Комплексная электропроводность металлов. Диэлектрическая проницаемость металлов

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Металлы занимают особое положение в физике твердого тела, обнаруживая ряд поразительных  свойств, отсутствующих у других твердых тел.

Хорошо известно, что металлы — хорошие проводники электрического тока. Причина этого заключается в том, что внешние электронные оболочки атомов, составляющих металл, в значительной степени перекрываются. Поэтому электроны этих оболочек (валентные электроны) легко перемещаются от одного атома к другому, так что даже нельзя сказать, какому атому они в действительности принадлежат. Такая коллективизация внешних электронов приводит к возникновению большой энергии связи металлов и объясняет их специфические механические свойства. Что касается внутренних электронных оболочек, то, ввиду малости их перекрытия, их можно считать примерно такими же, как и в изолированных атомах.

Таким образом, металл представляет собой кристаллическую решетку  из положительных ионов, в которую  «налиты» коллективизированные электроны валентных оболочек. Они называются также электронами проводимости или «свободными» электронами. В действительности эти электроны сильно взаимодействуют между собой и с ионами решетки, причем потенциальная энергия этих взаимодействий порядка кинетической энергии электронов.

 

 

1 ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ.

Ещё задолго до открытия электронов было экспериментально показано, что прохождение тока в металлах не связано, в отличие от тока в  жидких электролитах, с переносом  вещества металла. Опыт состоял в  том, что через контакт двух различных  металлов, например золота и серебра, в течение времени, исчисляемого многими месяцами, пропускался постоянный электрический ток. После этого  исследовался материал вблизи контактов. Было показано, что никакого переноса вещества через границу не наблюдается  и вещество по различные стороны  границы раздела имеет тот  же состав, что и до пропускания  тока. Эти опыты показали, что  атомы и молекулы металлов не принимают  участия в переносе электрического тока, но они не ответили на вопрос о  природе носителей заряда в металлах.

Электри́ческая проводи́мость (электропроводность) — способность тела проводить электрический ток, а также физическая величина, характеризующая эту способность и обратная электрическому сопротивлению. В СИ единицей измерения электрической проводимости является сименс.

Оптические свойства металлов описываются комплексной диэлектрической  проницаемостью

В  линейном  приближении,  справедливом,  когда  амплитудное  значение

напряженности  электрического  поля E    в  падающей  на  вещество  электромагнитной волне мало по сравнению с локальными внутренними электрическими полями в среде, взаимодействие электромагнитных волн с  веществом  может  быть  описано  небольшим  числом  параметров.

 

2 КОМПЛЕКСНАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ В ТЕОРИИ ДРУДЕ

 

2.1 Теория металлов Друде.

 

Начнем рассматривать  классическую теорию металлов Друде с элементарного рисунка, который бы отражал те явления и законы, которые используются для количественного описания тех или иных параметров теории.

В предисловии следует  отметить, что теория Друде создавалась  автором в тот период развития физики, когда уже экспериментально было изучено такое явление, как  электрический ток. Друде предложил свою теорию металлов всего через три года как английским физиком Джозефом Джоном Томсоном был открыт электрон в 1897 год и в 1898 году определен его электрический заряд. Поэтому у немецкого физика Пауля Друде были самые новейшие данные о природе электричества и, в частности, - частице, обуславливающей процесс электропереноса заряда - электрона. Используя достаточно хорошо изученную в тому времени теорию газов, а также явления электропроводимости газов, полученные несколько раньше Томсоном, Друде применил теорию газов к описанию процессов, происходящих в металлах.

Рассмотри элементарную модель, положенную в основу модели металлов Друде, рис. 1

 

Рис.1 Элементарная модель металлов Друде.

 

Друде предположил, что компенсирующий положительный заряд принадлежит гораздо более тяжелым частицам, которые он считал неподвижными. В то время, еще не понимали точно, почему в металле имеются подобные легкие подвижные электроны и более тяжелые неподвижные положительно заряженные ионы.

