Непрерывность и дифференцируемость функции 2-х переменных

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

 

Кафедра математического

  анализа

Курсовая работа

«Непрерывность и дифференцируемость функций двух переменных»

 

 

 

 

                                                                                              Выполнил:

студент 3 курса, гр. МПрг-109

физико-математического факультета

очной формы обучения

Куканова В.М.

 

                                                                                             Научный руководитель:

к. физ.-мат. наук, доцент кафедры

математического анализа

Жукова А.А.

 

 

 

Владимир, 2011

Содержание

Введение……………………………………………………………….…………3

Глава 1. Дифференцируемость функций двух переменных…………..…4

1.1.   Понятие функции двух переменных ……………………………..4

1.2.    Предел функции в точке …………………………………………..5

1.3. Непрерывность функции двух переменных в точке.…………….6

1.4.    Частные производные ……………………………………………..8

1.5 Дифференцируемость функции двух переменных, дифференциал……………………………………………………………14

6. Геометрический смысл дифференциала ……………..……...…...15
7. Экстремумы функции двух переменных…………………………17

Глава 2. Связь между основными понятиями………………………….…21

2.1. Непрерывность и ограниченность функции………………….…21

2.2. Существование частных производных в точке и непрерывность функции в этой точке…………….………………………………………21

2.3. Непрерывность частных производных в точке и дифференцируемость функции в этой точке………………………..….24

2.4.  Непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке………………..………………………………………………..27

Заключение……………………………………………………………………….29

Список использованной литературы……………………………………..…….30

 

 

 

Введение

Предмет математики и основные периоды ее развития.

Математика  представляет собой один из самых  важных фундаментальных наук. Слово "математика" произошло от греческого слова "матема", что означает знания. Возникла математика на первых же этапах человеческого развития в связи с практической деятельностью людей. С самых древних времен люди, производя различные работы, встречались с необходимостью выделения и образования тех или иных совокупностей объектов, участков земли, жилищных потребностей объектов, жилищных помещений.

Во-первых, во всех этих случаях нужно было устанавливать  количественные оценки рассматриваемых  множеств, измерять их площади и  объемы, сравнивать, вычислять, преобразовывать. По определению, данному Ф.Энгельсом:

Математика – это наука изучает количественные отношения и пространственные формы реального мира.

 Основные  математические понятия, такие  как число, геометрическая фигура, функция, производная, интеграл, случайное событие и его вероятность  и т.д. За свою историю математика, которая развивалась в тесной связи с развитием производственной деятельностью людей и общественной культуры, превратилась в стройную дедуктивную науку, представленную как мощный аппарат для изучения окружающего нас мира.

Академик А.Н. Калинов выделил четыре основных развития в истории математики.

Первый –  период зарождения математики, начало которого лежит и теряется в глубинах тысячелетий истории человечества и продолжается до VI – V веков до нашей эры. В этом периоде создается арифметика, а также зачатки геометрии. Математические сведения этого периода состоят в основном из свода правил решения различных практических задач.

Второй период – элементарной математики, т.е. математики, постоянных величин (VI – V вв. до н.э. – XVII в. н.э.). Уже в начале этого периода (около 300 лет до н.э.) Евклид создает теорию трех книг ("Начало Евклида" - первый из дошедших до нас больших теоретических исследований по математике), в которых, в частности изучается дедуктивным образом на базе система аксиомы вся элементарная геометрия. Изданной в IX веке сочинения ал-Хорезми "Кибат ал-Джарап ал-Мукабана" содержит общие приемы решения задач, сводящие к управлению первой и второй степени. В XV веке вместо громких выражений стали употреблять знаки + и -, знаки степеней, корней, скобки. В XVI веке Ф.Виет применяет буквы для обозначения данных и не известных величин. К середине XVII века в основном сложилась современная алгебраическая символика, и этим были созданы основы формального математического языка.

Третий период – период создания математики переменных величин (XVII век – середина XIX века). Начиная с XVII века, в связи с изучением количественного отношения в процессе их изменения, на первый план выносили понятия переменной величины и функции. В этом периоде в работах Р.Декарта на базе мирового исследования метода системных координат создается аналитическая геометрия. В ра ботах И.Ньютона и Г.В.Лейбница завершает создание дифференциального интегрального исчисления.

