Модели с дискретными зависимыми переменными

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«Тюменский  государственный нефтегазовый университет»

Институт  менеджмента и бизнеса

Кафедра «Математические методы в эконмике»

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

По дисциплине: «Эконометрика»

На тему: «Модели с дискретнымизависимыми переменными»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент 2 курса, гр. Этбзс-11-2

Ф.И.О. Ильченко Н.А.

Проверил:

Ф.И.О. _Гура Е.Н.

 

 

 

 

 

ТюмГНГУ

Тюмень 2013

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

Глава 1. Понятие моделей с дискретными зависимыми переменными………………………………………………………………….

Глава 2. Модели бинарного выбора ………………………………………...

Глава 3. Модели множественного выбора …………………………………

Глава4. Модели счетных данных ……………………………………………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….…

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ….………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Изучение моделей с дискретными  зависимыми переменными является  важным разделом эконометрики. Модели  с дискретными зависимыми переменными  имеют не только теоретическое,  но и практическое значение. Примерами  экономических моделей с дискретными  зависимыми переменными являются  модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического  роста, модели равновесия на  товарных, факторных и финансовых  рынках и многие другие. Строя  модели, экономисты выявляют существенные  факторы, определяющие исследуемое  явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной  проблемы.            Целью работы является рассмотрение моделей с дискретными зависимыми переменными и примеров их использования. Для достижения цели нужно решить следующие задачи:  - изучить модели с дискретными зависимыми переменными;  - рассмотреть модели бинарного выбора;  - исследовать модели множественного выбора;  - изучить модели счетных данных.           Объектом исследования являются эконометрические модели с дискретными переменными.         Предметом  исследования являются модели  с дискретными зависимыми переменными.  В ходе работы были использованы  следующие методы исследования: анализ,  дедукция.

 

Глава 1. Модели с дискретными зависимыми переменными.

 

Как следует  из рассмотренного в предыдущих разделах материалов, в эконометрических исследованиях  обычно предполагается, что  результирующий показатель y_t, является количественной величиной, которая в принципе может принимать любые значения на множестве действительных чисел. Однако в экономических и социальных исследованиях часто приходится сталкиваться с разного рода ограничениями на значения зависимой переменной. В частности, зависимая переменная может принимать только целочисленные значения: 0, 1, 2,... Примерами таких зависимых переменных являются:

1а. Семейное положение, которое выражается следующими категориями (и соответствующими целыми числами):

– холост (1);

– женат (2);

– вдовец (3);

– разведен (4).

1б. Альтернативные товары, между которыми выбирает покупатель, и которые представляются следующими числами:

– марка  А(1);

– марка  Б(2);

– марка  В(3);

– марка  Г(4);

– прочие марки(5).

Очевидно, что в обоих случаях числа  служат только для разграничения  понятий. Расстояние между двумя  числами не имеет никакого значения.

2а. Оценки, полученные на экзамене:

– отлично(5);

– хорошо(4);

– удовлетворительно(3);

– неудовлетворительно(2).

2б. Классы гостиниц:

– пять звезд(1);

– четыре звезды(2);

– три  звезды(3);

– две  звезды(4) и т. д.

В случаях 2а и 2б (в отличие от 1а и 1б) понятия  естественным образом упорядочены, и характеризующие их числа отражают этот порядок. Но различия между 1 и 2 понятиями  не обязательно столь же сильные, как между 2 и 3 и т. д.

3. Число предприятий, обанкротившихся в текущем году (0,1,2...). Так называемые счетные данные (countdata).

При представлении  значений зависимой переменной в  целочисленном виде эконометрическая модель, связывающая эти значения с соответствующим набором независимых  факторов, имеет специфическое содержание. Обычно такая модель определяет вероятность  осуществления события, заключающегося в том, что при известных уровнях  независимых факторов  зависимая  переменная примет конкретное значение j из заданного набора значений j=0,1,2,....