Основные предположения  теории Друде:

1. В интервале между столкновениями, электрон считается классической свободной частицей, не взаимодействующей с положительными частицами. Согласно классической механике, электрон будет двигаться прямолинейно, если на него не действует больше никаких сил (см рис. 1).

2. При отсутствии внешнего электрического поля, обуславливающего процесс электропереноса, скорости электронов распределены в объеме хаотически по величине и направлению, как и в классическом газе, хотя и подчиняются при этом статистической модели Максвела- Больцмана. Электрический ток при этом отсутствует.

3. При наличии внешнего электрического поля оно действует только на способные к перемещению частицы -  электроны.  Частицы заряженные положительно остаются неподвижными. При этом в хаотическом движении электронов начинает проявляться некоторое упорядочение. Оно проявляется в том, что появляется обусловленное направлением и величиной внешнего электрического поля направление, имеющее некоторые статистические преимущества перед остальными направле-ниями. Вдоль этого направления наблюдается избыточное движение электронов, т.е. наблюдается процесс прохождения электрического тока.

 

2.2 Статическая проводимость.

 

Рассмотрим реакцию металла  на внешнее воздействие, представляющее собой постоянное электрическое  поле. Величина, связывающее внешнее воздействие - электрическое поле Ē с реакцией на это воздействие - электрическим током ̅j, является электропроводность металла σ₀:

̅j= σ₀Ē.                                                 (1.1)

Величина электропроводности является величиной, обратной удельному сопротивлению  металла ρ0:

                                          (1.2)

Следует помнить что соотношение (1.1) выполняется для небольших плотностей тока, т.е. когда электропроводность не зависит от напряженности электрического поля. Случай больших плотностей тока и соответствующих этому нелинейных эффектов  не рассматривается в модели Друде.

Определим теперь величину плотности тока ̅j через образец на (рисунок 2) как поток заряда, пересекающий единицу площади в направлении поля за единицу времени:

 

                                           (1.3)

где e - заряд электрона; n₀ - концентрация электронов в единице объема; - средняя скорость движения электронов.

Рисунок 2 - К определению удельной электропроводности металлов

 

Когда электрическое поле Ē отсутсвует, средняя скорость движения электронов ̅V обращается в нуль. При этом электрический ток через образец ̅j  будет равен нулю.

В случае, когда электрическое  поле ̅Ē≠0, средняя скорость электронов уже будет отлична от нуля, т.е. в образце в соответствии с формулой (1.3) потечет ток. Рассчитаем его величину в соответствии с моделью Друде.

Зафиксируем какой-либо момент времени t₀ и начнем в этот момент

времени наблюдать за скоростью  одного из электронов. При этом в  момент времени t₀ скорость электрона можно записать как ̅V₀, Через некоторое время dt<τ скорость электрона изменится. Это обусловлено тем, что в течение времени dt электрон двигается под действием силы, обусловленной наличием электрическим полем Ē:

                                                     (1.4)

Электрон двигается равноускоренно по законам классической механики:

                   (1.5 )

где m_e - масса свободного электрона (m_e = 9,1*10^-31 кг).

 Пирост скорости за время dt будет равен                Суммарная скорость

электрона с учетом его начальной  скорости        будет равна:

(1.6)

Если усреднить полученный результат  по всем электронам получиться:

                                                                                                             (1.7)

Подставим полученный результат (1.7) в соотношение (1.3):

                                                       …                             (1.8)

 

Учтем соотношение (1.2) и получим:

 

 

Данная формула входит в закон  Ома и определяет велечину статической электропроводности металлов в соответствии с моделью металлов Друде.

2.3Температурная зависимость электропроводности в модели Друде

Для оценки температурной зависимости  электропроводности воспользуемся формулой (1.9)

 

Поскольку m_e и e от температуры зависеть не могут (это физические константы), то ответ будем искать в температурной зависимости n и τ .

Строго подходя к решению  этой задачи, следует учитывать изменение  n по следующим причинам. В соответствии с n является функцией плотности металла ρ,. С увеличением температуры плотность вещества, как правило, уменьшается. Однако коэффициент линейного расширения металлов находится на уровне (1-4)10^-5К^-1. Следовательно, нагрев металла от 300 К (комнатная температура) до 600 К (до 300°С) изменяет линейные размеры металлов примерно на 0,01%, что крайне незначительно. По этой причине можно считать, что N независимая величина.