Четвертый период – современные математики. Его начало следует относить к двадцатым годам XIX века – этот период начинается с работ Э.Гаусса, в которых заложены идеи теории алгебраических структур, В.И.Лобачевского, который открыл первую неевклидовую геометрию – геометрию Лобачевского.

В последствии дальнейшего распространения получил аксиоматический метод, в новую фазу вступили работы по обоснованию математики, математической логики и математическому моделированию. Создание в середине прошлого века ЭВМ привело не только более к глубокому и широкому применению математики в других областях знания, в технических науках, в вопросах организации и управления производством, но и зарождению развития новых областей теоретических и прикладных математических функций. Проникновения методов современной математики и ЭВМ в другие наук и практику применяет на столько всеобщий и глубокий характер, что одно из способностей нынешнего этапа развития человеческой культуры считается процесс математизации знаний и компьютеризации всех сфер трудовой деятельности и жизни людей.

В математическом анализе мы часто встречаемся  с понятиями, такими как непрерывность  и дифференцируемость функций. Данная курсовая работа раскрывает основные понятия функций двух переменных.

Курсовая работа состоит  из двух основных разделов.

В первом разделе раскрываются основные понятия функций двух переменных. Такие как предел функции, непрерывность функции, частные производные функции, дифференцируемость и дифференциал функции, экстремумы функции.

Во втором разделе показаны связи между основными понятиями функции двух переменных.  Как связаны между собой непрерывность и ограниченность функции двух переменных. Существование частных производных в точке и непрерывность функции в этой точке и т.д.

 

 

Глава 1. Дифференцируемость функций двух переменных

1.    Понятие функции двух переменных

Пусть имеется n+1 переменная x₁, x₂, ..., x_n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x₁, x₂, ..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x₁, x₂, ..., x_n называется значением функции f в точке (x₁, x₂, ..., x_n), что записывается в виде формулы y = f(x₁,x₂,..., x_n) или y =y(x₁,x₂,..., x_n).

Переменные x₁, x₂, ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y - функцией от n переменных.

Далее я буду говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение функции - z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f(x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение.

Определение 1. Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y)ÎD ставится в соответствие определенное значение переменной z.

Поскольку любую  пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f(x,y) можно писать z=f(M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x,y можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке M(x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f( ), причем аргументами функции являются координаты вектора  .

Определение 2. График функции двух переменных есть множество точек (x,y,f(x,y)), где (x,y)ÎD. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.

 

1.2. Предел функции в точке

 

Пусть задана функция z=f(x,y), M(х,у)-текущая точка, M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f). (Рис. 1).

Определение 3. Число А называется пределом функции z=f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀), если для любой M_n не принадлежащей множеству D(f), M_n ≠ M₀, выполняется равенство:    

При этом пишут   

 
 или                       

 

 

 Определение 4. Если   , то функция называется бесконечно малой.

Определение 5. Если  , то функция называется бесконечно большой.

 

1.3.  Непрерывность функции двух переменных в точке

 

Определение 6. Пусть f – функция двух переменных и M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция f называется непрерывной в точке M₀, если:

.

Переходя к  координатным обозначениям M₀=(x₀,y₀), M=(x,y), мы можем аналогично случаю функции одной переменной, рассматривать разности x-x₀, y-y₀ как приращение аргументов ∆x и ∆y, а разность f(x,y)- f(x₀,y₀) – как приращение функции ∆ f(x₀,y₀). Тогда получаем, что функция f непрерывна в точке (x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ f(x₀,y₀), т. е.

Теперь учитывая определение предела функции  в точке, переформулируем определение  непрерывности.

Определение 7. Функция f называется непрерывной в точке M₀, если M₀ÎD(f) и для любой точки M_n, принадлежащей D(f) выполняется условие:

.

Следовательно, функция является непрерывной в  точке, если:

1.     функция определена в этой точке;

2.     имеет предел в этой точке;

3.     предел равен значению функции в этой точке.

В противном  же случае функция терпит разрыв в  этой точке.

Пример 1.  Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Данная функция  определена при всех значениях переменных x и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x²+y² непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной  всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.

Пример 2.  Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y). Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π/2, т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

 

1.4.  Частные производные

 

Рассмотрим  функцию z=f(x,y), M₀(x₀,y₀) – рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х₀ приращение Dх: х₀+Dх, получим точку M₁(х₀+Dх,у₀), вычислим разность значений функции в точке M₀: D_хz = f(M₁)-f(M₀) = f(x₀+Dx,y₀) - f(x₀,y₀) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х₀. 

