Методика изучения элементов алгебры и математической логики

 

 

 

 

Содержание.

 

Введение.

Глава I. Исторические и психолого-педагогические основы темы «Математические слова и предложения. Развитие логического мышление при изучение элементов алгебры и математической логики.»

§ 1. История возникновения математической логики и алгебры.

§ 2.  Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях.

§ 3.  Анализ заданий школьного учебника второго класса. Система дополнительных упражнений на развитие логического мышления учащихся.

Глава II. Методика изучения элементов алгебры и математической логики.

§ 1. Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений.

§ 2. Различные трактовки введения понятий алгебры и математической логики.

§ 3. Разработка конспектов уроков по теме.

§ 4. Материал для внеклассной работы.

§ 5. Эксперимент.

Заключение.

Литература.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа над выражением тесно связано с изучением  самих действий и оказывает большое  влияние на владение школьниками  такими понятиями, как равенства, неравенства, уравнения. И поэтому, недостаточно ясное представление о простейших выражениях  сумме и разности двух чисел является причиной ошибок при выполнении первоклассниками ряда заданий. Только глубокое понимание структуры выражения и твердое знание правил порядка действий могут предупредить дальнейшее непонимание предмета.

Все это обязывает  к необходимости разработки системы  упражнений по формированию понятия  выражения у учащихся начальной  школы с учетом возникающих трудностей.

 

Глава I.

 

 

5. Запиши неравенство:

а) Произведение чисел 6 и 2 больше их частного.

б) Сумма чисел 36 и 9 меньше разности этих чисел.

Данная в учебнике система  упражнений довольно таки разнообразна, интересна присутствуют упражнения направленные на развитие логического  мышления, на отработку вычислительных навыков, что очень важно в младших классах.  Но не достаточно занимательности, игровой формы. И для повышения интереса у детей к математике можно использовать следующие задания:

1. Вставь вместо рожиц одну и ту же цифру так, чтобы равенство стало верным:

1 J + 3 J + 5 J = 111; J 0 + J 1 + J 2 = 273.

2.  Переставляя  цифры, сделай равенство верным: 73 – 25 = 8.

3. В окошко по очереди  показываются числа 3, 7, 6, 4. В каких  случаях получается верное равенство  и в каких не верное?

 

 

4. Зайцы играют в  футбол. Хитрый вратарь решил  пропустить в ворота мяч, который  сделает равенство верным: 4 +      = 11. Какой заяц забьет гол? Удастся  ли забить гол игроку под  номером  9?

 

 

 

 

5.  Из чисел 56, 6, 18 составьте все возможные разности. Какие из этих разностей не имеют смысла?
6. Назовите все цифры, при подстановке которых вместо звездочки получается верное неравенство: 3 * 2 > 355; * 68 < 443; 875 > 87 *; 406 < 4 * 7; *68 < 268.

При выполнение данного упражнения закрепляются правила  сравнения чисел.

7. Неравенство имеет вид 10 – х < 5.  Какие значения может принимать х? Укажите все значения х, при которых получится:

а) Верное неравенство;

б) Не верное неравенство.

Здесь представлены задания  повышенной трудности, но при выполнении которых происходит более глубокое усвоение  темы, также ведется подготовка к изучению уравнений в частности это происходит при выполнении упражнения под номером 7. Но так как такие неравенства не вводятся в начальной школе объяснить его следует более подробно и помочь в случае затруднения.

Так же во втором классе рассматриваются такие темы как: «Порядок действий в выражениях без  скобок» (стр. 83), «Порядок действий в  выражениях со скобками» ( стр. 86) и для  закрепления данных тем в учебнике предложены следующие упражнения:

1. Решение задач путем составления выражений.
2. Составь задачу по выражению: 4 · 6 – 14; ( 12 + 16) : 4.

Данные два задания  развивают логическое мышление у  учащихся. Учат как оставлению задачи по выражению, так и обратно, составление  выражения по задачи.