Изменение валентности металлов также  не может быть привлечено для объяснения температурной зависимости электропроводности металлов.

Общим для всех металлов является следующий подход. Время релаксации τ определяется следующим соотношением:

                                                    (1.10)

Величина была определена  следующим образом:

            .                                                (1.11)

Подставляя это значение для  в выражение (1.10) для τ, а последнее в соотношение (1.9), получаем в явном виде температурную зависимость электропроводности:

=A/(1.12)

  где A - от температуры не зависит.

Таблица 2

10-6 См	Li	Ag	Cu	Zn	Al	In	Pb
σ0, Т = 273К	11,69	66,22	64,1	18,18	40,81	12,5	5,26
σ0 эксп , Т = 77К	96,1	313,3	100	55,5	333,3	55,5	21,27
σ0 расх , Т = 77К	22,02	124,53	120,4	31,13	76,92	23,4	9,90
σ0 эксп , Т = 373К	12.4	46,9	46,94	12,82	28,1	81,19	3,7
σ0 расх , Т = 373К	10,01	56,4	54,9	15,55	34,96	10,69	4,5

Таким образом, теория Друде предсказывает уменьшение порводимости металлов с ростом температуры, причем σ₀ убывает обратно пропорционально корню квадратному из температуры. В качестве примера, иллюстрирующего точность предсказаний величины σ₀ в диапазоне температур. Здесь приведены экспериментальные и рассчитанные по теории Друде величины  причем за базу приняты значения удельных сопротивлений 273 К (нуль градусов по шкале Цельсия), см. рисунок 3 и данные таблицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3. – Теорретическая и экспериментальная зависимости от температуры σ₀ для Cu.

Обращает на себя внимание то, что модель Друде предсказывает более сильную зависимость проводимости от температуры, чем экспериментальная. При этом эксперимент указывает, как правило, на линейную зависимость удельного сопротивления меди σ₀ от температуры.

2.4 Уравнение движения  электронного газа в модели  Друде

Движение любого материального  тела подчиняется закону сохранения энергии и импульса. При этом для  электрона величина энергий Е_кин связана с величиной импульса следующим соотношением:

                                                                                                         

                                                                                                                 (1.12)

Через величину и направление импульса (t) определяем плотность тока (t)

(1.13)

Значит, зная велечину импульса электрона (t) в любой момень времени можно узнать велечину его энергии, а также велечину и направление тока через образец.

Зафиксируем произвольный момент времени t: этому времени отвечает импульс электрона (t). Через некоторый промежуток времени dt << τ, dt→0 импульс электрона за счет действия внешних сил изменится на некоторую величину. Поэтому в момент времени t + dt величина импульса будет равна (t + dt). Определим (t + dt) с учетом того, что процесс столкновения с ионами является вероятностным процессом.

За интервал времени от t до t + dt вероятность того, что электрон испытает столкновение с ионом, будет равна:

(1.14)

Следовательно, к моменту времени t + dt электрон не столкнется с ионом и будет продолжать двигаться под действием внешних сил с вероятностью:

(1.15)

 

поскольку W₁ + W₂ = 1  достоверное событие.

Двигаясь в течение времени dt без столкновений, электрон приобретет дополнительный импульс

(1.16)

В этой записи учтено, что электрон в модели Друде нерелятивистский и поэтому в процессе движения его масса постоянно Кроме этого, наличие неизменной в пространстве силы (t) дает возможность записать d(Ft) = (t)dt имея в виду под силой (t) среднюю внешнюю силу, действующую на электрон.

