Содержание

 

      Введение

      В курсе математического анализа  мы изучали обобщенные ряды Фурье  в нормированных пространствах /3/.

      Пусть Е – нормированное пространство, норма которого порождена скалярным произведением:

      

      Определение 1. Последовательность φ₁, φ₂, …, φ_n, …, φ_nÎЕ называется ортонормированной системой, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму равную единице.

      

      Пусть в пространстве Е задана ортонормированная система {φ_k}_k=1..∞ .

      Определение 2. Рядом Фурье элемента f по ортонормированной системе {φ_k} называется ряд вида:

      

      Определение 3. Частичной суммой ряда Фурье называется сумма вида:

      

      Определение 4. Отклонением элемента f от элемента g по норме пространства Е называется величина, равная .

      Теорема. Среди всех сумм вида наименьшее отклонение от элемента f по норме пространства Е имеет частичная сумма ряда Фурье элемента f:

      

      В данной курсовой работе рассматриваются полиномы Лежандра и Чебышева, как примеры ортогональных систем в пространстве непрерывных функций, определенных на [–1, 1] (далее, пространство непрерывных функций будем обозначать как C[–1, 1]). Скалярное произведение в C[–1, 1] вводится как

      

      Данный  интеграл существует, так как f(x), g(x)Î C[–1, 1] – пространству непрерывных функций. Таким образом,

 

      1 Полиномы Лежандра

      Полиномы  Лежандра определяются следующей формулой Родрига /1/:

                                         

                       (1.1)

      В частности, имеем:

                            

                         (1.2)

      Графики этих полиномов для п = 0, 1, 2, 3 и 4 приведены на рисунке 1.1. Первые 10 полиномов Лежандра приведены в приложении А. Из формулы (1.1) видно, что Р_n(х) являются четными функциями при п = 2т и нечетными – при          п = 2m + 1; причем Р_n(1)= 1 и Р_n(– 1) = (– 1)ⁿ. 

      

 

      Рисунок 1.1 – Графики первых пяти полиномов Лежандра 

      Существует  много способов определения полиномов  Лежандра. Один из них мы уже рассмотрели – задание полиномов формулой Родрига. Теперь рассмотрим еще один немаловажный способ задания полиномов – с помощью рекуррентной формулы. Для этого обратимся к так называемой производящей функции /1/:

      

    (1.3)

      Из  разложения (1.3) легко получить рекуррентную формулу, связывающую три последовательных полинома Лежандра. Действительно, дифференцируя Н(х, r) по r, имеем

      

      Но  с другой стороны

      

      тогда

      

      Собирая все члены, содержащие rⁿ, и приравнивая к нулю полученный коэффициент при rⁿ, получаем нужный результат

              

                          (1.4)

      Формула (1.4) является рекуррентной формулой задания полиномов Лежандра, с помощью которой удобно находить последовательные полиномы Лежандра.

      1.1 Ортогональность полиномов Лежандра

      Как мы уже знаем – два полинома ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. То есть, доказательство ортогональности двух полиномов сводится к доказательству равенства:

      

/2/

      Для этого рассмотрим

               

                    (1.5)

      Пусть т<п /1/. Очевидно, что

                                                   

при k < n                                   (1.6)

      Учитывая  этот вывод, применим к интегралу, стоящему в правой части равенства (1.6), формулу интегрирования по частям

      

 
 

      После n-кратного интегрирования по частям формулы (1.5) в силу соотношения (1.6) будем иметь

                                     

                             (1.7)

      Но  так как т < n, то, очевидно, и, следовательно,

      

      Ортогональность доказана.

