Момент инерции

Содержание:

1. Введение.

2. Кинетическая энергия и момент инерции.

3.Зависимость момента инерции от положения оси вращения.

4.Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции.

5. Моменты инерции тела относительно параллельных осей. Теорема Гюйгенса.

6.Центробежные моменты инерции. Понятия о главных осях инерции тела.

7.Момент инерции тела относительно произвольной оси.

8. Заключение.

Введение.

В настоящее время в мире происходят постоянные изменения стратегий и методов, и проблематика данного исследования по-прежнему несет актуальный характер.

Представляется, что анализ тематики «Момент инерции» достаточно актуален и представляет научный и практический интерес.

Характеризуя степень научной разработанности проблематики «Момент инерции», следует учесть, что данная тема уже анализировалась у различных авторов в различных изданиях: учебниках, монографиях, периодических изданиях и в интернете. Тем не менее, при изучении литературы и источников отмечается недостаточное количество полных и явных исследований тематики «Момент инерции».

Научная значимость данной работы состоит в оптимизации и упорядочивании существующей научно-методологической базы по исследуемой проблематике – еще одним независимым авторским исследованием. Практическая значимость темы «Момент инерции» состоит в анализе проблем как во временном, так и в пространственном разрезах.

С одной стороны, тематика исследования получает интерес в научных кругах, в другой стороны, как было показано, сущесвтует недостаточная разработанность и нерешенные вопросы. Это значит, что данная работа помимо учебной, будет иметь теоретическую, так и практическую значимость.

Определенная значимость и недостаточная научная разработанность проблемы «Момент инерции» определяют научную новизну данной работы.

Кинетическая энергия и момент инерции.

Выведем выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Задачу будем решать в приближении ньютоновской механики, т. е. при условии, что все точки движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Для упрощения задачи вначале рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, а затем обобщим полученный результат на любое твердое тело.

Пусть две материальные точки с массами m1 и m2 расположены на расстоянии l друг от друга. Будем считать систему жесткой, т. е. расстояние между точками не меняется. Система вращается вокруг оси с угловой скоростью . Тогда, согласно v=∆l/∆t=r∆α/∆t=rω , скорость первой точки v1=r1ω , скорость второй v2=r2ω , где r1 и r2 -расстояния от материальных точек до оси вращения. Кинетические энергии материальных точек

K1=m1v12/2=1/2 m1r12 ω 2;   K2=m2v22/2=1/2 m2r22 ω 2

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит:

K=K1+K2= ω 2/2 (m1r12+ m2r22)

Физическая величина

J=m1r12+m2r22

называется моментом инерции системы материальных точек. Он характеризует  распределение масс этих частиц относительно оси вращения.

Единицей измерения момента инерции  в системе СИ служит килограмм на метр в квадрате.

Получим

K=J ω 2/2

Итак, кинетическая энергия системы материальных точек равна половине произведения момента инерции этой системы на квадрат угловой скорости вращения.

Если система состоит не из двух, а из n материальных точек, то выражение для ее кинетической энергии сохраняется, но момент инерции примет вид

J=m1r12+m2r22+…+mnrn2

Зависимость момента инерции от положения оси вращения.

Момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от положения оси вращения. Это непосредственно следует из выражения . Действительно, если перенести ось вращения в другую точку, то массы  не изменятся, а радиусы  станут другими, в результате чего и момент инерции окажется другим.

Вычислим моменты инерции системы из двух материальных точек относительно двух осей, параллельных друг другу и перпендикулярных плоскости чертежа. Расстояние между осями AC=a.

Момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку A:

J=m1R12+m2R22

Момент инерции той же системы относительно оси, проходящей через центр масс C:

J0=m1r12+m2r22

По теореме пифагора

R12=h2+(r1+x)2;     R22=h2+(r2-x)2

Подставив в J=m1R12+m2R22 и проделав несложные преобразования, получим с учетом J0=m1r12+m2r22

J=J0+(m1+m2)(h2+x2)+2x(m1r1-m2r2)

Наконец для нерелятивистских  скоростей  есть масса системы. Следовательно,

J=J0+ma2

Итак, момент инерции системы материальных точек относительно произвольной оси равен моменту инерции этой системы относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между осями (теорема Штейнера).

Поскольку ma-положительное число, то из теоремы Штейнера следует, что минимальное значение имеет момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр ее масс.