Таким образом, к моменту времени  t+dt величина среднего импульса может достичь величины:

(t + dt) = (t) + d = (t) + (t )dt.                        (1.17)

С учетом вероятностного характера изменения импульса величина среднего импульса электрона к моменту времени t + dt будет равна:

 

.                    (1.18)

                                                                             

Перенеся в соотношении (1.18) (t) в левую часть и разделив обе части (1.18) на dt+0, получим:

.                 (1.19)

 

 Учитывая вклад в величину среднего импульса электрона той его величины, которая обусловлена электронами, испытавшими за время меньшее чем dt столкновение ионами. Следует отметить, что доля таких электронов в общем их количестве равна при dt<<τ ею можно пренебречь. Кроме того, если за время dt'<dt электрон все же испытает столкновение, то вклад величину импульса к моменту t+dt' не будет превышать величины (t)dt. Следовательно, дополнительная добавка в соотношении (1.18) будет порядка:

.                           (1.20)

 

        Поэтому в итоговом состоянии (1.18) эта величина также не появится:

(1.21)

 

 

Сравним соотношения (1.16) и (1.19)

(1.22)

 

Первое из этих соотношений – уравнение движения свободного электрона, не испытывающего столкновений (второй закон Ньютона). Второе же уравнение содержит член          учитывающий “трение”

 

электронов за счет их столкновения. Именно наличие этого члена ограничивает кинетические свойства электронов в модели Друде и приводит к отличному от нуля удельному сопротивлению металлов а также появлению понятия «диэлектрическая проницаемость металлов».

 

2.5 Высокочастотная электропроводность и

диэлектрическая проницаемость  металлов.

 

Будем рассматривать воздействие  на металл синусоидальное переменное электрическое поле Запишем поле в следующем виде:

 

E(t)=E(ω)cosωt или E(t)=E(ω)sinωt,                      (1.23)

Где E(ω) – амплитуда электрического поля E(t) зависящая от частоты ω.Но более удобной формой записи будет комплексная форма записи:

                                   (1.24)

С учетом (1.23) и того что (t) = -(t), кинетическое уравнение движения электрона (1.18) примет вид:

(1.25)

Для нахождения явного вида (t), являющегося решением уравнения (1.24), будем искать (t) в виде:

(t)=(ω).                                           (1.26)

Определим фикцию путем дифференцирования (1.27):

(1.27)

Подставим (1.26) и (1.27) в (1.25):

 

   .               (1.28)

 

Произведя сокращения на левой и правой частей соотношения (1.28) и произведя перегруппировку членов, получим следующий результат:

 

(1.29)

 

С использованием соотношения (1.11), из (1.29) получим:

 

(1.30)

 

Так как коэффициентом, связывающем физические величины и , является электропроводность σ  (1.1), то, вводя понятие комплексной электропроводности σ* с учетом (1.9), получим

σ*=σ'+іσ",                                         (1.31)

где

 ;                                   (1.32)

соответственно действительная и  мнимая части электропроводности металлов.

2.6 Частотная зависимость комплексной

электропроводности  металлов.

 

Проанализируем рисунок 4, на котором изображена частотная зависимость σ' и σ'' в соответствии с соотношениями (1.32).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4 - Частотная зависимость компонентов комплексной

электропроводности металлов σ' и σ''

 

На частотах ω˂˂τ^-1 велечина ωτ и особенно ω²τ² гораздо меньше 1, поэтому ими можно пренебречь. В связи с этим в области низких частот σ' = σ₀ и σ'' = 0 и от частоты не зависят.

При ωτ = 1 значение σ' становится равным 0,5 σ₀ и при дальнейшем увеличении частоты уменьшается по закону ω^-2, и стремится в пределе к нулевому значению; σ' = σ₀ ω^-2τ^-2 при ω˂˂τ^-1 , так как единицей в знаменателе соотношений (1.31) по сравнению с ω²τ² можно пренебречь.

Сопротивление металлов по модели Друде практически не меняется и является действительной величиной до частот порядка τ^-1

При ω<τ ^-1 электропроводность уменьшается.

Величина ω~τ^-1 соответствует ИК, видимому и ближнему ультрафиолетовому диапазону электромагнитных волн, что является очень важным аспектом в вопросах изучения твердых тел, а не только металлов.

 

2.7 Оптические свойства металлов.

Диэлектрическая проницаемость  металлов.