      2.2 Нормирование полиномов  Лежандра

      Нормируем систему полиномов Лежандра. Для этого найдем норму, вычислив интеграл /1/:

                                                    

                                               (1.8)

      Воспользуемся формулой (1.1):

                   

                       (1.9)

      Применим  формулу интегрирования по частям последовательно  n-раз, получим:

                                     

                                    (1.10)

      Теперь  рассмотрим:

      

      Применим  формулу бинома Ньютона:

      

      Учитывая  это, упростим интеграл (1.10), и применим формулу интегрирования по частям:

                 

                    (1.11)

      Последний интеграл вычисляется при помощи n-кратного интегрирования по частям:

        

            (1.12)

      Подставляя  полученный результат (1.12) в формулу (1.11), будем иметь

              

                       (1.13)

      Вычислив интеграл (1.11), подставим результат (1.13) в формулу (1.8), получим

                                  

                             (1.14)

      Отсюда, ортонормированная система полиномов Лежандра имеет вид:

      

      Таким образом, полиномы Лежандра на отрезке [–1, 1] образуют ортонормированную систему полиномов.

      Из  теории обобщенных рядов Фурье следует, что коэффициенты полинома, аппроксимирующего данную функцию, следует брать равными коэффициентам      Фурье /3/.

      Коэффициенты  Фурье функции f по ортонормированной системе полиномов Лежандра:

      

      С учетом формулы (1.14), получаем окончательную формулу для вычисления коэффициентов Фурье /1/:

      

 

       2 Полиномы Чебышева

      Теперь  рассмотрим полиномы Чебышева /1/, которые известны тем, что являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля.

      Полиномы  Чебышева Т_n(x) определяются формулами

                      

                            (2.1)

      В частности имеем:

                         

                           (2.2)

      Аналогично  полиномам Лежандра, полиномы Чебышева также имеют несколько способов задания. Рассмотрим наиболее применимые из них. Обычно полиномы Чебышева рассматриваются на отрезке [–1, 1]. Поэтому можно положить x=cos t, т. е. t=arсcos x, где t – новая переменная . Тогда и формула (1) преобразуется к виду

      

      Так как (cos t ± i sin t)ⁿ = cos nt ± i sin nt, то имеем

                                            

                                      (2.3)

      или

                                                

                                          (2.4)

      Заметим, что формулы (2.3) и (2.4) неверны при n = 0.

      Из  формулы (2.3) легко получаются рекуррентные формулы для вычисления полиномов Чебышева при больших п.

      Преобразуем формулу (2.3) к виду:

      

      принимая  во внимание то, что

      

      получаем:

                                           

                                     (2.5)

      отсюда:

                                                

                                         (2.6)

      Таким образом, полиномы Чебышева задаются рекуррентной формулой (2.6).

      Первые 12 полиномов Чебышева Т_n(x) даны в приложении B.

      На  рисунке 2.1 приведены графики полиномов Чебышева для n = 0, 1, 2, 3.

      В теории приближении функций имеет место довольно важная теорема /1/: 

      Теорема 2.1. Полином Чебышева степени m (m > 1) наименее отклоняется от нуля на отрезке [– 1, 1] по сравнению с другим полиномом степени m и со старшим коэффициентам, равным единице.

      

 – отклонение

      

 

      Рисунок 2.1 – Графики первых четырех полиномов Чебышева

      2.1 Ортогональная система функций, построенная на основе полиномов Чебышева

      Теорема 2.2. Полученные с помощью полиномов Чебышева Т_п(х) функции:

                           

                               (2.7)

      образуют  на отрезке [–1, 1] ортогональную систему /3/.

      Доказательство. Доказательство /1/ ортогональности сводится к доказательству равенства:

                                  

                                         (2.8)

      При k > 0, m > 0 и k ≠ m, полагая х = cos t  и используя формулу (2.3), имеем

      

    (2.9)

      а как нам известно из общего курса  математического анализа, тригонометрические функции {cos kt} ортогональны на отрезке [–π, π]. Легко проверить, что равенство (2.9) остается справедливым и при k=0, m ≠ 0. Теорема доказана.

      2.2 Нормирование системы функций, построенной на основе полиномов Чебышева

      Для того, чтоб нормировать систему функций (2.7), вычислим их нормы /1/.

