Методика изучения уравнений в начальных классах

Министерство образования  Республики Беларусь

Учреждение образования

«Могилевский государственный  университет им. А.А. Кулешова»

 

 

 

 

Кафедра

 

 

 

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В НАЧАЛЬНОЙ  ШКОЛЕ

 

 

 

Курсовая работа

по 

студентки 3 курса,

заочная форма обучения, группа

 

Научный руководитель:

 

 

 

 

 

 

Могилев

2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ОБЩЕЕ  ПОНЯТИЕ О УРАВНЕНИЯХ И НЕРАВЕНСТВАХ 5

1.1 Понятия   «равенство» и «неравенство» 5

1.2 Понятие  «уравнение» 7

ГЛАВА 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ 10

2.1. Необходимость  введения алгебраического материала  в начальной школе 10

2.2 Алгебраический  материал по традиционной программе 11

2.3 Алгебраические  понятия по системе Н.Ф.Виноградовой 14

2.4 Элементы  алгебры по системе Л.В. Занкова 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….29

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Начальное образование –  первая ступень общего образования. В РБ начальное общее образование является обязательным и общедоступным. Государственный образовательный стандарт второго поколения начального общего образования устанавливает обязательные для изучения предметы, в число которых входит и математика. Изучение математики направлено на достижение следующих целей:

1. развитие образного и логического мышления, воображения, формирование предметных умений и навыков, необходимых для успешного решения учебных и практических задач, продолжения образования;

2. освоение основ математических знаний, формирование первоначальных представлений о математике;

3. воспитание интереса к математике, стремление использовать математические знания в повседневной жизни.

Ничто так, как математика не способствует развитию внимания, памяти, так как предметом изучения являются отвлечённые понятия и закономерности, которыми в свою очередь занимается наука математика.

Наука алгебры – это  наука о правилах, по которым узнают числовые неизвестные по соответствующим  им известным.

Впервые в истории русской  школы (в соответствии с новой  программой) в начальный курс математики включены элементы алгебры. Учащиеся 1 – 4 классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, ознакомиться с буквенной символикой, с переменной, научить решать несложные  уравнения и неравенства.

Алгебраический материал изучается, начиная с первого  класса в тесной связи с арифметическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовить детей  к изучению алгебры в следующих  классах.

Все выше сказанное определило актуальность исследования. Таким образом, актуальность темы заключается в  том, что алгебраические понятия  помогают более глубоко раскрывать арифметический материал; равенство, неравенство, уравнение – понятия, на основе которых  формируются арифметические действия и вычислительные навыки над ними.

Актуальность  и проблема исследования позволили сформулировать тему данной  работы следующим образом: «Равенства, неравенства, уравнения  в начальном курсе математики». Данная тема выбрана, с целью уточнить и углубить знания об элементах алгебры.

В обязательный минимум содержания основных образовательных программ входит и рассматриваемая нами тема. Она одна из основных тем программы  по математике, включает ряд вопросов теории, на основе которой вводятся понятия переменная, постоянная и  изучаются равенства, неравенства, уравнения.

Объект исследования - уравнения и неравенства.

Предмет исследования - методика изучения уравнений и неравенств в начальной школе.

Цель исследования − рассмотрение методики изучения уравнений и неравенств в начальной школе.

Задачи исследования

-изучить общее понятие о уравнениях и неравенствах.

-проанализировать алгебраический материал в начальной школе.

Структура работы: работа состоит  из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О УРАВНЕНИЯХ И НЕРАВЕНСТВАХ

1.1 Понятия «равенство» и «неравенство»

 

Задачи изучения равенств и неравенств в начальных классах  заключаются в том, чтобы научить  учащихся практически оперировать  равенствами и неравенствами: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с  одним неизвестным, переходить от неравенства  к равенству от равенства к  неравенству.

На сравнение множеств предметов направлены такие задания: сравнение совокупностей предметов, иллюстрирование предметными множествами  неравенства; переход от неравенства  к равенству. Вводится практическое усвоение свойства симметричности равенства  и несимметричности неравенства. С  самого начала обучения необходимо работать с этими свойствами [3, с. 65].

Необходимо заметить, что  не следует спешить с формализованными выводами, а чаще опираться на конкретную базу, не довольствуясь только картинками в учебнике, но привлекая и раздаточный  материал.

