Основные понятия о рядах динамики

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                     3

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ                                                                       5

1.1 Основные понятия о рядах динамики                                                      5

1.2 Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов                7

1.3 Особенности прогнозирования явлений                                                 12

2. ПРИКЛАДНАЯ ЧАСТЬ                                                                           17

2.1 Применение методов выравнивания и прогнозирования на

практике                                                                                                            17

2.2 Динамика продаж телефонов «iphone» в магазине

«Ион»                                                                                                              23

2.3 Прогнозирование численности постоянного населения Москвы

в трудоспособном возрасте                                                                          27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                              31

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ                                     33

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым  основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.

Именно  статистические данные позволяют определить объемы продаж и потребления продукции, ее динамику, выявить основные тенденции  развития отраслей экономики, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни  населения и другие социально-экономические  явления и процессы.

 На всех стадиях исследования  статистика использует различные методы. Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях  деятельности.

Изменение социально-экономических  явлений во времени изучается  статистическим методом - методами выравнивания динамических рядов.

В практической и научно-практической деятельности врачам нередко приходится анализировать происходящие во времени  изменения в состоянии здоровья отдельных групп населения, государством - численности этого населения, предпринимателем - уровня выпускаемой продукции.  Выявление основной тенденции изучаемого явления вне влияния "случайных" факторов позволяет определять закономерности изменений явления и на этой основе осуществлять прогнозирование.

 Особое  место при анализе социально-экономических явлений занимает прогноз. Прогнозирование базируется на знании закономерности развития явлений, факторов, которые определяют эти закономерности, и того, как эти факторы будут изменяться в прогнозируемый период.

Целью написания данной курсовой работы является подробное изучение методов  выравнивания динамических рядов и  на основе выявления тенденций научиться осуществлять прогноз развития явлений.

В соответствии с целью в курсовой работе решаются следующие основные задачи:

     - рассмотреть основные понятия  о рядах динамики; 

     - ознакомиться с методами выявления типа тенденций в рядах динамики;

     - изучить особенности прогнозирования явлений;

     - привести примеры применения  методов выравнивания динамических  рядов и рассчитать численность  населения  города Москвы трудоспособного  возраста в 2014 году и объемы продаж телефонов «Iphone» в 2013 и 2014гг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные понятия о рядах динамики

 

Ряды динамики – это значения статистических показателей, отображающих развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами.

В каждом ряду динамики имеется два основных элемента:

1. показатель времени t;
2. соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;

В качестве показаний времени в  рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они  выражаются как абсолютными, так и средними или относительными величинами.

В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут  относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные .

Моментные ряды динамики содержат значения показателей на определенный момент времени (дату). Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 2011 году (таб. 1):

Таблица 1

   Списочная численность работников магазина в 2011 году

Дата	1.01.11	1.04.11	1.07.11	1.10.11	1.01.12
Число работников, чел.	192	190	195	198	200

 

Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности ,а так же непосредственное суммирование уровней не имеет смыла, то есть величина последующих значений полностью или частично включает в себя величину предшествующему его уровня .Так , основная часть персонала магазина, составляющая списочную численность на 1.01.2011, продолжающая работать в течение данного года , отображена в уровнях последующих периодов.

Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.

Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные  периоды (интервалы) времени.

Примером интервального ряда могут  служить данные о розничном товарообороте  магазина в 2007 – 2011 гг. (табл. 2):

Таблица 2

Объем розничного товарооборота магазина в 2007 - 2011 гг.

Год	2007	2008	2009	2010	2011
Объем розничного товарооборота, тыс. руб.	885.7	932.6	980.1	1028.7	1088.4

 

Каждый уровень интервального  ряда уже представляет собой сумму  уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности , входящая в состав одного уровня , не входит в состав других уровней .

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени . Например , суммируя товарооборот за первые три месяца года , получают его объем за I квартал , а суммируя товарооборот за четыре квартала , получают его величину за год, и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше , чем больше длина интервала , к которому этот уровень относится.

Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения  во времени поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателей , отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды .

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1. тренд – основная тенденция развития динамического ряда T (к увеличению или снижению его уровней) ;
2. циклические (K)(периодические колебания);
3. cезонные(S);
4. случайные колебания (E).

1.2 Методы сглаживания и выравнивания

динамических рядов

 

В ходе обработки динамического  ряда важнейшей задачей является выявление основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных  колебаний. Закономерности изменения явления во времени не проявляются в каждом конкретном уровне ряда. Это связано с действием на явления общих и случайных причин. Поэтому для решения этой задачи в статистике существуют следующие методы обработки рядов:

1.    Метод сглаживания путем укрупнения интервалов во времени.

2.    Выравнивание рядов динамики методом скользящей средней.

3.    Метод аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов – наиболее простой способ. Он заключается в  преобразовании первоначальных рядов  динамики в более крупные по продолжительности  временных периодов, что позволяет  более четко выявить действие основной тенденции изменения уровней. Новые уровни рассчитываются, как средние из укрупненных периодов. Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической. К примеру, если продолжительность периода равна 3, то переменная средняя будет рассчитана:

 

Недостатком этого приема является то, что идет потеря информации за счет укорачивания ряда.

Метод скользящей средней – это такая динамическая средняя, которая последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода. 

Последовательность определения  скользящей средней:

• Формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинаковых уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней – пятичленной и т.д. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом:

          

• Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:

y1 = Sy1/m, где

y1 – I-ый уровень ряда;

m – членность скользящей средней(продолжительность периода)

Заметим, первая средняя записывается напротив середины первого уровня.

• Первый уровень отбрасывают, а в  исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет не будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики y_n.
• По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.

Отрицательной стороной использования  метода скользящей средней является то, что, как и в случае с методом укрупнения идет потеря информации за счет укорачивания ряда. В дальнейшем затруднен прогноз развития явлений, так как нет достаточного математического обоснования для осуществления прогноза.

Более точным способом отображения  тенденции динамического ряда является аналитическое выравнивание, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул. В этом случае динамический ряд выражается в виде функции у (t), в которой  в качестве основного фактора  принимается время t, и изменения  аргумента функции определяют расчетные значения у_t.

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством  наблюдения. Они обозначаются уi. Расчетными (или выровненными теоретическими) уровнями ряда называют значения, полученные в результате подстановки в уравнение тренда значений t, и обозначают их ȳ.

Целью аналитического выравнивания динамического  ряда является определение аналитической  или графической зависимости  f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

линейная  ;

параболическая  ;

экспоненциальная 

или ).

1. Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

2. Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

3. Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, -устойчивость в изменении показателей относительного роста.

Таким образом, целью аналитического выравнивания является:

- определение вида функционального уравнения;

- нахождения параметров уравнения тренда методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть минимальна

∑(y_i - ȳ)²→min;

- расчет «теоретических», выровненных  уровней, отображающих основную  тенденцию ряда динамики.

Графическое отображение изменения  уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов.

Тенденцию развития социально-экономических  явлений обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Наиболее простой и часто  встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая  уравнением:

y_t = a + bt,

где   у_i  – фактические уровни;

у_t – теоретическое значение уровня;

t – периоды времени – фактор времени.

«а» и «в» – параметры уравнения.

Так как «t» известно, то для нахождения «у_t» необходимо определить параметры «а» и «в». Их находят методом наименьших квадратов, где сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных теоретических на искомой линии должна быть min ∑(y_i - ȳ)²→min; Этому требованию удовлетворяет следующая система нормальных уравнений:

n – количество уровней ряда динамики.

Эту систему уровней можно упростить, если взять t (период времени) таким, чтобы  сумма периодов равнялась нулю: Σt = 0.

