Оператор Гамильтона и Лапласа

 

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

ОПЕРАТОРЫ ГАМИЛЬТОНА И ЛАПЛАСА

 

 

 

 

Автор курсовой работы:      ________________________________

 

Специальность:

 

Руководитель:

 

 

 

 

Саранск 2007

Содержание

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
1 Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.1 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2 дифференциальные операции второго порядка. оператор лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
3 Запись основных дифференциальных операций  векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
3.1 Криволинейные координаты в евклидовом пространстве R3 . . . . . . . . .	13
3.2 Градиент скалярного  поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
4 Расходимость и вихрь векторного поля . . . . . . . . . . . . . . .	19
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25

 

 

Введение

Целью данной курсовой работы является изучение операторов Гамильтона и Лапласа, запись их в ортогональных криволинейных координатах, рассмотрение примеров.

Оператор Гамильтона, набла – оператор, - оператор, гамильтониан – символический дифференциальный оператор вида

,

где i,j,k – координатные орты. Если оператор Гамильтона применить к скалярной функции , понимая как произведение вектора на скаляр, то получится градиент функции φ:

.

Если применить оператор Гамильтона к вектор-функции понимая как скалярное произведение векторов, то получится дивергенция вектора :

,

 где  - координаты вектора .

Скалярное произведение оператора  Гамильтона самого на себя дает оператор Лапласа:

.

Оператор Гамильтона и его обозначение  введены У. Гамильтоном (1853). Термин «Оператор Гамильтона» и название «набла» для символа дал О.Хевисайд (1892).

Оператор Лапласа, лапласиан –  линейный дифференциальный оператор , который функции от n переменных ставит в соответствие функцию

В частности, для функций одного переменного оператор Лапласа совпадает с оператором второй производной

Уравнение обычно называют Лапласа уравнением; отсюда и произошло название «Оператор Лапласа», обозначение ввел Р.Мёрфи (1833).

1 Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого порядка

Если в области Ω  евклидова пространства R³ задана функция T, значение которой является линейным оператором, действующим из пространства R³ в пространство R или в R³, то говорят, что в Ω задано оперативное поле T. Таким образом, функция со значениями в R или в R³ определена , например,

T : R³

R, .

Если функция T непрерывна в Ω по операторной норме, то функция непрерывна в Ω .

Пусть - гладкая или кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая некоторую область с объемом - единичный вектор внешней нормали в точке .

 

Определение. Величина      

                               (1)

называется потоком  операторного поля T через поверхность , а его плотность в точке , если она существует, называется гамильтонианом поля Т.

Согласно этому определению и определению плотности аддитивной функции областей, имеем

                (2)

где {X_n; } – произвольная последовательность ячеек , стягивающаяся к точке , - ориентированная поверхность, ограничивающая ячейку - мера (объем) этой ячейки.

Оператор  (набла) перехода от операторного поля Т к плотности его потока называется оператором Гамильтона. Если существует и является непрерывной или кусочно-непрерывной функцией, то, согласно теореме о восстановлении аддитивной функции областей по ее плотности, имеем

        (3)

Предположим, что  выражение имеет непрерывные частные производные по координатам x, y, z точки М. Пусть В силу линейности оператора Т, справедливо равенство

,     (4)

где i, j, k – орты осей координат.

Применив формулу Остроградского и принимая во внимание равенство (4), получим

   (5)

Согласно формуле (2), имеем

                  (6)

Таким образом, выражение  получается путем формальной замены в выражении координат p на символы дифференцирования по соответствующим переменным.

Из данного определения следует, что выражение  не зависит от выбора базиса в пространстве R³.

1.1 Примеры

Пример 1.

Пусть - дифференцируемое в области векторное поле, а оператор действует по формуле , где - произвольный вектор.

Согласно формуле (6), имеем 

 

Таким образом, операция div является частным случаем операции

Пример 2.

Пусть - дифференцируемое в области , векторное поле, а оператор действует по формуле ,

Применив формулу (6), получим

  .

Следовательно, операция  rot также является случаем операции

.

Пример 3.

Пусть - дифференцируемое скалярное поле, а оператор действует по формуле

.

, .

Таким образом, операция вычисления градиента скалярного поля φ также частный случай операции .

 

Рассмотренные примеры показывают, что оператор удобно рассматривать как символический вектор с компонентами

,   ,   :

Действительно,

Следующая лемма показывает, что выражение можно производить с символическим вектором любые тождественные преобразования, допустимые правилами векторной алгебры.

