Модели распределенных лагов

Федеральное агентство  по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Научный руководитель

Канд. физ.-мат. наук, доцент

О. Н. Лапина

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

Модели распределенных лагов

 

 

 

 

Работу выполнила Тимакова Ю.

Группа 37, факультет компьютерных технологий и прикладной математики, спец.- прикладная информатика в экономике

 

 

 

Краснодар

2011

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава1. Общая характеристика моделей с распределенным лагом.

    1. Понятие лаговой переменной и общая модель распределенного лага……………………………………………………………………5
    2. Интерпретация коэффициентов моделей с распределенным лагом ………………………………………………..……………………….7
    3. Изучение структуры лага …………………………………..………9
    4. Лаги Алмон……………………………………………..…..………11

Глава2. Построение модели с распределенным лагом………………………..15

 

Заключение…………………………………………...…………………………..19

Библиографический список……………………………………………………20

 

 

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день деятельность в любой области экономики (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах.

Для эконометрики характерны постановка и решение задач, связанных с разработкой экономико-математических моделей по наблюдаемым данным. Такие задачи основаны на гипотезах о законах распределения вероятностей для считающихся случайными отклонений значений переменных от их фактических величин.

В данной работе излагается классический эконометрический подход к одному частному, но важному для приложений и для развития теории классу относительно простых моделей — моделей распределенного лага. С помощью моделей такого типа выражается зависимость изучаемого показателя-функции yt от значений другого показателя-фактора х в тот же период и предшествующие ему моменты или периоды времени. Такие модели применимы, если две величины взаимосвязаны так, что воздействие изменения одной из них на другую сказывается в течение достаточно продолжительного периода времени, т. е. если наблюдается эффект последствия.

Наиболее известны два  примера процессов такого типа. Это, во- первых, процесс преобразования доходов населения в его расходы.

                    

 

Во-вторых, это процесс воспроизводства основных фондов, который можно представить в виде цепочки взаимодействий, обозначаемых стрелками:

                    накопление                       инвестиции в основные фонды


вводы основных фондов                       амортизация

 

 выбытия основных фондов

 

Проблема по выбранной тематике заключается в том, что модели распределенных лагов могут удовлетворительно описывать такие процессы только в том случае, если обеспечена относительная стабильность условий, в которых эти процессы реализуются. Речь может идти о стабильности соответствующих индексов цен, ставок за кредит, норм амортизации, сроков строительства, объемов и структуры источников ресурсов. Такая стабильность далеко не всегда имеет место для продолжительных периодов времени, обеспечивающих нужное для оценивания параметров модели число наблюдений.

Цель курсовой работы – исследование моделей распределенных лагов.

В связи с целью данной курсовой работы необходимо решить следующие  задачи:

    • рассмотреть общую характеристику моделей с распределенными лагами;
    • определить интерпретацию параметров таких моделей;
    • изучить структуру лага;
    • познакомиться с лагами Алмон;
    • выполнить практическую реализацию оценивания модели;

 

 

 

Глава 1. Общая характеристика моделей с распределенным лагом.

    1. Понятие лаговой переменной и общая модель распределенного лага.

При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t – 1, t – 2, t – l. Например, на выручку от реализации или прибыль компании текущего периода могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследований, сделанные компанией в предшествующие моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными.

Эконометрическое  моделирование процессов, осуществляемых с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения переменных, называются моделями с распределенным лагом.

В эконометрическом анализе такие модели используются достаточно широко. Это вполне естественно, так как во многих случаях воздействие одних экономических факторов на другие осуществляется не мгновенно, а с некоторым временным запаздыванием. Причин наличия лагов в экономике достаточно много, и среди них можно выделить следующие.

Психологические причины, которые обычно выражаются через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход постепенно, а не мгновенно. Привычка к определенному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после падения реального дохода.

Технологические причины. Например, изобретение персональных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного обеспечения, которое потребовало продолжительного времени.

Институциональные причины. Например, контракты между фирмами, трудовые договоры требуют определенного постоянства в течение времени контракта (договора).

Механизмы формирования экономических показателей. Например, инфляция во многом является инерционным процессом; денежный мультипликатор (создание денег в банковской системе) также проявляет себя на определенном временном интервале и т.д.