3.  Объясни решение: 30 – 4 · 7 = 30 – 28 = 2                                                                                 17 + 32 : 8 = 17 + 4 = 21                  

76. - (27 + 9) + 8 = 76 – 36 +8 = 48

49 + 9 · (20 – 17) = 43 +9 ·  3 = 43 +27 = 70  

Данное задание направленно как на отработку вычислительных навыков, так и на закрепление знаний правил порядка действий.

4.  Вычисли значения  выражений: 26 + 24:4; 71 – 16: 2; 10 · (30 –  24); (22 + 14) : 4.

5. Запиши выражения и вычисли их значения:

а) Из числа 82 вычесть произведение чисел 5 и 7.

б) Разность чисел 31 и 22 умножить на 4.

в) Сумму чисел 9 и 19 разделить на 7.

Данное упражнение хорошо использовать на математических диктантах. Оно направленно  на развитие вычислительных навыков, закрепление  таких понятий как сумма, произведение, разность и частное.

6. Найди значение выражений удобным способом: 15 – (5 + 3); 46 + ( 4+2).

Направленно на развитие логического мышления.

Но данная система упражнений довольно «суха» и ее следует дополнить  заданиями, например, такого типа:

1. Составь программу действий и найди значение выражения. Сделай вывод.

30 – 4 + 21 – 8 =        ; 24 : 3 : 2 · 5  =         ; 36 : 4 + ( 47 – 39) · 5 =       +         =         .

Данное упражнение направленно  не толь на отработку вычислительных навыков,  а так же оно учит детей  делать самостоятельные выводы, рассуждать, то есть  не автоматически выполнять задание, а обдуманно.

2. Составь по схемам выражения и найди их значения. Чем они отличаются друг от друга? В каком порядке следует выполнять действия, если в выражении есть скобки?

 

 

 

Задание содержит элемент занимательности, что повышает интерес к выполнению задания. Развивает внимание ребенка, наблюдательность.

3. Выберете значение выражения 96 – 24 + 12 : 6 из чисел: 90, 74, 70, 14.
4. Выберите выражения значения которых равны 80: 20 + 20 · 2; 95  - 10 + 5;       84 – 12  + 48 : 6; 5 + 90 : 6 · 5.
5. Из схем выбрать те, в которых умножение надо выполнять вторым действием: а)  o + o · o         г) o + (o - o)· o

б)  o · o + (o + o)     д) o : o · o : o

      в)  o + o · o + o     е) o : ( o + o) · o

Данные упражнения более  разнообразны, в них используются элементы занимательности, они развивают  внимание, логическое мышление, наблюдательность, повышают интерес.

Затем, на странице 129, изучают тему «Выражения с переменными» и закрепляют при помощи следующего ряда заданий:     

1. Прочитай выражение: в – 9. Найди его значение, если в = 20, 18, 12, 9.

В данном задании происходит не только письменное, но и устное знакомство с выражениями с переменной, то есть при произношении выражения дети воспринимают не только зрительно, но и при помощи слуховых анализаторов.

2.  Заполни таблицу:

В	0	1	2	3	4	5
20·в

В упражнении дается понятие  о переменной, а так же о значениях  переменной.

3. Запиши выражение а + в. Вычисли значение выражения, если а = 16, в = 37.

В данном задание вводится выражение с двумя переменными, но оно не продуктивно тем, что  в нем присутствует только одно, из четырех, арифметическое действие –  сложение.

4. Вычисли значения выражения а : с при значениях букв, указанных в таблице:

а	23	34	84	0	36	36
с	23	17	28	81	1	12

Данное задание аналогично предыдущему.

То есть, видно, что в учебнике предложены однотипные задания, прием, необходимо выполнить целых четыре упражнения, чтобы использовать все  четыре арифметических действия, так как формирование вычислительных навыков – это одна из важнейших задач начальной школы. И поэтому необходимо использовать более разнообразные и продуктивные задания:

1. Расшифруй фамилию известного писателя сказочника, расположив ответы примеров в порядке убывания.

