первом случае получаются полярные, во втором – экваториальные проекции. В экваториальных азимутальных проекциях средний меридиан и экватор, на пересечении которых лежит точка касания, изображаются взаимно перпендикулярными прямыми, остальные меридианы и параллели – кривые линии. Два крайних меридиана полушария образуют одну окружность. Если плоскость проекции перпендикулярна к плоскости экватора, то получается поперечная (экваториальная) азимутальная проекция. А если проектирование выполнено на касательную или секущую вспомогательную плоскость, находящуюся под любым углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция. В этих проекциях обычно составляют карты полушарий, картографируют полярные области нашей и других планет. Азимутальные проекции могут быть равноугольными и равновеликими.

Рис. 6. Построение картографической сетки в азимутальной проекции.

Можно сказать, что азимутальные проекции являются предельным случаем конических, когда угол при вершине конуса принимается равным 180°.

Среди азимутальных проекций выделяют несколько их разновидностей, различающихся по положению точки, из которой ведется проектирование шара на плоскость.

По положению точки  проектирования относительно шара (эллипсоида) выделяют следующие разновидности азимутальных проекций:

Если точка находится в центре шара – гномоническая проекция; точка на противоположном конце диаметра – стереографическая; точка за пределами шара на продолжении диаметра – внешняя проекция; точка в бесконечности – ортографическая проекция.

Условные проекции – проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. В частности, к ним принадлежат псевдоцилиндрические, псведоконические, псведоазимутальные и другие проекции, полученные путем преобразования одной или нескольких исходных проекций.

Псевдоцилиндрические  проекции – проекции, в которых параллели – прямые линии (как и в нормальных цилиндрических проекциях), средний меридиан – перпендикулярная им прямая, а остальные меридианы – кривые, увеличивающие свою кривизну по мере удаления от среднего меридиана. Чаще всего эти проекции применяют для карт мира и Тихого океана.

Псевдоконические проекции – такие, в которых все параллели изображаются дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан – прямая линия, а остальные меридианы – кривые, причем кривизна их возрастает с удалением от среднего меридиана. Применяются для карт России, Евразии, других материков.

Поликонические  проекции – проекции, получаемые в результате проектирования шара (эллипсоида) на множество конусов. В нормальных поликонических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы- кривые, симметричные относительно прямого среднего меридиана. Чаще всего эти проекции применяются для карт мира.

Псевдоазимутальные  проекции – видоизмененные азимутальные проекции. В полярных псевдоазимутальных проекциях параллели представляют собой концентрические окружности, а меридианы – кривые линии, симметричные относительно одного или двух прямых меридианов. Поперечные и косые псведоазимутальные проекции имеют общую овальную форму и обычно применяются для карт Атлантического океана или Атлантического океана вместе  с Сверенным Ледовитым.

Многогранные  проекции - проекции, получаемые путем проектирования шара (эллипсоида) на поверхность касательного или секущего многогранника. Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольник, квадрат, ромб). Разновидностью многогранных являются многополосные проекции ,причем полосы могут «нарезаться» и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Рамка каждого листа ,составленного в многогранной проекции представляет собой трапецию, образованную линиями меридианов и параллелей. За это приходится «расплачиваться» - блок лисов карт нельзя совместить по общим рамкам без разрывов.

Топографические карты в России создают в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера. Сущность ее заключается в том, что, во-первых, осуществляется проектирование поверхности земного эллипсоида на боковую поверхность цилиндра. Проектирование осуществляется по зонам, имеющим протяженность 6° долготы. Во-вторых, цилиндр разрезается по образующей, и зона становится плоским двуугольником [4].

Надо отметить, что  в наши дни для получения картографических проекций не пользуются вспомогательными поверхностями. Никто не помещает шар в цилиндр и не надевает на него конус. Это всего лишь геометрическое аналогии, позволяющие понять геометрическую суть проекции. Изыскание проекций выполняют аналитически. Компьютерное моделирование позволяет достаточно быстро рассчитать любую проекцию с заданными параметрами, автоматические графопостроители легко вычерчивают соответствующую сетку меридианов и параллелей, а при необходимости – и карту изокл.