Содержательное  уравнение такой модели выглядит следующим образом:

 

Вероятность(событие j произойдет)=Вероятность(Y=j)=F(параметры, факторы).

 

Модели  с дискретными зависимыми переменными  могут быть классифицированы в зависимости  от:

а) типа переменных;

б) выбранного закона распределения.

В свою очередь, внутри выделенных групп может быть развернута более подробная классификация  в зависимости от более детальных  свойств классификационных признаков. Эти детальные группировки будут  рассмотрены по ходу дальнейшего  изложения материала.

В научной  литературе в зависимости от типа переменных модели с дискретными  зависимыми переменными разделяются  на модели выбора среди конечного числа альтернативных вариантов (примеры 1а,1б,2а,2б) и модели счетных данных

(пример 3).

В зависимости  от числа вариантов, среди которых  осуществляется выбор, различают модели бинарного выбора и модели множественного выбора. В отличие от моделей множественного выбора в моделях бинарного выбора результирующий показатель может принимать  только два значения: 0 и 1.

К моделям  множественного выбора относятся модели с неупорядоченными (примеры 1а, 1б) и  упорядоченными (примеры 2а, 2б) альтернативными  вариантами.

Рассмотрим  особенности формализованного представления  эконометрических моделей с различными видами дискретных зависимых переменных более подробно.

 

Глава 2. Модели бинарного выбора.

 

Модели  бинарного выбора широко используются в экономических и социальных исследованиях, особенно в экономике  труда, при проведении анализа на микро-уровне. Покажем их специфические  свойства на примере модели трудовой активности населения, исходные предпосылки  которой состоят в следующем. Индивидуум в определенный период времени  может работать или искать работу (y=1) или не делать этого (y=0). Предположим, что состояние “работать” или “не работать” определяется набором факторов (возраст, семейное положение, образование, опыт работы и т. д.), и соответствующие вероятности можно представить в следующем виде: 

 

P(y=1)=F(a¢x);

P(y=0)=1–F(a¢x).                         

 

Вектор  коэффициентов  a отражает влияние факторов, например, характеризующих положение индивидуума в обществе, на рассматриваемую вероятность.

Одной из основных проблем при построении моделей бинарного выбора является обоснование функционала F(a¢x). Например, предположим, как и в случае “классических” эконометрических моделей, что вероятности соответствующих событий могут быть представлены в виде линейной функции от значений рассматриваемых факторов:

 

F(a¢x)=a¢x=a₀+a₁x₁+...+a_nx_n,

 

где a₀, a₁,..., a_n – параметры модели; x₁,...,x_n – значения независимых факторов.

Тогда, приняв M[y_t|x _t]=F(a¢x_t), соответствующую эконометрическую модель можно представить в следующем виде:

 

y_t =M[y_t |x _t]+(y_t –M[y_t |x _t])=a¢x _t +e _t

 

где M[y_t|x _t]= – условное математическое ожидание переменной y_t при условии, что вектор независимых переменных равен x _t.

Линейная  форма модели представляет определенное удобство для раскрытия содержания, входящих в  нее слагаемых. Прежде всего, заметим, что между их значениями выполняется следующие соотношения (см. табл. 10.1).

 

Таблица 10.1

уt	P(уt=...)=	et
1	a¢xt	1–a¢xt(с вероятностью a¢xt)
0	a¢xt	–a¢xt(с вероятностью 1–a¢xt)

 

Из табл. 10.1. следует, что ошибки e_t модели (10.43) имеют следующие характеристики:

 

M[e_t]=a¢x_t(1–a¢x_t)+ (1–a¢x_t)( –a¢x_t)=0;

D[e_t|x_t]=a¢x_t(1–a¢x_t)²+(1–a¢x_t)(–a¢x_t) ²=a¢x_t(1–a¢x_t)(1–a¢x_t+a¢x_t)=a¢x_t(1–a¢x_t).

