Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

Зміст

Вступ……………………………………………………………………..………..3

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження………………………………...…….5

1. Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів…………………………………………………………………..……5
2. . Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників……6
3. . Теоретичні відомості про нерівності…………………………………….....7
1. Числові нерівності……………………………………………………..….10

1.3.2. Нерівності, що містять змінну………………………………………..….10

4. . Основні методи доведення нерівностей……………………………..……12

1.4.1. Доведення нерівностей за допомогою означення………………..……..12

1.4.2. Доведення методом від супротивного…………………………………...13

1.4.3. Метод математичної індукції…………………………………………….14

1.4.4. Метод зведення до очевидної нерівності………………………………..15

1.4.5. Метод використання класичної нерівності…………………………...…16

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях………………………………………………………………………..…19

2.1. Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи…………………………………………………………………..19

2.2. Методика навчання учнів доведення нерівностей на факультативних заняттях……………………………………………………………………..……28

Висновки…………………………………………………………………………33

Список використаної літератури…………………………………………….….34

 

Вступ

Задачі на доведення нерівностей, як правило, є необхідним елементом кожної математичної олімпіади. Довести – це означає показати, що ця нерівність виводиться з відомих або очевидних тверджень. При цьому часто використовуються різні допоміжні співвідношення.

У курсі алгебри 9–го класу на доведення числових нерівностей відводиться мало часу. Розв’язування задач, що пропонуються в підручнику з алгебри, зводиться до оцінювання різниці лівої та правої частин нерівності, яка після перетворень є або повним квадратом, або числом. У процесі розв’язування значної кількості таких задач в учнів формуються міцні вміння та навички, але й виникає переконання, що доводити нерівності можна лише в такий спосіб. Якщо вчитель обмежиться розглядом лише таких задач, то учні не навчаться доводити нерівності іншими способами. Тому доцільним є розглянути на уроках, додаткових або факультативних заняттях й інші методи доведення нерівностей.

Тема курсової роботи є актуальною, так як містить теоретичні і практичні рекомендації щодо застосування різних методів доведення нерівностей як в курсі основної школи, так і під час роботи з обдарованими учнями з метою якісної підготовки їх до участі в олімпіадах різного рівня.

Об’єкт дослідження курсової роботи – курс алгебри основної школи.

Предметом дослідження є нерівності та методи їх доведення.

Метою даної курсової роботи є – на основі опрацьованої наукової та навчально–методичної літератури систематизувати теоретичні відомості про нерівності та методи їх доведення, створити систему задач на доведення нерівностей, призначену для опрацювання на уроках алгебри основної школи та на факультативних заняттях, розробити методику навчання учнів доводити нерівності з даної системи.

Завдання курсової роботи:

1. Дослідити стан проблеми в науковій, навчально-методичній літературі;
2. З’ясувати теоретичні основи дослідження (загальні відомості про нерівності, суть методів доведення нерівностей);
3. Підібрати систему задач на доведення нерівностей для курсу алгебри основної школи та факультативного курсу математики основної школи;
4. Розробити методику навчання учнів доведення нерівностей.

Курсова робота складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури, що містить 20 найменувань.

У вступі обґрунтовується актуальність обраної теми, описана структура курсової роботи.

Перший розділ курсової роботи присвячений загальним відомостям про нерівності (1.3.) та деяким методам їх доведення (1.4.), з якими необхідно познайомити учнів. У другому розділі наведено методику навчання учнів доведення нерівностей різними методами (2.1., 2.2.).

У висновку підведено підсумок про виконану роботу.

 

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

1. Аналіз програм шкільного курсу математики та факультативних курсів

За чинною програмою з математики [16] тему «Нерівності» вивчають у 9 класі. Орієнтовано на її вивчення відводиться 16 годин.

К-ть год

Зміст навчального матеріалу

16

Тема 1. Нерівності   Числові нерівності. Основні властивості числових  нерівностей.   Почленне додавання  і множення нерівностей.   Застосування властивостей  числових нерівностей для оцінювання значення виразу.   Нерівності зі змінними. Лінійні нерівності з однією  змінною. Розв’язок нерівності.   Числові проміжки. Об’єднання  та переріз числових проміжків.   Розв’язування лінійних  нерівностей з однією змінною. Рівносильні нерівності.   Системи лінійних  нерівностей з однієї змінною, їх розв’язування.