Существуют специальные  атласы проекций, позволяющие подобрать  нужную проекцию для любой территории. В последнее время созданы  электронные атласы проекций, с помощью  которых легко отыскать походящую  сетку, сразу оценить ее свойства, а при необходимости провести в интерактивном режиме те или иные модификации или преобразования [1].

Глава 3. Выбор  и распознавание картографических проекций.

3.1 Выбор проекций

На выбор проекций  влияет много факторов, которые можно сгруппировать следующим образом:

• Географические особенности картографируемой территории, ее положение на земном шаре, размеры и конфигурация;
• Назначение, масштаб и тематика карты, предполагаемый круг потребителей;
• Условия и способы использования карты, задачи, которые будут решаться по ней, требования к точности результатов измерений;
• Особенности самой проекции – искажения длин, площадей, углов и их распределение по территории, форма меридианов и параллелей, их симметричность, изображение полюсов, кривизна линий кратчайшего расстояния.

Первые три группы факторов задаются изначально, четвертая  – зависит от них. Значимость названных  факторов может быть различной, возможны любые их комбинации, следовательно, и разные варианты проекций, тем более что выбор очень велик. Но все же можно указать некоторые предпочтительные и наиболее традиционные проекции.

Карты мира обычно составляют в цилиндрических,  псевдоцилиндрических и поликонических проекциях. Для уменьшения искажений часто используют секущие цилиндры, а псевдоцилиндрические проекции иногда дают с разрывами на океанах.

Карты полушарий всегда строят в азимутальных проекциях. Для западного и восточного полушарий естественно брать поперечные (экваториальные), для северного и южного полушарий – нормальные (полярные), а в других случаях (например, для материкового и океанического полушарий) – косые азимутальные.

Карты материков: Европы, Азии, Северной и Южной Америки, Австралии с Океанией чаще всего строят в равновеликих косых азимутальных проекциях, для Африки берут поперечные, а для Антарктиды – нормальные азимутальные проекции.

Карты России в целом составляют чаще всего в нормальных конических равнопромежуточных проекциях с секущим конусом, но в некоторых особых случаях – в поликонических, произвольных и др.

Карты отдельных  стран, административных областей, провинций, штатов выполняют в косых равноугольных и равновеликих конических или азимутальных проекциях, но многое зависит от конфигурации территории и ее положения на земном шаре. Для небольших районов задача выбора проекции теряет актуальность, можно использовать разные равноугольные проекции, имея в виду, что искажения площадей на малых территориях почти неощутимы.

Топографические карты в России создают в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса-Крюгера, а в США и многих западных странах – в универсальной поперечно-цилиндрической проекции Меркатора (сокращенно UTM). Обе проекции близки по своим свойствам, и та и другая по существу являются многополосными.

 Морские и аэронавигационные карты всегда создаются в цилиндрической проекции Меркатора, а тематические карты морей и океанов – в самых разнообразных, иногда довольно сложных проекциях.

В любом случае при  выборе проекции,  в особенности  для тематических карт, следует иметь в виду, что обычно искажения на карте минимальны в центре и быстро возрастают к краям. Кроме того, чем мельче масштаб карты и обширнее пространственный охват, тем больше внимания приходится уделять «математическим» факторам выбора проекции, и наоборот – для малых территорий и крупных масштабов более существенным становится географические факторы [6].

