Министерство  образования и науки Российской федерации

Государственное образовательное учреждение профессионального образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  ФАКУЛЬТЕТ 

Кафедра геометрии 
 
 
 
 

ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ ПЛАНИМЕТРИИ  

Курсовая  работа 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

Пермь

2010

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 5

1.1. Немного из истории 5

1.2. Теорема синусов 6

1.3. Решение треугольников с помощью теоремы синусов 13

ГЛАВА II. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 23

2.1. Высоты 23

2.2. Биссектрисы 27

2.3. Медианы 30

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33

ЛИТЕРАТУРА 34

 

ВВЕДЕНИЕ

     В курсе тригонометрии большинство  задач сводится к решению треугольников. Многоугольники, трапеции, четырехугольник  очень легко решить, разбив их на сумму треугольников. Зная вид и свойство полученных треугольников, можно решить задачу. Но если фигура разбита на произвольные треугольники, необходимо обратиться к теореме синусов. Для его применения необходимо, чтобы были известны три элемента треугольника (среди которых по крайней мере одна сторона) и нужно иметь минимум три независимых отношения между элементами данного треугольника.

     В курсовой работе мы будем рассматривать  формулировку и применение теоремы  синусов и ее обобщенного варианта.

     Целью исследования является создание комплекса опорных задач, решаемых с помощью данной теоремы.

     Для достижения цели необходимо решить следующие  задачи:

     -проанализировать литературу, просмотреть учебно-методический материал;

     -создать перечень задач, для решения которых используется теорема синусов;

     -систематизировать эти задачи и составить алгоритмы их решений;

     -отобрать опорные задачи, в основе которых использованы сведения, необходимые для решения однотипных тригонометрических задач.

     Объектом исследования является теорема синусов и ее обобщенный вариант.

     Предметом исследования являются решения задач  в курсе планиметрии с помощью  данных теорем.

     В работе использован аналитический  метод исследования.

     Работа  состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 10 источников. В структуру работы так же входят формулы и рисунки.

     Первая  глава состоит из двух параграфов. В ней представлены формулировки и доказательства теоремы синусов.  Также рассмотрены опорные задачи, решаемые с помощью данной теоремы. Составлен краткий алгоритм решения  этих задач.

     Во  второй главе предоставлены определения  замечательных линий треугольника, их свойства. Предоставлены примеры  задач на нахождение этих линий с  помощью теоремы синусов.

     В заключении приведены выводы и результаты.

 

ГЛАВА I

  ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. Немного из истории

     Начиная с древних времен и примерно до XVII в. в тригонометрии рассматривали почти «исключительно» решение треугольников, т.е. вычисление одних элементов треугольника (или многоугольника, разбитого на треугольники) по другим его элементам.

     Такие вычисления были вызваны запросами  астрономии, географии, мореплавания, геодезии и архитектуры.

     Для решения треугольника необходимо иметь  три независимых соотношения между шестью его элементами. В Евклидовой геометрии одним из них является сумма внутренних углов треугольника.  Кроме этой теоремы в случае косоугольного треугольника можно использовать теоремы косинусов или синусов. Исторически сложилось так, что вторая была доказана Ж.Л. Лагранжем (1799) из теоремы косинусов, а О.Коши наоборот  вывел теорему косинусов из теоремы синусов.

     Ученые  Индии, как отмечалось выше, из стран ислама IX-X вв. сводили решение любых треугольников к решению прямоугольных, а поэтому не нуждались в теореме синусов. Она была доказана лишь в IX в. уроженцем Хорезма астрономом и математиком Абу-р-Райхан Мухаммедом ибн Ахмедом ал-Бируни (973-≈1050). Вместе с теоремой о сумме внутренних углов треугольника теорема синусов  

     представляющая два независимых уравнения, позволяет решать любой треугольник.

     Начиная с XVI в. этой теоремой пользовались и европейские ученые. В «Математических таблицах» (1979) французского математика Франсуа Виета приведена обобщенная теорема синусов: 

     где R – радиус описанной около треугольника окружности.