 

а	0	66	87	102	200
х

                                                                                         О          А           Б         В       Ж

 

Данное задание направленно  не только на формирование представлений о переменных, но кроме этого оно содержит в себе несколько заданий: расположить в порядке убывания, два арифметических действия, сравнение чисел. Так же упражнение развивает внимательность и предложено в занимательной форме, что привлекает детей и вызывает интерес к заданию.

2. Сравни: а + 301 … а + 103;  в – 408 … в + 48;  с – 206 … с – 260; 97 – х … 79-х.

Упражнение направленно  на развитие логического мышления, так как дети сравнивают выражение, содержащие переменную, отрабатываются правила сравнения.

3. Можно ли назвать все числа, которые обращают неравенство в верное: х > 5;   y < 15; х + 1 < 1.

Данное задание как  и предыдущие, содержат в себе несколько  заданий.                во-первых, отрабатывается тема «выражения с переменной», а так же значение переменной, так как для ответа на поставленный вопрос ребенок может подставлять различные значения переменной. Во-вторых, необходимо выполнить сравнение и данное упражнение развивает логическое мышление, так как ответить на поставленный вопрос можно, не подставляя значения переменных.

4. Задача: Платье стоит а рублей, а костюм – в рублей. На сколько платье дешевле костюма?

Решение данной задачи заключается  в составление буквенного выражения.

Так же во втором классе изучается  тема «Уравнения». И для закрепления данной темы Моро предлагает следующие задания:

1. Прочти уравнение и реши их: х + 5 = 9; 12 – х = 7; х –3 = 6; 7 + х = 13.
2. Реши уравнения и сделай проверку.

В данных заданиях детям  предлагается решить уравнения. Даны простейшие уравнения без дополнительных заданий, то есть задание направленно только на закрепление  темы, без какой либо занимательности.

3. Найди уравнения и реши их: х – 8 = 9; 5 + 7 = 12; а + 17; 8 + х = 14.

Это задание учит детей  отличать уравнения от числовых выражений.

4. Назови уравнения, в которых неизвестное число равно 8: х · 2 = 20; 6 · х = 48;         х : 2 = 5; 40 : х = 5.

Задание развивает не только умение решать уравнения, но и  внимательность.

Заданий  на данную тему очень мало, они все однообразны, не содержат элементов занимательности, поэтому их необходимо дополнять:

1. Какими числами можно заменить фигурки: ∆ + o = 1       ¡ : o = 25

     ¡ - ∆ = 25        ∆ · ¡ = 0

(∆  - 0; o - 1; ¡ - 25).

Задание очень хорошо развивает  логическое мышление учащихся, внимательность, а так же содержит элемент занимательности. Его можно испоьзовать, как подготовительное к изучению темы «Уравнения». Содержит примеры на все арифметические действия.

2.  В записи каких  уравнений допущена ошибка? Найди  неизвестное делимое:         х : 5 = 3 (ост. 2)   с : 2 = 7 (ост. 1)

а : 7 = 4 (ост. 1)     р : 6 = 9 (ост. 7)

в : 9 = 2 (ост. 9)            к : 3 = 12 (ост. 2)

 

Данное задание формирует  умение не только решать уравнения, но и решать примеры с остатком.

3. Объясни, почему при  любом значении х значение выражения х + 2 больше значения х. 

Задание развивает логическое мышление, формирует вычислительные навыки.

4.  Подбери пропущенные  числа: 

o → o → o → o → o

Задание направленно  на формирование умения находить значение переменной.

5. Наташа задумала число, умножила его на два, прибавила 5. Затем она разделила результат на 7, прибавила 49 и получила 52. Какое число задумала Наташа?

                  

Х · 2 +5 : 7 + 49
52

Этот способ помогает детям быстро и правильно решать любые уравнения, даже длинные, с большим  количеством арифметических действий. А так же присутствует элемент занимательности.

