Общая теория поверхностей второго порядка

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ   ПОВЕРХНОСТЕЙ  ВТОРОГО ПОРЯДКА 

Введение 

     Поверхностью  второго  порядка  будем  называть  совокупность точек,  координаты  которых          (х,у,z)  удовлетворяют уравнению: 

a₁₁х² + a₂₂у² + а₃₃z² + 2а₁₂ху + 2a₂₃yz + 2а₃₁xz + 2а₁₄х + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0                                         (1) 

В дальнейшем  коэффициент a_ij (i ≠ j) будем иногда записывать  a_ji  таким   образом:

                                    a_ij = a_ji

     Коэффициенты a_ij могут принимать любые действительные значения, но при i, k = 1, 2, 3 не должны быть равны нулю одновременно.

     Мы  изучили некоторые поверхности  второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, параболоид и другие. Но, кроме кривых поверхностей, возможны поверхности второго порядка, состоящие из двух  плоскостей.

     Например, уравнение х²— у² = 0 определяет поверхность, состоящую   из   двух   плоскостей:

х – у = 0   и   х + у = 0. 

Естественно   возникают   следующие   задачи: 

1) Определить  все виды поверхностей второго  порядка, заданных общим уравнением (1). 

2)Составить   простейшее  (каноническое)  уравнение  поверхности,   заданной  общим  уравнением  (1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Упрощение уравнения поверхности  второго порядка  при помощи вращения системы координат  вокруг начала

     Пусть дана поверхность второго порядка  уравнением  (1) относительно  прямоугольной декартовой  системы координат.

     Нам нужно определить такую прямоугольную  систему координат, относительно которой  уравнение данной поверхности не содержит членов с произведениями координат. 

     Найдем  уравнение поверхности (1) относительно системы координат  Ох'у'z', которая получается из системы Oxyz вращением круг начала О. Пусть

                                                       х = p х' + p у' +р z',

                                                       у = p х' + p у' +р z',                                (2)

                                                       z =  p х' + p у' +р z',

есть формулы  преобразования вращения данной прямоугольно системы координат. 
 

Единичные векторы  е₁' , е₂',  e₃'   новой системы   имеют координаты 

                              е₁'={ p _, p _, p }, 

                              е₂'={ p _, p _, p }, 

                              e₃'={ р _, р _, р }. 

При этом p удовлетворяют условиям 

                  (p )² + (p )² + (p )² = 1    (i=1, 2, 3), 

                  p p ₊ p p ₊ p p ₌ 0,    i ≠ j (I, j = 1, 2, 3), 
 

                  | p p p |

                  | p p p | = + 1,

                  | р р р |

Так как  (е_i')² = 1,  (е_i' е_j') = 0 и (е₁' е₂' е₃') = +1.

Подставляя значения x, y, z  из формул (2) в уравнение поверхности (1), то получаем уравнение той же поверхности относительно новой системы координат: 
 

            a'₁₁х'² + a'₂₂у'² + а'₃₃z'² + 2а'₁₂х'у' + 2a'₂₃y'z' + 2а'₃₁x'z' + 2а'₁₄х' + 2a'₂₄y' + 2a'₃₄z' + a'₄₄ = 0,                                                                                    (3) 

где    a'_ik = (a₁₁p + a₁₂p + a₁₃p )p + (a₂₁ p + a₂₂ p + a₂₃ p )p + (a₃₁ p + a₃₂ p + a₃₃ p )p                                                                                                                                                            (4) 

                              (i, k = 1, 2, 3), 

       a'_m4 =  a'₁₄p¹_m+ a'₂₄p²_m+ a'₃₄p³_m         (m = 1, 2, 3),    a'₄₄ = a₄₄.                     (5)  
 

Предположим, что  существует такая система координат  О(x', y', z'),  относительно которой а'₁₂ = 0, а'₁₃= 0,   а'₂₃ = 0, тогда условия а'₁₂ = 0 и а'₁₃ = 0 имеют вид: 

            (а₁₁ p + а₁₂ p + а₁₃ p ) p +  (а₂₁ p + а₂₂ p + а₂₃ p ) p    +    (а₃₁ p   +    а₃₂ p + а₃₃ p ) p = 0;                                                               (6) 

            (а₁₁ p + а₁₂ p + а₁₃ p ) p +  (а₂₁ p + а₂₂ p + а₂₃ p ) p    +    (а₃₁ p   +    а₃₂ p + а₃₃ p ) p = 0. 

Так как вектор   е₂' перпендикулярен е₃' , то ранг матрицы   |  p p p |     

                                                                                                      | р р р |

равен 2.