Определение 8. Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю, то есть частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) называется предел

 

 

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

; ; .

Частная производная  по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно  аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

=

 ;   

 

 

 

 

рис. 2

В пространстве XYZ условие y = y₀ описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y₀. Плоскость P пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 2. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x₀,y₀ равен частной производной по x функции z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной  производной по y.

Если частные  производные функции z = f(x,y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

.

Сами частные  производные могут являться функциями  от нескольких переменных на некотором  множестве. У этих функций тоже могут  существовать частные производные  по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются:

     или   

Согласно определению:

,    

Последняя частная  производная второго порядка  называется смешанной.

А зависит ли смешанная  частная производная второго  порядка от того в какой последовательности берутся переменные по которым вычисляется производная. Ответить однозначно на этот вопрос нельзя, так как смешанные частные производные равны будут только в том случае, если они непрерывны, о чем и говорит следующая теорема.

Теорема 1. Если смешанные  частные производные второго  порядка непрерывны, то они не зависят от того в какой последовательности вычислялись частные производные.

В остальных  же случаях смешанные производные равны не будут.

Пример 1. Найти  частные производные функции u=z^-xy, z > 0.

Решение

Частные производные  неявно заданной функции нескольких переменных

Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой  переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y :

Пример 2.

Уравнение 

неявно задаёт две функции: ,

А уравнение    не задаёт никакой функции.

Теорема 1 (существования неявной функции).

Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f'_x и f'_y определены и непрерывны в некоторой окрестности U_M0 точки M₀(x₀y₀). Кроме того, f(x₀,y₀)=0 и f'(x₀,y₀)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности U_M0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x₀, причем y( x₀)=y₀.

Без доказательства.

Из теоремы 1 следует, что на этом интервале D:

 
то- есть имеет место тождество  по

Поэтому

 

где "полная" производная находится согласно (1.31)

;                                                      

 

То есть (1.35) дает формулу нахождения производной  неявно заданной функции одной переменной x .

Аналогично  определяется и неявная функция  двух и более переменных.

Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:

то при некоторых  условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию

При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся  так:

Пример 3. Считая, что уравнение

 

неявно задаёт функцию 

Найти ,

Решение

Имеем:

 

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Ответ.

 

 

1.5.  Дифференцируемость функции двух переменных, дифференциал

 

Рассмотрим  функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р₀(х₀,у₀) частные производные f¢_x(х₀,у₀) и f¢_у(х₀,у₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x₀+Dx,y₀+Dу), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение:

Определение 9. Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде:

 

где

 

то функция  называется дифференцируемой в точке Р₀(х₀,у₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р₀ и обозначается df(x₀,y₀):

 

 

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx  и Dу . Таким образом 

 

1.6.  Геометрический смысл дифференциала.

 

На рисунке 3 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р₀Р равна значению функции z в точке P₀, то есть çР₀Рç = f(x₀,y₀) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P₀ положительны). Координатами точек Q₀, S₀ и R₀ являются пары чисел соответственно (x₀,y₀+Dу); (x₀+Dx,y₀) и (x₀+Dx,y₀+Dу), причём çQ₀Qç = f(Q₀), çS₀Sç = f(S₀) и çR₀Rç = f(R₀). Приращение Df(х₀,у₀) функции в точке Р₀ равно çRR₂ç.

 

 

  рис .3

Параллелограмм PQ₁R₁S₁ лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ₂R₂S₂ ,расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно: 

Из легко  доказываемого равенства 

 

и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке  Р₀ равен çR₂R₁ç.

А это означает, что  дифференциал функции изображается приращением аппликаты точки касательной плоскости, проведенной к поверхности в ее точке.

 

1.7  Экстремумы функции двух переменных

 

Определение 10. Точка M₀(x₀,y₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M₀, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство  f(x,y)< f(x₀,y₀) ( f(x,y)> f(x₀,y₀)). (Рис. 4 и Рис. 5).

Точки максимума  и минимума называются точками экстремум.

 

 

 

рис. 4 рис. 5

 

Сформулируем  необходимое условие экстремума.

Теорема 2. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется  необходимое условие, экстремума, может  и не быть.