Для этого необходимо периоды ряда динамики пронумеровать так, чтобы перенести в середину ряда начало отчета времени. В ряду динамики с нечетным числом периодов времени нумерация начинается с середины ряда и с нуля «0», а с четным числом периодов с «-1» и «+1». Тогда уравнения примут следующий вид:

an = Σу, отсюда получим «а»  ;  ,  .

После нахождения параметров необходимо рассчитать выровненные уровни ряда путем подстановки значения номера периода.

Таким образом, аналитическое уравнение  сводится к замене  фактических уровней  теоретическими.

Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

При относительно неизменном годовом  уровне явления индекс сезонности можно рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период:

 

В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как  процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных  месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных  месяцев:

 

3.  Особенности прогнозирования явлений

 

При комплексном  исследовании динамических рядов в  большинстве случаев  ставится задача, касающаяся дальнейшего  прогнозирования их уровней. Экстраполяцией называется прогнозирование финансовых и экономических явлений и  процессов на основе выявленных закономерностей  их развития в прошлом и настоящем  периодах, представленных данным динамическим рядом. Экстраполяция всегда проводится за пределы исследуемого временного ряда: в будущее или в прошлое. В зависимости от этого различают перспективную экстраполяцию (в будущее) и ретроспективную (в прошлое). Вместе с этим может осуществляться и интерполяция - прогнозирование неизвестных по каким-либо причинам уровней внутри самого исследуемого ряда динамики.

  Точность  и надежность прогнозов,  получаемых при экстраполяции,  зависят от того, насколько инерционно, то финансовое или экономическое явление, которое подвергается прогнозированию, насколько точно выявлена тенденция развития явления и выбран метод получения дальнейшего прогноза. Не последнюю роль при этом играет и период экстраполяции: чем он короче, тем, естественно, точнее прогноз.

   С этими  требованиями  тесным образом связана  задача  выбора длины динамического ряда, на основе которого будет проводиться  экстраполяция. Правило «чем больше, тем лучше» в данном случае  не всегда верное. Дело в том,  что в быстро развивающемся  мире экономики и финансов  длинные динамические ряды зачастую  оказываются несопоставимыми. Из-за  того, что меняются методология  расчета показателей, тенденции  и сущность социально-экономических  явлений и процессов, полученные  прогностические модели оказываются  неустойчивыми.

   Вместе  с тем имеется  общее правило: срок, на который  осуществляется прогноз, не должен  превышать 1/3 длины базового динамического  ряда. Так, если исследуется ряд  динамики, состоящий из девяти  уровней, прогнозирование проводится  не далее чем на три уровня  и т.п. Но этот вопрос опять  должен решаться на основе  анализа степени инерционности  исследуемого явления. Если процесс  имеет малую инерционность, то  информативность уровней ряда  по мере их удаления от периода  прогнозирования будет соответственно  снижаться: наибольшую информационную  ценность будут иметь «последние»  периоды. На этом основаны так  называемые адаптивные методы  прогнозирования, которые учитывают различную информационную ценность членов ряда. При проведении процедуры выравнивания им задается определенный вес, кроме  того, могут меняться параметры моделей  в зависимости от точности результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге.

  В данной главе мы рассмотрим  методы экстраполяции, основанные  на использовании: среднего уровня  ряда; среднего абсолютного прироста; среднего темпа роста и функции  аналитического выравнивания.

  Первые  три метода являются  простейшими  и поэтому самыми  приближенными. Экстраполяция на  основе функции тренда, полученной  в результате аналитического  выравнивания, относится к наиболее  распространенным и практически  применяемым методам прогнозирования.

Экстраполяцию в общем виде можно  представить так: 

,

где    - прогнозируемый уровень; - текущий уровень прогнозного ряда;

Т - срок экстраполяции;  - параметр уравнения тренда.

Прогнозирование по среднему абсолютному  приросту может быть выполнено в  том случае, если есть уверенность  считать общую тенденцию линейной, то есть представленной в виде прямой, проведенной через две крайние  точки.