Пусть y - зависимая переменная. Общая модель бесконечного распределенного лага может быть определена следующим образом:

+                                                 

где — неизвестные не равные нулю одновременно константы; — независимая переменная и — независимая от случайная переменная с нулевым средним значением и постоянной дисперсией. В этом уравнении значение зависимой переменной в момент времени t является линейной функцией переменной x, измеренной в моменты t – 1, t – 2 и т.д.

Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Например, потребление в момент времени t формируется под воздействием дохода текущего и предыдущего периодов, а также объема потребления прошлых периодов, например потребления в период (t - 1). Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида

yt = α+βxt+γyt-1+ εt

относится к моделям авторегрессии.

    1. Интерпретация коэффициентов моделей с распределенным лагом

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

yt = α  + b0xt + b1xt-1 + … + bkxt-k +εt                 (1)

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение l следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии b0 при переменной х, характеризует среднее абсолютное изменение у, при изменении х, на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной хt, на результат уt составит (b0 + b1) усл. ед., в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b0 + b1 + b2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной хt в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b0 + b1 + … + bl) абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:

b0 + b1 + … + bl = b

Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l результата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположим

βj = bj / b,  j =  

Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты bj имеют одинаковые знаки, то для любого j

0< βj <1 и

В этом случае относительные  коэффициенты βj являются весами для соответствующих коэффициентов bj. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени (t + j).

Зная величины βj, с помощью стандартных формул можно определить еще две важные характеристики модели множественной регрессии: величину среднего лага и медианного лага. Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной: 

= βj

и представляет собой средний  период, в течение которого будет  происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени. Медианный лаг — это величина лага, для которого

  ≈ 0,5

Это тот период времени, в  течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

 

 

1.3 Изучение структуры лага

Текущее и лаговые значения факторной переменной оказывают различное по силе воздействие на результативную переменную модели. Количественно сила связи между результатом и значениями факторной переменной, относящимися к различным моментам времени, измеряется с помощью коэффициентов регрессии при факторных переменных. Если построить график зависимости этих коэффициентов от величины лага, можно получить графическое изображение структуры лага, или распределения во времени воздействия факторной переменной на результат. Основные ее формы структуры лага:

Рис.1 Графическое  изображение структуры лага

а – линейная, б – геометрическая, в – перевернутая V-образная,

г –, д –, е – полиномиальная

 

 

Если с ростом величины лага коэффициенты при лаговых значениях  переменной убывают во времени, то имеет  место линейная (ее еще называют треугольной - рис.1 а)) или геометрическая структура лага (рис.1 б)). Если лаговые воздействия фактора на результат не имеют тенденцию к убыванию во времени, то имеет место один из вариантов, показанных на рис.1 в) - е). Структуру лага, изображенную на рис.1 в), называют «перевернутой» V-образной структурой. Основная ее особенность - симметричность лаговых воздействий относительно некоторого среднего лага, который характеризуется наиболее сильным воздействием фактора на результат. Графики, представленные на рис.1 г), д) и е) свидетельствуют о полиномиальной структуре лага.

Графический анализ структуры  лага аналогичным образом можно  проводить и с помощью относительных  коэффициентов регрессии. Основная трудность в выявлении структуры  лага состоит в том, как получить значения параметров. В большинстве случаев предположения о структуре лага основаны на общих положениях экономической теории, на исследованиях взаимосвязи показателей либо на результатах проведенных ранее эмпирических исследований или иной априорной информации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Лаги Алмон

Рассмотрим общую модель с распределенным лагом, имеющую конечную, максимальную величину лага l, которая описывается соотношением (1). Предположим, было установлено, что в исследуемой модели имеет место полиномиальная структура лага, т. е. зависимость коэффициентов регрессии bi, от величины лага описывается полиномом   k-й степени. Частным случаем полиномиальной структуры лага является линейная модель (рис.1 а)). Примерами лагов, образующих полином 2-й степени, являются варианты рис.1 г) и д). Перевернутая V-образная структура лага также может быть аппроксимирована с помощью полинома 2-й степени. Наконец, график, представленный на рис.1 е) является примером модели лагов в форме полинома 3-й степени. Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют также лагами Алмон, по имени Ширли Алмон (1965), впервые обратившей внимание на такое представление лагов.