 

где D[e_t|x_t] – условная дисперсия ошибки e_t  при условии, что вектор независимых переменных равен x _t.

 

 Рассмотрим  в качестве критерия выбора  оценок параметров модели (10.43) минимум  суммы дисперсий ее ошибок e_t:

 

a¢x_t)²+ a¢x_t) ²= x_t(1–a¢x_t)²+ 1–a¢x_t)(–a¢x_t)²=

= x_t(1–a¢x_t)= min.                (10.45)

 

Используя МНК для оценки параметров модели (10.43) при критерии (10.45), получим следующую  систему “нормальных” уравнений, относительно неизвестных оценок а₀, а₁,..., а_n:

 

Выполнив  дифференцирование с учетом попарной независимости коэффициентов между  собой и со значениями факторов х_it, i=1,2,...,T, эту систему можно представить в следующем виде:

 

В свою очередь, последняя система может быть представлена в векторно-матричном виде следующим образом:

 

или в компактной форме записи как

X×a=z,                             (10.47)

где матрица  и  вектор-столбец .

Из выражения (10.47) непосредственно вытекает, что  неизвестные оценки параметров бинарной модели линейного типа могут быть получены на основании следующего выражения:

a=X^–1×z,                             (10.47)

 

Однако  линейная интерпретация (10.42) закона распределения  вероятностей  достаточно “неудобна” по своим “эконометрическим следствиям”.

Во-первых, заметим, что из выражения (10.44) вытекает, что ошибка eгетероскедастична, поскольку дисперсия ошибки зависит от вектора x.  В таких условиях оценки параметров aмодели (10.43), полученные на основе выражения (10.48), являются неэффективными. Для получения эффективных оценок ее параметров, необходимо использовать обобщенный МНК.

Во-вторых, любой метод оценки параметров линейных моделей бинарного выбора не дает гарантий, что результат произведения a¢x  может принимать значения только на интервале [0, 1]. С учетом выражения (10.44) несложно заметить, что при отрицательных значениях этого произведениях и значениях больших единицы будет иметь место и другой абсурдный результат – отрицательная дисперсия остатков. Это обстоятельство существенно ограничивает область применения линейной модели бинарного выбора. На практике она используется только для предварительной обработки данных и для сопоставления с результатами, полученными более тонкими методами.

Из приведенных  рассуждений вытекает, что модель бинарного выбора должна удовлетворять двум условиям:

и

 

где a¢x®+¥ – область значений x, при которых P(y=1)=1, а a¢x®–¥ – область значений x, при которых P(y=1)=0.

При этом между значениями составных частей регрессионного уравнения должно выполняться  следующее соответствие (см. табл. 10.2).

Таблица 10.2

уt	P(уt=...)=	et
1	F(a¢xt)	1– F(a¢xt)
0	1– F(a¢xt)	–(1– F(a¢xt))

 

Условиям (10.49) отвечает, например, функция F(a¢x), близкая к закону нормального распределения, график которой представлен на рис. 10.2. Ее использование позволяет снять рассмотренные выше ограничения моделей бинарного выбора. Модели с функционалом, обладающим свойством “нормального закона“,  в литературе получили название  probit-моделей:

P(Y=1)=ò (a¢x).                    (10.50)

 

где Ф(.) –  функция стандартного нормального  распределения, зависящая от значений факторов x и параметров a, j(u)– функция плотности распределения стандартной нормальной переменной u.

В предположении  о независимости и гомоскедастичности ошибок e_t  функцию j(u) можем записать в следующем виде:

j(a¢x_t)=

 

Заметим, что s²в выражении (10.51) является неизвестным параметром, который должен быть оценен, как и вектор параметров a.

 

 

Рис.10.2   График функции  закона распределения, близкого к нормальному.

 

Из выражения (10.51) вытекает, что между значениями независимой переменной у_t  и j(a¢x_t) выполняется следующее соотношение (см. табл. 10.3).