Принимая за неизвестные (а₁₁ p + а₁₂ p + а₁₃ p ), (а₂₁ p + а₂₂ p + а₂₃ p ),  (а₃₁ p   +    а₃₂ p + а₃₃ p ) из системы (6)  двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными имеем:  
 
 

                                       а₁₁ p + а₁₂ p + а₁₃ p =  s | p p |

                                                                                     |р р |  

                        а₂₁ p + а₂₂ p + а₂₃ p =  s | p p |                          (7)

                                                                          | р   р | 

                        а₃₁ p + а₃₂ p + а₃₃ p = s | p p |

                                                                                     | р р |

Но так как  | е₂' e₃' |  =  е₁' , то

                     p =   | p p |             p =  | p p |           p =   | p p |

                                       | р р |                     | р   р |                      | р р | 

и уравнения (7) принимают  вид: 

                        а₁₁ p + а₁₂ p + а₁₃ p = s • p  

                      а₂₁ p + а₂₂ p + а₂₃ p =  s • p                                       (8) 

                        а₃₁ p + а₃₂ p + а₃₃ p =  s • p  
 

Отсюда получаем :

     (а₁₁ – s) p + а₁₂ p + а₁₃ p = 0,

                   а₂₁ p + (а₂₂ – s) p + а₂₃ p   = 0,                                           (9)

                   а₃₁ p + а₃₂ p + (а₃₃– s)  p = 0. 
 

Систему уравнений (9) мы получили из условий  

                              а'₁₂ = 0, а'₁₃ = 0. 

Аналогично из условий    а'₁₂ = 0, а'₂₃ = 0  и а'₁₃ = 0, а'₂₃ = 0  можно получить, что координаты векторов     е₂'={ p _, p _, p }, e₃'={ р _, р _, р } удовлетворяют системе уравнений (9). 

      Система уравнений (9) имеет ненулевое решение  p , p , p тогда и только тогда, когда s  является корнем уравнения  
 

                        |а₁₁ – s   а₁₂         а₁₃       |

                        |а₂₁         а₂₂ – s    а₂₃       | = 0.                                        (10)

                        |а₃₁         а₃₂         а₃₃– s|    
 
 

     Это уравнение называется характеристическим уравнением поверхности второго порядка. Уравнение (10) можно записать иначе: 
 

     -s³ + I₁s² – I₂s + I₃ = 0,                         (10') 
 
 

причём 

                  I₁ = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃, 

            I₂ =  | а₁₁   а₁₂ |  +  | a₁₁  a₁₃ |  +  | a₂₂  a₂₃|    

                           | a₂₁   a₂₂ |      | a₃₁   a₃₃|      |  a₃₂  a₃₃|                              (11) 

                                     |a₁₁ a₁₂ a₁₃|

                  I₃ = |a₂₁ a₂₂ a₂₃|

                                    |a₃₁ a₃₂ a₃₃| 

Пусть s₁, s₂, s₃ - корни уравнения (10'). Из алгебры известно, что  
 

                  I₁ = s₁ + s₂ + s₃

                  I₂ = s₁s₂ + s₁s₃ + s₂s₃                                                                     (11')

                  I₃ = s₁s₂s₃

     Таким образом, если существует система координат  Ох'у'z', относительно которой уравнение поверхности второго порядка не содержит членов с произведениями координат, то координаты каждого единичного вектора е_k' ={ p _, p _, p } (k = 1, 2, 3) этой системы координат удовлетворяют системе уравнений: 
 

                  (а₁₁ – s_k) p + а₁₂ p + а₁₃ p = 0,

                  а₂₁ p + (а₂₂ – s_k) p + а₂₃ p = 0,                                (12)

                  а₃₁ p + а₃₂ p + (а₃₃– s_k) p = 0. 

При этом s_k  - корень характеристического уравнения (10). 

      Определение. Направление вектора, координаты которого удовлетворяют системе уравнений (12), называется главным направлением относительно поверхности второго  порядка.

      Отметим некоторые свойства корней характеристического  уравнения и главных направлений.