 

Как видно из рисунка 4 численное  значение σ'' при росте ω возрастает пропорционально ω и  достигает максимума при ω=τ^-1. Значение = 0,5 σ₀. При дальнейшем увеличении ω σ" уменьшается и при ω>> τ^-1. σ"σ₀ (ωτ)^-1, т.е. убывает медленнее, чем σ', оставаясь все время больше σ',  σ" так же, как и σ' в пределе стремится к нулю при ω→∞.

Рассмотрим, мнимую часть электропроводности σ". Так как фаза σ'' опережает  фазу σ' на (это выражается тем что перед значением σ'' в соотношении (1.31) стоит + i то, если σ' носит активный характер, то σ" - емкостный. Поэтому σ" следует трактовать как емкостную электропроводность металла по аналогии  терминологии теории электрических цепей:

(1.33)

 

где ԑ_r - относительная диэлектрическая проницаемость материала (ее действительная часть), а ԑ₀ = 8,85 х 10^-12 Ф/м - диэлектрическая постоянная (вакуума).

Если сравнивать (1.32) и величину σ' в соотношении (1.31), можно записать:

.                                         (1.34)

 

Следует помнить, что соотношение(1.32) имеет смысл в области частот ω=τ^-1 В соответствии с уравнением Максвелла:

                   (1.34)

Коэффициент оптического преломления  n зависит от величины диэлектрической проницаемости материала ԑ_r , и величина его магнитной проницаемости μ_r. Если положить что μ_r = 1 т.е. материал немагнитный, то n=; n²= ԑ_r.

С учетом соотношения (1.34) можно сделать вывод, что в области частот ω=τ^-1 металлы обладают конечным значением n, а следовательно, становятся частично прозрачными для электромагнитного излучения и тем самым в совокупности с уменьшением σ' теряют металлические свойства и приобретает свойства диэлектриков.То есть, в области частот видимого диапазона а особенно ультрафиолетового, между металлами и диэлектриками разница исчезает (рисунок 4).

Этот вывод, который следует  из анализа теории металлов Друде, имеет в настоящее время большое практическое значение. Оптические свойства металлов, связанные с комплексным характером их проводимости явились базой для развития нового научного направления в области естественных наук – металлооптики.

 

 

3 ОПТИКА МЕТАЛЛОВ

В ИК- и видимой области оптического диапазона металлы сильно отражают падающее излучение характерный металлический блеск. Это объясняется преимущественным рассеянием света при его взаимодействии со свободными электронами, концентрация которых достигает в металлах 10²²-10²³ см^-3. Электроны излучают в процессе рассеяния вторичные волны, которые при сложении формируют сильную отраженную волну. Поглощение квантов света непосредственно электронами проводимости возможно только при их одновременных столкновениях с фононами, примесями, друг с другом, поверхностью металла, границами зерен и кристаллитов. Столкновения и формирование из рассеянного света отраженной волны происходит в тонком приповерхностном слое (скин-слой толщиной σ_s<<1мкм), в котором затухает проникающее в металл излучение.

Роль свободных электронов во взаимодействии электромагнитного излучения с металлами является определяющей в широком диапазоне частот.

В результате такого влияния оптические и электрические свойства металлов взаимосвязаны: чем больше статическая проводимость металла, тем сильнее он отражает свет. Отклонения возникают при низких температурах и на высоких частотах (видимая область спектра), когда важную роль играют квантовые эффекты, связанные с электронным рассеянием, межзонными переходами и др. В УФ- и более коротковолновом диапазонах с излучением взаимодействуют электроны внутренних оболочек атомов, например, в рентгеновской области спектра металлы уже не отличаются от диэлектриков по оптическим свойствам.