 

Лемма. Если выражение тождественно по p с выражением , то тождественно с , .

Пример 4.

Вычислить

,

где - постоянный вектор.

При решении примера  воспользуемся известной формулой доказанной леммой и правилом действия оператора на произведения, рассматриваемые в векторной алгебре, о которых упоминалось выше. Имеем

 

Поскольку

 

то окончательно получим

 

2 Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа

Пусть в области Ω  евклидова пространства R³  задана функция T, значение которой является билинейным оператором, действующим из пространства R³×R³ в пространство R или в пространство R³, т.е. определена билинейная форма Если функция T непрерывна в Ω по операторной норме, то функция непрерывна в Ω .

Поскольку выражение  линейно по p, то можно определить в предположении, что функция T дифференцируема в области Ω. При этом получим согласно  формуле

:

, .

Если функция T дважды дифференцируема в Ω, то в силу линейности по q выражения можно определить

      (2)

Из того, что функция T дважды дифференцируема в области Ω, следует, что ее смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому, заменяя в выражении сначала на , получим опять формулу (2).

Свойства операции устанавливают следующие две леммы.

Лемма 1 . Если , то ,

Согласно лемме: Если выражение  тождественно по p с выражением  , то тождественно с , , имеем

  

Лемма 2. Если , то ,

Рассмотрим  выражение , которое в силу билинейности оператора T принимает вид

,             (3)

Согласно условию, имеем

, , ,

следовательно,

,        (4)

Поскольку T₁ – билинейная функция, то, согласно лемме 1, получим

,             (5)

откуда 

.

Если  , - скалярное поле, то можно образовать следующие выражения:

1. ;
2. .

Если  , , - векторное поле, то можем образовать такие выражения:

3. ;
4. ;
5. ;
6. .

Согласно правилам векторной алгебры, справедливы равенства

                         (6)

где - числовая функция,  -  вектор-функция.

Согласно лемме 2, имеем 

,                            (7)

Следовательно, градиент всякого скалярного поля имеет вихрь, равный нулю, а вихрь всякого векторного поля имеет расходимость, равную нулю.

Дифференциальный оператор второго порядка

называется оператором Лапласа. С помощью правил векторной  алгебры операция е) выражается через операции в) и г) следующим образом:

 

3 Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах

3.1 Криволинейные координаты в евклидовом пространстве R³. Параметры Ламе

Если в евклидовом пространстве R³ введена система координат , , посредством формул

, , , ,   (1)

связывающим декартовы  координаты точки с координатами , , , то ее называют криволинейной системой координат. При этом координаты называют криволинейными.

Предположим, что отображение 

  ,

порождаемое системой равенств (1), является С^-1 – диффеоморфизмом R³ на R³.

Определение 1. Криволинейная система координат , , называется ортогональной, если векторы взаимно ортогональны:

  (2)

Сферические и цилиндрические системы координат в евклидовом пространстве R³ являются ортогональными криволинейными системами.

Действительно, если 

, , ,

 и  , , , ,

то имеем

,

,

,

, , ,

, , ,

, , .

Если система криволинейных координат , , ортогональна, то векторы образуют базис пространства R³, а базис

,

где

является ортонормированным. Функции  называют параметрами Ламе. Базис и параметры Ламе изменяются при переходе от точки к точке.

Если в ортогональной  криволинейной системе координат  , , одна координата фиксирована, то отображение Φ определяет многообразие класса С¹ размерности - гладкую поверхность, которую будем называть координатной поверхностью. В пространстве R³ существует три семейства координатных поверхностей. Через каждую фиксированную точку евклидова пространства R³ проходит по одной поверхности каждого из трех семейств.

Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами смежных координатных поверхностей, и обозначим через длины ребер ячейки (рис.1). Имеем

       (3),

где H_i – параметры Ламе.

Действительно,

= , .

Вычислим параметры  Ламе для случаев перехода от декартовой прямоугольной системы координат  к сферической и цилиндрической системам координат.

Рисунок 1

 

При переходе к сферической  системе координат имеем

             (4)

 

 (5)

 (6)

а при переходе к цилиндрической системе координат получим

   (7)

 

  (8)

 

               (9)

Определение 2. Элементом объема dV в криволинейных координатах , , , соответствующим приращением dq_i координат q_i, , в точке , называется объем параллелепипеда, построенного на векторах

.

Согласно этому определению, имеем

      (10)

где - определитель Грамма от векторов , .