Учні повинні:

• наводити приклади нерівностей; нерівностей зі змінними; лінійних нерівностей з однією змінною, подвійних нерівностей;
• формулювати означення розв’язку лінійної нерівності з однією змінною; рівносильних нерівностей; властивості числових нерівностей;
• розв’язувати лінійні нерівності з однією змінною; системи двох лінійних нерівностей з однією змінною. [16]

Навчання учнів доведенню нерівностей програмою з математики для загальноосвітніх навчальних закладів не передбачено.

У класах з поглибленим вивченням тему «Нерівності» починають вивчати у 8 класі. Окремою темою курсу алгебри 9 класу є тема «Доведення нерівностей». Орієнтовано на її вивчення відводиться 15 годин. [17]

К-ть год	Зміст навчального матеріалу
15	Тема 2. Доведення нерівностей   Основні методи доведення нерівностей.   Нерівність Коші для  двох чисел та її застосування. Нерівність між середніми величинами двох додатних чисел (середнє гармонічне, середнє арифметичне, середнє геометричне, середнє квадратичне).   [Нерівність Коші-Буняковського].   Метод використання  відомих нерівностей.

Учні повинні:

• описувати методи доведення нерівностей: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої нерівності;
• доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел;
• розв’язувати вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.
1. Аналіз шкільних підручників та навчально-методичних посібників

Розглянемо вивчення нерівностей в курсі середньої школи за підручниками алгебри Бевз Г. П. [2], Кравчук В. Р. [10] та Мерзляк В. Г. [13]  для 9 класів.

У підручнику Бевза Г. П. та інші «Алгебра, 9 клас» [2] для теми доведення нерівностей виділений окремий параграф. Наведено метод доведення нерівностей на основі означення поняття більше і менше. Також розглядається залежність між середнім арифметичним і геометричним двох чисел, її застосування до доведення нерівностей.

Параграф 1 підручника Кравчука В. Р. «Алгебра, 9 клас» [10] присвячений вивченню нерівностей.  У цьому параграфі розглядаються числові нерівності, доведення нерівностей, властивості числових нерівностей, нерівності зі змінною та системи нерівностей зі змінними, розв’язування нерівностей та їх систем.

Але в обох підручниках дуже мало вправ, в яких необхідно довести нерівності.

Тема «Доведення нерівностей» є окремим розділом у підручнику Мерзляка В. Г. «Алгебра, 9 клас» [13] для класів з поглибленим вивченням математики, в якому розглядаються основні методи доведення нерівностей, нерівності між середніми величинами, нерівність  Коші—Буняковського, ефективні прийоми доведення нерівностей, а також ціла низка вправ на кожний підрозділ.

У статті Бевза Г. П. «Нерівності» [3] розглядається означення нерівності, види нерівностей та методи їх розв’язування. Окремою частиною теми є доведення нерівностей. Розглядаються найпростіші і найважливіші нерівності, такі як нерівності між середнім геометричним, середнім арифметичним і середнім  квадратичним. Також доступно розписано про класичні нерівності.

У статті Марченко Л. «Основні методи доведення нерівностей» [12] розглядається урок з теми «Доведення нерівностей», на якому діти повинні знати основні методи доведення нерівностей та вміти доводити нерівність Коші для двох невід’ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел, а також розв’язувати вправи, в яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей.

1.3. Теоретичні відомості про нерівності

Якщо число менше або більше від числа b, то записують відповідно < b або > b. Наприклад, 3 < 5, –7 > –13.

Зміст співвідношень «більше» і «менше» можна розкрити таким означенням.

Означення 1: Число більше від b, якщо різниця – b) — число додатне; число менше від b, якщо різниця – b)  — число від’ємне. [2]

Оскільки різниця – b) може бути додатною, від’ємною або дорівнювати нулю, то для довільних дійсних чисел і b  виконується одне і тільки одне з трьох співвідношень: > b, < b або = b.

Користуючись сформульованим вище означенням, можна порівнювати числа, тобто встановлювати, яке з них більше, а яке — менше.

Крім знаків < (менше) і > (більше) часто використовують також знаки: ≤ — менше або дорівнює (не більше), ≥ — більше або дорівнює (не менше).

Запис ≤ b означає, що < b або = b. Запис ≥ b означає, що > b або  = b.

Знаки < і > називають знаками строгої нерівності. Вони протилежні один одному: якщо < b, то b > , і навпаки. Знаки ≤ і ≥ також протилежні один одному, їх називають знаками нестрогої нерівності. Будь–який із знаків <, >, ≤ і ≥ називають знаком нерівності.