     Лишь  в XVII в. Содержание тригонометрии значительно расширяется. [3]

     Знание  тригонометрии в современном  мире так же является неотъемлемой частью образования. Геометрия, как  наука, стремительно развивается в  эпоху научно-технического прогресса. А в наше время только школьный курс геометрии включает в себя два раздела: планиметрия и стереометрия. Дети уже в седьмом классе знакомятся с определением и видами треугольников. Тут же они осваивают понятия «биссектриса», «высота» и «медиана». А ученик девятого класса должен уметь решать треугольники: он знакомится с одной из основных теорем планиметрии – с теоремой синусов.

     Данная  глава посвящена именно этой теореме. Здесь мы сформулируем теорему синусов, приведем несколько способов ее доказательства. Так же приведем примеры задач, решаемых с помощью данной теоремы, рассмотрим алгоритмы их решений. Глава состоит  из двух параграфов: «Теорема синусов» и «Решение треугольников с помощью  теоремы синусов».

2. Теорема синусов

     Нередко для нахождения неизвестных элементов  треугольника обращаются к теореме  синусов. Сформулируем ее и докажем. Но для начала систематизируем знания о треугольнике.

     Основными элементами треугольника АВС являются вершины – точки А, В, С, стороны – отрезки а=ВС, в=АС, с=АВ, соединяющие вершины, углы, образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначаются буквами А, В, С [10] (рис1).

      Теорема синусов устанавливает  связь между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Она  утверждает, что длины а, в, с - стороны любого треугольника АВС пропорциональны синусам противолежащих углов, то есть 
 

где R – радиус описанной окружности.

      Подчеркнем, что стороны треугольника пропорциональны лишь синусам его  внутренних углов, но не пропорциональны  самим углам. Так, в прямоугольном  треугольнике с острыми углами 30º  и 60º синус угла 90º больше синуса 30º в два раза: 1:=2; гипотенуза больше катета, лежащего против угла 30º, также в два раза. Но угол 90º больше угла 30º в три раза. [9]

     Зависимость между сторонами и углами произвольного  треугольника АВС можно получить, разбив его на прямоугольные треугольники. Опустим из вершины с высоту CH=h, допустим, что она падает на само основание, а не на его продолжение. Тогда, обозначая стороны и углы, как обычно, через а,b,с и АВС, из треугольников АСН и ВСН находим:  

или 

     Такое же равенство, очевидно, верно для  любых двух сторон треугольника. Итак, мы пришли к теореме синусов: 

      Однако, пока она доказана нами только для остроугольного треугольника, а синус тупого угла даже не определен. Например, если угол в тупой, то отношение h/a равно синусу его смежного угла СВН:

       

     Поэтому определим синус тупого угла равным синусу смежного угла:

     sinα=sin(180º-α), тогда теорема синусов будет выполняться для всех треугольников.

     Отношения, входящие в теорему синусов, имеют  простой геометрический смысл. Опишем около треугольника АВС окружность (рис. 5).

      Проведем диаметр BD. Тогда по теореме о вписанном угле, угол BDC равен углу А либо, если угол А тупой, равен 180º «минус» угол А. в любом случае   a=BC=BDsinA=2RsinA

       или 

     где R – радиус описанной около треугольника АВС окружности. Это «усиленная» теорема синусов.

      Она и объясняет, почему таблицы  хорд древних были по существу таблицами  синусов. [10]

     В [6] приводится следующая формулировка теоремы синусов. Рассмотрим сразу и вариант доказательства.

     Стороны треугольника пропорциональны синусам  противолежащих углов. Доказательство. Пусть АВС – треугольник со сторонами а, в, с и противолежащими углами α, β, γ (рис. 6).

     Докажем, что 

       
 

       Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол α острый, получаем:

     CD=bsinα  (рис. 6, а).

     Если  угол α тупой, то

     CD=bsin(180º-α)=bsinα   (рис. 6, б).

