Определение числа е, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность

 

 

 

Содержание

 

 

Введение            3

Глава 1 Леонардо Эйлер

1.1 Леонардо Эйлер как великий математик

1.2 Главные понятия, созданные Эйлером     5

Глава 2 Определение числа е, вычисление его приближенного значения и его    трансцендентность                11

2.1 Определение числа е               11

2.2 Приближенное вычисление значения числа е           12

        2.3 Трансцендентность числа е                                                                 15

Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента)            18

Глава 4 Проявление числа e в реальной жизни

  4.1 Практическое  применение числа e                                       22

4.2Применение числа e в математических задачах           25

Заключение                  28

Список использованной литературы              26

Приложение 1                  30

Приложение 2                  31

Приложение 3                  32

Приложение 4                  33

Приложение 5                  34

Приложение 6                  35

 

 

Введение

 

 

Это малое е

Так не нравится мне:

Если честно сказать,

Можно только назвать

Неприличным его поведенье

 

Дж. А. Линдон

 

В высшей математике огромную роль играет число e, именуемое так же числом Эйлера в честь «давшего ему жизнь» великого математика Леонарда Эйлера(1707 - 1783 гг.). Всю свою жизнь он занимался наукой, и подтверждением этому служит многочисленные теоретические положения, невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых однако только немногие фигурируют в литературе под его именем: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера подстановки, постоянная Эйлера, уравнение Эйлера, уравнения Эйлера (используются в гидромеханике), формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера в математике, формула Эйлера-Маклорена, формулы  Эйлера-Фурье, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы и, разумеется, число Эйлера.

Под числом e понимают предел

                                                                   

,                                           (1)

который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы                                                                                       ,                                (2)

где и - это отношение разности

(y_n является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда ) к числу

(оно, очевидно, содержится между 0 и 1).

При этом число е является трансцендентным (иррациональным), а значит, оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.

Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция

y = e^x

оказывается настолько важной, что, в отличие от

y = a^x

  (где a≠e), она получила особое название - экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Значение e^x так же вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства

(если x>0 и n

N) или

(если x<0 и n N).

Кроме того, важным является и то, что именно число Эйлера является основанием натуральных логарифмов, что, однако, не придает натуральным логарифмам каких-либо отличительных свойств.

Встречаясь буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой - либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

В данной работе представлены краткий обзор основных событий творческой жизни Леонарда Эйлера, суть числа e, представлен способ вычисления его приближенного значения и приближенного значения e^x, так же показано проявление числа e в реальной жизни и его использование в математике.

 

Глава 1. Леонард Эйлер

1.1 Леонард Эйлер как великий математик

 

 

Началом «жизни» числа е, имеющего огромнейшее значение в высшей математике, можно считать труд Леонарда Эйлера (1707 - 1783 гг.)  (приложение 1).

Эйлер принадлежит к числу тех великих людей, результат работы которых стал достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых оставил свой след этот, безусловно, великий учёный. Но в первую очередь он был математиком.

Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков. Даже Лаплас нередко повторял: «Читайте, читайте Эйлера, он - наш общий учитель». И труды Эйлера действительно с большой пользой для себя читали и изучали и Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855гг.), и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений.

Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли (1654 - 1705гг.). Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой - как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. В свою очередь, Леонардо увлёкся математикой и задавал отцу множество вопросов. Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в базельскую латинскую гимназию - под надзор бабушки. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонардо по иному пути.

Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И неудивительно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли - Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. Восьмого июня 1724 года семнадцатилетний Леонард Эйлер произнёс по латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра (в XIX веке в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).

В последующие года юный Эйлер написал несколько научных работ. В 1725 году по просьбе Петербургской Академии Эйлер, не считаясь со временем, составил на немецком языке прекрасное «Руководство к арифметике», которое вскоре было переведено на русский и сослужило добрую службу многим учащимся. Перевод первой части выполнил в 1740г. первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. На русском языке это было первым изложением арифметики как математической науки. Позднее он стал профессором физики в этой гимназии, затем академиком и профессором чистой математики.

