МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

    ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

    ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

    «УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

    Физико–математический факультет 

    Курсовая  работа по математическому  анализу

    Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции» 
 
 

      Выполнила: Пляшешник Ксения

                      студентка 131 группы                                          

                         Руководитель: Делюкова Я.В. 
 
 
 
 

    Уссурийск – 2011г.

 

     Содержание

    Введение 3

    Историческая  справка 4

    Основные  определения и теоремы 5

    Пример  непрерывной функции без производной 10

     Решение упражнений 13

    Заключение 21

    Список  литературы 22

 

    Введение

      Курсовая работа посвящена изучению  связи между непрерывностью и  существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:

1. Изучить учебную литературу;
2. Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;
3. Прорешать систему упражнений.

 

      Историческая справка

      Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) — голландский математик.

    Обучался  в Амстердамском университете, затем  в Гёттингенском университете, где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.

    Основные  работы в области алгебры, алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики, где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.

    Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию.

    Основные  определения и  теоремы

    Предел  функции в точке. Левые и правые пределы

    Определение (предел по Коши, на языке  Число называется пределом функции в точке , если

    Определение (на языке окрестности) Число называется пределом функции в точке , если для любой -окрестности числа сущесвует - окрестность точки такая, что как только

    Определение (по Гейне) Число называется пределом функции         в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( то есть , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу

    Определение Число называется левым пределом функции в точке , если

    Определение Число  называется правым пределом функции в точке , если

    Теорема (необходимое и достаточное условие  существования предела)

    Для того чтобы в точке  существовал предел функции необходимо и достаточно,  чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.

    Понятие производной. Односторонние  производные.

    Рассмотрим  функцию   заданную на множестве

1. Возьмем  возьмем приращение . Дадим точке приращение Получим .
2. Вычислим значение функции в точках . и
3. Найдем приращение функции в точке .

     

4. Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента   .

 
 

причем  приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке и обозначают . Он может быть и бесконечным. 

 левой (левосторонней) производной функции в точке , а если

существует  конечный предел то его называют правосторонней производной функции в точке .

    Функция имеет в точке тогда и только тогда, когда в точке совпадают ее левая и правая производные:

    ((.

    Рассмотрим  функцию  Найдем односторонние производные в точке  
 
 
 
 

    Следовательно, (=-1;(=1 и   ((, то есть в точке функция производной не имеет.

    Различные определения непрерывности  функции в точке.

    Определение 1 (основное) Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции в этой точке.    

    Определение 2 (на языке Функция называется непрерывной в точке , если ε, δ>0, такое что .

    Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к .

     

    Определение 4  (на языке приращений) Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

    Понятие дифференцируемой функции

    Определение 1 Функция , заданная на множестве (называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить как (*), где A-const, независящая от  , - бесконечно малая при

    Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.

    Связь между дифференцируемостью и непрерывностью

    Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в точке .

    Доказательство.

    Пусть задана функция  Функция дифференцируема в точке , где  

    При

    Обратная  теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

    Обратная  теорема неверна.

      в - не дифференцируема, хотя непрерывна.

    Классификация точек разрыва

    Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке является разрывной в точке , а саму точку называют точкой разрыва.

    Существуют  две классификации точек разрыва: I  и II рода.

    Определение Точка называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.

    Определение Точка называется точкой устранимого разрыва, если , но они не равны значению функции в точке .

    Определение Точка называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке не существует предела.

• – бесконечные;
• – бесконечный или – бесконечный;

    Признаки  равномерной сходимости рядов

             Признак Вейерштрасса.

    Если  члены функционального ряда (1) удовлетворяют в области неравенствам где - член некоторого сходящегося числового ряда то ряд (1) сходится в равнмерно.

    Теорема 1 Пусть функции определены в промежутке и все непрерывны в некоторой точке этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке сходится равномерно, то и сумма ряда в точке также будет непрерывна. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Пример  непрерывной функции без производной

    Первый  пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

    ,

    где 0<a<1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab>1+π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией , следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.

    Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у=cosωχ заменены колеблющимися ломаными.

    Итак, обозначим через  абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему  целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида , где s-целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.

      

    Положим, затем, для к=1,2,3,…: 

    Эта функция будет линейной в промежутках  вида ; она также непрерывна и имеет период . Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции . Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.