Таблица 10.3

уt	j(a¢xt)
1
0

 

Не менее  широко в моделях бинарного выбора используется и логистическое распределение:

P(Y=1) = L(a¢x).                     (10.52)

 

гдеL(.) представляет собой интегральную функцию логистического распределения.

Модели, построенные на его основе, называются logit-моделями. Несложно заметить, что в данном случае между составными частями регрессионного уравнения выполняется следующее соотношение (см. табл. 10.4).

Таблица 10.4

уt	P(уt=...)=	et
1
0

 

Вопрос  о том, какое из вышеназванных  распределений более подходит для  практических исследований, остается открытым. На участке a¢xÎ[–1,2; 1,2] оба они ведут себя практически одинаково. Однако вне этого участка, т. е. на хвостах распределения, значения функционалов Ф(a¢x) и L(a¢x) имеют некоторые отличия. В частности, логистическое распределение имеет более “тяжелый хвост”, чем нормальное. Практика показывает, что при отсутствии существенного преобладания одной альтернативы над другой, а также для выборок с небольшим разбросом переменных, выводы, полученные на основе probit- и logit-моделей, как правило, совпадают.

В общем  случае из выражения (10.41) для модели бинарного выбора вытекает, что условное математическое ожидание зависимой  переменной при заданном наборе факторов может быть определено следующим выражением:

M[y_t|x_t]=0×[1–F(a¢x_t)]+1×F(a¢x_t)=F(a¢x_t).            (10.53)

 

Одно  из направлений использования результата (10.53) в анализе рассматриваемых  явлений связано с оценками, так называемого маржинального эффекта факторов, входящих в модель. Маржинальный эффект фактора x_it, i=1,2,...,n; t=1,2,..,T показывает  изменение функции F(a¢x_t) (характеризующей вероятность того, что у=1) при изменении фактора x_it на единицу.

Маржинальные  эффекты факторов x_t для модели бинарного выбора оцениваются на основе следующего  выражения:

¶M[y_t|x_t]/¶x_t={¶ F(a¢x_t)/ ¶(a¢x_t)}×a=f(a¢x_t)×a,            (10.54)

 

где f(.) – плотность безусловного распределения, соответствующая интегральному распределению F(.) и дифференцирование осуществляется по вектору x_t. В частности, для нормального распределения маржинальный эффект рассчитывается  по формуле

¶M[y_t|x_t]/¶x_t=f(a¢x_t)×a,                        (10.55)

 

гдеf(.) – плотность стандартного нормального распределения.

Для логистического распределения производная функции  этого закона по факторамx_t функция f(a¢x_t) имеет следующий вид:

¶L[a¢x_t]/¶x_t=e^a¢x/(1+ e^a¢x)² =L(a¢x_t)×[1–L(a¢x_t)].   (10.56)

 

Соответственно  в logit-модели маржинальные эффекты определяются как

¶M[y_t|x_t]/¶x_t=L(a¢x_t)×[1–L(a¢x_t)]×a,              (10.57)

 

Из выражений (10.54)–(10.57) вытекает, что величина маржинального  эффекта для probit- и logit-моделей зависит от значений независимых факторов x. В связи с этим полезно будет определить так называемый “средний маржинальный эффект” в области существования значений независимых факторов.

На практике возможны два подхода к его  оценке. Первый основан на усреднении значений независимых факторов, т. е. сначала рассчитываются выборочные средние всех факторов , i=1,2,..., п, а затем для оценки среднего эффекта определяется f(a¢ )×a. В соответствии со вторым подходом маржинальные эффекты оцениваются для каждого наблюдения, затем по полученным оценкам этих индивидуальных маржинальных эффектов определяется его среднее значение.

 Поскольку  функция (10.51) у рассматриваемых  моделей непрерывна, то в соответствии  с теоремой Слуцкого^* на больших выборках оба подхода будут давать один и тот же набор средних маржинальных эффектов. Но это неверно для малых выборок. Практика показывает, что в этом случае лучшие результаты дает второй подход, основанный на усреднение индивидуальных маржинальных эффектов.