      Пусть s₁, s₂ - два различных корня характеристического уравнения (10) и координаты соответствующих векторов    

                  е₁'={ p _, p _, p }, е₂'={ p _, p _, p } 

суть решения  системы уравнений (9') при s , соответственно равном s₁ и s₂. Тогда имеют место следующие равенства: 

                  а₁₁ p + а₁₂ p + а₁₃ p = s₁ • p

                  а₂₁ p + а₂₂ p + а₂₃ p =  s₁ • p                       (12')

                  а₃₁ p + а₃₂ p + а₃₃ p =  s₁ • p  
 
 

                  а₁₁ p + а₁₂ p + а₁₃ p = s₂ • p

                  а₂₁ p + а₂₂ p + а₂₃ p =  s₂ • p                       (13)

                  а₃₁ p + а₃₂ p + а₃₃ p =  s₂ • p  

Если умножить равенства (12')  соответственно на  p _, p _, p , а равенства (13) соответственно на

p _, p _, p , то получим: 
 

                  а₁₁ p p + а₁₂ p p + а₁₃ p p = s₁  p p ,

                  а₂₁ p p + а₂₂ p p + а₂₃ p p =  s₁  p   p ,                  (14)

                  а₃₁ p p + а₃₂ p p + а₃₃ p p =  s₁ p p , 
 
 

                  а₁₁ p p + а₁₂ p p + а₁₃ p p = s₂ p p ,

                  а₂₁ p p + а₂₂ p p + а₂₃ p p =  s₂ p p ,                   (15)

                  а₃₁ p p + а₃₂ p p + а₃₃ p p =  s₂ p p . 

Сложив равенства (14) и (15), получим: 

                  A₁= s₁(p p +  p p + p p ),

                  A₂= s₂(p p +  p p + p p ).

Так как A₁ = A₂, то из этих равенств получаем: 

                  (s₁ – s₂)( p p +  p p + p p ) = 0. 

Так как s₁≠ s₂, то  

                   p p +  p p + p p = 0. 

Таким образом  мы доказали следующую теорему.

     Теорема   1. Если корни s₁, s₂ характеристического уравнения (10) различны, то координаты соответствующих им векторов, имеющих главные направления относительно поверхности второго порядка,  удовлетворяют  условию  ортогональности  (16).

     Теорема 2. Корни характеристического уравнения поверхности второго порядка всегда действительны.

     Допустим, что s₁= a + bi(b ≠ 0) есть корень уравнения (10).

Тогда  s₂ = a – bi  является также корнем уравнения (10). Пусть корню s₁  соответствует вектор главного направления е₁' : p = u₁ + v₁i,  p = u₂ + v₂i, p = u₃ + v₃i. 

Тогда корню  s₂ соответствует вектор е₂'  главного направления, координаты которого, как можно показать, будут: 

            p = u₁ – v₁i,  p = u₂ – v₂i,  p = u₃ – v₃i. 

числа u₁, v₁, u₂, v₂, u₃, v₃  не равны нулю одновременно, так как  p ,  p , p есть ненулевое решение системы (12). Но s₁≠ s₂,  и потому координаты векторов  е₁', е₂' связаны равенством (16): 

                  u + v + u + v + u + v = 0, 

что невозможно, так как u₁, v₁ ,u₂, v₂ ,u₃ ,v₃ – не равные нулю одновременно действительные числа. 
 

Из теорем 1 и 2 вытекают два следствия.

     Следствие 1. Координаты векторов, имеющих главные направления относительно поверхности второго порядка, являются  действительными   числами.

     Следствие 2. Главные направления относительно поверхности второго порядка, соответствующие не равным корням характеристического уравнения, перпендикулярны.

Пусть поверхность  второго порядка задана общим  уравнением (1). Поставим задачу: вычислить  координаты трех попарно перпендикулярных векторов, имеющих главные направления относительно данной поверхности второго порядка. Искомые координаты каждого такого вектора являются решением системы уравнений (9') при s, являющемся корнем характеристического уравнения (9). Можно доказать следующие теоремы.

     Теорема 3. Если корни s₁ s₂, s₃ характеристического уравнения (10') удовлетворяют условиям           s₁ = s₂ = s₃, то при s = s₁ (s = s₂, s = s₃) все коэффициенты системы уравнений (9) равны нулю.

     В этом случае любой вектор e_i' пространства имеет главное направление относительно поверхности второго порядка.

     Теорема 4. Если корни s₁, s₂, s₃ характеристического уравнения (10) удовлетворяют условиям:   s₁ = s₂≠ s₃, то при s = s₁ (s = s₂) в системе уравнений (9) существует только одно линейно независимое уравнение.

     В этом случае существует бесчисленное множество компланарных векторов e_i', имеющих главные направления относительно поверхности второго порядка.

     Теорема 5. Если корни характеристического уравнении удовлетворяют условиям s₁≠ s₂ ≠ s₃ ≠ s₁, то при каждом значении s = s_j (j = 1, 2, 3) в системе уравнений (9) существует дни линейно независимых уравнения.

     В этом случае существуют три вектора  е₁', е₂', е₃', имеющие главные направления относительно поверхности второго порядка; по следствию (2) они попарно перпендикулярны.