На основе работы с множеством предметов учащиеся подготавливаются к сравнению чисел. Для установления отношений «больше», «меньше», «равно»  между числами младшие школьники  могут использовать предметные, графические  и символические модели. В качестве математической основы действий на предметном уровне выступает установление взаимнооднозначного  соответствия между элементами двух множеств:

O«O

O«O

O«O

 O 

 OДля записи отношений между числами учитель знакомит учащихся со знаками > (больше), < (меньше), = (равно) и с математическими записями, которые называются равенствами и неравенствами (5<9, 9>5, 5=5).

В качестве символической  модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно  пользоваться при счёте предметов: «5<9, так как число 5 называется при счёте раньше, чем 9»).

В качестве графической модели используем числовой луч, на котором  дети отмечают точки, соответствующие  натуральным числам.

Знаки неравенства  (>,<) появились в 1631 году, но понятие неравенство, как и понятие, равенство, возникло в глубокой древности.

В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, уравнения.

К сравнению чисел учащиеся приступают при изучении нумерации  в пределах 10, потом при повторении этого материала и знакомстве со сложением и вычитанием в пределах 10.

Далее выполняется сравнение  чисел с опорой на знания последовательности чисел в натуральном ряду. Вслед  за этим учащиеся опираются на десятичный состав числа.

При изучении чисел первой 1000 учащиеся выполняют и сравнивание  именованных чисел. Здесь необходимо добиваться того, чтобы учащиеся как  можно чаще опирались на конкретные образы, подкрепляли свои утверждения  измерениями, в противном случае появляются два вида ошибок:                       а) 37 см > 5 дм; б) 8 дм=8 м.

Во время формирования понятия в 1 классе о том, что сумма  натуральных чисел больше каждого  из своих слагаемых, а разность  натуральных чисел меньше уменьшаемого, ведется работа по сравнению численного значения арифметического выражения  и числа.

Сначала знак неравенства  между выражением и числом ставится после вычисления значения выражения. Ученик вычисляет, затем вводятся рассуждение.

Упражнения на сравнение  численного выражения и числа  получают развитие дальше во 2 – 4 классах  в применении к большим числам и умножению и делению. В качестве подготовки к сравнению численных  значений выражений применяется  сравнение пар.

Таким образом, сначала применяются  вычисления, затем выполняются на основе рассуждений с опорой на обобщение.

Если раньше действовала  формула «вычисли-объясни-проверь  вычислением», то во 2 классе такие упражнения с действиями второй ступени учащиеся выполняют на основе вычислений, в 3 – 4 классе – на основе рассуждений. Во 2 классе решаются неравенства приёмом  подстановки. В 3 – 4 классе рассматриваются  простейшие неравенства [11, с. 32].

1.2 Понятие «уравнение»

 

В курсе математики начальных  классов уравнение рассматривается  как истинное равенство, содержащее неизвестное число, и решается на основе правила взаимосвязи между  компонентами и результатами действий.

Термин «решение» употребляется  в двух смыслах: он обозначает как  число (корень), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс  отыскания такого числа, то есть способ решения уравнения.

Ответ на вопрос – когда  целесообразно знакомить младших  школьников с уравнением – неоднозначен.

Одна точка зрения –  познакомить с уравнением как  можно раньше и в процессе их решения  осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов  и результатов действий.

Другая точка зрения –  приступать к решению уравнений  после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.

Мы согласны  со второй точкой зрения, которую поддерживает Истомина Н.Б.. Это обуславливается  тем, что для осознания взаимосвязи  между компонентами и результатами арифметических действий необходимо опираться  на предметную деятельность. В противном  случае при решении уравнений  мы вынуждены идти через образец  и большое количество тренировочных  однообразных упражнений. Это приводит к тому, что, решая уравнение, учащиеся часто руководствуются не общим  способом действия (правилом), а внешними признаками.

Более позднее изучение уравнений  позволяет:

Использовать в уравнениях многозначные числа и ранее изученные  понятия;

 Познакомить учащихся  с уравнениями, в которых неизвестный  компонент представлен в виде  буквенного выражения;

Познакомить учащихся с решением задач способом составления уравнений.ьтами  действий.

элем

Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и  неравенствами. Особое значение среди  всех этих уравнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства  перейти к равенству и наоборот. Выполнение таких заданий вырабатывает у учащихся навыки «уравнивания» чисел и выражений, что им потребуется при составлении уравнений [3, с. 69].