Воспользуемся теоремой Штейнера для вычисления момента инерции однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец . Пусть масса стержня m, его длина l. Момент инерции пропорционален массе и квадрату линейных размеров:

J=Oml2

где O-коэффициент пропорциональности (отвлеченное число).

Вычислим момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. С одной стороны, мы можем считать стержень состоящим из двух равных кусков с массами  и длинами  . Учитывая, что момент инерции всего стержня равен сумме моментов инерции обеих половин, получим

J0=2Om1l12=2O m/2 l2/4=O/4 ml2

С другой стороны, согласно теореме Штейнера

J0=J-ma2=Oml2-m(l/2)2=ml2(O-1/4)

Сравнив равенства, получим

O/4=O-1/4, откуда  O=1/3

Итак, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню,

J=ml2/3

Момент инерции того же стержня относительно оси, проходящей через центр масс,

J0=ml2/12

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр, пропорционален его массе и квадрату радиуса:

J=αmR2

Для определения коэффициента пропорциональности  вычислим момент инерции кольца. Он равен разности моментов инерции двух дисков с радиусами R и R1 и соответственно с массами m и m1=mR12/R2:

Jk=J-J1=αmR2-αm1R12=αm/R2 (R4-R14)

Масса кольца

Mk=m-m1=m(R2-R12)/R2

Если кольцо достаточно тонкое, то его момент инерции

Jk=∆m1R2+∆m2R2+…=(∆m1+∆m2+…)R2=mkR2=m(R2-R12)

Сравнивая оба выражения для момента инерции кольца, получим после сокращений

α(R2+R12)=R2

А так как по условию R1=R, то α=1/2.

Итак, момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, равен

J=1/2 mR2

Есть величина, зависящая от распределения масс относительно оси вращения. Эту величину называют моментом инерции тела относительно данной оси.

Так как число возможных осей вращения неопределенно велико, то таково же и число моментов инерции, причем ни один из них не может равняться нулю, так как все элементарные моменты положительны.

Моменты инерции относительно осей, проходящих через центр масс, называются главными моментами инерции. Если тело симметрично, то оси проводят параллельно осям симметрии. Главные моменты инерции находятся методами интегрального исчисления.

Значения главных моментов инерции для многих симметричных тел приводятся в справочниках, поэтому можно пользоваться готовыми формулами.

Приведем ряд формул для вычисления моментов инерции:

1.момент инерции материальной точки, расположенной на расстоянии а от оси:      l=ma2;

2.момент инерции однородного шара — относительно оси, проходящей через центр шара:    l=2/5 MR2;

3.момент инерции однородного стержня — относительно оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно к его длине l:   l= 1/12 Ml2;

Расчеты показывают, что момент инерции тела относительно любой оси XX оказывается равным моменту инерции этого тела l0 относительно оси O – O, проходящей через центр тяжести тела, параллельно заданной оси, плюс произведение массы тела M на квадрат расстояния а между этими осями:

l=l0+Ma2.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.

РАДИУС ИНЕРЦИИ .

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

JZ=∑mkhk2                               (1).

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (1) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, Jz=mh2. Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг -м2 (в системе МКГСС— 1 кгм-с2).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты xk, yk, zk этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет yk2+zk2 и т. д.). Тогда моменты инерции относительно осей Oxyz будут определяться формулами:

Jx=∑mk(yk2+zk2);   Jy=∑mk(yk2+zk2);   Jz=∑mk(yk2+zk2);      (2).

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина рz, определяемая равенством:

                                           Jz=Mpz2                                    (3).

где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (3) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (1) и (2) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (1), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что dm=pdV, где р—плотность, а V—объем, получим

Jz = ∫h2 dm или Jz = ph2 dV.              (4)

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность р и расстояние к зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (2) для сплошных тел примут вид

т. д.              (4')

Формулами (4) и (4') удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность р будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла. Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси Az, пер- пендикулярной стержню и проходящей через его конец А. Направим вдоль АВ координатную ось Ах. Тогда для любого элементарного отрезка длины dx величина h—x, а масса dm=p1dx,

где р1=М/l — масса единицы длины стержня. В результате формула (4) дает

JA = ∫ х2 dm = P1 ∫ x2 dx = p1 l3/3.