Прекрасно зная ум Эйлера, на его свадьбу 1733 года на дочери живописца Екатерине Гзель ему преподнесли сочиненные по случаю стихи:

 

В том усомниться мог ли кто-то,

Что Эйлер удивит весь мир,

Что только цифры и расчёты

Его единственный кумир.

Теперь совсем в другом он мире,

Где чувства, счастье и любовь

И то что дважды два - четыре,

Доказывать придётся вновь!

 

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу самостоятельно всего за 3 дня. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой», - философски заметил он.

До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение « Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении », изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде.

В 1741 году Эйлер принимает предложение прусского короля, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях и в соответствии с поданным Эйлером прошением он был «отпущен от Академии» и утверждён почётным академиком. Он обещал по мере своих сил помогать Петербургской Академии - и действительно помогал весьма существенно все 25 лет, пока не вернулся обратно в Россию. В июне 1741 году Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почётным членом Петербургской Академии. Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов. В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: « Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости».

Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходили его научные работы колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» 1748 г., «Морская наука» 1749 г., «Теория движения луны» 1753 г., «Наставление по дифференциальному исчислению» 1755г., а так же десятки статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий.

В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения.

Почти  сто лет спустя, когда во многих странах - и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.

Вступившая в 1762 году на русский престол Екатерина II, предложила Эйлеру управление математическим отделением и звание конференц-секретаря Академии. Фридрих долго не хотел разрешать ученому возвращаться в Россию, в ответ на что Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии. 30 апреля 1766 году Фридрих разрешает наконец-то ему уехать в Россию. Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей, которая поручила подготовить соображения о реорганизации Академии. После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза - он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Он диктует свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки.

В мае 1771 года в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память.

Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо. Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной.

В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию - и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились наблюдать девять местных светил медицины, но вся операция заняла три минуты и Эйлер снова стал видеть.

Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако для Эйлера было просто невозможно «не вычислять», и уже через несколько дней после операции он снял повязку. И вскоре потерял зрение снова, на этот раз навсегда. Несмотря на это, отнёсся он к такому неприятному событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе.

В 1773 году. по рекомендации Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Никлаус Фусс (1755 - 1825 гг.). Это было большой удачей для Эйлера, так как Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет, то есть до самой своей смерти, Эйлер именно ему диктовал свои труды. 

В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет. Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье. В последние годы жизни учёный продолжал усердно работать, пользуясь для чтения «глазами ряда своих учеников». В сентябре 1783 году учёный стал ощущать головные боли и слабость. 18 сентября после обеда, проведённого в кругу семьи. Беседуя с А. И. Лекселем (1740 - 1784 гг.) о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести «Я умираю» - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался  от кровоизлияния в мозг.

Нет, пожалуй, ни одной значительной области математики, в которой не оставил бы след один из величайших математиков всех времён и народов, гений XVIII в. Леонард Эйлер.

 

2.1 Главные понятия, созданные Эйлером

 

Главные понятия, созданные Эйлером, это точки Эйлера, прямая Эйлера и окружность Эйлера в треугольнике; теорема Эйлера для многогранников, метод ломаных Эйлера (один из простейших методов приближённого решения дифференциальных уравнений, широко применявшийся до самых последних лет), Эйлеровы интегралы (бета-функция и гамма-функция Эйлера), углы Эйлера (они используются главным образом в механике при описании движения тел), и, разумеется, число Эйлера, то есть число e. Именно Эйлер определил число е как бесконечную дробь

 

Глава 2. Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность

 

2.1 Определение числа e

 

Рассмотрим числовую последовательность (x_n), заданную формулой

.

Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность

(y_n), заданную формулой .

Докажем, что (y_n) - убывающая ограниченная снизу числовая последовательность (числовая последовательность (a_n) называется ограниченной снизу последовательностью, если существует число c, такое что для любого натурального n справедливо неравенство ). Действительно,

;

.

Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем:

.

Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим

.

Таким образом,

,

а значит

.

Теперь докажем ограниченность снизу (y_n), для этого воспользуемся неравенством Бернулли:

.

Поскольку (y_n) - ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел. И, наконец, докажем сходимость последовательности

:

Предел последовательности

(x_n)=

и называют числом e, то есть числом Эйлера.

 

2.2 Приближенное вычисление значения числа e

 

На практике при встрече с числом e, как правило, необходимо знать его приближенное значение. Если к варианте (вариантой принято обозначать переменную, принимающую некоторую последовательность значений) x_n=

применить формулу бинома, то получим:

Если фиксировать k и, считав n>k, отбросить все члены последней части, следующие за (k+1)-м, то получим следующее неравенство:

.Увеличивая здесь n до бесконечности, перейдем к пределу, так как все скобки имеют пределом 1, то найдем:

.

Это неравенство имеет место при любом натуральном k.Таким образом, имеем x_n<y_n≤e, отсюда видно, что и

.

При этом говорят, что y_n является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда

,

и записанное только что предельное соотношение показывает, что e является его суммой, а так же говорят, что число e разлагается в этот ряд, то

.

Оценим степень близости y_n к e. Для этого рассмотрим разность между любым значением y_n+m  (где m=1,2,3,..), следующим за y_n, и самим y_n. Имеем

Если в скобках [] заменить все множители в знаменателях дробей на n+2, то получим неравенство:

,

которое лишь усилиться, если заменить скобки суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем :

.

Если сохранять здесь n неизменным, а m увеличивать до бесконечности, то варианта y_n+m будет принимать последовательность значений y_n+1, y_n+2, y_n+2, y_n+3,…, y_n+m,…, очевидно, сходящуюся к e. Поэтому

,

а так как

,

то

.

Если через и обозначить отношение разности к числу (оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то также можно записать

.

Заменяя здесь y_n его развернутым выражением, мы и придем к формуле, которая послужит начальной точной для вычисления e:

.

Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для е. Если поставить себе задачей с помощью последней формулы вычислить е, с точностью, например, до 1/10⁷,то, прежде всего, нужно установить, каким взять число n, находящееся в нашем распоряжении, чтобы осуществить эту точность. Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам (приложение 2), мы видим, что при n = 10 «дополнительный» член последней формулы будет уже

0,000 000 03, поэтому, отбрасывая его, мы получаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше 1/2,10⁸ (приложение 2). Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше 3/10⁸. Если учитывать теперь ещё и поправки на округление, то становиться понятным, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа е лежит между числами и. Отсюда само число e содержится между дробями 2,718 28 78 и

2,718 281 86, то есть можно сказать, что е = 2,718 281 8 0, 000 000 1

Таким образом, с помощью формулы

можно вычислить приближенное значение e с точностью до любого требуемого знака.

 

2.3 Трансцендентность числа e

 

Все вещественные (а так же вообще комплексные) числа распределяются на два класса - алгебраические и трансцендентные. Число называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами (очевидно, не умаляя общности, эти коэффициенты можно считать целыми); в противном случае число называется трансцендентным.

Примером алгебраического числа может служить любое рациональное число или иррациональное число, выражающееся через рациональные в радикалах: число

служит корнем уравнения 17х+11=0, а число - корнем уравнения и т. д.

Эрмит установил, что е является трансцендентным числом. Приведем доказательство этой теоремы.

Допустим, что е служит корнем уравнения

,                                                                          (1)

где все коэффициенты - целые числа .

Пусть u=f(x) будет произвольный многочлен n-й степени, а

v=

;

тогда,  аесли взять a=0, эта формула  примет вид

,

так как .  Полагая краткости

имеем отсюда

.

  Возьмем здесь последовательно b=0, 1, 2…,m;  умножая получаемые равенства соответственно на   и складывая в силу (1) , придем к окончательному равенству

,                              (2)

которое , напомним  это, должно иметь место для любого многочлена f(x). Теперь мы покажем , что этот многочлен можно выбрать так, чтобы равенство (2) стало невозможным; этим теорема и будет доказана.