     Аналогично  из треугольника BCD получаем:

     CD=asinβ.

     Итак,     asinβ=bsinα.

     Отсюда            

     Аналогично  доказывается равенство 

     

     Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана. [6]

     Доказательство  обобщенной теоремы приводит Погорелов  А.В. в [7].

     В любом треугольнике АВС

     

     Доказательство. Опишем около треугольника АВС окружность. Пусть Е-точка окружности, диаметрально противоположная точке В окружности. Если точки А и Е лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 7), то углы ВЕС и ВАС равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

      Если точки   А и Е лежат  по разные стороны от прямой ВС (рис. 8), то эти углы дополняют друг друга до 180°, ибо опираются на дополнительные дуги.

     В обоих случаях

     sinE=sinA.

     Таким образом,

      ВС=2RsinA.

     Аналогично доказывается, что

      АВ=2RsinC

     и

      АС=2RsinB.

     Сопоставляя полученные три формулы, заключаем, что

     

     Теорема доказана. [7] 

     Интересное  доказательство теоремы синусов  приводится в [2]. Рассмотрим это доказательство.

     Теорема синусов.

     Стороны треугольника пропорциональны синусам  противолежащих углов.

     Доказательство. Пусть в треугольнике АВС

      АВ=с, ВС=а, СА=b.

     Докажем, что 

      Введем систему координат с  началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату (рис. 9).

     Площадь данного треугольника можно вычислить  по формуле: 

      где  h - высота треугольника. Но высота h равна ординате точки А, то есть 

     Следовательно,  
 
 

     Из  первых двух равенств получаем 

     Откуда 

     Точно так же из второго и третьего равенств следует  

     Итак, 

     Теорема доказана.[2]

     Выше  нами рассмотрены доказательства теоремы  синусов и ее обобщенного варианта. Если последняя теорема доказывается исключительно через окружность, то саму теорему синусов можно  доказать несколькими способами. Так  Погорелов А.В. в [6] доказывает справедливость отношений 

     в любом произвольном треугольнике, иcпользуя лишь понятие высоты и свойства прямоугольного треугольника.

     Атанасян  Л.С. доказывает теорему синусов  иначе. В [2] теорема доказывается следующим образом: вводят систему координат; в первой четверти располагают треугольник. Сама формула выводится через площадь треугольника.

     Итак, мы рассмотрели формулировки и доказательства теоремы синусов и ее обобщенного  варианта.

3. Решение треугольников с  помощью теоремы  синусов

     Рассмотрим  несколько опорных задач. Решение  задач проводится с помощью теоремы  синусов.

     Задача 1.

      Дан треугольник АВС, у которого сторона С=14 см, угол А=60°, угол В=40º. Решить треугольник АВС с помощью теоремы синусов (рис. 10). 

     Дано:

       треугольник АВС, 

           сторона АВ=14,

       А=60°, B=40°.

     Найти:

           стороны ВС и АС, С.

     Решение.

     Составим  соотношения между сторонами  и углами треугольника согласно теореме  синусов: 

     1. Выразим СВ: 

     Согласно  теореме о сумме внутренних углов  треугольника получаем 

     Подставим известные значения: 

     2.  Выразим АС: 

     Подставим 

     Ответ:

           сторона СВ=12,31 см,

           сторона АС=9,14 см,

       С=80°.

     Мы рассмотрели первый тип задач: в треугольнике известна сторона и два угла, один из которых противоположный. Из данного примера мы видим, что решать задачи с помощью теоремы синусов очень удобно. 

     Задача 2.

      Дан треугольник АВС. Известно, что сторона АВ=5 см, сторона ВС=6 см, сторона АС=7 см. Вычислить углы данного треугольника (рис. 11).

     Дано:

           треугольник АВС,

           сторона АВ=5 см,

           сторона ВС=6 см,

           сторона АС=7 см.

     Найти:

           углы А, В и С.

     Решение.

     Чтобы найти первый угол, мы воспользуемся  теоремой косинусов:

.