Начиная, с изучения таблицы  сложения и вычитания, связи между  слагаемыми и суммой – не  только показывается учащимся, но они на неё  и опираются при нахождении результата соответствующего случая вычитания. Учащиеся опытным путём с применением  разнообразных материалов для счёта  устанавливают, если 2+3=5, то 5-2=3, 5-3=2. на основе таких упражнений школьники  формулируют выводы о взаимосвязи  между суммой и слагаемыми и о  нахождении неизвестного слагаемого. Знание взаимосвязи между компонентами и результатом каждого арифметического  действия является основой приёма решения  уравнений в начальных классах.

Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после  того, как они познакомились с  зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение  как равенство, которое справедливо  при определённом значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование –  найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, выраженное словесно, необходимо записать его с помощью математических символов. Это характерно и для  последующего приёма составления уравнений  по условию задач, только отношения  и связи между данными и  неизвестными числами становятся не так явно выраженными, как в первых заданиях.

Характерной чертой начального обучения является то, что решение  готовых уравнений проводится несколько  раньше, чем использование их при  решении задач, то есть сначала учащиеся вооружаются навыками решения уравнений  какого-либо вида, а потом приступают к решению задач с применением  таких уравнений.

Последовательно учащиеся переходят  от простых уравнений, содержащих действия первой ступени, к более сложным, включающих в себя действия первой и второй ступени.

У учащихся надо с первых же шагов знакомства с уравнениями  вырабатывать навык проверки его  корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение  вместо буквы подставить её значение и отдельно вычислить результаты. Отношение равенства этих результатов  является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет  условиям уравнения [8, с. 95].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

2.1. Необходимость введения алгебраического материала в начальной школе

 

Введение элементов алгебры  в начальный курс математики позволяет  с самого начала обучения вести планомерную  работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа, обозначающего  любое число из известной детям  области чисел, создает условия  для обобщения многих из рассматриваемых  в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой  к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями переменная, функция. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения  задач позволяет внести серьезные  усовершенствования во всю систему  обучения детей решению разнообразных  текстовых задач.

Как видно из сказанного, алгебраическая часть программы  имеет существенное значение. Работа над всеми перечисленными вопросами  алгебраического содержания, в соответствии с тем, как это намечено в учебниках, должна вестись планомерно и систематически в течение всего начального курса  обучения математике. При этом усвоение ни одного из вводимых понятий не должно доводиться до уровня формального определения. При обучении в следующих классах  соответствующие понятия будут  уточняться, трактовка некоторых  из них будет претерпевать более  или менее существенные изменения. Учитывая это, при обучении в начальных  классах не следует забегать вперед, требовать каких бы то ни было формулировок, раскрывающих сущность рассматриваемых  понятий. Это не только преждевременно, но и вредно, поскольку способствует закреплению в сознании детей  знаний, которые в дальнейшем пришлось бы перестраивать. Определяя методику работы над вопросами алгебраического  содержания, нужно, особенно четко представлять себе цель этой работы, задачу, которые  должны быть решены на начальном этапе  обучения [1, с. 15].

2.2 Алгебраический  материал по традиционной программе

 

Рассмотрим формирование понятий равенство и неравенство. В практике обучения в начальных  классах числовые выражения с  самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами.

В математике числовые равенства  и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальных классах  вместо этих терминов употребляют слова  «верные» и «неверные». Для лучшей подготовки детей к рассмотрению вопросов об истинности и ложности рассматриваемых равенств и неравенств  в следующих классах полезно  приучать детей к оценке истинности и ложности полученных равенств и  неравенств уже с первых шагов  обучения в начальных классах.

Так, в 1 классе, где еще термины  «равенство» и «неравенство»  не используются активно, учитель может  при проверке правильности выполненных  детьми вычислений задавать вопросы  в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или  предлагать детям упражнения, в которых  требуется проверить решение  данных примеров, найти неверные записи, заменить их верными и т.п. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств, вида 5<6, 8>4 и более сложных, учитель  может задавать вопрос в такой  форме: «Верны ли эти записи?» (а после  введения термина «неравенство»- «Верны ли эти неравенства?») или «Подбери такое число, чтобы, подставив его  в «окошечко», мы получили верное равенство: 5+18=18+   » .

Начиная с первого класса, дети знакомятся с преобразованиями  числовых выражений, выполняемыми на основе применения изученных элементов  арифметической теории (нумерации, смысла действий, свойств действий и др.). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел, учащиеся могут представлять любое число  в виде суммы его разрядных  слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений  в связи с изучением многих вычислительных приемов. Например: 23+4=(20+3)+4, применяя затем известное уже  к этому времени правило прибавления  числа к сумме, дети могут продолжить преобразование выражения, заменив  его таким: 20+(3+4) и т.д.

В связи с подобными преобразованиями уже в первом классе дети встречаются  с «цепочкой» равенств, так же следует  уделить внимание неравенствам с  переменной. Впервые с неравенствами, содержащими переменную, дети встречаются  в 1 классе, где такие неравенства  задаются с использованием условного  знака, который дети часто называют «окошечком». (Равенства такого рода упоминались выше.) Так, на страницах  учебника для 1 класса предлагаются, например, неравенства вида: 5+3<    . Дети должны подставить в «окошечко» такие числа, чтобы запись была верной. Аналогичные упражнения во 2 классе, после введения букв, предлагается уже с обозначением переменной любой буквой латинского алфавита [10, с. 65].

Решаются неравенства  в начальной школе только методом  подбора. Как правило, и задания  формулируются так: «Подбери такое  число, при котором данное неравенство  будет верным». Довольно часто детям  дают несколько значений переменной и предлагают из данного ряда чисел  выбрать те, при подстановке которых  в данное неравенство получится  верное неравенство.

Работа с неравенствами  в начальной школе в основном направлена на формирование понятия  о переменной и с точки зрения обучения решению неравенств носит  пропедевтический характер.

Изучая равенства и  неравенства, дети знакомятся с уравнениями. При характеристике содержания в  начальных классах отмечалось, что  первое знакомство с ними происходит в первом классе, где оно вводится как название равенств вида: 3+х=8, 9-х=2, х-6=3.

В ходе решения этих уравнений  у детей должно быть постепенно сформировано понимание уравнения как равенства, содержащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны понять, что всякий раз, как мы встречаемся  с уравнением, задача заключается  в том, чтобы найти то значение этого неизвестного числа, при котором  равенство будет верным. Значение неизвестного при решении уравнений  в 1-4 классах, как правило, находится  на основании знания связи между  компонентами и результатами действий.

Наряду с этим (основным для начальных классов) способом решения уравнений в ряде случаев  можно использовать и другие, основанные на применении известных детям элементов  арифметической теории. Например, уравнение  вида х×17=17×35 может быть решено без выполнения вычислений - на основании знания переместительного свойства произведения. Аналогично уже в 1 классе уравнение вида 25+х=26+ 18 может быть решено на основе простого рассуждения: «Если к равным числам прибавили поровну, то и получится поровну. Значит, х=18.»

Сложность рассматриваемых  уравнений от класса к классу, от года к году повышается в соответствии с требованиями, зафиксированными в  программе.

Следует также обратить внимание на особенности использования при  решении задач выражений и  уравнений. Работа по составлению является необходимым условием обучения выражений, соответствующих отдельным частям задачи, является, как правило, задачей  менее трудной, чем составление  уравнений к этой же задаче. В то же время решение некоторых составных задач только с помощью составления выражения иногда оказывается более трудным, чем решение той же задачи с помощью уравнения.

Это следует учитывать, исходя из анализа конкретного текста задачи, чтобы не создавать искусственно дополнительных трудностей для учащихся. По той же причине не следует также  настаивать, как это иногда делается, на составлении «всех возможных  уравнений» к данной задаче.

Часто полезнее давать свободу  учащимся для выбора способа решения, каждый раз подчеркивая преимущества (или недостатки) одного из них перед  другим, не считать недочетом, если ученик выбрал «свой путь решения», разумеется, кроме тех случаев, когда, учителем или учебником, заранее  выдвинуты определенные требования в этом отношении.

Одни задачи могут решаться без помощи уравнения, но в несколько  действий, а другие могут ориентировать  детей на решение с помощью  уравнения.