Заменяя здесь р1 его значением, найдем окончательно

JA=M l2/3.              (5)

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С. Так как все точки кольца находятся от оси

Cz на расстоянии hh=R, то формула (1) дает

Jc=∑mkR2=(∑mk)R2=MR2

Следовательно, для кольца

Jc= MR2  (6)

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр. Для этого выделим элементарное кольцо радиусом г и шириной dr. Площадь этого кольца 2πr*dr, а масса dm=p22πr*dr, где р2=М/πr2 — масса

единицы площади пластины. Тогда по формуле (6) для выделенного элементарного кольца будет dJc=r2dm=2πp2r3dr, а для всей пластины.

Jc = 2πр2 ∫ г3 dr = πр2R4/2.

Заменяя здесь р2 его значением, найдем окончательно

Jc=MR2/2       (7)

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции Jz однородного круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси.

4. Прямоугольная пластина, конус, шар.

Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел (читатель может получить их самостоятельно, а также найти эти и другие формулы в различных справочниках

а)              сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами АВ=а и BD=b (ось х направлена вдоль стороны АВ, ось у — вдоль BD)

Jx=Mb2/3, Jy=Ma2/3;

б)              прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R (ось z направлена вдоль оси конуса)

Jz=0,3MR2

в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось z направлена вдоль диаметра) Jz=0,4MR2

Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной конфигурации можно определять экспериментально с помощью соответствующих приборов.

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО

ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ. ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА.

Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной. Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx'y'z', а через любую точку О на оси Сх' — оси Oxyz, такие, что Oy║Cy', Oz║Cz'. Расстояние между осями Cz' и Oz обозначим через d. Тогда по формулам (2) будет:

Joz=∑mk (xk2 + yk2 ), Jcz’ =∑mk (x’k2 + y’k2 ),

Но для любой точки тела хk=х'k-d и xk2=x'k2+d2-2х’kd , а yk=y’k . Подставляя эти значения хk, уk в выражение для JOz и вынося общие множители d2 и 2d за скобки, получим

JOz=∑mk (x’k2 + y’k2 )+ (∑mk )d2-(∑mk x’k)2d

В правой части равенства первая сумма равна JCz’  , а вторая — массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формул (1) для координат центра масс∑mk x’k=Mx’c . Так как в нашем случае точка С является началом координат, то х'с=0 и, следовательно, ∑mk x’k =0. Окончательно получаем

JOz=JCz’+Md2           (8)

Формула (8) выражает следующую теорему Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Из формулы (8) видно, что JOz>JCz’. Следовательно, из всех

осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс. Теорема Гюйгенса позволяет найти момент инерции тела относительно данной оси Oz1 и в том случае, когда известен его момент инерции относительно любой оси Az2, параллельной Оz1 . При этом надо знать расстояния d1 и d2 каждой из этих осей от центра масс тела. Тогда, зная JAz и d2, мы по формуле (8) определяем JCz’, а затем по той же формуле находим искомый момент инерции JOz1.

ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.

ПОНЯТИЯ О ГЛАВНЫХ ОСЯХ ИНЕРЦИИ ТЕЛА

Если через точку О провести координатные оси Oxyz, то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции (или произведениями инерции) называют величины Jxy, Jyz, Jzx, определяемые равенствами:

Jxy=∑mkxkyk;     Jyz=∑mkykzk;     Jzx=∑mkzkxk;         (9)

где mk — массы точек; xk, yk, zk — их координаты; при этом очевидно, что Jxy=Jyx и т. д.

Для сплошных тел формулы (9) по аналогии с (4') принимают вид

Jxy = ∫ pxydV и т. д.              (9')

В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенным образом выбранных осях Oxyz могут обращаться в нули.

Главные оси инерции. Рассмотрим однородное тело, имеющее ось симметрии. Проведем координатные оси Oxyz так, чтобы ось Oz была направлена вдоль оси симметрии. Тогда в силу симметрии каждой точке тела с массой mk и координатами xk yk, zk будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными —xk, —yk, zk. В результате получим, что ∑mkxkzk =0 и ∑mkykzk =0, так как в этих суммах все слагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны по

знаку; отсюда, учитывая равенства (9), находим:

Jxz=0, Jyz=0.                           (10)

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси z характеризуется обращением в нуль двух центробежных моментов инерции Jxz и Jyz. Ось Oz, для которой центробежные моменты инерции Jxz> Jyz, содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела для точки О. Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для любой своей точки. Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии. Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии. Проведем в этой плоскости какие-нибудь оси Ox, Oz и перпендикулярную им ось Оу. Тогда в силу симметрии каждой точке с массой mk и координатами xk, yk, zk будет соответствовать точка с такой же массой и координатами, равными xk, —yk, zk. В результате, как и

в предыдущем случае, найдем, что ∑mkxkyk =0 и ∑mkykzk =0 или Jxy =0, Jyz=0, откуда следует, что ось Оу является главной осью инерции для точки О. Таким образом, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки О, в которой ось пересекает плоскость.