     Найдем  угол А: 
 
 

     Зная  угол А и все стороны мы с помощью теоремы синусов можем найти и оставшиеся два угла В и С. 
 
 
 
 

     и 
 
 
 

     Запишем ответ:

     А=57 °, В=78°, С=44°.

     При решении данного типа задач, когда не известен ни один угол, необходимо обратиться к теореме синусов. Рассмотрим еще такой тип задач: когда известны две стороны треугольника и угол между ними. 

     Задача 3.

      В треугольнике АВС известны две стороны АС=12 см и СВ=8 см и угол С=60° между ними. Решить треугольник АВС [6] (рис. 12).

      Дано:

           треугольник АВС,

           сторона АС=12 см,

           сторона СВ=8 см,

       угол С=60°.

     Найти:

           сторону АВ и углы А и В.

     Решение.

     Третью  сторону АВ найдем по теореме косинусов: 
 
 
 

     Теперь, имея три стороны и угол С, по теореме синусов находим два неизвестных угла: 

     Подставим и получим: 
 

     Так как синус положителен как  в первой, так и во второй координатной четверти, то мы получаем два решения:

     =79°,

     =101°.

     В связи с этим мы имеем два решения  при нахождении угла В: 
 
 

     получаем:

     =41°,

     =19°.

     Таким образом, мы видим, что использовать теорему синусов при решении треугольников можно только в том случае, когда известна хотя бы одна пара: сторона и лежащий напротив нее угол. Рассмотрим такую задачу.

     Задача 4.

      В треугольнике АВС известны две стороны ВС=6 см и АС=8 см и угол А=30°, противолежащий стороне ВС. Решить треугольник (рис. 13).

     Дано:

           треугольник АВС,

           сторона ВС=6 см,

           сторона АС=8 см,

       угол А=30°.

     Найти:

           сторону АВ,

       углы С и В.

     Решение.

     По  теореме синусов находим значение  
 

     этому значению синуса соответствуют два  угла:

     =42°  и  =138°.

       Рассмотрим сначала угол В=42°. По нему находим третий угол: 

=180°- 30°- 42°;

     =108°

     и по теореме синусов третью сторону: 
 

     =11,4.

      Аналогично, по углу В=138° находим угол С=12° и сторону АВ=2,49.

     Ответ:

           =42°;   =138°;

           =108°;   =12°;

           =11,4 (см);  =2,49 (см).

     Замечание:

      Мы видим, что и эта задача имеет два решения. При других численных данных, например, при угле А=90° задача может иметь лишь одно решение.

     Теперь  рассмотрим задачу на использование  обобщенной теоремы синусов. 

     Задача 5.

     В равнобедренном треугольнике АВС с  основанием АВ боковая сторона АС = b, лежащий против основания угол С =2γ. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС (рис. 14).

     Дано:

     равнобедренный  треугольник АВС (основание АВ),

       боковая сторона АС =  b,

            угол С =2γ.

     Найти:

        радиус R описанной около треугольника окружности.

     Решение.

     Найдем  углы при основании АВ.

      Угол А равен углу В по теореме об углах, прилежащих к основанию равнобедренного треугольника. Тогда 
 

     По  обобщенной теореме синусов: 
 
 

     Ответ:

            

     Из этой задачи мы можем увидеть, что теорема синусов позволяет связать элементы треугольника с элементами окружности. Это значительно упрощает решение задач подобного типа. 

     Рассмотрим решение одной из наиболее трудных задач из [8].

     Задача 6.

     В равносторонний треугольник АВС вписан равносторонний треугольник DEF; точка D лежит на стороне BC, точка E лежит на стороне AC, точка F лежит на стороне AB. Сторона АВ относится к стороне DF как 8 к 5. Найти синус угла DEC [8] (рис. 15).

      Дано:

     равносторонний  треугольник АВС,

     равносторонний  треугольник DEF вписанный в АВС,

           AB:DF=8:5.

     Найти:

            DEC.