Формально модель зависимости  коэффициентов bj от величины лага j в форме полинома можно записать в следующем виде:

•    для полинома 1-й степени: bj = c0 + с1 j;

•    для полинома 2-й степени bj = c0 + с1 j + с2j2;

•    для полинома 3-й степени: bj = c0 + с1 j + с2j2 +с3j3 и т. д.

В наиболее общем виде для  полинома k-й степени имеем:

bj = c0 + с1 j + с2j2+...+ сk  j k                                                                            (2)

Тогда каждый из коэффициентов bj модели (1) можно выразить следующим образом:

b0 = c0;

b1 = c0 + с1 +… + сk;

b2 = c0 +2 с1 + 4с2+…+2k сk;

b3 = c0 +3 с1 + 9с2+…+3k сk;

  и т. д.

b1 = c0 +l с1 + l 2с2+…+lk сk.                                                                        (3)

Подставив в (1) найденные соотношения для bj, получим:

yt = а+c0 хt+(с0+с1+ ... + сk)* хt-1,+(с0+2с1+4c2+... +2k сk)* хt-2+

+(с0+3с1+9c2+...+3kсk)*хt-3+…+(с0+lс1+l2c2+...+lkсk) * хt-l+ et.                (4)

Перегруппируем слагаемые  в (4):

yt = а + c0 (хt + хt-1, +  хt-2+…хt-l) + c1 (хt-1, +2  хt-2+3 хt-3…l*хt-l)+  c2 (хt-1, +4  хt-2+9 хt-3…l2*хt-l)+ …+  ck (хt-1, +2k  хt-2+3k хt-3…lk*хt-l)+ et.                           (5)                                               

 

Обозначим слагаемые в  скобках при ci, как новые переменные:

 z0 = хt + хt - 1, +  х t - 2+…+ х t - l = ;

z1 = х t -1 +2 х t  - 2 +3  х t - 3+…+l х t – l = ;

z2 = х t – 1 +4 х t – 2 +9  х t – 3 +…+l 2 х t – l = ;

…………………………………………………                                       (6)

 z k= х t – 1 +2 k х t - 2 +3 k  х t - 3+…+l k х t – l = ;

 

Перепишем модель (5) с учетом соотношений (6):

yt = а + c0 z0 + c1 z1 +  c2 z2 + …+   ck zk + et.                                                  (7)

           

 

 

 

 

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом.

1. Определяется максимальная  величина лага l.

2. Определяется степень  полинома k, описывающего структуру лага.

3.  По соотношениям (6) рассчитываются  значения переменных z0… z k

4.  Определяются параметры  уравнения линейной регрессии  (7).

5. С помощью соотношений  (3) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Применение метода Алмон  сопряжено с рядом проблем.

Во-первых, величина лага l должна быть известна заранее. При ее определении лучше исходить из максимально возможного лага, чем ограничиваться лагами небольшой длины. Выбор меньшего лага, чем его реальное значение, приведет к тому, что в модели регрессии не будет учтен фактор, оказывающий значительное влияние на результат, т. е. к неверной спецификации модели. Влияние этого фактора в такой модели будет выражено в остатках. Выбор большей величины лага по сравнению с её реальным значением будет означать включение в модель статистически незначимого фактора и снижение эффективности полученных оценок, однако эти оценки все же будут несмещенными.

Существует несколько  практических подходов к определению  реальной величины лага, например, построение нескольких уравнений регрессии и выбор наилучшего из этих уравнений или применение формальных критериев, например критерия Шварца. Однако наиболее простым способом является измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями фактора.

Во-вторых, необходимо установить степень полинома k. Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов 2-й и 3-й степени, применяя следующее простое правило: выбранная степень полинома k должна быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. Если информацию о структуре лага получить невозможно, величину k проще всего определить путем сравнения моделей, построенных для различных значений k, и выбора наилучшей модели.

В-третьих, переменные z, которые определяются как линейные комбинации исходных переменных х, будут коррелировать между собой в случаях, когда наблюдается высокая связь между самими исходными переменными. Поэтому оценку параметров модели (7) приходится проводить в условиях мультиколлинеарности факторов. Однако мультиколлинеарность факторов z0… zk в модели (7) сказывается на оценках параметров b0… bl в несколько меньшей степени, чем если бы эти оценки были получены путем применения метода наименьших квадратов непосредственно к модели (1) в условиях мультиколлинеарности факторов хt,...,хt-l. Это связано с тем, что в модели (7) мультиколлинеарность ведет к снижению эффективности оценок с0,...,сk, поэтому каждый из параметров b0… bl, которые определяются как линейные комбинации оценок с0,...,сk, будет представлять собой более точную оценку.