Означення 2: Два вирази, сполучені знаком нерівності, утворюють

нерівність. [2]

Основні властивості нерівностей:

1. Якщо , то це означає, що .
2. Якщо , то і навпаки, якщо a, то b.

Доведення. Нехай . За означенням це означає, що додатне число. Якщо ми перед ним поставимо знак мінус, то буде від’ємним, тобто  ,  , а це означає, що . Доведено.

3. Якщо і , то .

Доведення. Нехай і . Це означає, що числа і додатні. Сума двох додатних чисел є число додатне, або . А це означає, що . Доведено.

4. Якщо до обох частин числової нерівності додати або відняти від обох частин одне й те саме число, то нерівність не зміниться.

Доведення. Нехай . Це означає, що . Але . Тому , а це означає, що . Аналогічно доводиться, що . Доведено.

Наслідок:  Будь–який доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний.

5. Нехай . Якщо , то . Якщо ж , то .
6. Якщо і , то , тобто при почленному додаванні двох нерівностей однакового смислу дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. З нерівності випливає нерівність , а з нерівності - нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, дістанемо . Доведено.

6.* Властивість 6 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

7. Якщо і , то .

Доведення. Оскільки , то , отже , тобто  . Доведено.

8. Якщо – додатні числа і , то , тобто при по членному множенні двох нерівностей однакового смислу з додатними членами, дістанемо нерівність того самого смислу.

Доведення. Оскільки , то , а з нерівності випливає нерівність . На підставі транзитивності нерівностей, маємо . Доведено.

8.* Властивість 8 можна узагальнити для нерівностей, а саме:

Якщо , то .

9. Якщо , то при будь-якому натуральному , , тобто нерівність з додатними членами не порушиться, якщо обидві її частини піднести до степеня з одним і тим самим натуральним показником.

Доведення. Доведемо за допомогою методу математичної індукції. При , твердження вірне за умовою. Припустимо, що воно справедливе при . Доведемо, що нерівність справедлива при , нерівність  помножимо почленно на нерівність , дістанемо , тобто твердження справедливе при . Отже, . Доведено.

10. Якщо числа та одного знака і , то .

Доведення. Нехай і – числа однакового знака, тому . Оскільки також і , то . Отже, , а це означає, що або . Доведено.

11. Якщо – додатні числа і , то .

Доведення. З нерівності випливає, що . Перемноживши почленно нерівності і , дістанемо нерівность . Доведено.

12. Якщо , то при будь-якому натуральному справджуватиметься нерівність .

Доведення. Припустимо, що справджується нерівність . Тоді за властивістю 9, справджується нерівність , що суперечить умові. Отже,  якщо . Доведено. [15]

1.3.1. Числові нерівності

Означення 3: Якщо обидві частини нерівності — числові вирази, її називають числовою нерівністю. [2]

Такі нерівності бувають правильні або неправильні. Наприклад, з нерівностей 2 < 3, ≥1, –3 < –5 дві перші правильні, а третя — неправильна, бо число –3 більше від –5. [2]

2. Нерівності, що містять змінну

Поряд з числовими нерівностями в математиці часто доводиться зустрічатися з такими нерівностями, окремі частини яких, виражені буквами, можуть набувати різних числових значень. Наприклад, , .

Означення 4: Допустимими значеннями букв, які входять у нерівність, називаються такі значення цих букв, при яких обидві частини нерівності мають смисл. [8]

Існують нерівності, які задовольняють одні допустимі значення, а інші не задовольняють. Наприклад, . Ця нерівність визначена для всіх невід’ємних значень . Проте не кожне із зазначених чисел задовольняє цю нерівність. При , . Оскільки , то задовольняє нерівність . А число її не задовольняє, .

Означення 4: Дві нерівності, які мають однакові знаки (обидві знак або обидві знак ), називаються нерівностями однакового смислу. Наприклад, і однакового смислу. [8]

Означення 5: Якщо одна з нерівностей має знак , а друга знак , то такі нерівності називаються нерівностями протилежного смислу. [8]

Означення 6: Дві нерівності на певній множині називаються рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються. [8]

Означення 7: Рівносильними є також ті нерівності, у кожної з яких множина розв’язків порожня. [8]

Заміну нерівності рівносильними їй нерівностями виконують на основі таких властивостей:

1. Якщо виконати тотожні перетворення деякої частини нерівності, що не змінюють допустимі значення змінної, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо з однієї частини нерівності в іншу частину доданок, змінивши його знак на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те ж додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

4. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на на одне й те ж від’ємне число і при цьому змінити знак нерівності на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній. [10]

1.4. Основні методи доведення нерівностей

Очевидно, що нерівності виконуються  при всіх значеннях змінних , які до них входять.