Заметим, что средний маржинальный эффект бинарной независимой переменной (например, с) можно определить как следующую разность: P[y=1| , с=1]–P[y=1| , с=0], где – вектор выборочных средних значений остальных независимых переменных х.

Обратим внимание на то, что результаты моделей  бинарного выбора могут иметь  разнообразное содержание. В частности, их можно проинтерпретировать в  терминах выгоды или ущерба. Рассмотрим такую интерпретацию на примере  модели крупной покупки. Исходными  данными (наблюдаемыми переменными) в  этом случае являются сведения о покупке (1 – покупка сделана, 0 – в противном  случае) и факторы, характеризующие  субъекта, потребителя (доход, пол, возраст  и т. д.). Далее предполагается, что  покупка имеет место, если она  приносит выгоду потребителю, и покупка  отсутствует, если такой выгоды нет, и даже возможен “ущерб” (например, покупка бесполезна).

Ненаблюдаемую (латентную) выгоду, получаемую t-м потребителем от покупки, будем моделировать как переменную y_t^*, определяемую следующим выражением:

y_t^*=a¢x_t+e_t,                                   (10.58)

 

где a¢x_t  в данном случае называется индексной функцией (indexfunktion);   e_t– ошибка модели, в отношении которой делается предположение, что она имеет стандартное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Вероятность получения t-м потребителем выгоды от покупки может быть определена следующим образом:P(y_t^*>0)=P(a¢x_t+e_t>0)=P(e_t>–a¢x_t).              (10.59)

 

Если  распределение симметрично (каковыми являются нормальное и логистическое), то выражение (10.59), можно представить в следующем виде:

P(y_t^*>0)=P(e<a¢x_t)=F(a¢x_t).                      (10.60)

 

В качестве примера модели типа (10.58)–(10.60) рассмотрим модель миграции, разработанную Нейкостином  и Циммером (Nakosteen, Zimmer, 1980). В ее основе лежит предположение о том, что  индивидуум принимает решение о  переезде, если это приносит ему  определенную выгоду, которая оценивается  на основе сопоставления доходов  в настоящем и “новом” месте  его проживания, затрат на переезд.

Доход y_p^*, который индивидуум может получить в данной местности настоящего проживания за год, определяется как

y_p^*=a¢x_p+e_p,                             (10.61)

 

где a– вектор значений параметров; x_p – вектор  независимых переменных, характеризующих индивидуума, например, возраст, образование, опыт работы, и т. д.; e_p – ошибка модели.

Если  индивидуум переезжает на новое место, то его доход y_m^*   будет определяться согласно следующему выражению:

y_m^*=b¢x_m+e_m,                              (10.62)

 

где b– вектор значений параметров; x_m – вектор  независимых переменных, состав которых может как совпадать, так и не совпадать с составом компонент вектора x_p (включать, например, возможность получения более престижной должности); e_m – ошибка модели.

Переезд связан с определенными затратами C^*, которые могут быть связаны линейной зависимостью со статусом индивидуума (предприниматель, наемный работник, семейный или несемейный и т. д.):

C^*=g¢z+u,                             (10.63)

 

где z – вектор  независимых переменных, характеризующих статус индивидуума; u– ошибка модели.

С учетом вышеперечисленного выгода от переезда может быть представлена в следующем виде:

N^*=y_m^*–y_p^*– C^*=b¢x_m –a¢x_p –g¢z+(e_m –e_p– u)=d¢w+e,   (10.64)

 

где w – вектор  независимых переменных, характеризующих индивидуума, условия его жизнедеятельности в местах его жительства и т. п., которые влияют на уровень доходов и затраты на переезд; e=e_m –e_p– u – ошибка модели.

