Модели управления запасами. 2

ВВЕДЕНИЕ

 

Товарно-материальный запас – это запас какого-либо ресурса или предметов, используемых в организации.

С точки зрения практики проблема управления запасами является чрезвычайно серьезной. Потери, которые  несут предприятия (особенно промышленные) вследствие нерационального управления запасами, очень велики. Плохо, когда запас мал, недостаточен. Это может привести к нарушению ритмичности производства, росту себестоимости продукции, срыву сроков выполнения работ по договорам, потере прибыли. Однако же, крайне нежелательной является и ситуация, когда запас чрезмерно велик. В этом случае происходит "замораживание" оборотных средств организации, снижение удовлетворённости клиентов, снижение прибыли, рост кредитов. Те деньги, которые могли бы "работать", приносить доход покоятся на складах в виде запасов сырья, материалов, комплектующих.

Общий алгоритм проведения оптимизации  включает в себя сбор данных, их обработку, разработку модели или нескольких моделей  оптимизации и внедрение решений  на основе выбранной модели.

Ключевой задачей оптимизации  складских запасов является достижение такого минимального объёма запасов, которого хватало бы на постоянное обеспечение непрерывности продаж или производства. Оптимизация, таким образом, является поиском компромисса между противоречивыми, на первый взгляд, требованиями: минимальным объёмом запасов и обеспечение, по сути, не ограниченного во времени процесса производства или продаж.

Среди причин, которые являются основанием для оптимизации управления складскими запасами можно назвать  следующие:

• большой и растущий ассортимент продукции,
• частое обновление ассортимента,
• недостаточное количество квалифицированного персонала либо напротив, его избыток,
• снижение прибыли, во время кризиса в самой компании или в экономике всей страны, как это недавно происходило — это заставляет минимизировать затраты практически во всех сегментах бизнеса и, в частности, оптимизировать складскую деятельность,
• меняется собственник или руководитель предприятия, который заинтересован в прозрачности бизнес-процессов и оптимальной их организации,
• начало работы предприятия с зарубежными партнёрами, что требует организации бизнеса международным стандартам качества и другие причины.

Управление запасами на рациональной основе – весьма актуальная задача. Определяющее значение при построении системы управления запасами имеет характер потребности в хранимом продукте.

С помощью математических методов можно выработать правила  управления запасами. Если для решения  задач управления запасами применяются  математические методы, то исследуемую  систему необходимо описать с  помощью математической модели.

Итак, в этой курсовой работе ознакомимся с классификацией моделей  управления, а также рассмотрим основные задачи статистических моделей.

 

1. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

 

Задача управления запасами возникает, когда необходимо создать  запас материальных ресурсов или  предметов потребления с целью  удовлетворения спроса на заданном интервале  времени. Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически  любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определить количество заказываемой продукции и сроки  размещения заказов.

В любой задаче управления запасами требуется определить количество заказываемой продукции и сроки  размещения заказов.

Спрос можно удовлетворить:

• путем однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени, или
• посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода.

Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).

При избыточном запасе требуются более высокие удельные (отнесенные к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше.

При недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастают.

Для любого из этих двух крайних  случаев характерны значительные экономические  потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его  размещения могут основываться на минимизации  соответствующей функции общих  затрат, включающих затраты, обусловленные  потерями от избыточного запаса и дефицита [1].

 

1.1  Обобщенная модель управления запасами

 

Любая модель управления запасами, в конечном счете, должна дать ответ на два вопроса:

1. Какое количество продукции  заказывать?

2. Когда заказывать?

Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа, определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять всякий раз, когда происходит размещение заказа. В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться во времени.

Ответ на второй вопрос зависит  от типа системы управления запасами. Если система предусматривает периодический контроль состояния запасами через равные промежутки времени (еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль состояния запаса, точка заказа обычно определяется уровнем запаса, при котором необходимо размещать новый заказ.

Таким образом, решение обобщенной задачи управления запасами определяется следующим образом:

1. В случае периодического контроля состояния запаса следует обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные промежутки времени.

2. В случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достигает точки заказа.

Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации  суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных.

Суммарные затраты системы  управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент:

 

Суммарные затраты системы  управления запасами

=

Затраты на приобретение

+

Затраты на оформление заказа

+

Затраты на хранение заказа

+

Потери от дефицита

 

Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа.

Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. При удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством размещения более крупных заказов (и, следовательно реже).

Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (затраты на переработку, амортизационные расходы, эксплуатационные расходы) обычно возрастают с увеличением уровня запаса.

Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции.

Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму суммарных  затрат.

Модель управления запасами не обязательно должна включать все  четыре вида затрат, так как некоторые  из них могут быть незначительными, а иногда учет всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию  суммарных затрат. На практике какую-либо компоненту затрат можно не учитывать  при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат [2].

 

2.  Типы моделей управления запасами

 

Несмотря на то, что любая  модель управления запасами призвана отвечать на два основных вопроса  (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математический аппарат.

Такая ситуация объясняется  различием исходных условий. Главным  основанием для классификации моделей  управления запасами является характер спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спросом).

Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть:

• детерминированными,
• вероятностными.

В свою очередь детерминированный  спрос может быть статическим, когда интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамическим, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.

Вероятностный спрос может  быть стационарным, когда плотность вероятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную классификацию поясняет рисунок 1.2.

 

 

 

 

 

 

СПРОС

статический

динамический

стационарный

нестационарный

вероятностный

детерминированный

 

 

 

 

 

                            

Возрастание математической сложности моделей

 

Рисунок 1.2 – Типы моделей управления запасами в зависимости от характера спроса

 

Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса на продукцию. Однако такой вид  потребления на практике встречается  достаточно редко. Наиболее сложные модели – модели нестационарного типа[[3].

Хотя характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются  другие факторы, влияющие на выбор типа модели:

1. Запаздывания поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказа он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.

2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится самой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса.

3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать, рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.

4. Число пунктов накопления запасов. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованы таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт-потребитель одного уровня может стать пунктом-поставщиком на другом уровне. В таком случае говорят о системе управления запасами с разветвленной структурой.

5. Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Этот фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды [2].

Чрезвычайно трудно построить  универсальную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Рассмотрим разновидности статических моделей управления запасами.

 

2. СТАТИЧЕСКИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ

 

1.  Классическая задача экономичного размера заказа

 

Модель управления запасами простейшего типа характеризуется  постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием  дефицита. Такую модель можно применять  в следующих типичных ситуациях:

1. использование осветительных ламп в здании;
2. использование канцелярских товаров (бумага, блокноты, карандаши) крупной фирмы;
3. использование некоторых промышленных изделий, таких как гайки и болты;
4. потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).

На рисунке 2.1.1 показано изменение уровня запаса во времени.

 

Уровень запаса                Моменты поставки заказов

  

 

 

 

                                                                                         

  

 Средний уровень запаса

 

   t₀ = у /  Время

 

Рисунок 2.1.1 – Изменение уровня запаса во времени

 

Предполагается, что интенсивность  спроса (в единицу времени) равна b. Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером y (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя  единиц времени после получения заказа размером у. Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже.

 

 

Уровень запаса Низкая частота размещения заказов

 

 

 

Высокая частота

размещения заказов

 

 

Время

 

Рисунок 2.1.2 – Частота размещения заказов

 

Так как затраты зависят  от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит в основе построения соответствующей модели управления запасами.

Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении, h – затраты на хранение единицы заказа в единицу времени. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени можно представить в виде:

                                      (1)                                       
Продолжительность цикла движения заказа составляет t₀ = у / .

Средний уровень запаса равен  .

Оптимальное значение у получается в результате минимизации C(у) по у. Таким образом, в предположении, что у – непрерывная переменная, имеем:  

                                        (2)

откуда оптимальное выражение  заказа определяется выражением:     

                                               (3)

Можно доказать, что у* доставляет минимум С(у), показав, что вторая производная в точке у* строго положительна.

Выражение (3) называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у* единиц продукции через каждые  единиц времени.

Оптимальные затраты (получены путем непосредственной подстановки):

                                             ₍₄₎

Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа.

Следующий рисунок 2.1.3 показывает случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на L единиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновлению.

Уровень запаса Точки возобновления заказов 

.y* 

 

 

 

 

 

 

                                                       L.                 L Время 

                        

Рисунок 2.1.3 – Случай, когда точка возобновления заказа должна опережать ожидаемую поставку

 

На практике это реализуется  путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной  точки возобновления заказа. По этой причине эту модель еще называют моделью непрерывного контроля состояния заказа. Следует заметить, что срок выполнения заказа L можно всегда принять меньше продолжительности цикла t₀^*.

Пример. Ежедневный спрос на некоторый товар (b) составляет 100 ед. Затраты на размещение каждого запаса (К) постоянны и равны 100 долл. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса (h) составляют 0,02 долл. Определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням [4].

Решение. Из формулы (3) Уилсона получаем

ед.

Оптимальная продолжительность  цикла составляет:

дней.

Т.к. срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность  цикла составляет 10 дней, возобновление  заказа происходит, когда уровень  запаса достаточен для удовлетворения спроса на дня. Таким образом, заказ размером у* = 1000 размещается, когда уровень запаса достигает ед.

Можно считать, что эффективный  срок выполнения заказа равен

L – t₀^* при L > t₀^*, при этом величина (L – t₀^*) меньше t₀^*

и равен L в противном,

здесь L – заданный срок выполнения заказа.

Для рассматриваемого примера  определить точку заказа в следующих  случаях: а) срок выполнения заказа L = 15 дней. (Ответ: 500 ед.) б) L = 23 дня. (Ответ: 300 ед.) в) L = 8 дней. (Ответ: 800 ед.) г) L = 10 дней. (Ответ: 0 ед.)

 

2.  Задача экономичного размера заказа с разрывами цен

 

В предыдущей модели не учитывались  удельные затраты на приобретение товаров, т.к. они постоянны и не влияют на уровень запаса. Однако нередко  цена единицы продукции зависит  от размеров закупаемой партии. В таких  случаях цена меняется скачкообразно  или предоставляются оптовые  скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты  на приобретение.