Нерівність також виконується при будь–яких значеннях змінних та , хоча цей факт не настільки очевидний. У його справедливості слід переконатися.

У  таких випадках говорять, що потрібно  довести нерівність , тобто довести, що дана нерівність із змінними правильна при всіх вказаних значеннях змінних

Маємо:

Вираз набуває тільки невід’ємних значень. Отже, при будь–яких значеннях змінних та є правильною нерівність .

Для  доведення  нерівностей  використовують  різні  прийоми. Наприклад, дану нерівність ми довели, виділивши квадрат  двочлена. [13]

Існує багато методів доведення нерівностей. У даній роботі розглянемо такі методи доведення нерівностей.

1. Доведення нерівностей з допомогою означення.
2. Доведення від супротивного.
3. Метод математичної індукції.
4. Метод зведення до очевидної нерівності
5. Метод використання класичної нерівності.

1.4.1 Доведення нерівностей за допомогою означення

Щоб довести, що нерівність (, де – деякі вирази, правильна для будь–яких значень змінних треба:

1) знайти різницю лівої  та правої частин нерівності:;

2) перетворити (спростити, виділити  повний квадрат тощо) різницю  так, щоб можна було визначити  її знак (<0, >0, =0);

3) скориставшись означенням, зробити висновок.

Приклад 1. Довести, що для всіх дійсних значень виконується нерівність .

Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності та виконаємо перетворення:

 <0.

Отже, для будь якого . Нерівність доведена.

Приклад 2. Довести нерівність .

Доведення. Розглянемо різницю між лівою і правою частинами нерівності і визначимо знак різниці:

, оскільки сума квадратів дійсних чисел додатна чи рівна нулю. Отже, . Нерівність доведена.

1.4.2 Доведення від супротивного

Суть цього методу полягає в наступному. Нехай необхідно довести нерівність , де – деякі вирази. Роблять припущення, що істинною є нерівність супротивного смислу, тобто існує принаймні одне значення змінної , що виконується нерівність . Виконуючи певні перетворення над останньою нерівністю, на певному етапі одержимо нерівність, хибність якої є очевидною, а значить хибною буде і нерівність . Отже, наше припущення було невірне. Нерівність є істинною.

Приклад 3. Довести, що для всіх дійсних виконується нерівність .

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай існує дійсне, для якого . Тоді

() .

Ввівши позначення , останню нерівність подамо так: . Дістанемо . Для всіх дійсних , є хибним. Виконавши заміну , дістанемо . Очевидно, що остання нерівність є хибною, отже наше припущення, що хибне і твердження, яке пропонувалось довести, істинне. Отже, . Нерівність доведена.

1.4.3. Метод математичної індукції

Метод математичної індукції ґрунтується на використанні принципу математичної індукції, що формулюється так: Деяке твердження істинне для будь-якого натурального , якщо:

1. Воно істинне для .
2. З того, що істинне для (де - довільне натуральне число), випливає, що воно істинне для натурального числа .

Кожне доведення методом математичної індукції передбачає обов’язкових два етапи. На першому показуємо, що твердження істинне, на другому припускаємо, що істинне, потім доводимо, що з істинності слідує істинність .

Нерідко використовують узагальнений принцип математичної індукції. Якщо твердження , де , істинне для і з того, що воно істинне для числа , причому , випливає, що воно істинне для натурального числа , то твердження істинне для будь-якого значення , .

Описаний метод широко використовується для доведення нерівностей.

Приклад 4. Довести нерівність .

Доведення. Спочатку зазначимо, що нерівність вірна при ,

,  .

Припускаємо, що нерівність вірна для , . Доведемо, що вона вірна для , тобто .

Cправді, маємо:

.

Звідси, . Проте, при будь–якому натуральному значенні . Тоді .

Згідно принципу математичної індукції можна зробити висновок про те, що нерівність справедлива при всіх .

 Нерівність доведена. [11]

1.4.4. Метод зведення до очевидної нерівності

Часто можна довести нерівність, зводячи її за допомогою тотожних перетворень до очевидної, або відомої нерівності.

Існують два методи доведення нерівностей у такий спосіб.

1. Метод наслідків має вигляд .