     Из  теорем  3,  4,  5 вытекает 

     Следствие 3. Для любой поверхности второго порядки существуют по крайней мере три попарно перпендикулярных глинных относительно данной поверхности направления.

      Для случаев,  рассмотренных в теоремах 3,  5, это  следствие очевидно.

Рассмотрим случай, когда s₁ = s2 ≠ s3. Пусть 
 

     (а₁₁ – s₁) p + а₁₂ p + а₁₃ p = 0                                                             (17) 

     Линейно независимое уравнение системы (9). Найдём какое – либо решение этого  уравнения       е₁'={ p _, p _, p }, а затем определим вектор е₂'={ p _, p _, p }, перпендикулярный е₁' из уравнений 
 

     (а₁₁ – s₁) p + а₁₂ p + а₁₃ p = 0,                                (18)

           p p +  p p + p p = 0.                                                

     Координаты  вектора    е₃'   определяются из системы уравнений (9) при s = s₃ .  Но их можно получить проще. Уравнения                                                               

                       (а₁₁ – s₁) p + а₁₂ p + а₁₃ p = 0,

                       (а₁₁ – s₁) p + а₁₂ p + а₁₃ p = 0

могут рассматриваться  как условия перпендикулярности вектора a = {a₁₁ – s₁ ; a₁₂, a₁₃}  с векторами e₁'  и e₂'. Вектор e₃' также перпендикулярен e₁' и e₂', и поэтому e₃' = λa, или  

                   e₃' = {λ(a₁₁ – s₁); λa_12; λa₁₃}.                                                    (19) 

Таким образом, вектор e₃' и любые два взаимно перпендикулярных вектора e₁' и e₂', каждый из которых перпендикулярен вектору e₃', образуют тройку векторов, имеющих главные направления. 

      Теорема. Если единичные векторы e₁' , e₂' , e₃' , системы координат Оx'y'z' имеют главные направления относительно поверхности второго порядка, заданной общим уравнением относительно системы координат Oxyz, тогда относительно системы координат Оx'y'z'  уравнение данной поверхности имеет вид: 

            s₁x'² + s₂y'² + s₃z'² + 2a'₁₄x' + 2a'₂₄y' + 2a'₃₄z' + a'₄₄ = 0. 

Пусть

                  e'_k = { p , p ,  p }      (k = 1, 2, 3) 

и смешанное  произведение   

                  (e'₁ e'₂ e'₃) = +1. 

Повернём систему  координат Oxyz  вокруг начала O  так, чтобы оси Ox', Oy', Oz'  новой системы координат имели соответственно направления e'₁ , e'₂ , e'₃ . Тогда поверхность второго порядка будет иметь уравнение вида 

      a'₁₁х'² + a'₂₂у'² + а'₃₃z'² + 2а'₁₂х'у' + 2a'₂₃y'z' + 2а'₃₁x'z' + 2а'₁₄х' + 2a'₂₄y' + 2a'₃₄z' + a'₄₄ = 0, 

причём 

      a'_kt= (a₁₁p + a₁₂p + a₁₃p )p + (a₂₁ p + a₂₂ p + a₂₃ p )p + (a₃₁ p + a₃₂ p + a₃₃ p )p

                              (k,t = 1, 2, 3);                                                       (4) 
 

     a'_m4 =  a'₁₄p¹_m+ a'₂₄p²_m+ a'₃₄p³_m         (m = 1, 2, 3).                                        (5) 
 

Так как векторы  e'_k имеют главные направления, то их координаты удовлетворяют уравнениям (9), то есть

            a₁₁p + a₁₂p + a₁₃p = s_k p  

            a₂₁ p + a₂₂ p + a₂₃ p = s_k p

            a₃₁ p + a₃₂ p + a₃₃ p = s_k p                  (k = 1, 2, 3). 

Из последних  равенств и из равенства (4) получаем: 
 

      a'_kt = (s_k p ) p + (s_k p ) p + (s_k p ) p = s_k (p p + p p + p p )= s_k(e'_ke'_t)

                              (k, t = 1, 2, 3). 

Если k = t, то a'_kk = s_k(e'_k)² = s_k, так как |e'_k| = 1. 

Если k ≠ t,  то a'_kk = 0, так как векторы e'_k и e'_t перпендикулярны. Таким образом теорема доказана. 

В процессе доказательства не было использовано условие, что (e'₁ e'₂ e'₃) = +1. Доказательство остаётся справедливым и для случая, когда (e'₁ e'₂ e'₃) = -1, то есть когда системы координат Oxyz и Ox'y'z'  имеют противоположные ориентации.