Метод Алмон имеет  два неоспоримых преимущества.

    • Он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов.
    • При относительно небольшом количестве переменных в (7) (обычно выбирают k = 2 или k = 3), которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

     

Глава2. Построение модели с распределенным лагом

 

В таблице 1 представлены данные об объеме выпуска продукции в бизнес-секторе экономики США (в % к уровню 1982 г.) и общей сумме расходов на приобретение новых заводов и оборудования в промышленности за 1959-1990 гг. (млрд долл. США).

Таблица 1.

Динамика объемов  ВВП США (у, в ценах 1987 г., млрд долл. США)

и валовых внутренних инвестиций в экономику США

(х, в ценах 1987 г., млрд долл. США)*

Год

Y

х

zо

z1

z2

1959

1931,3

296,4

 

 

 

 

 

 

1960

1973,2

290,8

 

 

 

 

 

 

1961

2025,6

289,4

 

 

 

 

 

 

1962

2129,8

321,2

 

 

 

 

 

 

1963

2218

343,3

1541,1

2958

8838,4

1964

2343,3

371,8

1616,5

3017,1

8885,5

1965

2473,5

413

1738,7

3179,6

9266,2

1966

2622,3

438

1887,3

3471,3

10129,1

1967

2690,3

418,6

1984,7

3752,6

10929

1968

2801

440,1

2081,5

4020,8

11836,4

1969

2877,1

461,3

2171

4243,3

12664,5

1970

2875,8

429,7

2187,7

4349,3

12997,1

1971

2965,1

481,5

2231,2

4347

12993,4

1972

3107,1

532,2

2344,8

4485,2

13393,6

1973

3268,5

591,7

2496,4

4629,5

13706,3

1974

3248,1

543

2578,1

4819,4

13929,2

1975

3221,7

437,6

2586

5249

15403,6

1976

3380,8

520,6

2625,1

5427,5

16450,1

1977

3533,2

600,4

2693,3

5391,6

16625,2

1978

3703,5

664,6

2766,2

5126,4

15309,2

1979

3796,8

669,7

2892,9

5177,6

14753,2

1980

3776,3

594,4

3049,7

5882,5

17061,3

1981

3843,1

631,1

3160,2

6329,2

18861

1982

3760,3

540,5

3100,3

6478,4

19669,6

1983

3906,6

599,5

3035,2

6264,7

19129,7

1984

4148,5

757,5

3123

5951,4

17951,8

1985

4279,8

745,9

3274,5

6102,4

18117,6

1986

4404,5

735,1

3378,5

6221,4

17819,4

1987

4540

749,3

3587,3

6897,4

20128,2

1988

4781,6

773,4

3761,2

7487,2

22522,8

1989

4836,9

789,2

3792,9

7460,9

22320,9

1990

4884,9

744,5

3796,5

7524,3

22388,1

1991

4848,4

672,6

3734

7645,3

22855,7


 

 

Построим модель с распределенным лагом для l= 4 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени. Общий вид этой модели:

yt = а + b0 х t + b1 * х t – 1 + b2 * х t  - 2 +b3 * х t – 3 + b4 * х t – 4 + e t             

Для полинома второй степени  имеем:

bj = c0 + с1* j+ с2*j2,  j=

Для расчета параметров этой модели необходимо провести преобразование исходных данных в новые переменные z0 , z1  и  z2

 Это преобразование  в соответствии с (6) выглядит  следующим образом:

z0 = х t + х t - 1 +  хt - 2+  х t – 3 +х t – 4

z1 = хt - 1 +2 х t – 2 +3  х t – 3 +4 х t – 4

z2 = х t - 1 +4 х t  – 2 +9  х t  - 3 +16 х t  -  4

Значения переменных z0 , z1  и  z2 приводятся в таблице 1. Число наблюдений, по которым производился расчёт этих переменных, составило 28 (четыре наблюдения было потеряно вследствие сдвига факторного признака хt на четыре момента времени).

Расчет параметров уравнения  регрессии (7) методом наименьших квадратов для нашего примера приводит к следующим результатам:

 = 300,010 + 1,922 *z0 - 0,921 * z1 + 0,184 * z2; R2 = 0,990.