Принимая во внимание ортогональность векторов ,  получим

.            (11)

Используя определение 2 и формулы (4)-(11), можно получить известные  выражения для элементов объема в сферической и цилиндрической системах координат:

Параметры Ламе называют масштабными множителями. Координатные линии, вдоль каждой из которых изменяется лишь один параметр, можно представить как кривые в пространстве R³, на которые нанесены шкалы этих параметров. Параметры Ламе H_i на этих кривых преобразуют параметры в длины дуг соответствующих кривых.

3.2 Градиент скалярного поля

Пусть в области  задано дифференцируемое скалярное поле . Компонентами вектора в базисе

являются его проекции

на направления, определяемые векторами  .

Поскольку

,

то справедливо представление

.      (1)

В частности, в сферической  и цилиндрической системах координат  вектор-градиент скалярного поля имеет следующие представления:

, (2)

,

Где - ортонормированные базисы, порождаемые отображениями и .

 

4  Расходимость и вихрь векторного поля

Для записи операций расходимости и вихря векторного поля , , в криволинейных координатах нам понадобятся некоторые вспомогательные вычисления.

Полагая в формуле

, ,

получим

.              (1)

Взяв операцию вихря  от обеих частей равенства (1) и принимая во внимание, что rot grad q₁=0, имеем

                     (2)

Согласно формуле 

,

находим

.  (3)

Таким образом, равенство (2) принимает вид

.    (4)

Следовательно,

.

Поскольку

,

то 

.      (5)

Рассуждая аналогично, получим

,   (6)

.    (7)

Вычислим теперь расходимости векторов посредством формулы

,

приняв во внимание

, , .

Имеем

, (8)

,   (9)

,  (10)

Если  , то в силу линейности операции вычисления расходимости, получим

.           (11)

Если в формуле (11) взять  , то получим следующее выражение для оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах:

(12)

Для вычисления вихря  векторного поля используем линейность этой операции, формулами (5)-(7) и формулой

:

.           (13)

Выражение (11) можно рассматривать  как результат применения формулы  Остроградского к параллелепипеду  К, стороны которого равны смещениям  вдоль координатных линий, соответствующих приращениям , а выражение (13) – как результат применения теоремы Стокса к трем парам граней того же параллелепипеда:

,        (14)

Где - объем этого параллелепипеда, S – его граница, n – вектор внешней единичной нормали к поверхности S в точках существования;

,      (15)

где S – граница параллелепипеда, L – объединение контуров, ограничивающих его грани, μS – площадь поверхности S, τ – единичный касательный к L вектор, n – вектор внешней единичной нормали к поверхности S. При этом следует принять во внимание, что векторы внешней единичной нормали n на гранях параллелепипеда и векторы τ, касательные к кривой L, совпадают с векторами базиса , или противоположны им.

Приняв во внимание формулы (4)-(9) п.3,  и формулы (11), (13) этого  пункта, получим следующие  выражения  для расходимости и вихря векторного поля в сферической и цилиндрической системах координат:

,          (16)

,                      (17)

,          (18)

.   (19)

Если  и - скалярные поля, заданные в сферических и цилиндрических координатах, то, применив формулу (12) этого пункта и используя (4)-(9), пункта 3, получим запись оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах:

,    (20)

.       (21)

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены:

1. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции первого порядка. Примеры.
2. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа.
3. Запись основных дифференциальных операций в криволинейных ортогональных координатах. Градиент скалярного поля.
4. Расходимость и вихрь векторного поля

Также были рассмотрены  основные определения, леммы, все рассмотренные фрагменты данной курсовой работы подтверждались примерами.

Преимущество пользования  оператором Гамильтона заключается  в том, что, выполняя различные другие дифференциальные действия над скалярными и векторными функциями, можно рассматривать формально как обычный вектор и применять к нему правила векторной алгебры. Нужно только учитывать, что есть дифференциальный оператор, обладающий свойствами производной.

Операторы Гамильтона и Лапласа широко применяются в математической физике.

Список используемых источников

1. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. – М. : Просвещение, 1965. – 1104 с.
2. Шипачев, В. С. Высшая математика/ В. С. Шипачев . – M. : Высшая школа, 1988. – 370 с.
3. Ляшко, И. И. Математический анализ: в 3-х т. Т.2./ И. И. Ляшко. – Киев.: Вища, 1985 – 551 с.
4. Толковый словарь математических терминов: пособие для учителей / под ред. В. А. Диткина. –М. : Просвещение, 1965.- 540 с.
5. Несис, Е. И. Методы математической физики / Е. И. Несис. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.