      Для этого в формуле (2.8) примем m = k ≠ 0, получим:

      

      Отсюда, ортонормированная система функций (2.7), полученная с помощью полиномов Чебышева имеет вид:

                                

                                (2.10)

      Коэффициенты  Фурье функции f по ортонормированной системе (2.10):

                        

                  (2.11)

      3 Примеры аппроксимации функций

      Пример  3.1. Функцию на отрезке [–1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.

      Решение. Полином Q₅(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:

                   

                              (3.1)

      где P_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полиномы Лежандра, а

      Так как функция |x| четная и P_k(x) четны при k четном и нечетны при k нечетном, то получаем

      

      Отсюда  используя формулы (1.3), находим

      

      и

      с₁ = с₂ = с₃ = 0.

      Подставляя  эти значения коэффициентов в  формулу (3.1), получим

      

      Следовательно,

      

      График  полученной функции приведен на рисунке  3.1.

      Пример  3.2. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [–1, 1] полиномом четвертой степени.

      Решение. Полином Q₄(х) будем искать в виде

                        

                        (3.2)

      где φ_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полученные с помощью полиномов Чебышева функции.

      Тогда, в условиях нашей задачи и с учетом формулы (2.10), получаем:

      

      Так как Т_2k+1(x) – функции нечетные, а Т_2k(x) – четные, то с_2k+1 = 0 и

      

      Используя для Т_2k(x) формулу (2.2), имеем:

      

      

      

      Подставляя  найденные значения коэффициентов в формулу (3.2), находим:

      

      Сравним полученный результат с примером разложения функции по полиномам Лежандра, в котором функция f(x) аппроксимировалась многочленом

      

      В нашем случае при х = 1 имеем

      

 
 

      тогда как

      

      т.е. мы видим, что система функций {φ_k} «ближе» аппроксимировали функцию в точке х = 1. Это видно на рисунке 3.1. 

        

      Рисунок 3.1 – Результат примеров аппроксимации (примеры 3.1 и 3.2)

       

      Пример  3.3. Функцию на отрезке [–1, 1] квадратично аппроксимировать полиномом Лежандра четвертой степени.

      Решение. Полином Q₄(x) ищем в виде частичных сумм ряда Фурье:

                   

                              (3.3)

      где P_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полиномы Лежандра, а

      Для вычисления коэффициентов с_k применен программный продукт MathCad (рабочий документ MathCad'а приведен в приложении С).

        

      Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.3), получаем:

      

      График  полученной функции приведен на рисунке  3.2. 

      Пример  3.4. Найти квадратичное приближение функции в промежутке [–1, 1] полиномом четвертой степени.

      Решение. Полином Q₄(х) будем искать в виде

                        

                      (3.4)

      где φ_k(x) (k = 0, 1, 2, 3, 4) – полученные с помощью полиномов Чебышева функции.

      Коэффициенты с_k рассчитаны в системе MathCad (см. приложение С).

          

             

        

      Подставив полученные коэффициенты в формулу (3.4), получаем:

      

      График  полученной функции приведен на рисунке 3.2.

 

Рисунок 3.2 – Результат примеров аппроксимации (примеры 3.3 и 3.4) 

Из рисунка  3.2 видно, что аппроксимация не достаточно точная. Чтобы повысить точность аппроксимации, нужно брать большую степень полинома. Это следует из тождества Бесселя:

      

      При увеличении n (степени полинома), сумма полинома не уменьшается, а, следовательно, отклонение не увеличивается.

 

       Приложение  А

      Первые 10 полиномов Лежандра P_n(x)

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

 

      Приложение  B

      Первые 12 полиномов Чебышева T_n(x)

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

 

      Приложение  С

      Рабочий документ MathCad'а

        

      Расчет  коэффициентов с_k для полиномов Лежандра:

      

      

        

      Расчет  коэффициентов с_k для полиномов Чебышева:

      

      

 

      Список  используемой литературы:

1. Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.3. Шувалова. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1967. – 368 с.
2. Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, том 2. – М.: Наука, 1982. – 417 с.
3. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов. Математический анализ. – М.: МГУ, 1987. – 358 с.