В целом, вероятность переезда P(N=1) определяется следующим образом:

P(N^*>0)=P(d¢w+e>0)=P(e>–d¢w).             (10.65)

 

Выражение (10.65) полностью соответствует выражению (10.59).

Альтернативную  интерпретацию данных об индивидуальных предпочтениях дает модель случайной  полезности (randomutilitymodel). Согласно этой интерпретации латентные (ненаблюдаемые) переменные предыдущей задачи, т. е. y_mиy_p, представляют собой полезности для индивидуума двух выборов (переезжать или не переезжать). В другом примере латентные переменные могут характеризовать полезность аренды дома и полезность владения домом. Статистика индивидуальных выборов, т. е. значения y_t=1 и y_t=0, дают возможность оценить, какая из альтернатив имеет большую полезность при соответствующих наборах факторов, но при этом величина полезности остается неопределенной. Обозначим полезность аренды дома через U^a, а полезность владения домом – через U^b. Наблюдаемый индикатор y_t  равняется 1, если     U^a>U^b, и равняется 0, если U^a£U^b.

Общая постановка модели случайной полезности выглядит следующим образом:

U^a=a¢_ax+e_a;

U^b=a¢_bx+e_b.                              (10.63)

 

где a_a и a_b – различающиеся между собой вектора параметров модели; индексы а и b характеризуют варианты выбора.

Тогда, вероятность  выбора варианта а (наблюдаемая переменная  y принимает значение 1) определяется по следующей формуле:

P(y=1|x)=P[U^a>U^b]=P[(a¢_ax+e_a –a¢_bx–e_b|x]=

= P[(a_a –a_b)¢x+e_a –e_b>0|x]= P[a¢x+e>0|x].       (10.64)

 

На практике по известным значениям наблюдаемой  переменной y_t оценивается вектор a=a_a –a_b.

Рассмотренные выше модели использовали, так называемые индивидуальные данные. Каждое наблюдение содержало набор значений [y_t, x_t], характеризующих реальный выбор отдельного индивидуума и соответствующий вектор независимых факторов. Вместе с тем, часто при построении моделей бинарного выбора используются групповые данные, которые выражают результаты подсчетов или пропорций. Обозначим через k_t  количество индивидуумов, имеющих одинаковые значения, характеризующих их признаков (т. е. одинаковый вектор x_t). Индекс t в этом случае выражает различные вектора признаков x_t и соответствующие количества индивидуумов k_t, обладающих ими. Пусть наблюдаемая зависимая переменная N_tвыражает долю индивидуумов, у  которых y_t=1, в общем числе индивидуумов k_t. С учетом этого информация для фиксированного индекса t выглядит как [k_t, N_t, x_t], t=1,..., T. Для сгруппированных таким образом данных представим  зависимость доли N_t  от факторов-признаков, характеризующих индивидуумов t-й группы,  в следующем виде:

N_t=F(a¢x_t)+e_t =p_t +e_t,

M[e_t]=0;    

D[e_t]=p_t×(1–p_t)/k_t.                          (10.68)

 

где в качестве функции F(a¢x_t) обычно используются функции законов нормального и логистического распределений; p_t  – оценка доли N_t; e_t – ошибка модели.

В заключение раздела, посвященного рассмотрению моделей  бинарного выбора, объясним происхождение  терминов logit и probit. Из выражения (10.68) следует, что дисперсия ошибки eгетероскедастична. Поскольку функция F(a¢x_t) предполагается нелинейной, то для оценки параметров следовало бы применить нелинейный МНК с весами, однако можно предложить менее громоздкий подход к решению данной задачи. Для этого обозначим через F(N_t) значение интегральной функции закона распределения в точке N_t. Тогда можно показать, что обратное значение этой функции F^–1(N_t) допускает следующее представление^*:

F^–1(N_t)»a¢x_t +e_t/f(p_t)илиF^–1(N_t)=z_t»a¢x_t +u_t,                           (10.66)