Равенства (10) выражают условия того, что ось Oz является главной осью инерции тела для точки О (начала координат). Аналогично, если Jxy=0, Jyz=0, то ось Оу будет для точки О главной осью инерции. Следовательно, если все центробежные моменты инерции равны нулю, т. е.

Jxy=0;   Jxz=0;   Jzy=0;

то каждая из координатных осей Oxyz является главной осью инерции тела для точки О (начала координат).

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела. Главные оси инерции, построенные для центра масс тела, называют главными центральными осями инерции тела. Из доказанного выше следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось

является одной из главных центральных осей инерции тела, так как центр масс лежит на этой оси. Если же тело имеет плоскость симметрии, то ось, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через центр масс тела, будет также одной из главных центральных осей инерции тела. В приведенных примерах рассматривались симметричные тела, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, достаточно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угодно тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно перпендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (10'), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки.

Понятие о главных осях инерции играет важную роль в динамике твердого тела. Если по ним направить координатные оси Oxyz, то все центробежные моменты инерции обращаются в нули и соответствующие уравнения или формулы существенно упрощаются. С этим понятием связано также решение задач о динамическом уравнении вращающихся тел, о центре удара  и др.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО

ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ

Проведем ось Ol, образующую с осями Oxyz углы а, р и у соответственно. По определению,Jl=∑mkhk2 , где, как_ видно из треугольника OВkDk, hk2=rk2—(ODk2). Но ODk, как проекция вектора zk=xki+ykl+zkk: на ось Ol, равна сумме проекций составляющих этого вектора на ту же ось, причем (xki)l =

=xk cosα и т. д.; кроме того, rk2=xk2+yk2+zk2. Тогда

Jl=∑mk[xk2+yk2+zk2-(xk cosα+yk cosβ+zk cosγ)2]

Если сначала учесть, что 1—cos2α=cos2β+cos2γ и т. д., а затем вынести квадраты и произведения косинусов, как общие множители, за скобки и                                       принять во внимание формулы (2) и (9), то окончательно получим

Jl=Jxcos2α+Jycos2β+Jzcos2γ-2Jxycosα cosβ-2Jyzcosβ cosγ-2Jzxcosγ cosα.    (11)                                                                                                                                                      

Если же в качестве осей Охуz выбрать главные оси инерции тела для точки О, то формула упрощается.

Jl=Jxcos2α+Jycos2β+Jzcos2γ           (11’)

Формулы (11) или (11’) позволяют, зная входящие в их правые части моменты инерции относительно заданных осей Охуz, определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через точку О*. Если же известно и положение центра масс тела, то, используя формулу (8), можно найти момент инерции относительно оси, проходящей через любую другую точку.

Заключение.

В данной работе рассмотрено понятие, расчет, а также множество видов и свойств момента инерции. Подведем некоторые итоги. Из всего вышесказанного мы можем сформулировать наиболее точное и правильное определение момента инерции. Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси.

Где же мы можем рассмотреть такое явление, как момент инерции? Его рассматривают на примере гироскопа. Гироскопом (симметричным гироскопом) называется твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О и обладающее осью Oz’ динамической симметрии, которая проходит через центр инерции гироскопа. Гироскоп называется уравновешенным, если точка О совпадает с его центром инерции. В противном случае гироскоп называется тяжелым, так как момент его силы тяжести относительно точки О отличен от нуля и существенно влияет на движение гироскопа.

Список используемой литературы:

1. Б.М. Яворский,  А.А. Пинский   «Основы физики»  том1, Москва, «Наука», 1974г.

2. С.М. Тарг   «Основы теоретической механики», Москва, «Наука», 1989г.

3. И.В. Савельев   «Курс общей физики»  том1, Москва, «Наука», 1977г.

4.  Б.М. Яворский, А.А. Детлаф   «Справочник по физике», Москва, «Наука», 1968г.

5. В.Л. Прокофьев, В.Ф. Дмитриева  «Физика», Москва, «Высшая школа», 1983г.

6. А.С. Шубин   «Курс общей физики», Москва, «Высшая школа», 1969г.

7. Р.Г. Геворкян   «Курс физики», Москва, «Высшая школа», 1979г.   

1