Таким образом, можно  сделать вывод о том, что в  учебнике Моро второго класса мало упражнений развивающих логическое мышление, внимательность. Практически отсутствуют задания с элементами занимательности. Упражнения однотипны. Поэтому просто необходимо дополнять данные в учебнике упражнения дополнительными заданиями развивающего характера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II.

Методика изучения элементов алгебры и математической логики.

§ 1. Методика изучения числовых выражений, выражений с переменными, числовых равенств и неравенств, уравнений.

 

 

Изучение числовых выражений, равенств и неравенств, а так же уравнений  начинается еще с первого класса,  в период изучения нумерации в пределах 10.

Так знакомство с равенствами  и неравенствами начинается уже  с девятой страницы. Дети учатся сначала сравнивать числа, затем  выражения с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно», учатся записывать результаты с помощью знаков «<»,  «>»,  «=» и читать полученные равенства и неравенства.

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется с помощью  установления взаимно однозначного соответствия. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел:

¡  ¡  ¡  ¡  ¡  ¡  ¡  7   ¡  ¡  ¡  3

7 > 5                                3 = 3

∆  ∆   ∆   ∆   ∆                5    o   o  o    3

в дальнейшем при сравнение  чисел учащиеся опираются на знание их места в натуральном ряду: девять меньше, чем десять, потому что при счете число девять называют перед числом  десять. Установленные отношения записываются с помощью знаков  <, >, =, учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств, но сами термины вводятся только во втором классе.

Переход к сравнению  двух выражений осуществляется постепенно. Сначала дети знакомятся с самими выражениями.

При формировании понятия  числового выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл: с одной стороны, он обозначает действия, которое надо выполнить над числами; с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6 + 4 – это сумма чисел 6 и 4).

Понятия о выражениях формируется в тесной связи с понятиями об арифметических действия и способствует лучшему их усвоению. В первом классе формируется представление о простейших выражениях (сумма и разность). Знакомство осуществляется при помощи метода изложения.

На доске записан  пример на сложение: 5 + 2.

Назвать и подписать: это сумма.

Найти чему равна сумма: 7.

Записать и подписать  – это тоже сумма.

Каждое из чисел имеет  свое название (имя): 5 – первое слагаемое, 2 – второе слагаемое. Наш пример можно прочесть так: сумма чисел 2 и 5 равна 7; первое слагаемое 5, второе – 2, сумма – 7.

Так же знакомятся и с  разностью. И только после этого  дети сравнивают выражение с числом, а далее выражение с выражением.

На первом уроке можно  дать упражнение на сравнение с опорой на рисунки, например, в двух рядах рисуются по 6 квадратов (6 =  6), затем в первом ряду дорисовывают два квадрата или зачеркивают два квадрата. И дается запись:

  6 + 2 > 6     6 – 2 < 6

         8 > 6           4 < 6

Дети говорят: «Слева было 6 и справа 6. Справа так и  осталось 6, а слева прибавили (отняли) 2. Там стало больше (меньше)». Для проверки выполняются вычисления и сравниваются полученные числа.

Затем переходят к  сравнению двух выражений. Сравнить два выражения -  значит, сравнить их значения. Например, надо сравнить суммы 6 + 4 и 6 + 3. Рассуждение: первая сумма равна 10, вторая – 9, 10 больше, чем 9, значит сумма чисел 6 и 4 больше, чем сумма чисел 6 и 3.

6 + 4 > 6 +3

        10> 9

Так же в первом классе осуществляется знакомство с записью  и чтением выражений со скобками и некоторыми случаями в которых нужно установить порядок действий. Например, 70 – 26 + 10, 42 + 18 –19 и т. д. Выполняют тождественные преобразования, опираясь на свойства арифметических действий  (прибавление числа к сумме и суммы к числу).