Пример:

Обе частные  производные в точке (0,0)  обращаются в 0. Однако точка (0,0)  не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y)>0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y)<0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения  функции точкой экстремума, нужно  использовать достаточное условие  экстремума.

Теорема 3. Пусть z_x¢(x₀,y₀) = 0 и z_y¢(x₀,y₀) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Введем обозначения: A = z_xx¢¢(x₀,y₀); B = z_xy¢¢(x₀,y₀); C = z_yy¢¢(x₀,y₀); D = AC - B².

Тогда, если D < 0, то в точке (x₀,y₀) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x₀,y₀) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование  функции двух переменных на экстремум  сводится к следующему алгоритму:

1.     Найти первые частные производные: .

2.     Найти стационарные точки, т. е. точки, в которых

 

        и       

 

             3.     Найти вторые частные производные

 

4.     Вычислить значения вторых производных в стационарных точках

5.     Для каждой стационарной точки найти значение D, и сделать выводы на основании теоремы 3.

Пример 1.

Исследовать на экстремум:

 

Решение

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

 

 

 

Следовательно:

 

то есть найдены четыре стационарные точки.

2.

 

по теореме  в точке  – минимум.

 
Причём 

по теореме  в точке 

- максимум.  
Причём

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.  Связь между основными понятиями

2.1.  Непрерывность и ограниченность функции

Установим связь  между непрерывностью и ограниченностью  функции в точке. Имеет место  следующая теорема:

Теорема 4. Если функция непрерывна на замкнутом  ограниченном множестве, то она ограничена на этом множестве.

Доказательство. Допустим, что существует функция f непрерывная на компактном множестве Е, но не являющаяся ограниченной на этом множестве. Тогда для любого n принадлежащего множеству N, существует последовательность точек P_n принадлежащих множеству Е, для которых выполняется условие: |f(P_n)|>n. Из последовательности (P_n) точек множества E выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке P₀ из множества Е. Но теперь имеем:

ввиду непрерывности f в точке P₀. Эти два предельных результата несовместимы, значит наше предположение о неограниченности функции f на множестве Е – не верно, что и доказывает данную теорему.

 

2.2  Существование частных производных в точке и непрерывность функции в этой точке

 

У функции одного аргумента из существования производной в какой-либо точке вытекает непрерывность в этой точке. В противоположность этому уже у функции двух переменных из существования обеих частных производных еще не вытекает непрерывности функции. Возьмем, например, функцию:

 

с дополнительным определением эта функция имеет всюду обе частные производные. Во всех точках, кроме начала координат, это вытекает из того факта, что в этих точках знаменатель не обращается в нуль, а в начале координат имеем:

 

Очевидно, что  эта функция имеет разрыв в начале координат. Говоря геометрически, существование частных производных ограничивает поведение функции лишь по направлениям оси x и оси y, но не налагает ограничений на ее поведение во всех прочих направлениях.

Итак, существование  у функции двух переменных обеих частных производных не позволяет делать вывод, что она непрерывна. Однако из существования в замкнутой области ограниченных частных производных вытекает непрерывность функции, как показывает следующая теорема:

Теорема 5. Если функция f(x,y) имеет всюду в области G частные производные f¢_x(х,у) и f¢_у(х,у), удовлетворяющие неравенствам:

,

где число M не зависит от x и y, то f(x,y) непрерывна в области G.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим две точки (х, у) и (х+h, y+k) лежащие в области G. Предположим еще, что оба прямолинейных, взаимно перпендикулярных отрезка, соединяющих эти точки с точкой (x+h, k), лежат целиком внутри области G. Это во всяком случае верно, если (х, у) есть внутренняя точка области G, а точка (х+h, у+k) достаточно к ней близка. Тогда:

Оба члена в  первой фигурной скобке правой части  отличаются только значением аргумента у, а члены, заключенные во вторую фигурную скобку — только значением аргумента х. Поэтому каждую из этих фигурных скобок можно преобразовать по теореме дифференциального исчисления о среднем значении, рассматривая первую из этих скобок как приращение функции одного только у, а вторую — как приращение функции одного только х.

 В итоге получим:

 

где O₁ и O₂ — два числа, лежащих между 0 и 1. Другими словами, производная по у берется в некоторой точке вертикального отрезка, соединяющего точки (x+h,y) и (x+h,y+k), а производная по x — в какой-то точке горизонтального отрезка от точки (х,у) до (x+h,y).