Для нахождения интересующего нас  аналитического выражения тенденции  на любую дату необходимо определить средний абсолютный прирост и  последовательно прибавить его  к последнему уровню ряда столько  раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.

,где: 

ȳ_i+t- экстраполируемой уровень, (i+t) - номер этого уровня (года);

i - номер последнего уровня (года) исследуемого периода, за который рассчитан;

t - срок прогноза (период упреждения);

∆_t- средний абсолютный прирост.

Прогнозирование по среднему темпу  роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что  общая тенденция ряда характеризуется  показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения тенденции в этом случае необходимо определить средний  коэффициент роста, возведенный  в степень, соответствующую периоду  экстраполяции, то есть по формуле:

    

где:

yi - последний уровень ряда динамики;

t - срок прогноза;

K_р- средний коэффициент роста.

В ряде случаев этот метод может найти применение как предварительный прогноз, если у исследователя нет динамического ряда: информация дана лишь на начало и конец периода (например, данные одного баланса).

Наиболее распространенным методом  прогнозирования является аналитический  метод выравнивания тренда. Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).

Любой статистический прогноз носит  приближенный характер, поэтому целесообразно  определение доверительных интервалов прогноза:

ȳ_t - t_α∙G_yi, где

 ȳ_t – расчетное значение уровня;

t_α –доверительная величина(коэффициент доверия Стьюдента);

 G_yi – среднеквадратическая ошибка тренда.

,где

y_i - фактические значения уровня ряда;

n -число уровней временного ряда;

 p- число параметров.

Определив среднеквадратическую ошибку и доверительный интервал, можно  сказать о точности прогнозирования  явлений.

При анализе рядов динамики, как говорилось ранее, иногда приходиться прибегать к восстановлению некоторых недостающих  уровней внутри данного ряда динамики по уравнению тренда, то есть к интерполяции. Как экстраполяция, так и интерполяция может производиться на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с помощью аналитического выравнивания.

 

 

 

 

 

 

2. ПРИКЛАДНАЯ ЧАСТЬ

2.1. Применение методов выравнивания и

  прогнозирования на практике

 

Необходимость применения методов выравнивания возникает в том случае, когда необходимо провести динамику изменения явления, выявить тенденцию развития явления, на основе которой провести анализ и осуществить прогноз на будущий период времени.

Метод укрупнения интервалов – наиболее простой способ. Он заключается в  преобразовании первоначальных рядов  динамики в более крупные по продолжительности  временных периодов, что позволяет  более четко выявить действие основной тенденции изменения уровней.

1. Метод укрупненных средних рассмотрим на примере.

Имеются данные о производстве обуви за ряд лет (табл.1), выявить тенденцию роста или снижения производства обуви методом укрупнения интервалов.

Таблица 1

Данные  о производстве обуви

Годы	Производство обуви, млн. пар.
2005	680
2006	683
2007	550
2008	670
2009	685
2010	690

 

 

В данном ряду динамики нечетко обозначена тенденция выпуска обуви.

  Для выявления тенденции укрупним  интервалы до 3-х лет и рассчитаем  общий и средний выпуск обуви,  используя среднюю арифметическую  .

Таблица 2

Укрупненный ряд динамики

Годы	Производство обуви, млн. пар
	Всего	Среднегодовое
2005–2007 2007–2010	1913 2045	637,6 681,6

 

 

В этом ряду четко прослеживается тенденция роста выпуска обуви.

Недостатком этого приема является то, что при его использовании  не прослеживается процесс изменения  явления внутри укрупненных интервалов.

2. Методы сглаживания и аналитического выравнивания.

Метод сглаживания применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период.

Однако методы укрупненных и скользящих средних предоставляют исследователю очень упрощенное представление о тенденции ряда.

Более совершенным приемом выявления основной тенденции развития в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями. Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y=f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.