3.1Распространение электромагнитных волн в проводящих средах. Основные уравнения оптики металлов

Распространение электромагнитных волн в однородной и изотропной среде, обладающей проводимостью, можно исследовать  с помощью уравнений Максвелла 

 

                                              (2.1)

,                                                (2.2)

                                              (2.3)

 

с учетом материальных соотношений ,. Так же необходимо учесть, что внутри однородного проводника электрическое поле отсутствует. В этом легко убедиться, применив к уравнению (2.2) операцию дивергенции (div):

.                         (2.4)

 

  Отсюда, получим:

=0.                                                (2.5)

 

Решение этого уравнения имеет  вид:

(2.6)

Объемная плотность заряда убывает  с течением времени по экспоненциальному закону. Величина τ_e =ԑ/σ определяет тот промежуток времени, который необходим для установления электростатического равновесия. Чем больше электропроводность, тем быстрее пройдет этот процесс. Причем условие div=0 означает, что внутри однородного проводника могут распространяться только поперечные плоские электромагнитные волны. Следовательно, уравнения:

 

 

 

 

при div= 0 описывают всю оптику токопроводящих сред. Эти уравнения запишем в виде:

(

(2.8)

 Уравнения (2.7) и (2.8) называются телеграфными уравнениями. Решения этих уравнений будем искать в виде:

(2.9)

(2.10)

Решив уравнения (2.9) и (2.10) получим следующие соотношения принимая во внимание закон Ома в дифференциальной форме (1.1):

(2.11)

(2.12)

 

Эти уравнения отличаются от соответствующих  уравнений в диэлектриках тем, что в первом из них множитель ωμ₀ԑ₀ заменен множителем ωμ(ԑ-іσ/ω) а остальные члены уравнения остаются неизменными. Иначе говоря, если в уравнениях Максвелла для диэлектриков заменить диэлектрическую проницаемость ԑ комплексной диэлектрической проницаемостью:

 ԑ-іσ/ω,                                             (2.13)

то получим уравнения для  проводящих сред.

Представим в комплексной форме волновое число. Известно, что в диэлектрической среде между волновым числом к(ω), частотой ω и диэлектрической проницаемостью существует дисперсионное отношение:

,                              (2.14)

Для проводящей среды волновое число  следует заменить комплексным волновым числом.

к² (ω) = ω² ԑμ- iωσμ = (к(ω) — iк_i )² .                (2.15)

Поделив действительные и мнимые части комплексного волнового числа, получим:

(2.16)

 

 

 

Если считать волновые числа в (2.9), (2.10)

комплексными, рассмотрим случай когда электромагнитная волна распространяется вдоль оси х то:

(2.17)

Из (2.10) следует, что по мере проникновения  в глубь проводника фазы векторов и изменяются линейно, а их амплитуды убывают по экспоненциальному закону. Поэтому основная часть электрического поля сосредоточена у поверхности проводника (в скин-слое), толщина которого равна δ_s=1/к_i. Электропроводность металлов велика, поэтому для оптического диапазона можно считать σ/ԑ_rԑ₀ω≈σ/ԑω>>1, следовательно, в (2.16) можно пренебречь единицей. Выражение для δ_s примет вид:

 .                                            (2.18)

Формула (2.11) тем точнее, чем больше частота электромагнитной волны (УФ область спектра). Выразим величину к_i=1/δ_s через плазменную частоту ω_p:

    (2.19)

на практике обычно μ_r≈1, поэтому:

                                      (2.20)

Величина δ_s не зависит от магнитных свойств металла. Для диа- и парамагнетиков μ_r мало отличается от единицы. Значительно отличаются от единицы значения μ_r лишь у ферромагнитных материалов. Однако намагниченность ферромагнетиков инерционна: в переменном поле электромагнитной волны она не успевает изменяться синхронно с полем. Такое рассогласование приводит к тому, что, в отличие от стационарных полей, в перемененном электромагнитном поле намагниченность ферромагнетика в среднем оказывается незначительной, так что соответствующие этой намагниченности значения μ_r не очень отличаются от единицы.

 

3.2 Соотношения Крамерса-Кронига.

Действительная и мнимая части  и комплексной диэлектрической  проницаемости, и комплексного показателя преломления (оптические постоянные) не являются независимыми друг от друга. Наиболее общее описание внутренней взаимосвязи между ними в широком  интервале частот дается интегральными  соотношениями Крамерса-Кронига. Существуют четыре соотношения Крамерса-Кронига для оптических постоянных: