Непрерывность и дифференцируемость функции двух переменных

Министерство образования  и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный  педагогический университет»

Математического факультета

Кафедра математического  анализа

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

Непрерывность и дифференцируемость функции двух переменных

 

 

 

Выполнила: студентка 311 группы

Анчугина Татьяна Юрьевна

Научный руководитель:

Канд. физ.- мат. наук.

 Профессор  Макаров Анатолий Семенович

Дата сдачи ________

Оценка ___________

Челябинск 2013

 

 

Содержание

1)Введение……………………………………………………………..…

2)Понятие функции двух  переменных……………………………………

3)Предел функции двух  переменных…………………………………....

4)Непрерывность функции  двух переменных в точке…………………....

5)Частные приращения и  частные производные…………………………..

6) Дифференцируемость функции  двух переменных, дифференциал…..

7) Связь между дифференцируемостью  и существованием частных производных…………………………………………………………………..

8)  Геометрический смысл дифференцируемости функции……………….

9) Экстремум функции двух  переменных…………………………………..

10) Заключение………………………………………………………………..

11) литератур………………………………………………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Предмет математики и основные периоды ее развития.

Математика представляет собой один из самых важных фундаментальных  наук. Слово «математика» произошло  от греческого слова «матема», что означает знания. Возникла математика на первых же этапах человеческого развития в связи с практической деятельностью людей. С самых древних времен люди, производя различные работы, встречались с необходимостью выделения и образования тех или иных совокупностей объектов, участков земли, жилищных потребностей объектов, жилищных помещений.

Во всех этих случаях нужно  было устанавливать количественные оценки рассматриваемых множеств, измерять их площади и объемы, сравнивать, вычислять, преобразовывать. По  определению, данному Ф.Энгельсом: математика - это  наука изучает количественные отношения  и пространственные формы реального  мира.

Основные математические понятия, такие как число, геометрическая фигура, функция, производная, интеграл, случайное событие и его вероятность  и т.д. за свою историю математика, которая развивалась в тесной связи с развитием производственной деятельностью людей и общественной культуры, превратилась в стройную дедуктивную науку, представленную как мощный аппарат для окружающего  нас мира

В математическом анализе  мы часто встречаемся с понятиями, такими как непрерывность и дифференцируемость функции. Данная курсовая работа раскрывает основные понятия функции двух переменных.

Курсовая работа состоит  из двух основных разделов.

В первом разделе раскрываются основные понятия функции двух переменных. Такие как предел функции, непрерывность  функции.

Во втором разделе раскрываются понятия дифференцируемость и дифференциал функции.  А также геометрический смысл дифференциала функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятие функции  двух переменных

Пусть имеется n+1 переменная x₁, x₂, ..., x_n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x₁, x₂, ...,x_n называется значением функции f в точке (x₁, x₂, ..., x_n), что записывается в виде формулы y = f(x₁,x₂,..., x_n) или y =y(x₁,x₂,..., x_n).

Переменные x₁, x₂, ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y - функцией от n  переменных.

Далее я буду говорить лишь о функции двух переменных. Для  функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение

функции - z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение.

Определение 1. Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î D ставится в соответствие определенное значение переменной z.

Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора  , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы    z = f( ), причем аргументами функции являются координаты вектора  .

Определение 2. График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел функции двух переменных

Для функции  двух переменных u=f(x,y) предел обозначаюти называют двойным пределом.

Определение3. Число b называется пределом функции f(М) при М®∞, если для любого числа >0 найдется такое число R>0, что для всех точек М, удовлетворяющих условиям МЕ, (М,О)>R, выполняется неравенство ǀf(М)-bǀ

()    (ǀf(M)-bǀ).

Обозначение: .

Пусть ГЕ- непрерывная кривая, проходящая через точку А.

Определение 4.(предел по кривой).  Число b называется пределом функции f(М), МЕRⁿ по кривой ГЕ в точке А, если для любого числа >0 существует число такое, что для всех точек М, удовлетворяющих условиям МГ, выполняется неравенство ǀf(М)-bǀ

((М)b)))  (ǀf(M)-bǀ).

Обозначение: .

В частности, для функции двух переменных u=f(x,y) предел функции по кривой у=у(х) в точке (х₀,у₀) будем обозначать

  при этом

 

Замечание. Рассматривая предел функции по кривой, мы приходим к вычислению предела функции одной независимости переменной.

Для того чтобы  доказать, что функция u=f(x,y) не имеет предела в точке (х₀,у₀), достаточно:

1. Либо указать две различные последовательности точек (,) (), сходящиеся к (х₀,у₀) (₀,₀, при n) такие, что ));
2. Либо указать две различные гладкие кривые у=у₁(х) и у=у₂(х), проходящие через точку (х₀,у₀), пределы функции u=f(x,y) по которым не совпадают,

 ®®

Для функции  нескольких переменных справедливы  теоремы о пределе суммы (разности), произведения, частного функций, аналогичные  соответствующим теоремам для функций  одного переменного.