Рассуждения при решении  задач разнообразны. После предварительного рассмотрения и решения задачи не обязательно проводить фронтальный  разбор задачи. Целесообразнее с целью  выявления различных путей рассуждения  просить класс приступить к самостоятельному ее решению, подчеркнув, что решение  должно быть выполнено с составлением уравнения. Наблюдая за классом и  обнаружив, что большая часть  учащихся уже составила уравнения, можно приостановить самостоятельную  работу и попросить одного из них  рассказать, как и какое уравнение, он составил.

Каждое из рассуждений  полезно рассмотреть с учащимися, записать на доске соответствующие  уравнения. После этого учащиеся продолжают прерванное решение задачи самостоятельно тем способом, который  избран каждым, или если решение  не было начато, выбирают один из предложенных способов.

Из сказанного ни в коем случае не следует, что от учащихся можно (или даже нужно) требовать  составления всех возможных уравнений  по одной и той же задаче.

При решении задач на движение можно использовать как запись отдельных  действий, так и составление уравнения  или выражения.

Выше уже отмечалось, что  в обучении решению задач в  четвертом классе является овладение  учащимися решением задач с помощью  составления уравнений. Система  задач, представленная в учебнике, предусматривает постепенное усложнение соответствующих заданий, но в пределах тех их видов, которые определены программой.

Если дети научатся в начальных  классах решать задачи той степени  трудности, которые представлены в  учебниках, используя при этом как  арифметический, так и алгебраический способы решения, то это обеспечит  необходимую преемственность между  четвертым и пятым классами. При  этом в начальных классах не ставится цель продемонстрировать преимущества решения задач с помощью составления  уравнения по сравнению с арифметическими  способами [5, с. 67].

2.3 Алгебраические  понятия по системе Н.Ф.Виноградовой

 

Первоначальные знания об элементах алгебры дети получают в первом классе, где они учатся сравнивать предметы и оперируют  высказываниями «столько же», «столько же, да еще …», «столько же, но без  …».

Во втором классе дети знакомятся с такой темой как «Выражения», без которой нельзя представить  дальнейшее изучение курса математики, так как составной частью равенств, неравенств, уравнений является выражение  с переменной или без нее.

Основное содержание темы составляют вопросы, относящиеся к  алгебраической линии курса.

Рассматривая с учащимися  эту тему, мы должны научить их:

-читать и записывать простейшие числовые выражения;

-составлять числовые выражения более сложной структуры, используя скобки;

-дать понятия о переменной и выражении, содержащем переменную;

-научить вычислять значения выражений с переменной при заданном наборе числовых значений этой переменной;

-отличать выражение с переменной от числового выражения;

-показать решения задач, в условии которых содержится переменная.

Целью знакомства второклассников  с выражениями с переменной является подготовка к введению понятия об уравнении в третьем  классе.

Работа над выражением тесно связано с изучением  самих действий и оказывает большое  влияние на владение школьниками  такими понятиями, как равенства, неравенства, уравнения. И поэтому, недостаточно ясное представление о простейших выражениях сумме и разности двух чисел является причиной ошибок при выполнении первоклассниками ряда заданий. Только глубокое понимание структуры выражения и твердое знание правил порядка действий могут предупредить дальнейшее не понимание предмета.

В третьем классе изучается  тема «Равенства и неравенства», которая  состоит из следующих блоков вопросов алгебраического блока тесно  связанного с логико-математическими  понятиями:

-учащимся даются определения уравнения (равенство с буквой) и его корня (число, при подстановке которого в уравнение вместо переменной получается верное равенство);

-рассматриваются способы решения простейших уравнений с одной переменной (подбор, использование игровой формы «машины»);

-вводится понятие «неравенство с переменной» (без строгого определения), разъясняется смысл решения неравенства,  показывается способ решения неравенств с переменной(перебор чисел по порядку, начиная с 0);

-предлагаются задачи, решаемые способом составления уравнения или неравенства.

Приступая к изучению вопросов алгебраического блока, дети знакомятся с числовыми равенствами и  неравенствами. Термины «равенство»  и «неравенство» вводятся без  определений. В ходе выполнения упражнений учащиеся должны научиться свободно, употреблять в своей речи слова: верное равенство, неверное равенство,  верное неравенство, неверное неравенство.

Название того или иного  высказывания (равенство или неравенство) они определяют по знаку: если высказывание записано знака =, то оно называется равенством, а если с помощью знака < или >, то оно называется неравенством.