          (66,200)    (0,205)       (0,299)      (0,073)

В скобках указаны значения стандартных ошибок коэффициентов регрессии. Воспользовавшись найденными коэффициентами регрессии при переменных zi , i = 0,1,2 и соотношениями (3), рассчитаем коэффициенты регрессии исходной модели:

b0 = 1,922;

b1 =1,922 -0,921 + 0,184 =1,185;

b2 = 1,922 + 2 • (-0,921) + 4 • 0,184 = 0,814;

b3 = 1,922 + 3 • (-0,921) + 9 • 0,184 = 0,811;

b4 = 1,922 + 4 • (-0,921) + 16 • 0,184 = 1,176.

Модель с распределенным лагом имеет вид:

 = 3000,01+1,922*xt+1,185*хt-1+0,184*x t -2 +0,811*хt-3 +1,176*хt-4 ; R2 = 0,990.

    (66,200)    (0,205)    (0,100)     (0,142)     (0,096)          (0,208)     

В скобках указаны стандартные  ошибки коэффициентов регрессии.

Нанесем полученные значения на график (рис.2).

Рис. 2. Структура лага в модели зависимости объема ВВП от объема инвестиций в экономику

Анализ этой модели показывает, что рост инвестиций в экономику США на 1 млрд. долл. в текущем периоде приведет через 4 года к росту ВВП в среднем на (1,922 + 1,184 + 0,814 + 0,811 +  1,176) =5,908 млрд. долл. США.

Определим относительные  коэффициенты регрессии:

β0= 1,922/5,908 = 0,325;

β1 = 1,184/5,908 = 0,200;

β2 = 0,814 / 5,908 = 0,138;

β 3 = 0,811 / 5,908 = 0,138;

β4= 1,176/5,908 = 0,199.

Более половины воздействия  фактора на результат реализуется с лагом в 1 год, причем 32,5% этого воздействия реализуется сразу же, в текущем периоде.

Средний лаг в данной модели составит:

= 0,325 + 0,200*1 +0,138*2+ 0,138*3 + 0,199*4= 1,686.

В среднем увеличение инвестиций в экономику США приведет к  увеличению ВВП через 1,69 года.

Для сравнения приведем результаты применения обычного МНК для расчета  параметров этой модели:

 = 296,56 +2,082 *x t +0,784 *хt-1+1,298 *x t - 2 + 0,428 *хt-3 +1,323 *хt-4 ; R2 = 0,991.

(67,7)      (0,314)      (0,428)       (0,439)         (0,432)        (0,324)

 Хотя коэффициент детерминации  по модели, параметры которой  были рассчитаны обычным МНК,  несколько выше, однако стандартные ошибки коэффициентов регрессии в модели, полученной с учетом ограничений на полиномиальную структуру лага, значительно снизились. Кроме того, модель, полученная обычным МНК, обладает более существенным недостатком: коэффициенты регрессии при лаговых переменных этой модели хt-1 и хt-3 нельзя считать статистически значимыми.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Использование различных  методов и моделей эконометрики имеет важное значение в наше время. Постановка и решение задач, связанных с разработкой экономико-математических моделей позволяет специалисту достичь высокого уровня квалификации.

В данной курсовой работе мы рассмотрели классический эконометрический подход к модели распределенных лагов, изучили структуру лага и рассмотрели общую характеристику модели с распределенным лагом. По итогам данной работы мы сделали вывод, что применительно к конкретным экономическим процессам существующая экономическая теория не может и не должна навязывать применение какой-либо единственной и всегда заведомо лучшей модели, не существует каких-либо формализованных рекомендаций, если, конечно, не считаться с возможностью последовательно перепробовать модели всех известных типов, которые позволили бы выбрать модель, лучше других соответствующую изучаемому объекту и имеющимся данным.

Что касается стабильности условий, необходимых для проведения эконометрических процессов: в случае, если она не имеет место для продолжительных периодов времени, это приводит к идее обобщения модели распределенного лага, состоящей в добавлении к ней других переменных-факторов z1, z2, ..., значения которых zt,s характеризуют текущие условия функционирования изучаемой системы в период t.

Модели распределенных лагов 📙 Курсовая → 🆔 132245

Модели распределенных лагов 📙 Курсовая → 🆔 132245

Модели распределенных лагов