    Определим теперь, для всех вещественных значений x, функцию f(x) равенством 

    Так как, очевидно, 0≤  (k=0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией , то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция всюду непрерывна.

    Остановимся на любом значении . Вычисляя его с точностью до (где n=0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:

    ≤ , где -целое.

     (n=0,1,2,…).

    Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются  вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка , что расстояние ее от точки равно половине длины промежутка.

    =;

    Ясно, что с возрастанием n варианта .

    Составим  теперь отношение приращений

    =

    Но  при k>n, число есть целое кратное периодам функции , соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k≤n, то функция , линейная в промежутке , будет линейной и в содержащемся на нем промежутке , причем

       (k=0,1,…,n).

    Таким образом, имеем окончательно иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n. Отсюда ясно, что при отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при конечной производной не имеет. 
 
 
 
 
 
 

     

 
 
 
 
 
 

    Решение упражнений

    Упражнение 1 ([2], №909)

    Функция определена следующим образом: . Исследовать непрерывность и выяснить существование

    Решение 

    На   непрерывна как многочлен;

    На (0;1)    непрерывна как многочлен;

    На (1;2)  непрерывна как многочлен;

    На (2; непрерывна как элементарная функция.

     - точки подозрительные на разрыв

      
 
 
 

    Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .

      
 
 
 
 

    Так как левый предел равен правому  пределу и  равен значению функции  в точке  функция непрерывна в точке  
 
 
 
 
 
 

    Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке .  

    1 способ. В точке  не существует конечной производной функции Действительно, предположим противное. Пусть в точке существует конечная производная функции непрерывна в точке (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна.

    2 способ. Найдем односторонние пределы  функции  в точке x=0.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Упражнение 2 ([1], №991)

    Показать, что функция имеет разрывную производную.

    Решение.

    Найдем  производную функции.

      При  

      При  
 

    Предел  не существует разрывна в точке  

    Так как – бесконечно малая функция, - ограниченная.

    Докажем, что функция  в точке предела не имеет.

    Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что  не сходится к

     

     

      
 

     

     

      

     

     

    Вывод: функция  в точке предела не имеет.

    Упражнение 3 ([1], №995)

    Показать, что функция  где - непрерывная функция и не имеет производной в точке . Чему равны односторонние производные

    Решение. 
 
 
 
 

    Односторонние пределы не равны  функция не имеет производной в точке .  

    Упражнение 4 ([1], №996)

    Построить пример непрерывной функции, не имеющей  производной функции в данных точках:

    Решение.

    Рассмотрим  функцию  в точках

    Найдем  односторонние пределы  
 
 

     

    = 
 
 
 

              = 

    Односторонние пределы не равны  функция не имеет производной в точке . Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках

    Упражнение 5 ([4], №125)

    Показать, что функция не имеет производной в точке .

    Решение

    Возьмем приращение Дадим точке  приращение Получим

    Найдем  значение функции в точках и  
 

    Найдем  приращение функции в точке  

    Составим  отношение приращения функции в  точке к приращению аргумента 

    Перейдем  к пределу 

    Вывод: не имеет конечной производной в точке .

    Упражнение 6 ([4], №128)

    Показать, что функция не имеет производной в точке .

    Решение

    Возьмем приращение Дадим точке  приращение Получим

    Найдем  значение функции в точках и  
 

    Найдем  приращение функции в точке  

    Составим  отношение приращения функции в  точке к приращению аргумента 

    Перейдем  к пределу 
 
 
 
 

      Вывод: не имеет конечной производной в  точке . 

    Упражнение 7 ([4], №131)

    Исследовать функцию на непрерывность 

    Решение.

    На 

    На 

      – точка подозрительная на разрыв 
 
 
 

    Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна в точке существует разрыв Iрода. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение

    В курсовой работе излагается материал, связанный с понятием «Непрерывная, но не дифференцируемая функции», цели данной работы достигнуты, задачи решены.

    Список  литературы

1. Б. П. Демидович,  / Сборник задач  по курсу математического  анализа. Учебное пособие для  студентов физико-математического  факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с.
2. Г. Н. Берман,  / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с.
3. Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с.
4. И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу  ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с.
5. Ресурс Интернет \ http://ru.wikipedia.org/wiki.
6. Ресурс Интернет \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.