Пример

Доказать, что  предел не существует.

1 способ. Возьмем две последовательности точек на плоскости

() и () при n®.

Тогда  f()===1®1 при n®.

             f()==®0 при n®.

Значения  пределов различны ())=0), следовательно, предел функции не существует.

2 способ.  Вычислим предел заданной функции по направлению у=kу, х®0

Имеем .  Это означает, что пределы по различным прямым, проходящим через точку (0,0), различны (т.е. предел зависит от траектории, по которой точка (х,у) приближается к точке О(0,0)), а следовательно двойной предел не существует.

Замечание. В данном примере в качестве траектории для удобства было выбрано семейство прямых у=kу. Для других функций выбор траектории может быть иным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непрерывность функции  двух переменных в точке

Определение 5. Пусть f – функция двух переменных и M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция f называется непрерывной в точке M₀, если: .

Переходя к координатным обозначениям M₀=(x₀,y₀), M=(x,y), мы можем аналогично случаю функции одной переменной, рассматривать разности x-x₀, y-y₀как приращение аргументов ∆x и ∆y, а разность f(x,y)- f(x₀,y₀) – как приращение функции ∆ f(x₀,y₀). Тогда получаем, что функция  f непрерывна в точке (x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ f(x₀,y₀),  т. е.=0. Теперь учитывая определение предела функции в точке, переформулируем определение непрерывности.

Определение 6. Функция f называется непрерывной в точке M₀, если M_0D(f) и для любой точки M_n, принадлежащей D(f) выполняется условие: .

Следовательно, функция является непрерывной в точке, если:

1.     функция определена в этой точке;

2.     имеет предел в этой точке;

3.     предел равен значению функции в этой точке.

В противном же случае функция  терпит разрыв в этой точке.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Z=

 

Решение

Данная функция  определена при всех значениях переменных x и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x²+y² непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной  всюду, кроме точек, где знаменатель  равен нулю. То есть рассматриваемая  функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные приращения и частные производные.

Пусть в некоторой области  задана функция z=f(x,y). Возьмем произвольную точку M(x,y) и зададим приращение  к переменной х, оставляя значение переменной у неизменным. Тогда величина _х z= f(x+ ,y)- f(x,y) называется частным приращением функции по х.

Если существует придел _{, то он называется частной производной функции} z=f(x,y) по переменной х и обозначается любым из следующих символов: ,  z^’_x;  ,  f^’_x(x,y).

Определение 7. Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю, то есть частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) называется предел , если этот предел существует.

Аналогично определяется частная производная функции  по у, то есть

_у z= f(x,  y)- f(x,y) – частное приращение функции по у, а предел _{называется частной производной функции} z = f(x,y) по переменной у.

Пример. Z=x²-2xy+y²-3x+5y-10

= (x²-2xy+y²-3x+5y-10)’=2x-2y-3

=(x²-2xy+y²-3x+5y-10)’=-2x+2y+5

 

 

 

Дифференцируемость  функции двух переменных, дифференциал.

Дифференцируемость  функции. Пусть f: D(R²)®R . Составим полное приращение функции z = f(x,y) в точке (x,y):ÎD

 

 

  Определение8. Функция z = f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде (1) где А и В-некоторые числа, при ®, .    

Другими словами, функция z = f(x,y)  дифференцируема в точке (x,y) , если ее приращение  эквивалентно функции :  при ®. Выражение  в этом случае представляет собой главную часть приращения , линейно зависящую от  и .     

Определение9. Если функция z = f(x,y)  дифференцируема в точке (x,y) , то главную линейную часть  ее приращения  называют полным дифференциалом в точке (x,y)  и обозначают в виде

.         

Для независимых переменных x и y полагают  и   Поэтому полный дифференциал записывают также в виде        

 

 

 Формула (1) показывает, что, как и  в случае функции одной переменной, верна         

Теорема. Если функция f(x,y)  дифференцируема в точке (x,y) , то она непрерывна в этой точке.         

Обратное утверждение  неверно, т.е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным  условием дифференцируемости функции. Покажем это.         

Пример.   Найдем частные производные функции :

,

Полученные формулы теряют смысл в точке O(0,0) .         

Можно показать иначе, что  функция  не имеет частных производных в точке O(0,0) . В самом деле, . Эта функция одной переменной  , как известно, не имеет производной в точке x=0. Последнее и означает, что частная производная  в точке O не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке O(0,0) .

Итак, мы показали, что непрерывная  функция может не иметь частных  производных. Осталось установить связь  между дифференцируемостью и  существованием частных производных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Связь между дифференцируемостью  и существованием частных производных. 

Напомним, что для функции  одной переменной  существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция z = f(x,y)  дифференцируема в точке M(x,y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной   и  .

При этом , , где A и B – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде

,

а полный дифференциал функции  – в виде .         

Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных  не является достаточным условием дифференцируемости функции.         

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция z = f(x,y)  имеет непрерывные частные производные  и  в точке M(x,y), то она дифференцируема в точке M (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой ).         

Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность частных производных  является только достаточным, но не необходимым  условием дифференцируемости функции.

 

 

 

 

 

 

 

       Геометрический  смысл дифференцируемости функции. 

Напомним, что для функции  одной переменной   из дифференцируемости функции в точке x₀ следует существование касательной к графику функции в точке M(x₀,f(x₀)).     

Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных z = f(x,y) , (x,y) ÎG. График этой функции, т.е. множество точек S={(x,y, f(x,y)),(x,y)ÎG}, представляет собой поверхность в пространстве R³. Пусть плоскость P проходит через точку N₀(x₀,y₀,f(x₀,y₀))  поверхности S; N(x,y,f(x,y))  – произвольная (текущая) точка поверхности S; N₁  – основание перпендикуляра, проведенного из точки N к плоскости P (рис1)

Рис. 1.         

Определение. Плоскость P, проходящая через точку N₀ поверхности S, называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке, если при N®N₀(NÎS) величина N,N₁) является бесконечно малой более высокого порядка, чем N,N₀), т.е. .         

Теорема. Если функция z = f(x,y)  дифференцируема в точке M₀(x₀,y₀), то в точке N₀(x₀,y₀,f(x₀,y₀))   существует касательная плоскость к поверхности S (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид

 .

Вектор   нормали к касательной плоскости, т.е. {}, называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экстремум функции двух переменных

Говорят, что функция z=f(x,y) имеет максимум в точке М₀(Х₀,У₀), т. е х=х₀, у=у₀, если f(x₀,y₀)> f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х₀,у₀) и отличных от нее.

Говорят, что функция z=f(x,y) имеет минимум т.е х=х₀, у=у₀, если f(х₀,у₀), если f(x₀,y₀)< f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х₀,у₀) и отличных от нее.

Максимум и минимум функции  называются экстремумами функции.

Теорема ( необходимое условие экстремума функции двух переменных) Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х₀, у=у_0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку М₀(Х₀,У₀), функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка М₀(Х₀,У₀) является критической точкой функции f(x,y), т.е. ()_M =0, ()_M =0, тогда при х=х₀, у=у₀:

1. f(x,y) имеет максимум, если дискриминант ²>0 и А<0, где А=()_M, B=)_M, C=()_M
2. f(x,y) имеет минимум, если дискриминант ²>0 и А>0,
3. f(х,y) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ²<0
4. если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуются дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на экстремум функцию z=3x³+y²+4xy-x+2

Решение. На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Частные производные первого  порядка от функции z равны:

(3х³+у²+4ху-х+2)=9х²+4у-1

(3х³+у²+4ху-х+2)=2у+4х.

Приравняем их к нулю и  решим систему уравнений:

    

 

Выпишем отдельно первое уравнение  системы и найдем его корни:

 

D=b²-4ac=(-8)²-49(-1)=64+36=100,

x₁=

x₂=

подставим найденные значения переменной х во второе уравнение  системы:

 и 

Таким образом, получим две  точки М₁(1,-2) и М₂(), в которых будет проложено исследование функции z на экстремум.

На втором шаге найдем все  вторые частные производные от функции  z:

(=(9х²+4у-1)=18х

(=(9х²+4у-1)=4

(=(2у+4х)=2

На третьем шаге для  каждой из точек М₁(1,-2) и М₂() установим наличие экстремума функции z (для этого вычислим значение второй производной и найдем знак дискриминанта в указанных точках).

1. Для точки М₁(1,-2):

²=181=18  В==4  С==2

 ²=182-16=20>0.

Так как дискриминант больше 0 и А>0, то функция z имеет минимум в точке М₁(1,-2):

2. Для точки М₂()

А==18(=-2, В==4,  С==2

²=(-2)2-16=-20<0.

Так как дискриминант меньше нуля, то функция z не имеет в точке М₁(1,-2) ни минимума, ни максимума.

Ответ. В точке М₁(1,-2) функция z=3x³+y²+4xy-x+2 имеет минимум.

 

 

 

 

 

Заключение

Если функция z=y(x,y) дифференцируема в точке М(х₀,у₀), то она и непрерывна в этой точке.

По определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует  малое приращение функции. Обратное утверждение не верно.

 Например, функция z=ǀyǀ непрерывна в т.О, но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция  непрерывна.

 

Литература