3.2 Распознавание картографических проекций

Распознать проекцию, в которой составлена карта, - значит, установить ее название, определить принадлежность к тому или иному виду, классу. В ряде случаев по карте бывает нужно определить те или иные количественные характеристики для изображенных на ней объектов. При этом имеющиеся на карте искажения усложняют решение таких задач. Чтобы решить их, надо установить название проекции каждой карты, обычно содержащее и указание на группу,  к которой она относится. В другом случае может потребоваться измерить, например, на карте площадь какой-либо области, или острова. Для этого необходимо знать, во сколько раз масштаб площадей в этом месте карты больше главного масштаба площадей. Чтобы выяснить это, надо воспользоваться макетом карты с изоклами масштаба площадей p или таблицами искажений для данной карты. Однако, найти нужный макет с изоклами, можно лишь зная название проекции, в которой составлена карта. Следовательно, сначала может понадобиться определить проекцию карты. В третьем случае может понадобиться определить по карте какой из двух сопоставляемых объектов больше и во сколько раз, но опять же неизвестно, в каком масштабе площадей каждый из них изображается и какую поправку надо внести в изображенную на карте площадь каждого из этих объектов, чтобы привести их к одному  масштабу площадей. Решить эту задачу также возможно только при известном названии проекции. Итак, чтобы решать по карте указанные и другие аналогичные задачи, надо, прежде всего, определить проекцию, в которой она построена. Определение или распознание картографических проекций – это установление их названия или принадлежности к определенной группе или классу на основе тех или иных признаков картографической сетки. Существуют два основных типа таких признаков: 1) какой вид имеют на карте меридианы и параллели и под какими углами они встречаются или расходятся и 2) как в пределах карты изменяется длина дуг меридианов между параллелями или параллелей между меридианами или же каково соотношение этих дуг в двух разных частях карты. Надо иметь в виду, однако, что указанные выше признаки достаточно хорошо различаются лишь на карах больших территорий.

Некоторые нормальные проекции сразу распознаются по виду меридианов и параллелей. Но даже опытный картограф не сразу распознает многие произвольные проекции, потребуется специальные измерения по карте, чтобы выявить их равоугольность, равновеликость или равнопромежуточность по одному из направлений.

По некоторым признакам  картографической сетки иногда можно  установить, что проекция карты не относится к группе равновеликих или к группе равноугольных. Если, например, ясно видно, что клетки, образуемые двумя соседними параллелями и рядом пересекающих их меридианов, не равны по площади друг другу, то проекция карты не является равновеликой. Точно так же если видно, что клетки, образуемые двумя соседними меридианами и рядом пересекающих их параллелей, с увеличением широты по площади не уменьшаются, а остаются такими же или даже увеличиваются, то проекция карты тоже не относится к группе равновеликих. Если видно, что меридианы и параллели хотя бы в каких-то местах карты пересекаются не под прямым углом, то карта построена не в равноугольной проекции. Но если они даже в пределах всей кары пересекаются под прямыми углами, то это еще не означает, что проекция карты является равноугольной.

Также чтобы выяснить, является ли дугой окружности данная параллель или меридиан, можно на прозрачной бумаге отметить три точки этой линии, а затем, смещая вдоль нее бумагу, установить, остаются ли все три точки на линии или нет. Если они остаются на линии и при том в любом месте, то она является дугой окружности.

Определяя проекцию карты  материка при использовании признака, «как изменяются расстояния между соседними параллелями при удалении от среднего меридиана», целесообразно сравнивать это расстояние на среднем меридиане, прежде всего с расстоянием между теми же параллелями у края карты. Причем делать это лучше в той части карты, которая лежит ближе к полюсу, где в рамку карты попадают меридианы, стоящие дальше от среднего. Само расстояние следует брать перпендикулярно параллелям.

Точно средняя по широте параллель материка на карте обычно не изображается. Поэтому при распознавании проекции карты, используя признак, «как изменяется длина дуги средней параллели между соседними меридианами…», следует сравнивать длины изображаемой территории. Например, для карт Евразии или Северной Америки можно взять для этого параллель 40 или 50° с.ш. Само сравнение длин дуг меридианов или параллелей удобно вести с помощью циркуля-измерителя [2].

Существуют специальные  таблицы-определители проекций для  карт мира, полушарий, материков и  океанов (приложение 1). Проведя необходимые измерения по сетке, можно отыскать в такой таблице название проекции. Это даст представление о ее свойствах, позволит оценить возможности количественных определений по данной карте, выбрать соответствующую карту с изоколами для внесения поправок [1].