- деяка нерівність, або система нерівностей, - відома, (або очевидна нерівність), - нерівність, яку треба довести. Цей метод називається синтетичним.

Правило-орієнтир пошуку доведення синтетичним методом за допомогою аналізу Евкліда можна задати так.

1. Припустити, що висновок (вимога) задачі на доведення правильний.
2. Вивести з цього припущення всі можливі наслідки.
3. Переконатися, що отриманий висновок-наслідок є або очевидною, або встановленою раніше істиною.
4. Взявши отриманий істинний висновок за вихідний, проаналізувати твердження у зворотному напрямі та перейти до висновку про правильність твердження, яке доводять. [15]
2. Метод рівносильних перетворень має вигляд .

- нерівність, яку  треба довести, - деякі нерівності, або системи, - очевидна (або відома) нерівність. Цей метод називають аналітичним. [15]

Міркування виконуються від того, що потрібно довести. При цьому з припущення правильності того, що слід довести (основа), виводять наслідки, які приводять до очевидної правильної нерівності (наслідку). Проте цей аналіз не можна вважати доведеним, хоча ми дістали очевидну правильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує правильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями можна дійти правильного наслідку. Наприклад, , де - хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рівності до квадрата, дістанемо правильну рівність . Перехід від істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли основа і наслідок – правильні взаємно обернені судження.

Поширеним видом очевидної нерівності є нерівність . Рівність досягається лише при .

Приклад 5. Довести нерівність для .

Доведення. Візьмемо очевидну нерівність

.

, .

Що й треба було довести. Рівність досягається лише при .

1.4.5. Метод використання класичної нерівності

Під час навчання математики за програмою [17] учні повинні ознайомитися з такими класичними нерівностями, як: нерівність Коші, нерівність Коші-Буняковського, нерівність Чебишова та вміти застосовувати їх до доведення нерівностей. Але найчастіше для доведення нерівностей використовують нерівність Коші та нерівність про суму взаємно обернених чисел. З рештою класичних нерівностей учні можуть ознайомлюватись на факультативних заняттях.

Нерівність Коші 

, де .

Нерівність Коші–Буняковського

.

Нерівність Чебишова

.

Нерівність Бернуллі

, де .

Нерівність суми взаємно обернених величин

, при .

Приклад 6. Доведіть нерівність , якщо >0, b>0, c>0 і + b +c = 1.

Доведення

Застосуємо нерівність Коші для кожного доданка

, ;

, ;

, .

Знак рівності можливий лише тоді, коли 4 + 1 = 1, тобто, якщо = 0, а це суперечить умові.

Додаємо почленно отримані нерівності, маємо

, якщо  >0, b>0, c>0 і + b +c = 1.

Отже, , якщо >0, b>0, c>0 і + b +c = 1.

 

Розділ 2. Методика навчання учнів основної школи доведення нерівностей різними методами та способами на уроках алгебри та факультативних заняттях

2. Методика навчання учнів доведення нерівностей в курсі математики основної школи

Відомо, що не існує загального способу доведення нерівностей, проте за умов середньої школи доцільно ознайомити учнів з деякими методами доведення нерівностей.

Метод доведення нерівностей за означенням (метод різниць).

Іноді виникає потреба довести, що дана нерівність зі змінними правильна при всіх вказаних значеннях змінних. Це можна зробити на основі означення понять більше і менше: А > В, якщо різниця А – В – число додатне і т. п.

Для кращого засвоєння учнями даного методу рекомендується при виконанні відповідних вправ неодноразово повторювати означення, виконати усні вправи на порівняння з нулем буквеного виразу та на повторення формул скороченого множення, зокрема квадрата двочлена, а також слід вимагати від учнів чітких і послідовних записів у зошитах та докладних коментарів при усних поясненнях.

Приклад 1. Довести нерівність .

Доведення. Оцінимо різницю між лівою і правою частинами нерівності:

.

Оскільки сума квадратів завжди число невід’ємне, то різниця між лівою та правою частинами невід’ємна. А отже, нерівність істинна. Слід зауважити, що рівність досягається, якщо .

Приклад 2. Довести, що .

Доведення. Розглянемо  різницю  лівої  і  правої  частин  нерівності:

. Об’єднаємо члени многочлена в такі групи, які мають спільний множник і винесемо цей спільний множник за дужки:

При ≥ обидва множники невід’ємні, тобто нерівність виконується, при < обидва множники від’ємні і нерівність теж виконується.