  Положим, с этой целью,

;

где р- простое число, большее m и | |. Производные этого многочлена  порядка р  и выше имеют целые  коэффициенты и притом делящиеся на р; это вытекает непосредственно из того, что произведение р последовательных натуральных чисел делится на р!. Поэтому при любом целом значении х все эти производные имеют  целые значения, кратные р . Так как при x=1, 2, …, m многочлен f(x) и его первые p-1 производных обращаются в 0, то F(1), F(2), …, F(m)  будут целыми числами,  кратными р.

  Иначе обстоит дело c F(0). При x=0 многочлен f(x) обращается в 0 лишь c p-2 своими  производными, так что    

Все слагаемые, начиная со второго, как мы видели, суть целые числа, кратные p; но

,

а с ним и F(0), на p не делиться. Так как при сделанных относительно р предположениях и не делиться на р, то приходим к заключению, что первая сумма, стоящая в равенстве (2) справа, есть целое число, не делящееся на р и, следовательно, заведомо не равное нулю.

  Обратимся   ко второй сумме в (2). В промежутке  [0,m] , очевидно,

.

Поэтому

<

и, если сумму обозначить через С,

 

< =

   Но мы знаем  что последний множитель p→∞  при     стремится  к 0,  так что вторая сумма в (2), при достаточно большом р, будет  по абсолютной  величине меньше первой. В таком случае  их сумма не может равняться  0,  и мы пришли к противоречию.

 

Глава 3. Экспоненциальная функция (экспонента)

 

 

Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция y = e^x оказывается настолько важной, что, в отличие от y = a^x  (где a≠e), получила особое название - экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Как и y = a^x  (где a≠e) при a>1, функция y=e^x монотонно возрастает и не обращается в нуль на всем множестве действительных чисел (приложение 3). Кроме того, существует ряд теорем, облегчающих работу с заданной функцией. Так, например, Если x>0, то для любого натурального n выполняются неравенства

(1)

(2)

Докажем неравенство (1) методом математической индукции.

Проверим справедливость заданного утверждения при n=1. Имеем:

= 1 + х

- истинно, поскольку

y = 1+x

- это касательная к графику функции

y = e^x

в точке с абсциссой x₀=1; а так как функция

y = e^x

обращена выпуклостью вниз на множестве всех действительных чисел, то для любого x из множества всех действительных чисел выполняется неравенство

  .

Предположим, что неравенство (1) верно при n=k, то есть, предположим, что

.

Докажем его справедливость при n = k+1, то есть докажем, что

.

Для этого образуем вспомогательную функцию ц - разность левой и правой частей неравенства

,

то есть

При х=0 эта функция обращается в нуль: ц(х)=0. Её производная имеет вид:

.

По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция ц(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку ц(0)=0, то для всех х>0 имеем ц(х)>ц(0)=0, что и означает, что выполняется неравенство

.

Таким образом мы доказали справедливость при n = k+1 неравенства

,

в предположении его справедливости при n = k, а так как оно справедливо и при n = 1, то оно справедливо для всех натуральных n.

Теперь докажем неравенство (2) методом математической индукции.

Проверим его справедливость при n = 1, имеем:

- истинно.

Предположим верность данного неравенства при n = k, то есть, предположим, что

.

Докажем справедливость этого неравенства при n = k+1, то есть докажем, что

,

для этого образуем вспомогательную функцию ц - разность левой и правой частей неравенства

,

то есть

.

По предположению индукции для всех х>0 имеем >0 и потому функция ц(х) возрастает на луче [0, + ∞). Поскольку ц(0)=0, то для всех х>0 имеем ц(х)>ц(0)= 0, а что и означает, что выполняется неравенство

.

Таким образом мы доказали справедливость неравенства

при n=k+1  в предположении его справедливости при  n = k, а так как оно верно и при n = 1, то оно выполняется для всех натуральных n