Рассмотрим модель управления запасами с мгновенным пополнением  запаса при отсутствии дефицита. Предположим, что цена единицы продукции равна с₁ при и равна с₂ при , где и q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка. Тогда суммарные затраты на цикл помимо издержек оформления заказа и хранения запаса должен включать издержки приобретения.

Суммарные затраты на единицу  времени при :    

                                       (5)

 

 

При эти затраты составляют:        

                                      (6)

 

 

Графики этих двух функций  приведены на рисунке 2.2.1. Пренебрегая влиянием снижения цен, обозначим через y_m размер заказа, при котором достигается минимум U₁(y) и U₂(y). Тогда     

                                               (3)

 

Затраты

U₁

 

 

   U₂

 

 

 

I II III

 

y_m q₁  y

 

Рисунок 2.2.1 – Графики функций U₁(y) и U₂(y)

 

Из вида функций затрат U₁(y) и U₂(y) следует, что оптимальный размер заказа у* зависит от того, где по отношению к трем показанным на рисунке зонам I, II, III находится точка разрыва цены q. Эти зоны находятся в результате определения q₁ (>y_m) из уравнения U₁(y_m) = U₂(q₁).

Так как значение y_m известно (3), то решение уравнения дает значение величины q₁. Тогда зоны определяются следующим образом:

Зона I: ,

Зона II:  ,

Зона III:  .

На рисунках 2.2.2, 2.2.3 и 2.2.4 приведено графическое решение уравнения для рассматриваемого случая, зависящее от того, где находится q по отношению к зонам I, II, III. В результате оптимальный размер заказа у* определяется следующим образом:

, если  , (зона I),

, если  , (зона II),

, если  , (зона III).

Алгоритм определения у* можно представить в следующем виде:

1. Определить y_m по формуле (3). Если  , (зона I), то   и алгоритм закончен. В противном случае перейти к шагу 2.

 

 

2. Определить q₁ из уравнения U₁(y_m) = U₂(q₁) и установить, где по отношению к зонам II и III находится значение q.

а) если  , (зона II), то  .

б) если  , (зона III), то  .

 

Затраты

 

 

U₁

 

   U₂

 

 

 

 Min

 

 

q  y_m q₁ y

 

Рисунок 2.2.2 – q попадает в зону I

 

 

Затраты

 

 

U₁

 

   U₂

 

Min

 

 

          y_m         q q₁ y

 

Рисунок 2.2.3 – q попадает в зону II 

 

 

 

 

Затраты

 

 

U₁

          U₂

  

 

Min

 

 

          Gy_m            q₁ q y

 

Рисунок 2.2.4 – q попадает в зону III 

Пример. Рассмотрим модель управления запасами при следующих исходных данных: K = 10 долл., h = 1 долл., b = 5 ед., с₁ = 2 долл., с₂ =1 долл., q = 15 ед.

Решение. Вычислим сначала  значение

ед.

Так как  , необходимо определить, где находится q: в зоне II или III.

Значение q₁ вычисляется из уравнения U₁(y_m) = U₂(q₁) или 

Подстановка дает:

или

.

Отсюда получаем q₁ = 26,18 или q₁ = 3,82.

По определению в качестве q₁ выбирается большее значение. Так как 

, величина q находится в зоне II. Таким образом, ед.

Суммарные затраты в единицу  времени определяются следующим образом:

долл/день.

 

 

 

3.  Многопродуктовая модель с ограниченной вместимостью склада

 

Эта модель предназначена  для системы управления запасами, включающей n > 1 видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади.

Пусть:

А – максимально допустимая площадь складского помещения для n видов продукции;

a_i – площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида;

y_i – размер заказа на продукцию i-го вида.

Ограничения на потребность  в складском помещении принимают  вид

                                                            (7)

Допустим, что запас продукции  каждого вида пополняется мгновенно  и скидки цен отсутствуют. Предположим  далее, что дефицит не допускается.

Пусть:

_i – интенсивность спроса i-го вида продукции,

K _i – затраты на оформление заказа i-го вида продукции,

h _i – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i-го вида продукции.

Общие затраты будут теми же, что и в случае однопродуктовой  модели. Таким образом, рассматриваемая  задача имеет вид:

Минимизировать  

                                 (8)

при

, для всех i.                                 (9) 
Общее решение этой задачи находится методом Лагранжа.

Прежде чем применять  этот метод, необходимо установить, действует  ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничения на площадь  склада для решения [5].

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически  любой организации необходимо создание запасов. Запасы различного рода играют важнейшую роль при функционировании любой экономической системы и возникают практически во всех звеньях народного хозяйства.

Ни одно производственное предприятие не может существовать без материально-производственных запасов. От их объема и уровня в  значительной мере зависят результаты коммерческой деятельности предприятия. Они чутко реагируют на любые  изменения рыночной конъюнктуры, и, в первую очередь, на отношение спроса и предложения. Сам факт их существования  не приносит их владельцам ничего, кроме  затрат и убытков.

Управление запасами направленно  на повышение рентабельности и скорости обращения вложенного капитала.