Например, продолжи запись: 76 – (20 + 4) = 26 – 20… Кроме этого, в первом классе проводится подготовительная работа к ознакомлению с уравнениями.

Неизвестно число появляется впервые уже в связи с решением примеров вида 1 + 1 = 2, которые решаются при изучении нумерации в пределах десяти. В этом примере два известных числа 1 и 1, а третье число, которое получится, надо найти. Число которое требуется найти, называют неизвестным.

Постепенно задания  усложняются. Так, детям предлагается, пользуясь рисунком, имеющимся в учебнике, составить пример, в котором надо прибавить 1: o + 1 = o.

В рассмотренных примерах неизвестным числом являлся результат  действия. В дальнейшем дети встречаются  и с такими случаями, когда неизвестным  оказывается один из компонентов  действия. Например, спишите пример, заполняя пропуск: 3 + o = 5.

Далее, изучение выражений  с переменными, равенств и неравенств, уравнений продолжается во втором классе. 

Здесь дети знакомятся с  терминами «равенство» и «неравенство». Учащимся предлагается проверить, верны ли записи (даны два столбика равенств и неравенств). Учитель поясняет, что, если между выражениями стоит знак равно, - это равенство, а если знак больше или меньше это неравенство. Равенства и неравенства  бывают верными и неверными. Учащиеся выбирают верные равенства и верные неравенства из предложенных. Затем решают большое количество заданий такого типа на закрепление.

Так же во втором классе дети знакомятся с темой «Порядок действий» в сложных выражениях. Формулируют правило: если в выражении без скобок есть только сложение и вычитание или умножение и деление, то они выполняются по порядку слева направо. Учитель обращает внимание детей на то, что при не соблюдении этих правил получатся не верное равенство.

Затем изучается порядок  действий  в выражении без скобок, в которых есть умножение и деление, сложение и вычитание: в выражениях без скобок умножение и деления выполняются раньше, чем сложение и вычитание.

После этого изучается  правило порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках одно действие. Знакомятся с такими тождественными преобразованиями как умножение и деление суммы на число.

Вводится новое понятие, выражение с переменной. В подготовительной работе нужно повторить название чисел в математических выражениях: «сумма чисел», «разность чисел», «произведение чисел», а так же зависимость между компонентами и результатом действий.

Хорошим упражнением  для подготовки к введению буквенной  символики являются задачи с пропущенными числами.

В начале вводятся выражения  с одно переменной. Для этого можно использовать пособие – прямоугольник с вырезанным «окошком» и продвижной лентой. На ленте записаны числа, например, 2, 6, 8, 15, а на картоне за «окошком» записано +8. Учитель передвигает ленту, а дети называют и записывают соответствующие выражения: 2 + 8, 6 + 8 и т. д. Учитель сообщает, что  в математике вместо «окошка» записывают латинские буквы. Учитель объясняет: «Запишем вместо «окошка», например, букву с, тогда получим выражение с + 8, которое читают так: «сумма чисел с и 8». Найдем значение этой суммы , подставляя значения записанные на этой ленте ( учитель передвигает ленту, а дети записывают на доске и в тетрадях выражение: с + 8, с = 2, 2 + 8 = 10;      с = 6, 6 + 8 = 14 и т. д.»

Числа 2, 6 , 8, 15 -  это  обозначения буквы с, а числа 10, 14 … - это значение выражения с + 8 приданных значениях буквы.

Можно ли букве с придать другие значения? Назовите их. Дети называют несколько значений, записывают числовые выражения и находят их значения. Учитель замечает, что букве с можно придать очень много различных значений.

Для ознакомления с выражениями  с двумя переменными можно  использовать специальное пособие -  прямоугольник с двумя «окошечками» и провести работу, аналогичную той, что   при введении выражения  с одной. Начать можно и с рассмотрения простой задачи, например, такой:

«На одной полке 3 книги, а на другой – 5 книг. Сколько всего  книг на этих полках?»

  Дети знают, что  такие задачи решаются сложением.

На доске запись:

На 1 полке                На 2 полке                          Всего

       3 кн.                           5 кн.                 (3 + 5) кн.

      6 кн.                           4 кн.                            (6+4) кн.

       а   кн.                     в кн.           (а + в) кн.

Затем в задаче меняются числовые данные: «На одной полке 6 книг, а на другой - 4». Вопрос тот же, запись данных и решение проводится по той же таблице.

С целью закрепления  знаний приобретенных при первом знакомстве с буквенными выражениями, выполняются упражнения, связанные  с вычислением значений данного выражения при заданных значениях букв. Полезны и упражнения на заполнение таблиц, где компоненты действий обозначен буквами.

И еще один элемент  алгебры, который дети изучают во втором классе – это уравнения.

При введении уравнений они  решаются подбором используя знания состава чисел, табличных случаев сложения, вычитания умножения и деления. После решения нескольких примеров подбором учитель дает уравнение х + 28 = 40, предлагает прочесть: первое слагаемое неизвестно, второе – 28, сумма  - 40, надо найти первое слагаемое. Дети говорят правило нахождения неизвестного слагаемого: чтобы найти первое слагаемое, надо из суммы 40 вычесть известное слагаемое – 28.

Вычисляем: 40 –28 = 12, т. е. х = 12.

Проверяем: 12 + 28 = 40, значит уравнение решено правильно. Запись на доске и в тетрадях:

х + 28 = 40   Проверка:

х = 40 - 28       12 + 28 = 40

х = 12   40 = 40.

Затем аналогично изучаются уравнения  видов:

Х – 5 = 27 – нахождение неизвестного уменьшаемого;

32 – х = 8 – нахождение  неизвестного вычитаемого;

14 · х = 28 – нахождение  неизвестного множителя;

х : 6 = 12 – нахождение неизвестного делимого;

48 : х = 4 – нахождение  неизвестного делителя.

Овладение понятием «уравнение»  способствует и решение задач  способом составления уравнения. Необходимым требованием для этого является умение составлять выражения по их условиям.

В третьем классе решаются задачи с помощью составления  уравнения, в которых надо найти  неизвестный компонент действия.

Для решения задачи с  помощью уравнения обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное, записывают его. Полученное уравнение решают, используя знания, связи между компонентами и результатом действия. Затем дается ответ на вопрос задачи.

Так же с помощью уравнений  решаются задачи на нахождение одной  из сторон прямоугольника по известным  площади и длине смежной стороны.

Задачи на составление  уравнений решаются систематически – это хорошее упражнение на отработку  понятия уравнения.

Кроме решения уравнений учащиеся в третьем классе продолжают работу над выражениями с переменной, а так же с изучением порядка действий.

Таким образом  учащиеся проверяют знания свойств  арифметических действий в таких  упражнениях: при каких значениях  букв верны следующие равенства:      36 · в = в; а · а = а; с + с = с; 10 · с = 10; 49 · а = 0; в · 0 = 0; 12 · а = а · 12; в + в = в.

В данном уравнении  буквенная символика способствует повышению уровня обобщения знаний и готовит их к изучению алгебры.

И новым в вопросе о порядке действий в выражениях является изучение правила порядка действий в выражениях со скобками, причем в скобках несколько действий.

Таким образом можно  сделать вывод о том, что изучение числовых выражений с переменной, числовых равенств и неравенств, уравнений продолжается на протяжении всех трех лет начального обучения в школе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. Различные трактовки введения понятий.

 

 

Задания творческого  характера на уроках математики.

 

Учебные задания, выполняемые на уроках математики, часто определяют однообразие мыслительной деятельности учащихся, реализуя лишь обучающие цели – закрепление знаний, формирование умений и навыков. Это отрицательно сказывается на развитие учащихся и на дальнейшем усвоении учебного материала. В частности, имеются ввиду учебные задания на нахождение значений числовых выражений, то есть решение примеров из учебников.